v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 46
III. Metoda przemieszczeń
31. Przywęzłowe momenty wyjściowe metody przemieszczeń
Zestawienie momentów utwierdzenia   momentów wyjściowych w belkach, przy różnych schematach
obciążenia (lewa kolumna  obustronne utwierdzenie, prawa kolumna  jednostronne utwierdzenie),
na rysunkach pokazano rzeczywiste zwroty momentów przywęzłowych. Warto odnieść je sobie do dodat-
nich momentów przyjmowanych zgodnie z konwencją znaków metody przemieszczeń.
Uwaga:
Wyjściowe siły tnące można wyznaczyć każdorazowo z warunków równowagi pręta.
Rys. 31.1. Wyjściowe momenty przywęzłowe metody przemieszczeń
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 47
32. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 32.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M.
Zadanie rozwiązać metodą przemieszczeń.
Rys. 32.1. Dany układ prętowy z obciążeniem
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny ng = n� = 1.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  schemat geometrycznie wyznaczalny po wprowa-
dzeniu fikcyjnego więzu w węz
le (1)  z przyłożonym obciążeniem zewnętrznym przedstawiono na ry-
sunku 32.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych od danego obciąże-
nia.
Rys. 32.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe (wywołane obciążeniem zewnętrznym):
3�" 42 3�" 42
0 0
M1C = - = -4 [kNm] , MC1 = = 4 [kNm]
12 12
3
0
M1B = �"16�"3 = 9 [kNm] .
16
Momenty przywęzłowe w UPMP wywołane wymuszeniem  kątem obrotu � = 1 węzła (1).
Rys. 32.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia � = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe (od obciążenia zewnętrznego i obrotu w węz
le):
M1A = 2EI� , M1B = 9 + EI� , M1C = -4 + 2EI� , MC1 = 4 + EI� .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 48
Niewiadomą metody przemieszczeń, kąt obrotu � węzła 1, obliczymy z równania równowagi  zerowa-
nia się reakcji w fikcyjnym więzie. Równanie to można tu rozumieć jako zerowania się sumy momentów
w przekrojach przywęzłowych prętów wychodzących z węzła (1) ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0 .
1
Stąd 5 + 5EI� = 0 �! � = - .
EI
Podstawiając za � rzeczywistą wielkość wyznaczymy wartości momentów przywęzłowych:
1 1
�ł �ł
M1A = -2EI �" = -2 [kNm] , M1B = 9 + EI - = 8 [kNm] ,
�ł �ł
EI EI
�ł łł
1 1
�ł �ł �ł �ł
M1C = -4 + 2EI - = -6 [kNm] , MC1 = 4 + EI - = 3 [kNm] .
�ł �ł �ł �ł
EI EI
�ł łł �ł łł
Wykresy sił przywęzłowych najłatwiej sporządzić analizując równowagę każdego elementu osobno.
Rys. 32.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi wraz z wyznaczonymi siłami poprzecznymi
Powyższy schemat umożliwia sporządzenie wykresów sił tnących i momentów zginających.
Celem sporządzenia wykresu sił normalnych zapisujemy równania równowagi wyciętego węzła (1).
Rys. 32.5. Sprawdzenie warunku równowagi sił normalnych i tnących w węz
le (1)
N1A = 0 ,
= 0 �! N1B = -6,75 + 0,667 = -6,0833 [kN] ,
"Py
=0 �! N1C = -10,667 [kN ] .
"Px
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 49
Rys. 32.6. Wykresy sił wewnętrznych
33. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 33.1. Sporządzić wykresy momentów zginających.
Rys. 33.1. Dany układ ramowy z obciążeniem
Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny ng = n� = 2 , (�1,�2 ) .
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  schemat geometrycznie wyznaczalny po wprowa-
dzeniu fikcyjnych więzów w węzłach (1) i (2)  z przyłożonym obciążeniem zewnętrznym przedstawiono
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 50
na rysunku 33.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych od danego
obciążenia.
Rys. 33.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
0
M13 = 2 [kNm] ,
8�" 4
0 0
M1A = = 4 [kNm] , M = -4 [kNm] ,
A1
8
3�" 42
0 0
M12 = - = -4 [kNm] , M21 = 4 [kNm]
12
Przywęzłowe momenty zginające w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane jednostkowymi
wymuszonymi kątami obrotu �1 i �2 , odpowiednio węzłów (1) i (2) (patrz rys. 33.3).
M13 = 2 ,
1
M1A = 4 + EI�1 , M = -4 + EI�1 ,
A1
2
M12 = -4 + 2EI�1 + EI�2 , M21 = 4 + EI�1 + 2EI�2 ,
M2B = EI�2 ,
M2C = 4EI�2 , MC 2 = 2EI�2
Rys.33.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia �1 = 1 i �2 = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Równania zerowania się reakcji w fikcyjnych więzach  równania równowagi, zapisano poniżej
2
ŁM1 = M1A + M12 + M13 = 0 �! 2 + 3EI�1 + EI�2 = 0 �! 3�1 +�2 = - (węzeł 1)
EI
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 51
4
ŁM2 = M21 + M2B + M2C = 0 �! 4 + EI�1 + 7EI�2 = 0 �! �1 + 7�2 = - (węzeł 2)
EI
Z rozwiązania powyższego układu równań kanonicznych metody przemieszczeń otrzymamy
1
�1 = �2 = - .
2EI
Wartości momentów przywęzłowych otrzymujemy z superpozycji trzech stanów obciążenia:
M13 = 2 [kNm] ,
M1A = 4 + 0,5 = 3,5 [kNm] , M = -4 - 0, 25 = -4, 25 [kNm] ,
A1
M12 = -4 -1- 0,5 = -5,5 [kNm] , M21 = 4 - 0,5 -1 = 2,5 [kNm] ,
M2B = -0,5 [kNm] ,
M2C = -2 [kNm] , MC 2 = -1[kNm] .
Wyznaczenie wykresu momentów zginających.
Rys.33.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi oraz wykres momentów zginających
34. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 34.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M
dla układu poddanego nierównomiernemu ogrzaniu pręta (A-1). Dane: "t = td - tg = 40 [ C] ,
ąt = 10-5[deg-1] , EI = 2000 [kNm2] , h = 0, 2 [m] .
Rys. 34.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym (temperatura)
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 52
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny. ng = n� = 1.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  schemat geometrycznie wyznaczalny po wprowa-
dzeniu fikcyjnego więzu blokującego możliwość obrotu węzła 1  z momentami przywęzłowymi będą-
cymi skutkiem działania przyłożonego obciążenia zewnętrznego przedstawiono na rysunku 34.2, zazna-
czono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych od danego obciążenia.
Rys. 34.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
ąt"t 10-5 �" 40
0
M = -2,5EI = -5000�" = -10 [kNm] ,
A1
h 0, 2
0
M1A = 10 [kNm] .
Momenty przywęzłowe w UPMP wywołane jednostkowym wymuszeniem  kątem obrotu � = 1 węzła 1.
Rys. 34.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia � = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe
M1A = 10 + 2EI� , M = -10 + EI� ,
A1
M1B = EI� , MB1 = 0,5EI� ,
M1C = 2EI� .
Równanie zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie  równowagi ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 53
2
Stąd 10 + 5EI� = 0 �! � = - .
EI
Wartości momentów przywęzłowych po podstawieniu rzeczywistej wielkości �
M1A = 10 - 4 = 6 [kNm] , M = -10 - 2 = -12 [kNm] ,
A1
M1B = -2 [kNm] , MB1 = -1[kNm] ,
M1C = -4 [kNm]
Wyznaczenie wykresów.
Rys. 34.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi oraz równowaga w węz
le (1)
Rys. 34.5. Wykresy sił wewnętrznych
Siły normalne w elementach (1-A) i (1-B) obliczamy rozpatrując równowagę węzła (1).
ŁPX = 0 �! 0,75 - 0,72 + 0,8N1A = 0 �! N1A = -0,038 [kN ],
ŁPY = 0 �! 0,6N1A + 0,96 -1,333 - N1B = 0 �! N1B = -0,396 [kN] .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 54
35. Zadanie
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rysunku 35.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. Zadanie
rozwiązać metodą przemieszczeń a następnie sprawdzić metodą sił.
Rys. 35.1. Dana belka ciągła z obciążeniem zewnętrznym
Metoda przemieszczeń
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny ng = n� = 1.
Momenty wyjściowe są zerowe (brak obciążeń przęsłowych).
Momenty przywęzłowe pochodzące od kąta obrotu � = 1.
Rys. 35.2. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia � = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe: M1A = EI� , M1B = 0,75EI� .
Równanie równowagi.
Rys. 35.3. Równowaga w węz
le (1)
8
ŁM = M + M +14 = 0 �! 1,75EI� +14 = 0 �! � = -
1 1 A 1 B
EI
Wartości końcowych momentów przywęzłowych
M1A = -8 [kNm] , M1B = -6 [kNm] .
Wykresy
Rys. 35.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi  wykresy sił wewnętrznych
Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności układu n = 1 .
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił (UPMS) odrzucając więz wewnętrzny  powstaje przegub.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 55
Rys. 35.5. UPMS obciążony obciążeniem zewnętrznym oraz nadliczbową X1
Zakładamy, że obciążenie zewnętrzne (moment skupiony przyłożony w węz
le 1) działa po lewej stronie
przegubu powstałego po przyjęciu UPMS.
Stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 5.4.3.
Stan X1 = 1
Rys. 35.6. UPMS  wykresy momentów od obciążenia zewnętrznego oraz od jednostkowej nadliczbowej X1 = 1
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym
M0M1 1 1 2 14
�10 = ds = �" �"14�"6�" �"1 =
+"
EI 2EI 2 3 EI
L
- wywołane nadliczbową X1 = 1
M1M1 1 1 2 1 1 2 7
�11 = ds = �" �"6�"1�" �"1+ �" �" 4 �"1�" �"1 =
+"
EI 2EI 2 3 EI 2 3 3EI
L
�10
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 +�11X1 = 0 otrzymujemy X1 = - = -6 [kNm] .
�11
Rys. 35.7. Wyznaczenie wykresów sił wewnętrznych
36. Zadanie
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rysunku 36.1. Rozwiązać układ stosując metodę przemieszczeń.
Dane: "tA-B = td - tg = 20 [o C] , ąt = 10-5[deg-1] , h = 0,2 [m] , EI = 40000 [kNm2 ] .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 56
Rys. 36.1. Dana belka ciągła z obciążeniem (temperatura)
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny ng = n� = 1.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  schemat geometrycznie wyznaczalny po wprowa-
dzeniu fikcyjnego więzu w węz
le (B)  z momentem przywęzłowym będącym skutkiem działania przyło-
żonego obciążenia zewnętrznego przedstawiono na rysunku 36.2, zaznaczono rzeczywisty zwrot wyj-
ściowego momentu przywęzłowego od danego obciążenia.
Rys. 36.2. UPMP z zaznaczonym momentem przywęzłowym od obciążenia zewnętrznego
3 ąt"t 10-5 �" 20
0
Moment wyjściowy M = EI = 6000�" = 60 [kNm] .
BA
2 h 0, 2
Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowym wymuszeniem � = 1.
Rys. 36.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia � = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe: MBA = 60 + 0,6 �" EI� , MBC = EI� .
Równanie zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie  równanie równowagi w węz
le (1)
37,5
ŁMB = M + MBC = 0 �! 60 +1,6EI� = 0 �! � = - ,
BA
EI
Wartości momentów przywęzłowych po podstawieniu rzeczywistej wielkości � :
MBA = 60 - 22,5 = 37,5 [kNm] , MBC = -37,5 [kNm] .
Rys. 36.4. Układ obciążony momentami przywęzłowymi  wykresy sił wewnętrznych
37. Zadanie
Wyznaczyć siły wewnętrzne w układzie z rysunku 37.1 powstałe na skutek wmontowania pręta (A-1)
dłuższego o "l = 3 [cm] . Przyjąć EI = 1400 [kNm2 ] .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 57
Rys. 37.1. Dany układ ramowy obciążony wmontowaniem dłuższego pręta (A-1)
Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu ng = n� = 1.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP)  układ geometrycznie wyznaczalny.
Rys. 37.2. UPMP z zaznaczonym momentem przywęzłowym od obciążenia zewnętrznego
Moment wyjściowy
3�" EI 3�"1400
0
M1B = - �" "l = - �"0,03 = -14 [kNm]
32 32
Momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym powstałe na skutek wymuszenia obrotu
węzła o kąt � = 1.
Rys. 37.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia � = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
4 2
M1A = EI� , M1B = -14 + EI� , M = EI�
A1
3 3
Równanie równowagi ŁM1 = M1A + M1B = 0 ,
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 58
7 6
stąd -14 + EI� = 0 �! � = .
3 EI
Wartości momentów przywęzłowych:
4 2
M1A = �" 6 = 8 [kNm] , M1B = -14 + 6 = -8 [kNm] , M = �"6 = 4 [kNm] .
A1
3 3
Wyznaczenie wykresów
Rys. 37.5. Układ obciążony momentami przywęzłowymi  wykresy sił wewnętrznych
38. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 38.1. Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek
równomiernego ogrzania jednego z elementów o wielkość t0 względem temperatury montażu.
Dane: ąt = 10-5[deg-1] , EI = 10000 [kNm2] .
Rys. 38.1. Dany układ ramowy z obciążeniem (temperatura)
Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu ng = n� = 1 .
Swobodne wydłużenie termiczne elementu (1-B)
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 59
"lt = ąt �"t0 �"l = 10-5 �" 20�"3 = 6�"10-4 [m]
Układ podstawowy metody przemieszczeń (geometrycznie wyznaczalny).
Rys. 38.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
3�" EI 3�"10000
0
M1A = - �" "lt = - �"6�"10-4 = -2 [kNm] ,
32 32
6E �" 2I 6 �" 20000
0 0
M1C = MC1 = �" "lt = �"6 �"10-4 = 4,5 [kNm] .
16
42
Momenty przywęzłowe (wykonać rysunek):
3EI
M1A = -2 + � = -2 + EI� ,
3
3E �" 2I
M1B = � = 2EI� ,
3
4E �" 2I 2E �" 2I
M1C = 4,5 + � = 4,5 + 2EI� , MC1 = 4,5 + � = 4,5 + EI� .
4 4
Równanie równowagi ŁM = M + M + M = 0 .
1 1A 1B 1C
1
Stąd 2,5 + 5EI� = 0 �! � = - .
2EI
Wartości momentów przywęzłowych:
M1A = -2 - 0,5 = -2,5 [kNm] ,
M1B = -1[kNm] ,
M1C = 4,5 -1 = 3,5 [kNm] , MC1 = 4,5 - 0,5 = 4 [kNm]
Wyznaczenie wykresów.
Rys. 38.3. Układ obciążony momentami przywęzłowymi  wykresy sił wewnętrznych
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 60
39. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 39.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych M, T, N.
Rys.39.1. Dany ramowy prętowy z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny ng = n� = 1 .
Ponieważ jedynym obciążeniem jest moment skupiony przyłożony w węz
le, wyjściowe momenty przy-
węzłowe są zerowe.
Wpływ wymuszenia  kąt obrotu � = 1.
Rys. 39.2. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia � = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Momenty przywęzłowe pochodzące od kata obrotu � = 1:
1
M1A = EI� , M1B = 3EI� , M1C = EI� , MC1 = EI� .
2
Równanie równowagi wyciętego węzła (1)  suma momentów przywęzłowych oraz skupionego momentu
węzłowego jest równa zeru.
Rys. 39.3. Równowaga w węz
le (1)  zewnętrzny moment skupiony działa bezpośrednio na węzeł
ŁM1 = -M1A - M1B - M1C + M = 0 lub M1A + M1B + M1C = M
7
Stąd 5EI� - 35 = 0 �! � = .
EI
Możliwa jest także inna interpretacja.
Dodatkowy element (1-3) obciążony momentem skupionym M , w elemencie tym powstaje moment
wyjściowy M13 = -M .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 61
Rys. 39.4. Równowaga w węz
le (1)  inna interpretacja obciążenia momentem
Wartości momentów przywęzłowych:
M1A = 7 [kNm] ,
M1B = 21[kNm] ,
M1C = 7[kNm] , MC1 = 3,5 [kNm]
Wyznaczenie wykresów
Rys. 39.5. Układ obciążony momentami przywęzłowymi  wykresy sił wewnętrznych
Obliczenie sił normalnych w elementach (A-1) i (1-C).
Przyjmujemy że siła N1A jest rozciągająca, zaś siła N1C ściskająca.
Rys. 39.6. Analiza obciążenia pręta (A-1-C)
Równanie równowagi " Py = 0 �! N1A + N1C = 7 [kN ]
N1A �"3 N1C �" 4
Warunek zgodności przemieszczeń "l1A = "l1C �! = 3N1A = 4N1C
EA EA
Z powyższych równań otrzymamy N1A = 4 kN , N1C = 3 [kN] ,
[ ]
dodatkowo N1B = 2,625 - 2,333 = 0, 2917 [kN]
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 62
Rys. 39.7. Wykres sił normalnych
40. Zadanie
Dany jest układ ramowy  rysunek 40.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. Przyjąć EI=const.
Rys. 40.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny ng = n� + n" = 1+1 = 2 .
Układ podstawowy metody przemieszczeń  geometrycznie wyznaczalny.
Rys. 40.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
3�" 42
0 0
M = - = -4 [kNm], M1A = 4 [kNm] .
A1
12
W obliczeniach poniżej przyjmujemy EI=1.
Momenty zginające w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane jednostkowymi wymuszeniami
� = 1 i " = 1 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 63
Rys. 40.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia � = 1 i " = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
3 3
M = -4 + 0,5� - " , M1A = 4 +� - " ,
A1
8 8
M1B = � .
Poniżej zapisano odpowiednie równania równowagi.
1) Suma momentów w węz
le (1).
3
ŁM1 = M1A + M1B = 0 �! 2� - " + 4 = 0 �! 16� - 3" = -32 (równanie równowagi węzła  1)
8
2) Równowaga sił działających na wycięty element (1-B).
Rys. 40.4. Równowaga wyciętego elementu (1-B), zaznaczono siły przywęzłowe w pręcie (1-A)
Przywęzłowe siły tnące:
M + M1A
A1
T1A = + T10 , T10 = 6 (od obciążenia zewnętrznego);
A A
4
3 3
T1A = � - " + 6 .
8 16
Równanie równowagi
3 3
ŁPx = 0 �! T1A + 2 = 0 �! � - " + 8 = 0 �! 6� - 3" = -128 (równ. równ. rygla  2)
8 16
Równanie (2) można otrzymać inna drogą  tworząc układ przegubowy (mechanizm) i zadając w nim
przemieszczenie wirtualne "=1.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 64
Rys. 40.5. Układ przegubowy (mechanizm) służący do wyznaczenia równowagi pręta (1-B)
Równanie równowagi wyciętego elementu (1-B) = 0 �! T1A �"1+ 2 �"1 = 0 ,
"Px
T1A - od strony węzła (1).
M1A + M
A1
Po podstawieniu T1A = + 6 otrzymujemy równanie (2).
4
1 1
Do tego samego rezultatu można dojść wprowadzając wielkość kąta obrotu pręta (A-1): � = = i
A-1
h 4
zapisując równanie pracy wirtualnej
1
� �"(M1A + M ) + 2 �"1+ 3�" �"1�" 4 = 0 �! 6� - 3" = -128 . (równ. równ. rygla  2)
A-1 A1
2
Z układu równań (1) i (2) otrzymujemy � = 9,6 , " = 61,8667 .
Wartości momentów przywęzłowych:
M = -4 + 4,8 - 23, 2 = -22, 4 [kNm] , M1A = 4 + 9,6 - 23, 2 = -9,6 [kNm] ,
A1
M1B = -9,6 [kNm] .
Wyznaczenie sił przywęzłowych.
Rys. 40.6. Układ obciążony momentami przywęzłowymi
Wykresy sił wewnętrznych.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 65
Rys. 40.7. Wykresy sił wewnętrznych
41. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 41.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 41.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny ng = n� + n" = 2 +1 = 3 .
Rys. 41.2. UPMP z zaznaczonymi momentami przywęzłowymi od obciążenia zewnętrznego
Momenty wyjściowe:
12 �" 4
0 0
M = - = -6 [kNm] , M1A = 6 [kNm] .
A1
8
Momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane wymuszeniami: �1 = 1 ,
�2 = 1, " = 1 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 66
Rys.41.3. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia �1 = 1 i �2 = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Rys. 41.4. UPMP zdeformowany w wyniku obciążenia " = 1 , zaznaczono momenty przywęzłowe
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
M = -6 + 0, 4�1 - 0,3" , M1A = 6 + 0,8�1 - 0,3" ;
A1
M12 = 2�1 + �2 + 0,75" , M21 = �1 + 2�2 + 0,75" ;
3
M2B = 0,75�2 - " .
16
Równania równowagi.
a) Sumy momentów w węzłach (1) i (2).
ŁM1 = M1A + M12 = 0 �! 2,8�1 +�2 + 0,45" = -6 , (równanie równowagi węzła 1)
9
ŁM2 = M21 + M2B = M = 24 �! �1 + 2,75�2 + " = 24 . (równanie równowagi węzła 2)
16
b) Równanie równowagi rygla czyli wyciętego pręta (1 2) sumy rzutów sił na kierunek przesuwu  by je
otrzymać, tworzymy układ przegubowy (mechanizm) i zadajemy przemieszczenie wirtualne " = 1 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 67
Rys. 41.5. Rzutowanie sił na kierunek przesuwu oraz oznaczenie sił poprzecznych na końcach prętów
Przywęzłowe siły tnące:
M1A + M
A1
T1A = + 4,8 = 0, 24�1 - 0,12" + 4,8 ,
5
M12 + M21
T12 = = �1 +�2 + 0,5" ,
3
M2B 3 3
T2B = = �2 - " .
4 16 64
5 3
Równanie pracy wirtualnej można zapisać w postaci T1A �" -T12 �" + T2B �"1 = 0 .
4 4
W równaniu tym zwroty sił przyjmujemy zgodnie z konwencją znaków  od węzłów. W przypadku braku
obciążenia działającego bezpośrednio w węzłach można podstawić siły T od strony prętów. Po podsta-
wieniu otrzymujemy
9 183
0, 45�1 + �2 + " = 6 . (równanie równowagi rygla czyli elementu (1 2)  3)
16 320
Inny sposób wyznaczenia równania (3). Obliczamy kąty obrotu poszczególnych prętów układu przegu-
bowego (mechanizmu).
.
Rys. 41.6. Wyznaczenie prac wirtualnych za pomocą schematu kinematycznego
Równanie pracy wirtualnej:
1 1 1
(M + M1A ) - (M21 + M12 ) + M2B +12 �"0,5 = 0 ,
A1
4 4 4
1
(M + M1A - M21 - M12 + M2B ) + 6 = 0 ,
A1
4
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 68
9 183
�! 0, 45�1 + �2 + " = 6 . (3)
16 320
Po rozwiązaniu układu równań (1), (2), (3) otrzymujemy:
�1 = -6,64506 ,
�2 = 9,92489 ,
" = 5,95861 .
Momenty przywęzłowe:
M = -10, 4456 [kNm] , M1A = -1,1036 [kNm] ;
A1
M12 = 1,1036 [kNm] , M21 = 17,6736 [kNm] ;
M2B = 6,3264 [kNm] .
Wyznaczenie sił tnących.
Rys. 41.7. Wyznaczenie sił tnących na podstawie równowagi prętów
Siły normalne w prętach (2-B) i (1-2) uzyskujemy z równowagi węzła (2).
= 0 �! N2B = -6, 25907[kN ] ,
"Py
= 0 �! N12 = 1,58161[kN] .
"Px
Siłę normalną N1A uzyskujemy z równowagi węzła (1).
= 0 �! - 0,6N1A + 0,8�" 2, 49016 +1,58161 = 0 �! N1A = 5,9562[kN]
"Px
Rys. 41.8. Równowaga w węz
le (1)
Sprawdzenie  = 0 .
"Py
Z równowagi w punkcie (3) otrzymujemy siłę normalną NA1 = N1A + 7, 2 = 13,1562[kN] .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 69
Rys. 41.9. Równowaga w punkcie (3)
Wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 41.10. Końcowe wykresy sił wewnętrznych
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS