dl
Wektorowa ró\
niczka długości łuku krzywej
skierowanej we współrzędnych kartezjańskich

dl = [dx, dy, dz]
i jej moduł dl = v �"dt .

= v �"dt

gdzie: v  wektor styczny do łuku krzywej l . A
uk ma końce w punktach A i B.
dx, dy, dz  ró\
niczki współrzędnych x, y, z w równaniu łuku: x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) ,
t  zmienna w równaniu łuku, tA, tB  wartości t w punktach A i B. Dowolny punkt P = (x, y, z) .
Całka krzywoliniowa niezorientowana (nieskierowana)1
tB lub tA
n
lim f
j
+"f (P) �"dl = 0"f (Pj ) �""l , +"f (P) �"dl = +"t (P(t))�"v dt .
def
j=1
l lAB tA lub
B
Całka krzywoliniowa zorientowana (skierowana)
tB

n

lim
j
+"F (P)odl = 0"F (Pj)o"l +"Fodl = tA dt ,
+"Fov
def
j=1
l lAB
gdzie: � oznacza iloczyn skalarny wektorów. W obu całkach po prawej
stronie są ju\
zwykłe całki oznaczone.
Przypadek łuku krzywej przestrzennej, P = (x, y, z)
Równanie Ró\
niczka Wektor styczny Moduł wektora
Objaśnienia
łuku l łuku do łuku stycznego do łuku

x = x(t)

dx dy dz
dl = v �"dt
& & &
y = y(t) x = , y = , z =
& & &
v =[x, y, z]
& & &
v = x2 + y2 + z2
dt dt dt
dl = v �"dt
z = z(t)
Przypadek łuku krzywej płaskiej w płaszczyz
nie Oxy, P = (x, y)


dx dy
x = x(t)
dl = v �"dt
& &
v =[x, y] & &
& & x = , y = (2)
v = x2 + y2
y = y(t) dt dt
dl = v �"dt


dy
dl = v �"dx
y = y(x)
v = [1, y'(x)]
y'= (3)
v = 1+ (y')2
dx
dl = v �"dx


dx
dl = v �" dy
v = [x'( y),1 ]
x'= (4)
x = x(y) v = 1+ (x')2
dy
dl = v �"dy
Przypadek łuku krzywej płaskiej we współrzędnych biegunowych (*)

dr
dl = v �"d�
&
& r = (5)
r = r(�) v = r2 + r2
& &
v = [r cos(�) - r sin(�), r sin(�) + r cos(�)]
d�
dl = v �"d�
(*) Wpierw u\
yto wzorów przejścia do współrzędnych kartezjańskich:
x = r(�)�"cos(�)
ńł
�ły = r(�) �"sin(�) ,
ół
a potem wzorów (2) na postać parametryczną. Tu parametrem jest � .
Identyczne wzory stosuje się dla łuków krzywych płaskich w płaszczyznach Oyz i Oxz.
1
W całkach krzywoliniowych nieskierowanych za dolną granicę całkowania zawsze podstawiamy mniejszą z liczb.
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń

dS
Wektorowa ró\
niczka pola płata powierzchni
skierowanej we współrzędnych kartezjańskich

dS = [dy �"dz, dz �"dx, dx �"dy] i jej moduł dS = N dG ,

= N dG

gdzie: N  wektor prostopadły do płata powierzchni S,
G  obszar płaski, który jest rzutem płata S na jedną z płaszczyzn układu współrzędnych,
dG  ró\
niczka pola na płaszczyz
nie rzutu płata S, dG = dx �"dy lub dG = dx �"dz lub dG = dy �"dz .
Całka powierzchniowa niezorientowana (nieskierowana) w polu skalarnym f (P) = f (x, y, z)
n
j
+"+"f (P)�"dS = lim"f (Pj ) �""S , +"+"f (P)�"dS =+"+"f (P)�" N dG .
def
0
j=1
(S ) S G

Całka powierzchniowa zorientowana (skierowana) w polu wektorowym F(P) = [X (P), Y(P), Z(P)]

n

j
+"+"F (P)odS = lim"F (Pj)o"S , +"+"FodS =+"+"FoN dG .
def
0
j=1
(S ) S G
Uwaga: � oznacza iloczyn skalarny wektorów. Całki po prawej stronie to zwykłe całki podwójne.
Jeśli płat S mo\
na opisać równaniem (6) z = z(x, y) , to w funkcji podcałkowej trzeba to pod-
stawić w miejsce z. Wtedy te\
ró\
niczka pola dG = dx �"dy (patrz tabela poni\
ej).
Przypadek płata powierzchni S danego w postaci jawnej
Równanie Wektor Moduł wektora Ró\
niczka pola
płata powierzchni S prostopadły do S prostopadłego do S dG

2
"z "z �ł �ł2
"z "z
N = ą�ł- , - ,1łł
z = z(x, y) (6) N = ( ) + +1 dG = dx �"dy
�ł �ł
�ł śł
"x "y
"x "y
�ł �ł
�ł łł

"x "xłł �ł �ł2 +("x 2 +1
"x
N = ą�ł1, - , -
x = x(y, z) (7) N = ) dG = dy �"dz
�ł �ł
�ł śł
"y "z
�ł �ł "y "z
�ł łł

"y "y
łł
"y "y
�ł �ł2 + �ł �ł2 +1
N = ą�ł- , 1, -
y = y(x, z) (8) N = dG = dx �"dz
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
"x "z
�ł �ł "x "z
�ł łł �ł łł
Przypadek płata powierzchni S danego w postaci uwikłanej
Wektor Moduł wektora Ró\
niczka pola
Równanie
prostopadły do S prostopadłego do S dG
płata S
2 2
H (x, y, z) = 0
�ł"H "H "H łł
"H
�ł �ł
dG = dx �"dy
N = ą , ,
N = H,'x H,'z �ł + H,'y H,'z �ł +1
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
"x "y "z "z
gdy "H/"z `" 0 �ł łł �ł łł
�ł �ł
Podobne wzory zachodzą dla przypadków "H/"x `" 0 oraz "H/"y `" 0 .
Przypadek płata powierzchni S danego w postaci parametrycznej
Równanie Wektory styczne do S Wektor Ró\
niczka pola
płata powierzchni S (niekolinearne) prostopadły do S
d&!
"y
�ł łł
"x "z

x = x(u,v)
�ł"u , "u , "u śł
"y "y
�ł łł �ł"x "z łł
"x "z
d&!= du �"dv
�ł �ł
N = , , � , ,
�ł"u "u "u śł �ł"v "v "v śł
y = y(u,v)
�ł �ł �ł �ł
"y
�ł"x , , "z łł
z = z(u,v)
�ł"v "v "v śł
�ł �ł
PRZYKA
AD 1. Płat w postaci parametrycznej: x = x , y = y , z = z(x, y) ma wektor prostopadły:

"y "y
�ł"x "z łł �ł"x "z łł �ł łł �ł0, "z łł �ł- "z "z
"z
N = , , � , , = 1, 0, � 1, = , - , 1łł (por. wzór 6 w tabeli).
�ł"x "x "x śł �ł"y "y "y śł �ł śł �ł śł �ł śł
"x "y "x "y
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
PRZYKA
AD 2. Sfera x2 + y2 + z2 = a2 w postaci parametrycznej.
x = a sin(Ń) cos(�) , y = a sin(Ń)sin(�) , z = a cos(Ń) , obszar &! = {0 d" � d"2Ą , 0 d" Ń d" Ą}:
ma wektor prostopadły:

"y "y
�ł łł �ł łł
"x "z "x "z
N = , , � , , =
�ł"Ń "Ń "Ń śł �ł"� "� "� śł
�ł �ł �ł �ł
= [a cos(Ń)cos(�), a cos(Ń)sin(�), - a sin(Ń)]�[- asin(Ń)sin(�), a sin(Ń)cos(�), 0]=

N = a2 sin(Ń)[sin(Ń)cos(�), sin(Ń)sin(�), cos(Ń)], N =| N |= a2 sin(Ń) .
Wektor ten skierowany jest na zewnątrz sfery.
dS = N d&!= N dŃ �"d� = a2 sin(Ń) dŃ �"d� ,
+"+"f (x, y, z) dS =+"+"f (x, y, z) �" a2 sin(Ń) dŃ d� ,
S &!
gdzie za x, y, z nale\
y wstawić równania sfery. Całka po prawej stronie to zwykła całka podwójna.
PRZYKA
AD 3. Walec x2 + y2 = a2 w postaci parametrycznej,
x = a cos(�) , y = a sin(�) , z = z , obszar &! = {0 d" � d"2Ą , z1 d" z d" z2}:
ma wektor prostopadły:

"y "y
�ł łł �ł"x "z łł
"x "z
N = , , � , , = [- asin(�), a cos(�), 0]�[0,0, 1]=
�ł"� "� "� śł �ł"z "z "z śł
�ł �ł �ł �ł

N = a[cos(�), sin(�), 0], N =| N |= a . Wektor ten skierowany jest na zewnątrz walca.
dS = N �"d&!= N �"d� �"dz = a�"d� �"dz ,
+"+"f (x, y, z) dS =+"+"f (x, y, z) �" a d� dz ,
S &!
gdzie za x, y, z nale\
y wstawić równania walca. Całka po prawej stronie to zwykła całka podwójna.
Operatory ró\
niczkowe
we współrzędnych kartezjańskich (x,y,z)
Operacje ró\
niczkowe najłatwiej zapisuje się przy pomocy peratora ró\
niczkowego

�ł łł
" " " " " "
nabla: " = , , = i + j + k .
�ł"x "y "z śł
"x "x "x
�ł �ł

�ł"u "u "u łł
Gradient funkcji skalarnej: grad u = " u = , , ,
�ł śł
"x "y "z
�ł �ł

�ł łł
" " " "X "Y "Z
Dywergencja pola wektorowego: div F = "oF = , , [ ,Y, Z]= + + ,
�ł"x "y "z śłoX
"x "y "z
�ł �ł

"2u "2u "2u
Laplasjan funkcji skalarnej: lapl u = "o" u = + + ,
"x2 "y2 "z2

" "łł�
Rotacja pola wektorowego: rot F = "� F =�ł" , , [X ,Y, Z],
�ł"x "y "zśł
�ł �ł
r r r
i j k
�ł"Z "Y "X "Z "Y "X łł
" " "
= = - , - , - .
�ł śł
"x "y "z "y "z "z "x "x "y
�ł �ł
X Y Z

Potencjałem pola wektorowego F(P) = [X (P), Y (P), Z(P)], gdzie punkt P ma współrzędne (x, y, z) ,

"u "u "u
nazywamy funkcję skalarną u(P) = u(x, y, z) taką, \
e grad u = F czyli = X , = Y , = Z .
"x "y "z

Pole wektorowe F = [X , Y, Z] jest potencjalne w obszarze jednospójnym wt. i t. wt. gdy rot F = 0 .
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń