v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 2
I. Wyznaczanie przemieszczeń w układach statycznie wyznaczalnych
1. Zadanie
Dany jest ukÅ‚ad ramowy przedstawiony na rysunku 1.1. Obliczyć przemieszczenie poziome ´ rygla.
Znana jest sztywność na zginanie EI=10 000 [kNm2].
Rys. 1.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym
Do obliczenia poszukiwanego przemieszczenia zastosujemy zasadÄ™ prac wirtualnych
dla układów odkształcalnych, z uwzględnieniem jedynie wpływu zginania.
Wpływ pozostałych sił wewnętrznych pomijamy, jako mały.
T
Wzór do obliczenia przemieszczenia ma postać:
E
O
M Å" M
´ Å" 1 E" ´ M Å" 1 , ´ = ´ M , ´ = ds ;
( ) ( )
R
+"
EI
L
I
gdzie:
A
M  momenty zginające wywołane obciążeniem zadanym,
M  momenty zginające pochodzące od obciążenia jednostkowego wirtualnego.
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 1.2. Wykres momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia; wyzna-
czenie wykresu momentów zginających M .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 3
Rys. 1.3. Wykres momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Stosując do dalszych obliczeń zasadę prac wirtualnych można wykorzystać tzw.  całkowanie graficzne
zgodnie ze wzorem
f
T
+"G(x)Å" f (x)ds = A Å"· ;
E l
O gdzie:
R
G(x)  funkcja krzywoliniowa,
I
f (x)  funkcja liniowa,
A
A  pole pod funkcjÄ… krzywoliniowÄ…,
f
·  rzÄ™dna funkcji liniowej odpowiadajÄ…ca odciÄ™tej w miejscu Å›rodka ciężkoÅ›ci figury pod krzywÄ…
(spr. wzór Wereszczagina).
Całkowanie graficzne przeprowadza się w przedziałach w których funkcje M i M są niezerowe.
Przedział (A-1)  wielkości pomocnicze):
1 2 8
A1 = Å" 4Å" = -48, ·1 = Å" = - .
(-24
) (-4
)
2 3 3
Przedział (1-2)  wielkości pomocnicze):
1 2 8
A2 = Å"6Å"(-24) = -72, ·2 = Å"(-4) = - ;
2 3 3
2 1
A3 = Å"6Å"9 = 36, ·3 = Å"(-4) = -2 .
3 2
Zgodnie ze wzorem Wereszczagina szukane przemieszczenie jest równe
M Å" M 1 1
´ = ds = A1·1 + (A2·2 + A3·3) = 0.0188 [m] .
+"
EI EI 2EI
l
2. Zadanie
Dana jest swobodnie podparta kratownica przedstawiona na rysunku 2.1. Obliczyć zaznaczone prze-
mieszczenie ´ wÄ™zÅ‚a w pasie górnym. SztywnoÅ›ci wszystkich prÄ™tów sÄ… staÅ‚e EA = const .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 4
Rys. 2.1. Dany układ kratowy z obciążeniem zewnętrznym
Przemieszczenia w kratownicach obliczamy stosując zasadę prac wirtualnych według wzoru
n
T Si Å" Si
´ = li ;
"
E
EAi
i=1
O
gdzie:
R
n  liczba prętów,
I
A
Si , Si  siły w prętach wywołane odpowiednio: obciążeniem zewnętrznym oraz jednostkowym obciąże-
niem wirtualnym.
1) Siły w prętach kratownicy wywołane obciążeniem zewnętrznym ( Si ).
Rys. 2.2. Siły w prętach od obciążenia zewnętrznego
2) Siły w prętach kratownicy wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym( Si ).
Rys. 2.3. Siły w prętach od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Si Å" Si
Zgodnie ze wzorem ´ = li otrzymujemy:
"
EAi
Si Å" Si
´ = li =
"
EAi
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 1 1 1 2 1
=
ïÅ‚(-P 2) Å" Å" a Å" 2 + 2P Å" a + P Å"(- ) Å" a + (-2P) Å" Å" a + 2P 2 Å" Å" a Å" 2 + (-2P)Å"(- ) Å"aśł =
EA 2 2 2 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Pa
îÅ‚2 2 +1Å‚Å‚
=
ðÅ‚ ûÅ‚
2EA
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 5
3. Zadanie
Dany jest łuk paraboliczny o zmiennym przekroju. Obliczyć kąt obrotu przekroju poprzecznego w podpo-
rze (B) (identyczny jest kÄ…t obrotu stycznej do osi Å‚uku w punkcie podporowym). W obliczeniach
uwzględnić jedynie wpływ momentów zginających. Moment bezwładności przekroju zmienia się zgodnie
I0
ze wzorem I = , gdzie EI0=1 000 [kNm2 ] zaÅ› Ä… oznacza kÄ…t nachylenia stycznej do osi Å‚uku w
cosÄ…
danym przekroju.
T Stosując zasadę prac wirtualnych przy uwzględnieniu jedynie momentu zginającego
E szukany kąt obrotu (przemieszczenie uogólnione) obliczymy ze wzoru
O
M Å" M
ÕB = ds .
R
+"
EI
I L
A
Zmienne podcałkowa (s) przebiega wzdłuż łuku (rys. 3.1.a) zatem jej różniczka przyjmuje postać
dx
ds = .
cosÄ…
a) Zamiana zmiennych b) Obciążenie łuku
Rys. 3.1. Dany układ z obciążeniem zewnętrznym
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 3.2. Dany układ z obciążeniem siłą skupioną i równoważącą reakcją
M (x) = -6y [kNm]
Rys. 3.3. Wykres momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia (w przy-
padku poszukiwania kąta obrotu jest to jednostkowy moment skupiony, obie wielkości tworzą parę sprzę-
żoną); wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
1
M (x) = x
8
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 6
Rys. 3.4. Dany układ z obciążeniem jednostkowym wirtualnym i równoważącymi reakcjami
Rys. 3.5. Wykres momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego (jedostka)
dx
Zmienna podcałkowa s przebiega wzdłuż łuku. Podstawiając ds = całka przyjmuje postać
cosÄ…
8 8
M Å" M M Å" M dx 1
ÕB = ds = Å" =
+" +" +"M Å" Mdx .
I0 cosÄ… EI0 0
EI
l 0
E
cosÄ…
Całkowanie graficzne
8
2 1
1
+"MMdx = 3 Å"8Å"(-12) Å" 2 Å"(-1) = 32 [kNm3] , zatem ÕB = 1000 Å"32 = 1o50' .
0
4. Zadanie
Dany jest Å‚uk koÅ‚owy przedstawiony na rysunku 4.1. Obliczyć kat obrotu ÕA przekroju w punkcie podpo-
rowym (A). Dana jest sztywność na zginanie EI=10 000 [kNm2].
Rys. 4.1. Dany łuk kołowy z obciążeniem zewnętrznym
Rozwiązanie przeprowadzimy całkując analitycznie w biegunowym układzie współrzędnych. Zmienną
podcaÅ‚kowÄ… s przebiegajÄ…cÄ… wzdÅ‚uż Å‚uku zastÄ…pimy współrzÄ™dnÄ… kÄ…towÄ… Õ (rys. 4.2) przyjmujÄ…c
ds = a Å" dÕ .
ZakÅ‚adajÄ…c dÕ jako maÅ‚e można
przyjąć, że dÕ E" tg(dÕ)
ds
tg(dÕ) = Ò! ds = a Å" dÕ ,
a
y x
sinÕ = , cosÕ = .
a a
Rys. 4.2. Zamiana zmiennych
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 7
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
M (Õ) = -P Å" y = -Pa sinÕ .
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia, wyzna-
czenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 4.3. Działanie obciążenia zewnętrznego Rys. 4.4. Działanie obciążenia jednostkowego wirtualnego
1 1 1
M (Õ) = 1- ( - x = 1- ( ) ( )
a 1- cosÕ a = 1+ cosÕ .
)
2a 2a 2
W wyniku caÅ‚kowania po Å‚uku (zamieniamy zmiennÄ… ds = a Å" dÕ ) otrzymujemy:
Ä„
M (Õ) Å" M (Õ) 1 1 Pa2 Ä„
ÕA = ds =
+" +"(-Pa sinÕ) Å" 2 (1+ cosÕ) Å" adÕ = - 2EI +"sinÕ(1+ cosÕ)dÕ =
EI EI
l 0 0
Ä„
Ä„
Pa2 Pa2 1 Pa2
îÅ‚- cosÕ + sin2 Õ Å‚Å‚
= - = - [-(-1) + 0 - (-1) + 0 =
]
+"[sinÕ + sinÕ Å"cosÕ]dÕ = - 2EI ïÅ‚ śł
2EI 2 2EI
ðÅ‚ ûÅ‚
0
0
Pa2
= -
EI
5. Zadanie
Dany jest ukÅ‚ad ramowy przedstawiony na rysunku 5.1. Obliczyć poziome przemieszczenie ´ punktu
podporowego (B). Znana jest sztywność na zginanie EI=8 000 [kNm2].
Rys. 5.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M . Na odcinku (A-1) wykres
M rozkładamy na dwie części: liniową i paraboliczną  według rysunku 5.2.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 8
Rys. 5.2. Wykres momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia; wyzna-
czenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 5.3. Wykres momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
W wyniku całkowania graficznego wykresów M i M otrzymujemy szukane przemieszczenie
M Å" M 1 1 2 2 1 1 2
îÅ‚
´ = ds = Å"5Å"(-24) Å" Å"(-4) + Å"5Å"12Å" Å" (-4) + 3Å" (-4) Å"(-36) + Å" 4Å"(-48) Å" Å"(-4)Å‚Å‚ =
+" ïÅ‚ śł
EI 8000 2 3 3 2 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
l
= 0.096[m] = 9.6[cm].
6. Zadanie
Dany jest ukÅ‚ad ramowo-kratowy przedstawiony na rysunku 6.1. Obliczyć poziome przemieszczenie ´
prawej podpory. Dla danego układu przyjąć EI=2 000 [kNm2] i EA=1 500 [kN].
Rys. 6.1. Dany układ ramowo-kratowy z obciążeniem zewnętrznym
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 9
Wzór służący do obliczania przemieszczeń w układach ramowo-kratowych ma postać
T
n
E
M Å" M Si Å" Si
´ = ds + li .
O
"
+"
EI EAi
i=1
R l
I
Wzór ten wynika z założenia, że w elementach ramowych układu uwzględnia się jedynie
A
wpływ momentów zginających, zaś w prętach kratowych wpływ sił normalnych.
1) Siły wewnętrzne wywołane obciążeniem zewnętrznym.
Rys. 6.2. Wyznaczenie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego
2) Siły wewnętrzne wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym.
Rys. 6.3. Wyznaczenie sił wewnętrznych od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Przemieszczenie obliczamy korzystajÄ…c z uprzednio podanego wzoru
M Å" M Si Å" Si 1 1 2 1 1 1 1
îÅ‚2Å" Å" 2Å"12Å" Å" 2 + Å" 2Å"12Å" Å" 2Å‚Å‚ + îÅ‚(-12) Å"(-1) Å" 2 + Å"(-6) Å" 2Å" 2Å‚Å‚ =
´ = ds + li =
"
+" ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
EI EAi EI 2 3 2 3 EA 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
l
1 1
= Å" 40 + Å"12 = 0.028 [m] = 2.8 [cm].
2000 1500
7. Zadanie
Dana jest sztywna tarcza podparta trzema prętami kratowymi przedstawiona na rysunku 7.1. Obliczyć
poziome przemieszczenie ´ zaznaczonego punku tarczy. ZaÅ‚ożyć, że odksztaÅ‚ceniom ulegajÄ… tylko prÄ™ty
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 10
kratowe (tarcza jest nieskończenie sztywna). Zgodnie z powyższymi założeniami szukane przemieszcze-
nie obliczamy stosując wzór dla kratownic. Pola powierzchni przekroju prętów podano na rysunku.
Rys. 7.1. Dana tarcza podparta prętami z obciążeniem zewnętrznym
1) Obciążenie zewnętrzne, siły w prętach kratowych (rys. 7.2).
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia; siły w
prętach (rys. 7.3).
Rys. 7.2. Siły w prętach
Rys. 7.3. Siły w prętach
od obciążenia zewnętrznego
od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie poszukiwanego przemieszczenia
3
Si Å" Si P 2 Å" 2 (-P) Å"(-2) 4Pl
´ = li = 0 + Å"l 2 + l = .
"
EAi EA EA
EA 2
i=1
8. Zadanie
Dany jest dz
wigar załamany w planie przedstawiony na rysunku 8.1. Obliczyć pionowe przemieszczenie
´ punktu (D). Przyjąć, że sztywnoÅ›ci na zginanie i skrÄ™canie sÄ… staÅ‚e w caÅ‚ym ukÅ‚adzie i wiąże je zależ-
ność GIs = 3EI .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 11
Rys. 8.1. Dany dz
wigar załamany w planie z obciążeniem zewnętrznym
Stosując zasadę prac wirtualnych przy uwzględnieniu momentu zginającego i skręcającego
szukane przemieszczenie obliczymy ze wzoru
T
M Å" M M Å" M
E s s
´ = ds + ds = ´Z + ´S ;
+" +"
O
EI GIs
l l
R
gdzie:
I
M , M  momenty zginające i skręcające wywołane obciążeniem zewnętrznym,
A S
M ,Ms  momenty zginające i skręcające wywołane wirtualnym obciążeniem jednostkowym.
1) Obciążenie zewnętrzne. Wyznaczenie reakcji podporowych; wykresy M i Ms .
1 1
= 0 Ò! RC = ql; = 0 Ò! RA = ql; = 0 Ò! RB = - ql
"M AB "M BC "MCD
3 3
Rys. 8.2. Wyznaczenie reakcji od obciążenia zewnętrznego
Rys. 8.3. Wykresy momentów zginających i skręcających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia. Wyzna-
czenie reakcji podporowych, wykresy M i M .
s
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 12
2 2
= 0 Ò! RC = 1; = 0 Ò! RA = ; = 0 Ò! RB = -
"M AB "M BC "MCD
3 3
Rys. 8.4. Wyznaczenie reakcji od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Rys. 8.5. Wykresy momentów zginających i skręcających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie przemieszczenia (osobno podana jest składowa wynikająca ze zginania i skręcania)
îÅ‚1 Å‚Å‚
M Å" M 1 ql2 l 2 l 1 ql2 2 2l 2 ql2 5 63 ql4
´Z = ds = Å" Å" Å" Å" + Å" Å"l Å" Å" + Å"l Å" Å" Å"lśł = ,
ïÅ‚
+"
EI EI 2 6 2 3 3 2 3 3 3 3 2 8 216 EI
ðÅ‚ ûÅ‚
l
Ms Å" Ms 1 ql2 ql4 ql4
´S = ds = Å" Å"l Å"l = = ,
+"
GIs GIs 2 2GIs 6EI
l
99 ql4 11 ql4
´ = ´Z + ´S = = .
216 EI 24 EI
9. Zadanie
Dany jest dz
wigar załamany w planie przedstawiony na rysunku 9.1. Obliczyć pionowe przemieszczenie
´ punktu 2. Przyjąć, że sztywnoÅ›ci na zginanie i skrÄ™canie sÄ… staÅ‚e w caÅ‚ym ukÅ‚adzie i wiąże je zależność
GIs = 4EI .
Rys. 9.1. Dany dz
wigar załamany w planie z obciążeniem zewnętrznym
Przemieszczenie ´ obliczymy korzystajÄ…c z zasady prac wirtualnych dla ukÅ‚adów odksztaÅ‚calnych z
uwzględnieniem wpływu momentów zginających i skręcających.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 13
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresów momentów zginających M i skręcających Ms .
Rys. 9.2. Wyznaczenie wykresów momentów zginających i skręcających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia, wyzna-
czenie wykresów momentów zginających M i skręcających Ms .
Rys. 9.3. Wyznaczenie wykresów momentów zginających i skręcających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie przemieszczenia:
îÅ‚1 Å‚Å‚
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
M Å" M 1 ql2 öÅ‚ 3 ql2 1 1 2 17 ql4
´Z = ds = Å"ìÅ‚ - ÷Å‚Å"l Å" Å" + ìÅ‚ - ÷Å‚ (-l
) ) (-l
)śł
ïÅ‚ (-l Å"l Å" Å" + Å"l Å" -ql2 Å" Å" = ,
( )
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
EI EI 2 4 2 2 2 3 24 EI
ïÅ‚3 ìÅ‚ ÷Å‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
l ðÅ‚ ûÅ‚
Ms Å" Ms 1 ql4 ql4
´S = ds = Å" -ql2 Å"l Å" = = ,
(-l
)
( )
+"
GIs GIs GIs 4EI
l
23 ql4
´ = ´Z + ´S = .
24 EI
10. Zadanie
Dany jest ruszt belkowy przedstawiony na rysunku 10.1. Obliczyć pionowe przemieszczenie ´ punktu
końcowego wspornika. Przyjąć sztywność na zginanie EI = const.
Rys. 10.1. Dany ruszt belkowy z obciążeniem zewnętrznym
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 14
Stosując zasadę prac wirtualnych przy uwzględnieniu momentu zginającego
T
szukane przemieszczenie obliczymy ze wzoru
E
O
M Å" M
R
´ = ds .
+"
I
EI
l
A
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 10.2. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia, wyzna-
czenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 10.3. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie przemieszczenia ´
îÅ‚1 ql2 3 1 ql2 2 Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
M Å" M 1 1 3 2 19 ql4
´ = ds = Å"l Å"ìÅ‚ - ÷Å‚Å" Å" + Å"l Å"ìÅ‚ - ÷Å‚Å" Å" + 2Å" Å" Å"ql2 Å"l Å" Å"lśł
) (-l
)
ïÅ‚ (-l = .
+"
EI EI 2 4 3 24 EI
ïÅ‚3 ìÅ‚ 2 ÷Å‚ 4 2 ìÅ‚ 2 ÷Å‚ 3 śł
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
l ðÅ‚ ûÅ‚
11. Zadanie
Dany jest ruszt belkowy przedstawiony na rysunku 11.1. Obliczyć kÄ…t obrotu Õ przekroju na koÅ„cu
wspornika. Przyjąć sztywność na zginanie EI = const.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 15
Rys. 11.1. Dany ruszt belkowy z obciążeniem zewnętrznym
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 11.2. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia, wyzna-
czenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 11.3. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie kÄ…ta obrotu
M Å" M 1 1 1 2 1 2 3 Pl2
îÅ‚
Õ = ds = Å"l Å" Å"1+ Å"l Å" Å" Å"1+ Å"l Å" Å" Å"1Å‚Å‚ = - .
(-Pl
) (-Pl
) (-2Pl
)
+" ïÅ‚ śł
EI EI 2 2 3 2 3 2 EI
ðÅ‚ ûÅ‚
l
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 16
12. Zadanie
Dany jest dz
wigar zaÅ‚amany w planie w przedstawiony na rysunku 12.1. Obliczyć zaznaczony kÄ…t Õ
obrotu w punkcie (1). Przyjąć GIs = 4EI .
Rys. 12.1. Dany dz
wigar załamany w planie z obciążeniem zewnętrznym
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresów momentów zginających M i skręcających Ms .
Rys. 12.2. Wyznaczenie wykresu momentów zginających i skręcających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia. Wyzna-
czenie wykresu momentów zginających M i skręcających Ms .
Rys. 12.3. Wyznaczenie wykresu momentów zginających i skręcających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie kÄ…ta obrotu Õ = ÕZ +ÕS .
M Å" M 1 1 Pl 2 1 Pl2 Ms Å" Ms 1 Pl2 Pl2
ÕZ = ds = Å" 2 Å" Å" Å"l Å" Å" = , ÕS = ds = Å" P Å"l Å"l Å"1 = = ;
+" +"
EI EI 2 2 3 2 6EI GIs GIs GIs 4EI
l l
Pl2 1 1 5 Pl2
ëÅ‚ öÅ‚
Õ = + = .
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 4 6 12 EI
íÅ‚ Å‚Å‚
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 17
13. Zadanie
Dana jest belka z jednej strony podparta z jednej strony na podporze sprężystej przedstawiona na rysunku
13.1. Obliczyć przemieszczenie ´ punktu leżącego w Å›rodku przÄ™sÅ‚a. Znana jest sztywność na zginanie
EI=1 000[kNm2]
Rys. 13.1. Dany układ z obciążeniem zewnętrznym
Przemieszczenie ´ obliczymy ze wzoru wynikajÄ…cego z zasady prac wirtualnych
M Å" M
´ = ds + ´B Å" RB ;
+"
EI
l
T
gdzie:
E
´B  przemieszczenie podpory sprężystej wywoÅ‚ane obciążeniem zewnÄ™trznym ´B = ´S Å" RB ,
O
R
1
´S =  podatność sprężyny (odwrotność sztywnoÅ›ci,
I
ks
A
kS  siÅ‚a, jaka powstaje w sprężynie po wydÅ‚użeniu/ skróceniu jej o wielkość ´ = 1 m ),
[ ]
RB  reakcja w podporze sprężystej wywołana jednostkowym obciążeniem
w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 13.2. Wykres momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
Przemieszczenie podpory sprężystej od obciążenia zewnętrznego
1 1
´B = ´s Å" RB = Å" RB = Å"10 = 0,1[m] .
ks 100
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia; wyzna-
czenie wykresu momentów zginających M .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 18
Rys. 13.3. Wykres momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Reakcja podpory sprężystej od jednostkowego obciążenia wirtualnego
1
RB = [-]
2
Obliczenie przemieszczenia w układzie z podporą sprężystą:
- wpływ zginania belki
M Å" M 1 1 2 8
´1 = ds = Å" 2Å" Å" 2Å" 20Å" Å"1 = = 2,667 [cm] ;
+"
EI 1000 2 3 300
l
- wpływ przemieszczenia podpory sprężystej
1
´2 = ´B Å" RB = 0,1Å" = 0,05 [m] .
2
Przemieszczenie sumaryczne
´ = ´1 + ´2 = 7,667 [cm]
14. Zadanie
Dany jest układ ramowy podparty na podporach sprężystych przedstawiony na rysunku 14.1. Obliczyć
poziome przemieszczenie koÅ„ca wspornika ´ . Dana jest sztywność na zginanie EI=2 000 [kNm2].
Rys. 14.1. Dany układ z obciążeniem zewnętrznym (k1, k2 jednostka)
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 19
Przemieszczenie ´ obliczymy ze wzoru wynikajÄ…cego z zasady prac wirtualnych
T
E dla układów z podporami sprężystymi (patrz zadanie poprzednie). .
O
M Å" M
´ = ds + Å" Ri .
R
"´i
+"
EI
i
I l
A
Drugi składnik prawej strony opisuje przemieszczenie i podpór sprężystych.
1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 14.2. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia zewnętrznego
2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia; wyzna-
czenie wykresu momentów zginających M .
Rys. 14.3. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie przemieszczenia:
- wpływ zginania
M Å" M 1
´1 = ds = Å" Å" 2Å" = 0,02 [m] ;
(-20
) (-1
)
+"
EI 2000
l
- wpływ przemieszczenia podpór sprężystych
1 1 1
´2 = RA Å" RA + M Å" M = Å" 20Å" 2 = 0,05 [m] .
k1 k2 A A 800
Przemieszczenie sumaryczne
´ = ´1 + ´2 = 0,07 [m] .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 20
15. Zadanie
Dany jest ukÅ‚ad ramowy trójprzegubowy przedstawiony na rysunku 15.1. Obliczyć kÄ…t ÕB obrotu prze-
kroju pręta przy węz
le (B). Przemieszczenie wywołane jest przyrostem temperatury "t (nierównomier-
nym ogrzaniem) w zaznaczonych elementach.
Dane liczbowe: "t = td - tg = 30 [ C] , Ä…t = 10-5[deg-1] , h = 0, 2 [m] = const .
Rys. 15.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym (temperatura)
Szukany kÄ…t obrotu oblicza siÄ™ ze wzoru
Ä…t Å" "t
ÕB =
+"M h ds
T
l
E
gdzie:
O
"t  przyrost temperatury po wysokości przekroju poprzecznego pręta,
R
ąt  współczynnik rozszerzalności termicznej,
I
A
h  wysokość przekroju,
M  moment zginający od jednostkowego obciążenia wirtualnego na odcinkach
poddanych obciążeniu termicznemu.
Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia; wyznacze-
nie wykresu momentów zginających M .
Rys. 15.2. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie kÄ…ta obrotu
Ä…t Å" "t 10-5 Å"30 1 1 1+ 0,3
îÅ‚
ÕB = Å" 4 Å" 4 + Å"3Å" 0,3 + Å"5Å‚Å‚ = 4,35Å"10-3 [rad] = 14'57" .
(-0,
)
+"M h ds = 0, 2 ïÅ‚ śł
2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
l
16. Zadanie
Dany jest układ ramowy trójprzegubowy przedstawiony na rysunku 16.1. Obliczyć pionowe przemiesz-
czenie punktu (C). Przemieszczenie wywołane jest równomiernym ogrzaniem wszystkich elementów
układu o wielkość t0 względem temperatury montażu. Dane są wielkości: a , ąt , t0 .
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 21
Rys. 16.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym (temperatura)
Przemieszczenie obliczymy ze wzoru wynikajÄ…cego zasady prac wirtualnych
przy obciążeniu w postaci równomiernego ogrzania
T
´ = N Å"Ä…t Å" t0 ds ;
+"
E
l
O
gdzie:
R
t0  przyrost temperatury w osi pręta,
I
ąt  współczynnik rozszerzalności termicznej,
A
N  siły normalne od jednostkowego obciążenia wirtualnego
na odcinkach poddanych obciążeniu termicznemu.
Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia. Wyznacze-
nie wykresu momentów zginających M .
Rys. 16.2. Wyznaczenie wykresu momentów zginających od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie przemieszczenia
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2
´ = -Ä…t Å"t0 ìÅ‚ Å" a 2 + Å" 2a + Å" a = -3a Å"Ä…t Å"t0 .
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
17. Zadanie
Dana jest kratownica przedstawiony na rysunku 17.1. Obliczyć poziome przemieszczenie wÄ™zÅ‚a ´ wy-
wołane równomiernym ogrzaniem zewnętrznych prętów kratownicy o wielkość t0 = 20 [oC] względem
temperatury montażu (przyrost temperatury w osi), Ä…t = 1,2Å"10-5[oC-1] .
Rys. 17.1. Dany układ kratowy z obciążeniem zewnętrznym (temperatura)
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 22
Przemieszczenie wywoÅ‚ane równomiernym ogrzaniem obliczamy ze wzoru ´ = N Å"Ä…t Å" t0ds ;
+"
l
T
n
E
w przypadku kratownic wzór przedstawimy w postaci ´ = Si Å"Ä…t Å" t0 Å" li ;
"
i
i
O
i = 1
R
gdzie:
I
n  liczba prętów,
A
ąti , t0i , li  wielkości związane z danym prętem,
Si  siła w danym pręcie od obciążenia wirtualnego.
Siły w prętach wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym.
Rys. 17.2. Siły w prętach od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie przemieszczenia
n
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2
öÅ‚
´ = Si Å"Ä…t Å"t0 Å"li = 1, 2Å"10-5 Å" 20 + 2Å" 2 Å"ëÅ‚ - + 2Å" 2Å" + Å" 2 2śł = 1,6 Å"10-4[m] .
" (-1
)
ïÅ‚2Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
i
i
3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
i = 1 ðÅ‚ ûÅ‚
18. Zadanie
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 18.1. Obliczyć wzajemny kąt obrotu przekrojów po-
przecznych (osi) prętów schodzących się w przegubie (C) wywołaną zadanymi wymuszeniami kinema-
tycznymi  przemieszczeniami podpór.
| 4 [m] | 4 [m] |
Rys. 18.1. Dany układ ramowy z obciążeniem zewnętrznym (wymuszenia kinematyczne)
ZmianÄ™ kata obrotu "Õ obliczymy ze wzoru wynikajÄ…cego z zasady prac wirtualnych
T
n
E
w przypadku dziaÅ‚ania wymuszonych przemieszczeÅ„ podpór "Õ = - Å" Ri ;
""i
O
i=1
R
gdzie:
I
"i  zadane przemieszczenie (osiadanie) podpory,
A
Ri  reakcja przy jednostkowym obciążeniu wirtualnym.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 23
Zadane przemieszczenia podpór (osiadanie):
"1 = ÕA = 0,05 [rad],
"2 = uB = -0,04 [m],
"3 = vB = -0,03 [m].
Reakcje podporowe wywołane
jednostkowym obciążeniem wirtualnym.
R1 = M = 1,5 [m]
A
R2 = HB = 0,25
[-]
R3 = VB = 0
[-]
Rys. 18.2. Wyznaczenie reakcji od obciążenia jednostkowego wirtualnego
Obliczenie zmiany kÄ…ta obrotu "Õ przekrojów z lewej i prawej strony punktu (C).
3
"Õ = - Å" Ri = - îÅ‚1,5Å" 0,05 + 0, 25Å" Å‚Å‚ = -0,065 [rad] = -3o43' .
(-0,04
)ûÅ‚
""i
ðÅ‚
i=1
19. Zadanie
Dany jest układ ramowy trójprzegu-
bowy przedstawiony na rysunku 19.1.
Obliczyć przemieszczenie ´ powstaÅ‚e
w wyniku zaznaczonych błędów mon-
tażowych
Imperfekcje
(niedokładności) geometryczne:
"l = 0,03 [m] ,
1 - 2
"Õ = 0,01[rad] .
2
Rys. 19.1. Dany układ z obciążeniem zewnętrznym
(przyjąć spody)
Przemieszczenie ´ obliczymy ze wzoru (zasada prac wirtualnych, przypadek bÅ‚Ä™dów montażu 
T
imperfekcji geometrycznych)
E
´ = Å" Ni + "Õi Å" Mi ;
)
"("l
i
O
R gdzie:
I
"li,"Õi  imperfekcje geometryczne (tu rozumiane jako bÅ‚Ä™dy montażowe),
A
Ni, Mi  siły wewnętrzne w miejscu i na kierunku danej imperfekcji geometrycznej.
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS
v. 2010.02.26 Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek strona 24
Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego
i odpowiadające mu wielkości statyczne
(sprzężone z zadanymi imperfekcjami).
Obliczenie przemieszczenia
´ = "lC -1 Å" NC -1 + "Õ1 Å" M1 =
= 0,03Å" 0,5 + 0,01Å"(-2) = -0,005 [m]
Rys. 19.2. Wyznaczenie reakcji (NC-1, M1)
Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel się swoimi spostrzeżeniami
pisząc na adres e-mail: [e-mail]. z góry dziękujemy MKJ & MS