Całki krzywoliniowe I i II rodzaju
Zad 1. Oblicz całki:

a) xy ds, gdzie L jest obwodem prostokąta o wierzchołkach (0, 0), (0, 2), (4, 2) i (4, 0);
L

b) (x2 + y2)n ds, gdzie L jest okręgiem o promieniu a;
L
z2
c) ds, gdzie L jest linią śrubową: x = a cos t, y = a sin t, z = at, t " [0, 2Ą].
x2 + y2
L
Zad 2. Oblicz masę krzywej:
a) L jest ćwiartką elipsy (x, y e" 0), � = y;
b) L jest opisana równaniami x = et cos t, y = et sin t, z = et, t " [0, �], a � jest proporcjonalne
do odwrotności odległości od początku układu i �(1, 0, 1) = 1.

Zad 3. Oblicz całki: a) (x2 - y2)dx, L  fragment paraboli y = x2 od (0, 0) do (2, 4);
L

(1,1)
b) xydx + (y - x)dy wzdłuż 1) y2 = x, 2) y = x3;
(0,0)
(Ą,2Ą)
c) -x cos ydx + y sin xdy.
(0,0)
Zad 4. Oblicz pola powierzchni figur wyciętych krzywymi:
a) kardioida (x = 2a cos t - a cos 2t, y = 2a sin t - a sin 2t);
b) (x + y)3 = xy, wskazówka: y = xt.
Zad 5. Wyznacz funkcję na podstawie jej różniczki:
a) du = x2dx + y2dy;
b) du = (2x cos y - y2 sin x)dx + (2y cos x - x2 sin y)dy;
2x(1 - ey)dx + ey(1 + x2)dy
c) du = .
(1 + x2)2