Całka powierzchniowa. funkcji skalarnej
Niech będą dane w przestrzeni Oxyz: płat powierzchniowy (S) określony równaniem
z = z(x, y) (x, y) (G)
gdzie z(x, y) jest funkcją klasy C1 w obszarze regularnym domkniętym (G) oraz funkcja f, która
każdemu punktowi P = (x, y, z) płata (S) przyporządkowuje liczbę
f(P) = f (x, y, z)
Zakładamy, że funkcja f jest ograniczona na (S).
Całka powierzchniowa funkcji f po płacie (S) jest oznaczana symbolami
(S) - powierzchnia całkowania, f (P) - funkcja podcałkowa, P = (x, y, z) - punkt przebiegający
powierzchnię całkowania, dS - różniczka pola płata.
Dzielimy obszar (G) na elementy . W każdym elemencie obieramy argument (xi, yi).
Każdemu argumentowi odpowiada na płacie punkt
Pi = (xi, yi z (xi, yi))
i płaszczyzna styczna w tym punkcie do płata, a na tej płaszczyz
nie element styczny , którego
rzutem na płaszczyznę Oxy jest element
- każdemu punktowi Pi, odpowiada pewna wartość funkcji f (Pi);
- wartość funkcji f (Pi) mnożymy przez pole elementu stycznego , i tworzymy sumę takich
iloczynów
Całkę powierzchniową definiujemy jako granicę tej sumy, gdy (największa ze średnic
elementów stycznych).
Sens geometryczny. Jeśli f (P) = 1 wszędzie na (S), to powyższa całka jest polem płata (S)
Sens fizyczny. Jeśli (S) jest płatem materialnym, a oznacza gęstość w dowolnym punkcie
P płata, to całka
jest masą płata.
Obliczenie całki powierzchniowej funkcji skalarnej
Jeśli funkcja f punktu P = (x, y, z) jest ciągła i ograniczona na płacie (S) o równaniu
z = z(x, y) (x, y) (G)
to całka powierzchniowa funkcji f po płacie (S) istnieje i zachodzi równość