v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 25
II. Metoda Sił
20. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 20.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. Sztyw-
ność prętów na zginanie jest taka sama EI = const.
Rys. 20.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny (n=1).
Poprzez usunięcie jednego z więzów podporowych tworzymy układ statycznie wyznaczalny
 Układ Podstawowy Metody Sił (UPMS).
Siła X1 będąca odpowiednikiem reakcji z usuniętej podpory jest niewiadomą, tzw. nadliczbową.
Rys. 20.2. Układ podstawowy metody sił z obciążeniem zewnętrznym i nadliczbową
W układzie podstawowym metody sił (UPMS) rozpatrywane są dwa niezależne stany obciążenia.
a) Działa obciążenie zewnętrzne  wyznaczenie reakcji podporowych i momentów zginających.
Rys. 20.3. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
b) Działa nadliczbowa X1 = 1  wyznaczenie reakcji podporowych i momentów zginających M1 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 26
Rys. 20.4. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia jednostkową nadliczbową X1 = 1 nie wirt. 1
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- przemieszczenie poziome w punkcie (B) wywołane obciążeniem zewnętrznym
îÅ‚ Å‚Å‚
MoM1 1 2 ql2 5 1 ql2 2 3ql4
´10 = ds = Å" Å"l Å" Å" + Å" Å"l Å" Å" = - ,
(-l
) (-l
)
ïÅ‚ śł
+"
EI EI 3 2 8 2 2 3 8EI
ðÅ‚ ûÅ‚
L
- przemieszczenie poziome w punkcie (B) wywołane jednostkową nadliczbową X1 = 1
M1M1 1 1 2 2 l3
´10 = ds = Å" 2Å" Å" Å"l Å" Å" = .
(-l
) (-l
)
+"
EI EI 2 3 3 EI
L
9
Z równania zgodnoÅ›ci przemieszczeÅ„ ´1 = ´10 + ´11X1 = 0 otrzymujemy X1 = ql .
16
Rozwiązanie końcowe uzyskujemy poddając układ podstawowy działaniu obciążenia zewnętrznego oraz
nadliczbowej X1 o rzeczywistej wartości (wynik końcowy jest superpozycją wyników składowych).
.
Rys. 20.5. Wyznaczenie wynikowych wykresów sił wewnętrznych
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 27
Uwaga:
Powyższe zadanie można rozwiązać przyjmując w inny sposób układ podstawowy metody sił (UPMS) 
usuwamy więz wewnętrzny pozwalający na wzajemny obrót przekrojów sąsiadujących w punkcie (1) (jest
to równoważne z wprowadzeniem przegubu wewnętrznego). Nadliczbową X1 jest w tym przypadku
moment zginający w (1), który w układzie podstawowym ma postać dwóch momentów skupionych X1 .
Układ podstawowy metody sił.
Rys. 20.6. Układ podstawowy metody sił z obciążeniem zewnętrznym i nadliczbową
a) Działanie obciążenia zewnętrznego.
Rys. 20.7. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
b) Działanie nadliczbowej X1 = 1 .
Rys. 20.8. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia jednostkową nadliczbową X1 = 1 nie wirt. 1
Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana obciążeniem zewnętrznym
MoM1 ql3
´10 = ds =
+"
EI 24EI
L
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 28
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana nadliczbową X1 = 1
M1M1 2 l
´11 = ds =
+"
EI 3 EI
L
ql2
Z równania zgodnoÅ›ci przemieszczeÅ„ ´1 = ´10 + ´11X1 = 0 otrzymujemy X1 = - .
16
Rozwiązanie  układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego i nadliczbowej.
Rys. 20.9. Układ podstawowy metody sił obciążony obciążeniem zewnętrznym i rzeczywistą nadliczbową
Pomimo, iż schemat statyczny układu podstawowego metody sił jest inny, niż w pierwszym wariancie
rozwiązania, to końcowe wykresy sił wewnętrznych są oczywiście takie same.
21. Zadanie
Dana jest kratownica przedstawiony na rysunku 21.1. Obliczyć siły w prętach . Przyjąć, że pręty ukośne
mijają się nawzajem. Dane: P , l , E , A . Pola przekroju poprzecznego prętów są zróżnicowane.
Rys. 21.1. Dany układ kratowy z obciążeniem zewnętrznym
Przyjętą numerację prętów zaznaczono na poniższym rysunku.
Rys. 21.2. Numeracja prętów kratownicy
Stopień statycznej niewyznaczalności układu obliczono według wzoru
n = r + p - 2w = 3 + 6 - 8 = 1 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 29
Układ podstawowy metody sił tworzymy przez  rozcięcie pręta nr 1, przy takim założeniu nadliczbową
jest siła normalna S1 w tym pręcie.
Rys. 21.3. Układ podstawowy metody sił obciążony obciążeniem zewnętrznym i nadliczbową
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem zewnętrznym ( S0i , i = 1,6 ).
Rys. 21.4. Wyznaczenie sił w prętach od obciążenia zewnętrznego
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem X1 = 1 ( S1i , i = 1,6 ).
Rys. 21.5. Wyznaczenie sił w prętach od obciążenia jednostkową nadliczbową nie wirt. 1
Obliczenie przemieszczeń można uporządkować przy pomocy poniższej tabeli.
S0i Å" S1i Å"li
S0i S1i li Ai ´11
i
Ai
1 - 1 l A - l / A
2 - 1 l A - l / A
3 - - 2l / A
- 2 l 2 A 2
4 2Pl / A 2l / A
-P 2 - 2 l 2 A 2
5 P 1 l A Pl / A l / A
6 - 1 l A -
l / A
3Pl / A 8l / A
Przemieszczenie uogólnione w układzie podstawowym  zmiana odległości między końcami rozciętego
pręta (1), wywołane odpowiednio:
 obciążeniem zewnętrznym
6
SoiS1i 3Pl
´10 = li = ;
"
EAi EA
i=1
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 30
 nadliczbowÄ… X1 = 1
6
S1iS1i 8l
´11 = li = .
"
EAi EA
i=1
3
Z równania zgodnoÅ›ci przemieszczeÅ„ ´1 = ´10 + ´11X1 = 0 otrzymujemy X1 = - P .
8
Rozwiązanie otrzymujemy obciążając układ podstawowy obciążeniem zewnętrznym wraz z nadliczbową.
Rys. 21.6. Wyznaczenie sił w prętach (z prawej powinno być 5P/8)
SiÅ‚y w prÄ™tach kratownicy można uzyskać drogÄ… superpozycji Si = S0i + S1i Å" X1  patrz tabela poniżej.
S0i S1i Si
i S1i Å" X1
3 3
1 - 1 - P - P
8 8
3 3
2 - 1 - P - P
8 8
3 3
3 - P 2 P 2
- 2
8 8
3 5
4 P 2 - P 2
-P 2 - 2
8 8
3 5
5 P 1 - P10 P
8 8
3 3
6 - 1 - P - P
8 8
22. Zadanie
Dany jest Å‚uk koÅ‚owy przedstawiony na rysunku 22.1. Wyznaczyć funkcjÄ™ (wzglÄ™dem kÄ…ta Õ ) i naryso-
wać wykres momentów zginających. A
uk jest poddany nierównomiernemu ogrzaniu. "t = td - tg .
Dane : "t = 40 [o C] , Ä…t = 10-5 [deg-1] , h = 0,2 [m] , r = 2 [m] , EI = (2000Ä„ ) [kNm2 ] .
Rys. 22.1. Dany układ  łuk kołowy z obciążeniem zewnętrznym
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 31
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił przyjęto na rysunku poniżej.
Rys. 22.2. Układ podstawowy metody sił z nadliczbową
Momenty zginajÄ…ce wywoÅ‚ane dziaÅ‚aniem nadliczbowej X1 = 1 , M1(Õ) = 1Å" x = r Å"sinÕ .
Rys. 22.3. Układ podstawowy metody sił z nadliczbową  zaznaczono układy współrzędnych
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- przemieszczenie pionowe punktu (B) wywołane przyrostem temperatury (oddziaływanie zewnętrzne),
Ä„ Ä„
2 2
Ä…t Å""t Ä…t Å" "t Ä…t Å" "t Ä…t Å" "t 10-5 Å" 40
´10 = Å" ds = M1(Õ)Å" rdÕ = r2
1
+"M h +" +"sinÕdÕ = h r2 = 0, 2 Å" 22 = 0,008 [m]
h h
L 0 0
- przemieszczenie pionowe punktu (B) wywołane działaniem nadliczbowej X1 = 1 ,
Ä„ Ä„
Ä„
2
M1M1 1 r3 2 2 r3 1 1 2
îÅ‚
´11 = ds = Õ - sin 2ÕÅ‚Å‚ | =
1
+" +"[M (Õ)]2 Å" rdÕ = EI +"sin ÕdÕ = EI ïÅ‚ śł
0
EI EI 2 4
ðÅ‚ ûÅ‚
L 0 0
Ä„ r3 Ä„ Å" 23 m
îÅ‚ Å‚Å‚
= = = 0,001
ïÅ‚ śł
4EI 4Å" 2000Å"Ä„ kN
ðÅ‚ ûÅ‚
Z równania zgodnoÅ›ci przemieszczeÅ„ ´1 = ´10 +´11X1 = 0 otrzymujemy X1 = -8 [kN]
RozwiÄ…zanie Wynik
M (Õ) = -8Å" x = -16Å"sinÕ [kNm]
Rys. 22.4. Wyznaczenie wykresu momentów zginających
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 32
23. Zadanie
Dana jest kratownica przedstawiona na rysunku 23.1. Obliczyć siły w prętach powstałe na skutek równo-
miernego ogrzania zaznaczonych prętów o wielkość t0 względem temperatury montażu. Pola przekrojów
prętów poziomych i pionowych równe są równe A , prętów ukośnych A 2 .
Dane : t0 = 30 [o C] , Ä…t = 2Å"10-4 [deg-1] , EA = 7000 [kN] , a = 3 [m] .
Rys. 23.1. Dany układ kratowy z obciążeniem zewnętrznym (temperatura)
Likwidujemy więz podporowy w punkcie (C) i wprowadzamy nadliczbową na miejscu i kierunku działa-
nia reakcji związanej z usuniętym więzem (układ wyjściowy jest zewnętrznie statycznie niewyznaczalny,
zaś wewnętrznie wyznaczalny).
Układ podstawowy metody sił (UPMS) przyjęto na rysunku 23.2. (podano numerację prętów).
Rys. 23.2. Układ podstawowy metody sił obciążony nadliczbową
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem X1 = 1 .
Rys. 23.3. Wyznaczenie sił w prętach UPMS od jednostkowej nadliczbowej nie wirt. 1
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 33
Obliczenie przemieszczenia w układzie podstawowym przeprowadzamy w tabeli.
S1i2 Å"li
Ai li t0i S1i S1i Å"t0i Å"li
i S1i2
Ai
3 30 -1 -90
1 A 1 3/ A
2 0 - 2 6 / A
A 2 3 2 - 2
3 30 90
3 A 1 1 3/ A
4 30 180
2 6 / A
A 2 3 2 2
3 0
5 A 1 - 1 3/ A
180 21/ A
Przemieszczenie pionowe punktu (C) wywołane równomiernym ogrzaniem,
5
´10 = Å"Ä…ti Å"toili = 2Å"10-4 Å"180 = 0,036 [m] .
"S1i
i=1
Przemieszczenie pionowe punktu C wywołane obciążeniem X1 = 1 ,
5
S1i2 21 m
îÅ‚ Å‚Å‚
´11 = Å"li = = 0,003 .
"
ïÅ‚ śł
EAi EA kN
ðÅ‚ ûÅ‚
i=1
Z równania zgodnoÅ›ci przemieszczeÅ„ ´1 = ´10 + ´11X1 = 0 otrzymujemy X1 = -12 [kN] .
Rozwiązanie otrzymane poprzez obciążenie UPMS wyznaczoną nadliczbową X1 = -12 .
Rys. 23.4. Wyznaczenie sił w prętach UPMS od rzeczywistej nadliczbowej
RozwiÄ…zanie można również uzyskać ze wzoru: Si = S0i + S1i Å" X1 .
w przypadku oddziaływania poza statycznego (temperatury) zachodzi Soi = 0 ,
wiÄ™c Si = S1i Å" X1 = -12S1i [kN]
Wniosek
Siły w prętach kratownicy (rozwiązanie końcowe zadania) są proporcjonalne do sił otrzymanych w ukła-
dzie podstawowym przy obciążeniu X1 = 1 .
24. Zadanie
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rysunku 24.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 34
Rys. 24.1. Dana belka ciągła z obciążeniem zewnętrznym (1-2) 2EI)
Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił (UPMS) przyjmujemy w sposób podany na rysunku poniżej.
Rys. 24.2. Układ podstawowy metody sił obciążony obciążeniem zewnętrznym i nadliczbowymi
Momenty zginające w układzie podstawowym w poszczególnych stanach obciążenia:
a) stan obciążenia zewnętrznego,
Rys. 24.3. Wykres momentów w UPMS od obciążenia zewnętrznego
b) stan obciążenie jednostkową nadliczbową X1 = 1 ,
Rys. 24.4. Wykresy momentów w UPMS od obciążeń jednostkowymi nadliczbowymi
Równania zgodności przemieszczeń  układ równań kanonicznych 1):
- zmiana kÄ…ta obrotu w p.1 : ´10 + ´11 Å" X1 + ´12 Å" X2 = 0 ,
- zmiana kÄ…ta obrotu w p.2 : ´20 + ´21 Å" X1 + ´22 Å" X2 = 0 .
Wyznaczenie współczynników układu równań:
MoM1 1 1 1 2 9 1 1 1 31,75
îÅ‚ Å‚Å‚
´10 = ds = Å" 6Å"9 Å" + Å"3Å" Å" + Å" Å"8Å"16 = ;
+" ïÅ‚
EI EI 2 2 3 2 4śł 2EI 2 EI
ðÅ‚ ûÅ‚
L
Ostatni trójkąt - brakuje przemnozenia o jeszcze jedną 1/2, ale wynik jest poprawny.
MoM2 1 1 1 1 1 1 24
´20 = ds = Å" Å"8Å"16Å" + Å" Å" 4Å"12Å" Å"1 = ;
+"
EI 2EI 2 2 EI 2 3 EI
L
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 35
M1M1 10 M1M2 2 M2M2 8
´11 = ds = ; ´12 = ´21 = ds = ; ´22 = ds = .
+" +" +"
EI 3EI EI 3EI EI 3EI
L L L
Z układu równań 1) otrzymujemy: X1 = -8,1316 [kNm] , X2 = -6,9671[kNm] .
RozwiÄ…zanie
Rys. 24.5. UPMS obciążony obciążeniem zewnętrznym i rzeczywistymi nadliczbowymi
Na tej podstawie można wyznaczyć końcowe wykresy sił wewnętrznych M i T .
25. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunki 25.1. Sporządzić wykres momentów zginających po-
wstałych w układzie pod wpływem wymuszonego przemieszczenia podpory B. Jeden z prętów układu ma
znacznie większą sztywność na zginanie niż pozostałe pręty (przyjąć w tym elemencie EI = " )
Dane są wielkości: a, ", EI .
Rys. 25.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym (wymuszenie kinematyczne)
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił (UPMS) przedstawiono na rys. 25.2  nadliczbową jest moment zginający
w węz
le 1.
Rys. 25.2. Układ podstawowy metody sił obciążony nadliczbową
Momenty zginające w układzie podstawowym wywołane działaniem nadliczbowej X1 = 1 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 36
Rys. 25.3. Wyznaczenie wykresu momentów od jednostkowej nadliczbowej nie wirt. 1
Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- zmiana kąta obrotu w węz
le 1 wywołana wymuszonym przemieszczeniem podpory,
1 "
öÅ‚
´10 = - R1i = -" Å"ëÅ‚ - = ;
""i ìÅ‚ ÷Å‚
3a 3a
íÅ‚ Å‚Å‚
i
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana działaniem nadliczbowej X1 = 1 ,
M1M1 1 1 2 1 2 8a
ëÅ‚
´11 = ds = Å"5a Å"1Å" Å"1+ Å"3a Å"1Å" Å"1öÅ‚ = .
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
EI EI 2 3 2 3 3EI
íÅ‚ Å‚Å‚
L
EI Å" "
Z równania zgodności przemieszczeń wyznaczamy X1 = - .
8a2
RozwiÄ…zanie M = M0 + M1X1 ;
M0 - momenty wywołane oddziaływaniem zewnętrznym  zerowe,
M1 - momenty wywołane obciążeniem X1 = 1 .
-EI"
StÄ…d M = M1 Å" X1 = M1 .
8a2
Rys. 25.4 Końcowy wykres momentów zginających (tu nie powino być jed
26. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunki 26.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych powsta-
łych w układzie na skutek wmontowania pręta (A-1) dłuższego o "l = 3 [cm] . Przyjąć
EI = 1400 [kNm2 ] .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 37
Rys. 26.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym w postaci błędu montażu (dłuższy pręt A-1)
Stopień statycznej niewyznaczalności układu n=2.
Układ podstawowy metody sił (UPMS) przyjęto jak na rysunku poniżej.
Rys. 26.2. Układ podstawowy metody sił z nadliczbowymi
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1 .
Rys. 26.3. Wyznaczenie wykresu momentów w UPMS od jednostkowej nadliczbowej X1
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X2 = 1.
Rys. 26.4. Wyznaczenie wykresu momentów w UPMS od jednostkowej nadliczbowej X2
Kąt obrotu przekroju pręta z prawej strony przy węz
le (A) w poszczególnych stanach:
- oddziaÅ‚ywanie zewnÄ™trzne (imperfekcja): ´10 = "l Å" NA-1(1) = 0 ;
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 38
M1M1 1 1 2 1
- stan X1 = 1 : ´11 = ds = Å" Å"1Å"3Å" Å"1 = ;
+"
EI EI 2 3 EI
L
M1M2 1 1 1 1
- stan X2 = 1: ´12 = ds = Å" Å"1Å"3Å" Å"1 = ;
+"
EI EI 2 3 2EI
L
Zmiana kąta obrotu przekrojów prętów schodzących się w węz
le (1) w poszczególnych stanach:
1
- oddziaÅ‚ywanie zewnÄ™trzne (imperfekcja) ´20 = "l Å" NA-1(2) = 0,03Å" = 0,01[m] ,
3
M2M1 1
- X1 = 1 : ´21 = ds = ,
+"
EI 2EI
L
M2M2 1 1 2 2
- X2 = 1: ´22 = ds = Å" 2 Å" Å"3Å"1Å" Å"1 = .
+"
EI EI 2 3 EI
L
Równania zgodności przemieszczeń:
´10 + ´11 Å" X1 + ´12 Å" X2 = 0 Ò! 2X1 + X2 = 0 , (1)
´20 + ´21 Å" X1 + ´22 Å" X2 = 0 Ò! X1 + 4X2 = -28 , (2)
stÄ…d X1 = 4 [kNm], X2 = -8 [kNm] .
Rozwiązanie otrzymujemy analizując układ podstawowy poddany jedynie działaniu nadliczbowych o
wartościach rzeczywistych (brak zewnętrznego obciążenia czynnego).
Rys. 26.5. Wyznaczenie wykresów końcowych  siły normalne
Rys. 26.6. Wykresy sił tnących i momentów zginających
27. Zadanie
Dana jest sztywna tarcza podparta na prętach przedstawiona na rysunki 27.1. Obliczyć siły w prętach
podpierajÄ…cych sztywnÄ… tarczÄ™.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 39
Rys. 27.1. Dana sztywna tarcza podparta prętami kratowymi z obciążeniem zewnętrznym
Każdą tarcze opisują trzy równania równowagi. Tarcza z zadania jest podparta na czterech prętach (na
układ  narzucono cztery więzy, co w rezultacie daje cztery niewiadome siły w prętach podpierających
tarczę), stąd wnioskujemy, że układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił.
.
Rys. 27.2. Przyjęcie układu podstawowego metody sił wraz z nadliczbową
Rozwiązania w układzie podstawowym:
- siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem zewnętrznym,
- siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem X1 = 1
Rys. 27.3. UPMS obciążony obc. zewnętrznym Rys. 27.4. UPMS obciążony jednostkową nadliczbową
Obliczenie przemieszczeń w układzie podstawowym przy pomocy tabeli
Soi Å" S1i Å"li S1i Å" S1i Å"li
S0i S1i li Ai
i
Ai Ai
0
1 0 l A l / A
1
2 2Pl / A - 2l / A
P 2 - 2 l 2 A 2
3 -P -1 l A Pl / A l / A
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 40
4 0 0 2l / A
2 l 2 A 2
-Pl / A 6l / A
Przemieszczenia w układzie podstawowym  odległość między rozciętymi końcami pręta (1),
wywołana odpowiednio:
- obciążeniem zewnętrznym,
4
SoiS1i Pl
´10 = li = - ,
"
EAi EA
i=1
- nadliczbowÄ… X1 = 1
4
S1iS1i 6l
´11 = li = .
"
EAi EA
i=1
P
Z równania zgodnoÅ›ci przemieszczeÅ„ ´1 = ´10 + ´11X1 = 0 otrzymujemy X1 = .
6
RozwiÄ…zanie
Rys. 27.5. Końcowe siły w prętach
RozwiÄ…zanie można otrzymać z superpozycji Si = S0i + S1i Å" X1 ;
P P 5 P 7 P
S1 = , S2 = P 2 - Å" 2 = P 2 , S3 = -P - Å"1 = - P , S4 = 2 .
6 6 6 6 6 6
28. Zadanie
Dany jest dz
wigar załamany w planie przedstawiony na rysunki 28.1. Sporządzić wykresy momentów
zginających M i skręcających Ms w dz
wigarze załamanym w planie. Przyjąć zależność GIs = 6EI .
Rys. 28.1. Dany dz
wigar załamany w planie z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 41
Układ podstawowy metody sił (UPMS).
Rys. 28.2. Układ podstawowy metody sił z przyjętą nadliczbową
Rozwiązanie w układzie podstawowym.
Układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego.
Rys. 28.3. UPMS wykresy od obciążenia zewnętrznego
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1 .
Rys. 28.4. UPMS wykresy od jednostkowej nadliczbowej
Ugięcie w punkcie A w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 42
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
M0M1 M0M1 1 2 ql2 5 1 ql2 öÅ‚ 2 1 ql2
´10 = ds + ds = Å" Å" Å"l Å" Å"(-2l) + Å"l Å"ìÅ‚ - ÷Å‚ śł (-2l
Å" Å" 2l + Å" Å"l Å" =
ïÅ‚ )
+" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
EI GIs EI 3 2 8 2 2 3 GIs 2
ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
L L ðÅ‚ ûÅ‚
gl4 5 1 ql4 11 ql4
ëÅ‚ öÅ‚
= - + - = - Å"
ìÅ‚12 ÷Å‚
EI 3 6EI 12 EI
íÅ‚ Å‚Å‚
- wywołane nadliczbową X1 = 1
M1M1 M1M1 1 1 2 1 2 1
îÅ‚2
´11 = ds + ds = Å" Å" Å"l Å"l Å" l + 2Å" Å" 2l Å"l Å" Å" 2lÅ‚Å‚ + Å" 2l Å"l Å" 2l =
+" +" ïÅ‚ śł
EI GIs EI 2 3 2 3 GIs
ðÅ‚ ûÅ‚
L L
l3 2 8 4l3 4l3
ëÅ‚ öÅ‚
= + + =
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 3 3 6EI EI
íÅ‚ Å‚Å‚
11
Z równania zgodnoÅ›ci przemieszczeÅ„ ´1 = ´10 + ´11X1 = 0 otrzymujemy X1 = ql .
48
Reakcje podporowe uzyskujemy z superpozycji:
11
RA = ql,
48
ql 11 13
RB = - ql = ql,
2 48 48
11 13
RC = ql - ql = ql,
24 24
ql 11 1
RD = - + ql = - ql.
2 24 24
RozwiÄ…zanie
Rys. 28.5. Wyznaczenie końcowych wykresów momentów zginających i skręcających
29. Zadanie
Dany jest ruszt belkowy przedstawiony na rysunku 29.1 .Sporządzić wykresy momentów zginających.
Przyjąć EI = const .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 43
Rys. 29.1. Dany ruszt belkowy z obciążeniem zewnętrznym
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił tworzymy przez rozdzielenie obu części rusztu, siła wzajemnego oddzia-
Å‚ywania (reakcja) jest nadliczbowÄ… X1 .
Rys. 29.2. Układ podstawowy metody sił (belki proste) z zaznaczoną nadliczbową
Rozwiązanie w układzie podstawowym:
- układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego,
Rys. 29.3. UPMS obciążony obciążeniem zewnętrznym  wykres momentów
- układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 44
Rys. 29.4. UPMS obciążony jednostkową nadliczbową  wykres momentów
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym
ëÅ‚
M0M1 1 1 ql2 öÅ‚ 3 ql4
´10 = ds = Å" Å"l Å"ìÅ‚ - ÷Å‚ -
Å" Å"l =
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
EI EI 3 2 4 8EI
íÅ‚ Å‚Å‚
L
- wywołane nadliczbową X1 = 1
M1M1 1 1 2 1 l 2 l l3
îÅ‚ Å‚Å‚
´11 = ds = Å" Å"l Å"l Å" Å"l + 2 Å" Å"l Å" Å" Å" =
+" ïÅ‚
EI EI 2 3 2 2 3 2śł 2EI
ðÅ‚ ûÅ‚
L
ql
Z równania zgodnoÅ›ci przemieszczeÅ„ ´1 = ´10 + ´11X1 = 0 otrzymujemy X1 = .
4
RozwiÄ…zanie
Rys. 29.5. wyznaczenie końcowego wykresu momentów zginających
30. Zadanie
Dana jest belka (rys. 30.1), którÄ… obciążono wymuszajÄ…c obrót lewej podpory o kÄ…t Õ . StosujÄ…c metodÄ™
sił sporządzić wykresy sił wewnętrznych M i T .
Rys. 30.1. Dana belka obciążona obrotem podpory
Stopień statycznej niewyznaczalności układu n = 1 .
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił (UPMS) wg rysunku
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 45
Rys. 30.2. Układ podstawowy metody sił z nadliczbową
Stan X1 = 1
Rys. 30.3. Wyznaczenie wykresu momentów od nadliczbowej jednostkowej
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym
Rys. 30.4. Obciążenie zewnętrzne (wymuszenie kinematyczne) w UPMS
w układach statycznie wyznaczalnych obciążenie w postaci wymuszenia kąta obrotu (obrotu podpory o
dany kÄ…t) nie generuje siÅ‚ wewnÄ™trznych i co ważniejsze deformacji, zatem ´10 = 0 .
M1M1 1 1 2 l
- wywoÅ‚ane nadliczbowÄ… X1 = 1 ´11 = ds = Å" Å"l Å"1Å" Å"1 =
+"
EI EI 2 3 3EI
L
´10 3EI
Po rozwiÄ…zaniu równania kanonicznego ´10 + ´11X1 = ´1 = Õ otrzymujemy X1 = - = Õ .
´11 l
Rys. 30.5 Końcowe wykresy sił wewnętrznych T i M
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS