ZAKA
AD OCHRONY I KSZTAA
TOWANIA
ÅšRODOWISKA
WYDZIAA
INŻYNIERII ŚRODOWISKA
PRZEDMIOT: HYDROLOGIA
PROWADZ
CY: dr inż. Bogdan Ozga-Zieliński
Dla: Inżynieria Środowiska sem. III
ĆWICZENIA AUDYTORYJNE: 7
TEMAT : Przepływy maksymalne roczne o określonym
prawdopodobieństwie przewyższenia.
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych
Przepływy główne II rzędu
WWQ
SWQ
ZWQ
NWQ
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych
Przepływy główne II rzędu
Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
WWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
SWQ
ZWQ
NWQ
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych
Przepływy główne II rzędu
Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
WWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
SWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
ZWQ
NWQ
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych
Przepływy główne II rzędu
Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
WWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
SWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
ZWQ
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5
NWQ
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych
Przepływy główne II rzędu
Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
WWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
SWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
ZWQ
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5
Najmniejszy zaobserwowany przepływ maksymalny roczny
NWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych
Przepływy główne II rzędu
Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
WWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
SWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
ZWQ
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5
Najmniejszy zaobserwowany przepływ maksymalny roczny
NWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Informacja ta jest niewystarczająca  szczególnie w odniesieniu do WWQ
Nie ma żadnej pewności co do możliwości wystąpienia takiego (lub bardziej
katastrofalnego) zdarzenia w przyszłości.
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych
Przepływy główne II rzędu
Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
WWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
SWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
ZWQ
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5
Najmniejszy zaobserwowany przepływ maksymalny roczny
NWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Najprostsze oszacowanie: Pr(WQN+1 >= WWQ) = 1/(N+1)
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Najprostsze charakterystyki przepływów maksymalnych rocznych
Przepływy główne II rzędu
Największy przepływ maksymalny roczny zaobserwowany
WWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Średnia wartość przepływów maksymalnych rocznych
SWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Mediana - wartość przekroczona z prawdopodobieństwem
ZWQ
p = 0.5 i nie przekroczona z prawdopodobieństwem q =0.5
Najmniejszy zaobserwowany przepływ maksymalny roczny
NWQ
w ciÄ…gu N lat obserwacji.
Najprostsze oszacowanie: Pr(WQN+1 >= WWQ) = 1/(N+1)
Wniosek: Trzeba zastosować metody statystyczne do analizy własności losowych
przepływów maksymalnych rocznych WQi (i =1, 2, & , N)
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Niejednorodność ciągów pomiarowych
Qmax
Wykrywana metodami Wykrywana metodami
genetycznymi statystycznymi
t
Aprioryczna Pomiarowa Czasowa
(eksperymentu)
Q
Ps
H
t
Zima
0
Wezbranie roztopowe
P Q
Qmax
t
Lato
t
t
Wezbranie deszczowe Zbudowanie zapory
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Ciągi przepływów maksymalnych rocznych pory zimowej i pory letniej
Rzeka: WISA
OK Wodowskaz: RZESZÓW
1953-2006 (54 lata obserwacji)
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Analiza własności losowych przepływów maksymalnych rocznych
pory zimowej
Dla przepływów maksymalnych rocznych pory letniej analiza przeprowadzona będzie
w ten sam sposób.
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Analiza własności losowych przepływów maksymalnych rocznych
pory zimowej (zmienna losowa X)
Konwencja oznaczeń
xi - Przepływ maksymalny roczny pory zimowej zaobserwowany w roku i
(i = 1, 2, & , N)
xm - Przepływ maksymalny roczny pory zimowej jako element o numerze
m (m = 1, 2, & , N) w uporzÄ…dkowanym nierosnÄ…co ciÄ…gu
x1 e" x2 e" ... e" xm e" ... e" xN
Dla przepływów maksymalnych rocznych pory letniej będą to odpowiednio
symbole y oraz ym
i
Dla przepływów maksymalnych rocznych bez względu na genezę będą to
odpowiednio symbole z oraz zm
i
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Analiza własności losowych przepływy maksymalnych rocznych
pory zimowej (zmienna losowa X)
N = 54
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Histogram gęstości przepływów maksymalnych rocznych
n
g =
0.006
"xN
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 100 200 300 400 500
x
N = 54
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Histogram gęstości przepływów maksymalnych rocznych
n
g =
0.006
"xN
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 100 200 300 400 500
x
N = 54
g çÅ‚N
çÅ‚" f (x)
çÅ‚
"x0
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Histogram i funkcja gęstości przepływów maksymalnych rocznych
n
g =
0.006
"xN
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 100 200 300 400 500
x
N = 54
f (x)
Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
g çÅ‚N
çÅ‚" f (x)
çÅ‚
zmiennej losowej X
"x0
x
0 100 200 300 400 500
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Histogram i funkcja gęstości przepływów maksymalnych rocznych
n
g =
0.006
"xN
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 100 200 300 400 500
x
N = 54
f (x)
Model teoretyczny dla wszystkich
Funkcja gęstości
możliwych wartości przepływów
prawdopodobieństwa
maksymalnych rocznych
zmiennej losowej X
(populacji generalnej)
x
0 100 200 300 400 500
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Histogram i funkcja gęstości przepływów maksymalnych rocznych
n
g =
0.006
n
"xN
g"x = = Pr(100 d" X < 200)
0.005
N
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 100 200 300 400 500
x
N = 54
f (x)
x
0 100 200 300 400 500
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Histogram i funkcja gęstości przepływów maksymalnych rocznych
n
g =
0.006
n
"xN
g"x = = Pr(100 d" X < 200)
0.005
N
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 100 200 300 400 500
x
N = 54
f (x)
x=200
Pr(100 d" X < 200) = f (x)dx
+"
x=100
x
0 100 200 300 400 500
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia
n
g =
0.006
"xN
"g"x = Pr(X e" 100)
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 100 200 300 400 500
x
N = 54
f (x)
+"
Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia
Pr(X e" 100) = f (x)dx
+"
zmiennej losowej X
x=100
+"
Pr( X e" x) = p(x) = f (x)dx
+"
x
x
0 100 200 300 400 500
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia
n
g =
0.006
"xN
"g"x = Pr(X e" 100)
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
0 100 200 300 400 500
x
N = 54
f (x)
+"
UWAGA!
Pr(X e" 100) = f (x)dx
Dla zmiennej losowej typu ciągłego
+"
x=100
Pr( X = x) = 0
ale zdarzenie to nie jest niemożliwe!
x
0 100 200 300 400 500
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Przykłady teoretycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa
Rozkład gamma GA (Pearsona III typ)
(x - d) -1 x - d
öÅ‚
f (x) = expëÅ‚-
ìÅ‚ ÷Å‚

Ä… “() Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚
Zakres zmienności: X e" d
Parametry: Ä… > 0  > 0
f (x)
“() - funkcja gamma Eulera

Ä…
d
x
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Przykłady teoretycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa
Rozkład Weibulla WE (Fishera-Tippetta III typ min.)
-² -²
f (x) = ²Ä… (x - d)² -1 exp[-Ä… (x - d)² ]
Zakres zmienności: X e" d
f (x)
Parametry: , ² > 0
Ä… > 0
²
Ä…
d
x
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Przykłady teoretycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa
Rozkład log-normalny LN
2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 ln(x - d) - µ
ëÅ‚ öÅ‚
f (x) = expïÅ‚-
ìÅ‚ ÷Å‚
śł
2 Ã
2Ä„ (x - d)à íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zakres zmienności: X e" d
f (x)
µ > 0
à > 0
Parametry: ,
Ã
µ
d
x
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Przykłady teoretycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa
Rozkład log-gamma LG (log-Pearsona III typ)
(ln x - ln d) -1 ln x - ln d
öÅ‚
f (x) = expëÅ‚-
ìÅ‚ ÷Å‚

Ä… “()x Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚
Zakres zmienności: X e" d
f (x)
Parametry: Ä… > 0  > 0
, Ä…
“() - funkcja gamma Eulera
d, Ä…
d
x
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Podziałka prawdopodobieństwa
Qmax, p [m3 / s]
600
LG
LN
500
400
300
GA
WE
200
100
p [%]
0
100 99.9 98 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8 6 4 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory zimowej w przekroju Sucha na Skawie
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Podziałka prawdopodobieństwa
Qmax, p [m3 / s]
600
LG
LN
500
Punkty empirycznego rozkładu
prawdopodobieństwa przewyższenia.
UporzÄ…dkowanym w ciÄ…g nierosnÄ…cy
400
przepływom maksymalnym rocznym
przyporzÄ…dkowuje siÄ™ empiryczne
prawdopodobieństwo przewyższenia
300
m
Ć
pm,N =
GA
N +1
WE
200
100
p [%]
0
100 99.9 98 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8 6 4 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory zimowej w przekroju Sucha na Skawie
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Podziałka prawdopodobieństwa
Qmax, p [m3 / s]
600
LG
LN
500
400
300
GA
WE
200
Zakres obserwacji
i interpolacji
100
Zakres ekstrapolacji
p [%]
0
100 99.9 98 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8 6 4 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory zimowej w przekroju Sucha na Skawie
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Podziałka prawdopodobieństwa
Qmax, p [m3 / s]
600
LG
LN
500
Najbardziej wiarygodna funkcja
prawdopodobieństwa przewyższenia
wybrana na podstawie trzech kryteriów:
400
1. Test zgodnoÅ›ci Ç2 Pearsona
2. Minimalna odległość Kołmogorowa
3. Kryterium informacyjne Akaike
300
GA
WE
200
100
p [%]
0
100 99.9 98 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8 6 4 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory zimowej w przekroju Sucha na Skawie
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Podziałka prawdopodobieństwa
Qmax, p [m3 / s]
4000
LG
3000
2000
LN
1000
GA
WE
0 p [%]
100 99.9 98 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8 6 4 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory letniej w przekroju Sucha na Skawie
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Podziałka prawdopodobieństwa
Qmax, p [m3 / s]
4000
LG
Najbardziej wiarygodna funkcja
prawdopodobieństwa przewyższenia
3000
wybrana na podstawie trzech kryteriów:
1. Test zgodnoÅ›ci Ç2 Pearsona
2. Minimalna odległość Kołmogorowa
3. Kryterium informacyjne Akaike
2000
LN
1000
GA
WE
0 p [%]
100 99.9 98 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8 6 4 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
Funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory letniej w przekroju Sucha na Skawie
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Przepływy miarodajne
Zasady projektowania i eksploatacji urządzeń wodnych w randze
Rozporządzeń Ministra zalecają stosowanie przepływów miarodajnych Qm
jako przepływów maksymalnych rocznych Qmax,p o określonym
prawdopodobieństwie przewyższenia p bez względu na ich genezę.
RozporzÄ…dzenie Ministra Åšrodowiska
z dn. 20 kwietna 2007 r.
w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać budowle
hydrotechniczne i ich usytuowanie.
Dz.U. Nr 86 poz. 579, z 2007 r.
http://www.abc.com.pl/serwis/du/2007/0579.htm
RozporzÄ…dzenie Ministra Transportu i Gospodarki Morskiej
z dn. 30 maja 2000 r.
w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać drogowe obiekty
inżynierskie i ich usytuowanie.
Dz.U. Nr 63 poz. 735, z 2000 r.
http://www.abc.com.pl/serwis/du/2000/0735.htm
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Metoda obliczeń (wprowadzenie)
PROBLEM
Jak obliczyć funkcję prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów
maksymalnych rocznych pR(z) (bez względu na ich genezę) mając
określoną funkcję prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów
maksymalnych rocznych pory zimowej pZ(x) i funkcjÄ™
prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory letniej pL(y)?
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Metoda obliczeń (wprowadzenie)
PROBLEM
Jak obliczyć funkcję prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów
maksymalnych rocznych pR(z) (bez względu na ich genezę) mając
określoną funkcję prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów
maksymalnych rocznych pory zimowej pZ(x) i funkcjÄ™
prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych
rocznych pory letniej pL(y)?
Aby to wyjaśnić skorzystamy z prostego przykładu w odniesieniu do
zmiennej losowej typu dyskretnego.
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Metoda obliczeń (wprowadzenie)
Q [m3/s] Rzeka: Skawa Wodowskaz: Sucha Rok: 1995
Qmax,L
Qmax,Z
x = Qmax,Z
y = Qmax,L
z = Qmax,R
z = max(x, y)
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Metoda obliczeń (wprowadzenie)
Q [m3/s] Rzeka: Skawa Wodowskaz: Sucha Rok: 1995
Qmax,L
Qmax,Z
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut jednÄ… kostkÄ…
Zbiór zdarzeń elementarnych
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
P(X = k)
P(X e" k)
k
6 1/6 1/6
5 1/6 2/6
4 1/6 3/6
3 1/6 4/6
2 1/6 5/6
1 1/6 6/6
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
P(Z e" k)
P(Z = k)
k
6
5
4
z = max(k1, k2)
3
2
1
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
P(Z e" k)
P(Z = k)
k
6 11/36 11/36
5
4
z = max(k1, k2)
3
2
1
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
P(X e" k)
P(X = k)
k
6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4
z = max(k1, k2)
3
2
1
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
P(X e" k)
P(X = k)
k
6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
z = max(k1, k2)
3
2
1
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
P(X e" k)
P(X = k)
k
6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
z = max(k1, k2)
3 5/36 32/36
2
1
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
P(X e" k)
P(X = k)
k
6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
z = max(k1, k2)
3 5/36 32/36
2 3/36 35/36
1
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
P(X e" k)
P(X = k)
k
6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
4 7/36 27/36
z = max(k1, k2)
3 5/36 32/36
2 3/36 35/36
1 1/36 36/36
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 6)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
p1(4) =18/ 36
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 6)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
p2(4) =18/ 36
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 6)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
p1(4) + p2(4) =18/ 36 +18/ 36 =1
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 6)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
Obszar podwojonego
prawdopodobieństwa
p1(4) + p2 (4) = 1
koniunkcji zdarzeń
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (przykład dla k = 4)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 6)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
Pr(k e" 4) = 18 / 36 +18 / 36 - 9 / 36 = 27 / 36
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (metoda alternatywy zdarzeń)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
P(Z e" k)
P(X = k)
k
6 11/36 11/36
5 9/36 20/36
Sprawdz
wynik!
4 7/36 27/36
z = max(k1, k2)
3 5/36 32/36
2 3/36 35/36
1 1/36 36/36
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Rzut dwiema kostkami (uogólnienie)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 6)
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
p(4) = p1(4) + p2(4) - p1(4) p2(4)
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Prawdopodobieństwo przewyższenia przepływów maksymalnych rocznych
bez względu na ich genezę (metoda alternatywy zdarzeń)
Wniosek:
pR(z) = pZ(z)+pL(z)-pZ(z)pL(z)
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Wyniki obliczeń
Qmax, p [m3 / s]
1000
P = 84%
Ä…
800
WE-WE
600
400
200
0 p [%]
100 99.9 98 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8 6 4 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
Metoda alternatywy zdarzeń. Przekrój Sucha na Skawie.
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Interpretacja wyników obliczeń
Qmax, p [m3 / s]
1000
P = 84%
Ä…
+ "
800
WE-WE
600
Qmax,1%
400
200
0 p [%]
100 99.9 98 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8 6 4 2 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
Metoda alternatywy zdarzeń. Przekrój Sucha na Skawie.
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Średni okres powtarzalności zdarzenia
Qmax,1% - potocznie  woda stuletnia
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na osiągnięciu lub przekroczeniu
wartości Q wynosi p = 0.01
max,1%
Zgodnie z częstotliwościową interpretacją prawdopodobieństwa, zdarzenie to
zachodzi jeden raz na sto zaobserwowanych zdarzeń przepływów maksymalnych
rocznych, a więc jeden raz na sto lat obserwacji
Średni okres powtarzalności zdarzenia wynosi więc
1
T = [lata]
p
Jest to średni (przeciętny), a nie dokładny okres powtarzalności zdarzenia
HYDROLOGIA
Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia
Średni okres powtarzalności zdarzenia  niektóre możliwe przypadki
Qmax,1%
100 lat 100 lat 100 lat
Qmax,1%
100 lat 100 lat 100 lat
Qmax,1%
100 lat 100 lat 100 lat
ĆWICZENIA AUDYTORYJNE: 8
TEMAT : Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady.
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływy konwencjonalne
Przepływy konwencjonalne są ustalane na różne potrzeby związane
z wykorzystaniem i ochroną zasobów wodnych bądz
ograniczeniem
szkodliwego działania wód.
Nazwa, definicja, symbol oznaczenia oraz metoda wyznaczania
każdego z tych przepływów są przedmiotem konwencji (umowy).
Lista przepływów konwencjonalnych jest całkowicie otwarta.
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ dozwolony
Przykład nazwy, definicji i przyjętego symbolu oznaczenia:
RozporzÄ…dzenie Ministra Åšrodowiska
z dn. 17 sierpnia 2006 r.
w sprawie zakresu instrukcji gospodarowania wodÄ….
Dz.U. Nr 150 poz. 1087, z 2006 r.
http://www.abc.com.pl/serwis/du/2006/1087.htm
ż 1. Ilekroć w rozporządzeniu jest mowa o:
17) przepływie dozwolonym - rozumie się przez to przepływ poniżej
budowli piętrzącej, który nie powoduje szkód powodziowych na
terenach poniżej tej budowli;
ż 2. W instrukcji należy posługiwać się następującymi oznaczeniami:
9) dla przepływu dozwolonego - Qdoz;
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ dozwolony
Wartość przepływu dozwolonego - w przypadku terenów
zagospodarowanych o bogatej infrastrukturze - ustala siÄ™ w
zależności od warunków lokalnych za pomocą modelowania
matematycznego obszarów zalewu przy różnych wartościach
natężenia przepływu poniżej urządzenia wodnego.
Wartość przepływu dozwolonego - w przypadku terenów
niezagospodarowanych, pozbawionych infrastruktury - ustala siÄ™ w
przybliżony sposób jako:
lub
Qdoz = SWQ Qdoz = Qmax,50%
Obszar zatapiany przy takiej wartości natężenia przepływu określa
się jako strefę stałego zagrożenia powodziowego.
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ nienaruszalny
Przykład rozszerzonej definicji:
Encyklopedia Ramowej Dyrektywy Wodnej.
http://www.rdw.org.pl/
Przepływ nienaruszalny - jest to umowny (w danym przekroju cieku i dla
danego okresu roku) właściwy dla założonego ekologicznego stanu cieku,
przepływ, którego wielkość i jakość, ze względu na zachowanie tego
stanu, nie mogą być, a ze względu na instytucję powszechnego
korzystania z wód, nie powinny być, z wyjątkiem okresów zagrożeń
nadzwyczajnych, obniżane poprzez działalność człowieka. Dla części
przepływu nienaruszalnego związanej z koniecznością zachowania
założonego ekologicznego stanu cieku przyjęto nazwę przepływ
nienaruszalny hydrobiologiczny (przepływ hydrobiologiczny).
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ nienaruszalny
Przykład unormowania sposobu wyznaczania wartości:
RozporzÄ…dzenie Ministra Åšrodowiska
z dnia 28 kwietnia 2004 r.
w sprawie zakresu i trybu opracowania planów gospodarowania wodami na obszarach
dorzeczy oraz warunków korzystania z wód regionu wodnego.
Dz. U. Nr 126 poz. 1318
2.5. Hydrograficzne charakterystyki obszaru dorzecza
9. Wielkością przepływu wód zabezpieczającą założony stan ekologiczny
cieku regionu wodnego jest przepływ nienaruszalny. Wielkość tego
przepływu jest wyznaczana wg metody Kostrzewy, z uwzględnieniem
kryterium hydrobiologicznego i rybacko-wędkarskiego (przeżywalności
ryb), lub wg metody małopolskiej. Wielkości przepływów
nienaruszalnych są określane na podstawie wielkości przepływów wody.
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ nienaruszalny metoda Kostrzewy
Kostrzewa H., 1977. Weryfikacja kryteriów i wielkości przepływu nienaruszalnego dla
rzek Polski. Materiały Badawcze IMGW, Warszawa
Podstawowymi kryteriami określania przepływu nienaruszalnego, któremu
jakościowo odpowiadają wody pierwszej i drugiej klasy czystości są:
" przesłanki hydrobiologiczne warunkujące zachowanie
podstawowych form flory i fauny, charakterystycznych dla
środowiska wodnego rzek Qnh,
" wymagania rybacko wędkarskie (kryterium przeżywalności ryb) Qnr,
" ochrona obiektów przyrodniczych o charakterze parków
narodowych i rezerwatów oraz zachowanie piękna krajobrazu Qnop,
" wymagania rzecznej turystyki wodnej Qnt.
Najistotniejsze znaczenie dla większości rzek w Polsce mają dwa pierwsze
kryteria.
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ nienaruszalny hydrobiologiczny
(uproszczona metoda Kostrzewy  parametryczna)
Ustalenie typu hydrologicznego rzeki na podstawie wartości średniego
spływu jednostkowego
SSQ
qSSQ = 1000 [ls-1km-2]
A
Średni spływ jednostkowy Typ hydrologiczny rzeki
qSSQ < 4.15 N - nizinny
4.15 d" qSSQ < 13.15 Pr,Pg  przejściowy i podgórski
qSSQ e" 13.15 G - górski
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ nienaruszalny hydrobiologiczny
(uproszczona metoda Kostrzewy  parametryczna)
Wyznaczanie wartości parametru k
Typ hydrologiczny Prędkość Powierzchnia Parametr
rzeki miarodajna [ms-1] zlewni A [km2] k
A < 1000 1.00
N 0.2
1000 d" A < 2500 0.58
A e" 2500 0.50
A < 500 1.27
500 d" A < 1500 0.77
Pr,Pg 0.25
1500 d" A < 2500 0.52
A e" 2500 0.50
300 d" A < 750 1.17
750 d" A < 1500 0.76
G 0.30
1500 d" A < 2500 0.55
A e" 2500 0.5
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ nienaruszalny hydrobiologiczny
(uproszczona metoda Kostrzewy  parametryczna)
kSNQ gdy kSNQ > NNQ
Å„Å‚
Qnh =
òÅ‚
NNQ gdy kSNQ d" NNQ
ół
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ nienaruszalny Qnr
(kryterium rybacko-wędkarskie w metodzie Kostrzewy)
Rzeki ryb Å‚ososiowatych
" Faza wędrówek tarłowych i rozrodu Qnr = SNQIII-IV, Qnr = SNQIX-XI
" Faza wzrostu Qnr = SNQV-VIII
" Faza przezimowania Qnr = SNQXII-II
Rzeki ryb nizinnych
" Faza wędrówek tarłowych i rozrodu Qnr = SNQIII-VI
" Faza wzrostu Qnr = SNQVII-XI
" Faza przezimowania Qnr = SNQXII-II
HYDROLOGIA
Przepływy konwencjonalne  wybrane przykłady
Przepływ nienaruszalny
(metoda Kostrzewy)
Przykład dla wodowskazu Sól na Sole (typ hydrologiczny górski, A = 54.2 km2)
Qnh = 0.122
Qnr dla ryb nizinnych
XI XII I II III IV V VI VII VIII IX X
0.122 0.040 0.040 0.040 0.148 0.148 0.148 0.148 0.122 0.122 0.122 0.122
Qnr dla ryb Å‚ososiowatych
XI XII I II III IV V VI VII VIII IX X
0.123 0.040 0.040 0.040 0.359 0.359 0.122 0.122 0.122 0.122 0.123 0.123
SSQ1974-93 = 1.02 m3/s SNQ1974-93 = 0.076 m3/s NNQ1974-93 = 0.030 m3/s
DZI
KUJ
ZA UWAG