WIELOK
TY PODOBNE
Z prawej strony przedstawiony jest spinacz na-
A
turalnej wielkości. Poniżej ten sam spinacz (lub
jego fragment) przedstawiono w różnych ska-
lach. Zmierz długości odpowiednich odcinków
i oblicz te skale.
Jeśli daną figurę F powiększymy lub pomniejszymy w pewnej skali, to
otrzymamy figurÄ™ podobnÄ… do figury F. Figury pozostanÄ… podobne, gdy
jedną z nich przekształcimy przez symetrię, przesunięcie lub inną izome-
trię. O figurach podobnych możemy powiedzieć, że mają taki sam kształt,
a różnią się wielkością. Na poniższych rysunkach przedstawiono dwie pary
figur podobnych.
W figurach podobnych dla każdej pary odpowiadających sobie odcinków
stosunek ich długości jest taki sam. Liczbę równą temu stosunkowi nazy-
wamy skalą podobieństwa.
Figury F i F na rysunku poniżej są podobne. Odcinkowi AB wfigurze F
odpowiada w figurze F odcinek A B . Zatemfigura F jest podobna do
|A B |
figury F wskali k = .
|AB|
|A B | |C D | |E F |
= =
|AB| |CD| |EF|
328 FIGURY PODOBNE
ODOBNE
P
Y
T


OK
WIEL
Na ogół nie jest łatwo stwierdzić, czy dwie figury są podobne, zwłaszcza
gdy mają nieregularne kształty. Z kolei aby stwierdzić, czy podobne są
wielokąty, wystarczy skorzystać z następującej własności:
Dwa wielokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa wa-
runki:
" KÄ…ty jednego wielokÄ…ta majÄ… takie same miary jak odpowiednie kÄ…ty
drugiego wielokÄ…ta.
" Stosunki długości boków jednego wielokąta do długości odpowiednich bo-
ków drugiego wielokąta są takie same.
W wielokÄ…tach narysowanych obok odpo-
wiednie kÄ…ty majÄ… takie same miary, a sto-
sunki długości odpowiednich boków są
takie same. Wynika stąd, że wielokąty te
sÄ… podobne.
Stosunek długości któregokolwiek boku
wielokÄ…ta F do odpowiadajÄ…cego mu bo-
ku wielokąta F jest równy skali podobień-
stwa. WielokÄ…t F jest zatem podobny do
a
wielokąta F wskali k = (oczywiście tak-
a
b c
że k = , k = itd.).
b c
a 1
Zauważ, że wielokąt F jest podobny do wielokąta F wskali , czyli .
a k
Narysowane pięciokąty są podobne.
B
Znajdz
miarÄ™ kÄ…ta Ä… oraz skalÄ™ po-
dobieństwa i długość boku a.
Dwa z pięciokątów F1, F2, . . . , F6 są podobne do pięciokąta F. Które?
C
WIELOK
TY PODOBNE 329
WielokÄ…ty F i F na rysunku obok sÄ… po-
dobne. A
atwo zauważyć, że z równości:
e f
=
a b
wynika równość:
a e
=
e f g h
b f
= = =
a b c d
Podobnie można wykazać, że zachodzą inne proporcje, na przykład:
a e b f c g
= = =
c g c g d h
Możemy więc powiedzieć, że stosunek długości dwóch boków wielokąta F
jest równy stosunkowi długości odpowiadających im boków wielokąta F .
Taką własność mają dowolne dwa wielokąty podobne.
ZADANIA
1. a) Odcinek A B jest podobny do odcinka AB w skali 5. Jaką długość ma odcinek
A B , jeśli odcinek AB ma długość 2?
b) Kąt ą jest podobny do kąta ą w skali 3. Kąt ą ma miarę 30ć%. Jaką miarę ma
kÄ…t Ä… ?
1
c) Trójkąt K L M jest podobny do trójkąta KLM w skali . Jaki obwód ma trój-
3
kąt KLM, jeśli obwód trójkąta K L M jest równy 60?
2. Figury przedstawione na rysunku są podobne. W jakiej skali większa z figur jest
podobna do mniejszej?
3. Narysowane wielokÄ…ty sÄ… podobne. Znajdz
brakujÄ…ce wyrazy proporcji.
f ? a c a ? d ? z x p t p ? w ?
= = = = = = = =
a b ? e c ? e ? s ? ? y r ? y ?
330 FIGURY PODOBNE
4. Trójkąty przedstawione na rysunku są podobne. Oblicz długość boku a.
5. Wielokąty przedstawione na rysunku są podobne. Oblicz długość boku a oraz
miary kÄ…tów Ä… i ².
6. Uzasadnij, dlaczego figury przedstawione na rysunku nie sÄ… podobne.
7. Które z poniższych zdań są prawdziwe?
a) Jeśli stosunki długości dwóch sąsiednich boków dwóch prostokątów są równe,
to prostokÄ…ty te sÄ… podobne.
b) Dowolne dwa kwadraty sÄ… podobne.
c) Dwa trapezy prostokÄ…tne o takim samym kÄ…cie ostrym sÄ… podobne.
d) Jeśli jeden kąt rombu jest równy kątowi innego rombu, to romby te są podobne.
e) Jeśli długości przekątnych jednego równoległoboku są proporcjonalne do dłu-
gości przekątnych drugiego równoległoboku, to równoległoboki te są podobne.
8. a) WielokÄ…t F1 jest podobny do wielokÄ…ta F2 w skali 2, a wielokÄ…t F2 jest
podobny do wielokÄ…ta F3 w skali 7. W jakiej skali wielokÄ…t F1 jest podobny do
wielokÄ…ta F3?
b) WielokÄ…t F1 jest podobny do wielokÄ…ta F2 w skali 5 i jest podobny do wielokÄ…ta
F3 w skali 3. W jakiej skali wielokÄ…t F2 jest podobny
do wielokÄ…ta F3?
9. Trapez ABCF na rysunku obok jest podobny
do trapezu FCDE. Oblicz długość odcinka ED.
WIELOK
TY PODOBNE 331
10. Równoległobok ABCD na rysunku obok ma bo-
ki długości 4 i 6. Prosta EF odcina równoległobok
AEFD, podobny do równoległoboku ABCD. Znajdz

długość odcinka AE.
11. a) Z prostokąta odcięto kwadrat (zob. rysunek
obok) i otrzymano prostokÄ…t podobny do tego pro-
stokąta. Oblicz stosunek długości boków prostokąta.
b) Papier produkuje siÄ™ w prostokÄ…tnych arkuszach. Wymiary arkusza dobrane sÄ…
tak, że po złożeniu go na pół (równolegle do krótszego boku) otrzymujemy prosto-
kąt podobny do całego arkusza. Jaki jest stosunek długości boków arkusza papieru?
12. Na rysunku obok trójkąty ABC i CBD są po-
dobne. Boki trójkąta CBD mają długości |CD| = 2,
|DB| =3, |BC| = 4. Znajdz
długości boków AB i AC.
13. Na rysunku obok punkt F jest środkiem odcin-
ka BC. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ADE.
Znajdz
skalę tego podobieństwa.
TEST
T1. Do prostokÄ…ta o wymiarach 3 cm×12 mm jest podobny prostokÄ…t o wymiarach:
A. 6 cm × 6mm B. 12cm × 3m C. 12cm × 3mm D. 2m × 5m
T2. Pięciokąty przedstawione na
rysunku są podobne. Która z po-
niższych równości nie jest praw-
dziwa?
A. |UW| =4 C. |XW| =1
B. | ABC| =90ć% D. |BC| =9
T3. Trapez ABCD (zob. rysunek) jest podobny
do trapezu EFGH. Obwód trapezu EFGH wy-
nosi 36 cm. Obwód trapezu ABCD jest równy:
A. 42 cm C. 64 cm
B. 48 cm D. 72 cm
332 FIGURY PODOBNE
JEDNOKA
ADNOŚĆ
W jednym z poprzednich działów tego podręcznika omawialiśmy przykła-
dy różnych przekształceń geometrycznych (m.in. symetrie, przesunięcie).
Omówimy teraz kolejne ważne przekształcenie geometryczne  jedno-
kładność.
Na każdym z poniższych rysunków figura F jest obrazem figury F wjed-
nokładności o środku S i skali k.

Gdy skala jednokładności jest dodatnia, obrazem punktu P jest punkt P
leżący na półprostej SP. Natomiast gdy skala jest ujemna, obrazem punk-

tu P jest punkt P leżący na prostej PS, ale po przeciwnej stronie punktu S
niż punkt P . Ponadto, niezależnie od tego, czy skala jest dodatnia, czy
ujemna, musi zachodzić równość |SP | = |k| · |SP|. Taki sposób okreÅ›la-
nia jednokładności jest dosyć skomplikowany. Dużo łatwiej opisuje się to
przekształcenie za pomocą wektorów.
Narysuj dowolny trójkąt. Oznacz jego wierzchołki literami A, B, C. Zaznacz
A
dowolny punkt S na zewnątrz trójkąta ABC, a natępnie znajdz
takie punkty
A , B i C , by:
- -
--- --
- -
-- -
- -
--- --
SA =2SA SB =2SB SC =2SC
Niech S będzie dowolnym punktem płasz-
czyzny i niech k będzie dowolną liczbą
różną od zera. Jednokładność o środku S
i skali k określamy w następujący sposób:
Obrazem dowolnego punktu P jest taki

punkt P , dla którego zachodzi równość:
- -
-- -
- -
-- -

k
SP = k · SP JS (P) =P Ð! SP = k · SP
Ò!
JEDNOKA
ADNOŚĆ 333
ADNOŚĆ
KA

JEDNO
k
Jednokładność o środku S i skali k oznaczamy symbolem JS . Zauważ, że
obrazem punktu S w jednokładności o środku S jest ten sam punkt.
Uwaga. Jeśli jedna z figur jest obrazem drugiej w pewnej jednokładności o skali
różnej od 0, to mówimy, że figury te są jednokładne.
Narysuj w zeszycie trójkąt ABC i punkt S,
B
położone tak jak na rysunku obok, a na-
stępnie przekształć trójkąt ABC przez jed-
nokładność o środku S i skali:
1. k =2 3. k =-1
2
1
2. k = 4. k =-3
2 2
Czworokąt A B C D jest obrazem czworokąta ABCD w jednokładności o środ-
C
ku w jednym z zaznaczonych punktów. Wskaż środek jednokładności i określ
jej skalÄ™. Znajdz
na rysunku dowolne odcinki równoległe i oblicz stosunek ich
długości.
Narysuj dowolny odcinek AB, a następnie zaznacz dowolny punkt S. Znajdz

D
obraz odcinka AB w jednokładności o środku S i skali:
1
1. k =1 2. k =-1 3. k = 4. k =-6
2
A
atwo zauważyć, że gdy skala jednokładności jest równa 1, to obrazem
dowolnego odcinka jest ten sam odcinek. Natomiast gdy skala jednokład-
ności jest równa -1, to obrazem danego odcinka jest odcinek o tej samej
długości równoległy do danego.
3
-
2 -1
JS (AB) =A1B1 JS (AB) =A2B2 JS 2 (AB) =A3B3
W pozostałych przypadkach (gdy k =1i k = -1) odcinki jednokładne różnią

się długością, ale zawsze są równoległe.
334 FIGURY PODOBNE
Uwaga. Możemy powiedzieć, że jednokładność o skali k = 1 jest przekształceniem
tożsamościowym (obrazem każdego punktu jest ten sam punkt). Zauważ też,
że jednokładność o środku S i skali k = -1 to takie samo przekształcenie, jak
symetria środkowa o środku S.
Oto ważna własność jednokładności:
Obrazem odcinka o długości a wjed-
nokładności o skali k jest odcinek do
niego równolegÅ‚y o dÅ‚ugoÅ›ci |k|·|AB|.
Dowód
k
Niech S, A, A , B i B będą takimi punktami, że JS (AB) = A B . Pokażemy, że
- -
---- --
A B = k·AB .
Z określenia jednokładności wynika, że:
- - - -
--- -- -- -
SA = k·SA oraz SB = k·SB
Z własności działań na wektorach otrzymujemy:
- - - - -
---- --- -- -- -
A B = A S + SB = k·AS + k·SB =
- - - -
-- - -- -
SA = k ·SA , wiÄ™c A S = k ·AS
- - -
-- - --
= k· (AS + SB ) =k· AB
- -
---- --
Z równoÅ›ci A B = k·AB wynika, że odcinki A B i AB sÄ… równolegÅ‚e oraz że
zachodzi równość |A B | = |k|·|AB|.
Z udowodnionej własności wynika, że jednokładność o skali k to takie
przekształcenie, w którym:
obrazem prostej jest prosta do niej równoległa,
obrazem kÄ…ta jest kÄ…t o takiej samej mierze,
obrazem danego wielokÄ…ta jest wielokÄ…t o takich samych kÄ…tach, a boki
tego wielokąta są proporcjonalne do boków danego wielokąta; możemy
powiedzieć, że są |k| razy dłuższe (lub krótsze) od odpowiednich boków
danego wielokÄ…ta.
ZADANIA
1. Narysuj dowolny prostokąt, a następnie przekształć go przez jednokładność
o środku leżącym:
a) wewnÄ…trz prostokÄ…ta i skali k =2,
1
b) w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta i skali k =- ,
2
3
c) w jednym z wierzchołków prostokąta i skali k =- .
2
JEDNOKA
ADNOŚĆ 335
2. Figura na rysunku obok zbudowana zo-
stała z trójkątów równobocznych. Zastąp
znaki zapytania odpowiednimi symbolami
figur lub liczbami oznaczajÄ…cymi skalÄ™ jed-
nokładności.
1
-
3 -2
a) JO(N) = ? JS (TX) = ? JN2 ("LNB) = ?
1
3 2 -2
b) JA(?) = S JR (?) = MS JT (?) = "HT K
? ? ?
c) JM (L) =O JG(AF) =XK JI ("QSG) ="EDK
3. a) Narysuj dwa odcinki równoległe o różnych długościach i znajdz
środek jedno-
kładności przekształcającej jeden z tych odcinków w drugi.
Uwaga. SÄ… dwa takie punkty.
b) Narysuj dwa przecinające się okręgi o różnych średnicach. Wyznacz środek jed-
nokładności przekształcającej jeden z tych okręgów w drugi.
c) Narysuj dowolny okrąg oraz dowolny trójkąt leżący na zewnątrz tego okrę-
gu. Opisz, w jaki sposób można znalez
ć trójkąt jednokładny do danego trójkąta
o wierzchołkach leżących na danym okręgu.
4. Czy istnieje figura, której obrazem w jednokładności o skali k = 1 i k = -1 jest

ta sama figura? Czy istnieje taka figura, która jest ograniczona (zawarta w jakimś kole)?
5. Obrazem odcinka MN w jednokładności o środku M i skali -5 jest odci-
nek M N . Jaka jest skala jednokładności, w której obrazem odcinka NM jest
odcinek NN ?
6. Na dwóch rysunkach przedstawiono parę figur, z których jedna jest obrazem
drugiej w pewnej jednokładności. Wskaż te rysunki.
7. Narysowane prostokąty są jednokładne. Oblicz ich obwody.
336 FIGURY PODOBNE
8. a) Narysuj dowolny trójkąt, a następnie skon-
struuj kwadrat, którego wszystkie wierzchołki leżą
na bokach tego trójkąta.
Wskazówka. Zacznij od narysowania dowolnego kwadra-
tu, którego trzy wierzchołki leżą na bokach trójkąta.
b) Narysuj dowolny trójkąt i skonstruuj taki trójkąt równoboczny, którego wierz-
chołki leżą na bokach danego trójkąta (każdy z wierzchołków na innym boku).
9. Punkt P przekształcono przez jednokładność o środku S i skali k. Znajdz
współ-
rzędne otrzymanego punktu, gdy:
a) P = (-2, 1), S = (0, 0), k =3 d) P = (1, 0), S = (-10, 2), k =-1
4
b) P = (-10, -5), S = (0, 0), k =-2 e) P = (5, 1), S = (-100, -200), k = -10
3
c) P = (5, 7), S = (1, 2), k =2 f) P =(a +5, b -1), S =(a, b), k =3

10. Punkt P jest obrazem punktu P w jednokładności o środku S.

a) Jaka jest skala jednokładności, jeśli P = (2, 5), P = (7, 10) i S = (-2, 1)?
1

b) Jakie współrzędne ma punkt S, jeśli P = (10, -2), P = (-5, -3) i k =- ?
3
11. Odcinek o końcach w punktach A = (-2, 0), B = (-3, 4) przekształcono przez

7
jednokładność i otrzymano odcinek o końcach w punktach (1, 0) i , -3 . Znajdz

4
współrzędne środka oraz skalę tej jednokładności.
Uwaga. Zadanie to ma dwa rozwiÄ…zania.
TEST
T1. Obrazami punktów A, B i C w jednokładności o skali -3 są odpowiednio punk-
ty A , B i C . Które z poniższych zdań jest fałszywe?
A. |A B | =3 |AB|
B. Odcinek BC jest równoległy do odcinka B C .
|AC| 1
C. =
|A C | 3
D. Obwód trójkąta ABC jest 3 razy dłuższy od obwodu trójkąta A B C .
1
T2. Obrazem punktu (4, -1) w jednokładności o środku (-2, 1) i skali jest punkt
2
o współrzędnych:
A. (1, 0) B. (-1, 4) C. (-8, 3) D. (6, -3)
T3. W jednokładności o środku (4, -2) obrazem punktu (-4, -6) jest punkt (8, 0).
Skala tej jednokładności jest równa:
1 1
A. 2 B. C. - D. -4
2 2
JEDNOKA
ADNOŚĆ 337
CECHY PODOBIEC
STWA TRÓJK
TÓW.
TWIERDZENIE TALESA
1. Narysuj dwa czworokąty, w których odpowiednie boki są proporcjonalne,
A
ale które nie są podobne.
2. Narysuj dwa czworokąty, które mają odpowiednie kąty równe, ale które nie
sÄ… podobne.
3. Narysuj dowolny trójkąt ABC, a następnie narysuj trójkąt, który ma takie
same kąty jak trójkąt ABC, ale boki  innej długości. Sprawdz
, czy boki tych
dwóch trójkątów są proporcjonalne.
4. Narysuj dowolny trójkąt KLM, a następnie skonstruuj trójkąt, który ma
wszystkie boki 2 razy dłuższe od boków trójkąta KLM. Sprawdz
, czy oba te
trójkąty mają równe kąty.
Gdy rysujemy czworokÄ…t podobny do danego czworokÄ…ta, to musimy za-
dbać zarówno o to, aby miary odpowiednich kątów były równe, jak i o to,
aby odpowiednie boki były proporcjonalne. Można bowiem podać przy-
kłady czworokątów, których boki są proporcjonalne, a kąty nie są równe,
a także przykłady czworokątów, których kąty są równe, a boki nie są pro-
porcjonalne.
W wypadku trójkątów jest nieco inaczej. Sprawdzenie obu warunków po-
dobieństwa wielokątów nie jest konieczne, gdyż jeśli dwa trójkąty mają
proporcjonalne boki, to na pewno mają takie same kąty, a także gdy kąty
dwóch trójkątów są równe, to na pewno ich boki są proporcjonalne. Mówią
o tym własności zwane cechami podobieństwa trójkątów.
Uwaga. Przy dowodzeniu cech podobieństwa trójkątów będziemy korzystać
z własności trójkątów, zwanych cechami przystawania:
Jeśli dwa trójkąty mają równe boki, to są przystające.
Jeśli dwa trójkąty mają bok o tej samej długości i odpowiednie kąty przylega-
jące do tego boku w tych trójkątach są równe, to trójkąty te są przystające.
Jeśli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie
boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to
trójkąty są przystające.
CECHY PODOBIEC
STWA TRÓJK
TÓW
Cecha bbb (bok bok bok)
Jeśli długości boków jednego trój-
kąta są proporcjonalne do długo-
ści odpowiednich boków drugiego
trójkąta, to trójkąty te są podobne.
a b c
= =
a c
b
338 FIGURY PODOBNE
.
ÓW
T


JK
Ó
R
T
A
EC
STW
Dowód
Załóżmy, że trójkąt ABC ma boki długości a, b i c, trójkąt A B C ma boki
a b c
długości a , b i c oraz = = .
a b c
Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
a
k = (i dowolnie wybra-
a
nym środku).
Otrzymany w ten sposób trójkąt A1B1C1 ma boki długości ka, kb i kc. Ponie-
waż ka = a , kb = b i kc = c , więc trójkąt A1B1C1 ma boki o takich samych
długościach jak trójkąt A B C , zatem jest do niego przystający. Wynika stąd,
że trójkąt A B C jest podobny do trójkąta ABC.
Który z narysowanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC?
B
Cecha kk (kÄ…t kÄ…t)
Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są
równe odpowiednim kątom drugie-
go trójkąta, to trójkąty te są po-
dobne.
Dowód
Załóżmy, że trójkąty ABC i A B C mają równe kąty: ą = | CAB| = | C A B |
i ² = | ABC| = | A B C |.
Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
|A B |
k = (i dowolnie wybra-
|AB|
nym środku).
Otrzymany w ten sposób trójkÄ…t A1B1C1 ma dwa kÄ…ty równe Ä… i ² (| C1A1B1| =
= Ä… i | A1B1C1| = ²) oraz bok o dÅ‚ugoÅ›ci |A B |, gdyż |A1B1| = k · |AB| =
|A B |
= · |AB| = |A B |. Zatem trójkÄ…ty A1B1C1 i A B C majÄ… dwa kÄ…ty równe
|AB|
i w obu tych trójkątach boki, do których przylegają równe kąty, są tej samej
długości. Są to więc trójkąty przystające. Wynika stąd, że trójkąt A B C jest
podobny do trójkąta ABC.
CECHY PODOBIEC
STWA TRÓJK
TÓW. TWIERDZENIE TALESA 339
Cecha bkb (bok kÄ…t bok)
Jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości
odpowiednich boków drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami w obu
trójkątach są równe, to trójkąty te są podobne.
Dowód
Załóżmy, że dla trójkątów ABC i A B C zachodzą równości:
|A C | |B C |
| ACB| = | A C B | = Å‚ =
|AC| |BC|
Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
|A C |
k = (i dowolnie wybra-
|AC|
nym środku).
Otrzymany trójkÄ…t A1B1C1 ma boki o dÅ‚ugoÅ›ciach |A1C1| = k · |AC| = |A C |
oraz |B1C1| = k · |BC| = |B C |, a kÄ…t miÄ™dzy tymi bokami jest równy Å‚
(| A1C1B1| = | ACB| = ł). Dwa boki trójkąta A1B1C1 mają więc takie sa-
me długości jak odpowiednie boki trójkąta A B C i kąt między tymi bokami
w obu trójkątach jest taki sam. Trójkąty te są zatem przystające. Wynika stąd,
że trójkąt A B C jest podobny do trójkąta ABC.
Czy narysowane trójkąty są podobne?
C
Który z narysowanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC?
D
340 FIGURY PODOBNE
Aby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, wystarczy skorzystać z jednej
z cech podobieństwa trójkątów. Cechy podobieństwa trójkątów przydają
się przy rozwiązywaniu rozmaitych problemów geometrycznych (dotyczą-
cych nie tylko trójkątów).
P Wtrapezie ABCD ramiona mają długości |AD| = 5 i |BC | = 3, przekątna BD ma
długość 6, a kąty BAD i CBD są równe. Oblicz obwód tego trapezu.
SporzÄ…dzamy rysunek pomocniczy.
| BAD| = | CBD| Równość wynika z treści zadania.
| ABD| = | BDC | Kąty ABD i BDC są naprzemianległe.
"ABD jest podobny do "BDC (cecha kk).
|AB| |AD| |BD| |AD|
Zatem: = i = |BD| =6, |AD| =5, |BC| =3
|BD| |BC | |DC | |BC |
StÄ…d:
|AB| 5 6 5
= i =
6 3 |DC | 3
|AB| =10 i |DC | =3,6
Obwód = |AB| + |BC | + |CD| + |DA| =10+3+3,6+5=21,6
Odp. Obwód trapezu wynosi 21,6.
Z cechami podobieństwa trójkątów związane są: twierdzenie Talesa oraz
twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.
Twierdzenie Talesa
Jeżeli dwie proste równoległe przecinają oba ramiona pewnego kąta,
to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kÄ…ta sÄ…
proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.
Zatem jeśli proste równoległe l i m przeci-
nają ramiona kąta o wierzchołku O w punk-
tach A, B, A i B tak, że punkty A i A leżą
na jednym ramieniu, a punkty B i B  na
drugim ramieniu kÄ…ta (zob. rysunek obok),
to zachodzi proporcja:
|OA| |OA |
=
|OB| |OB |
CECHY PODOBIEC
STWA TRÓJK
TÓW. TWIERDZENIE TALESA 341
Dowód
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.
Zauważmy, że trójkąty ABB i ABA ma-
ją wspólny bok AB, a z równoległości pro-
stych AB i A B wynika, że wysokości opusz-
czone z wierzchołków A i B mają równe
długości. Zatem pola trójkątów ABB i ABA
są równe.
Pole trójkąta OAB jest sumą pól trójkątów OAB i ABB , a pole trójkąta OA B
jest sumą pól trójkątów OAB i ABA . Zatem trójkąty OAB i OA B mają równe
pola.
Trójkąty OAB i OA B mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B.
Zatem stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości boków OA i OA .
Podobnie stosunek pól trójkątów OAB i OAB jest równy stosunkowi boków
OB i OB .
P"OAB |OA| P"OAB |OB|

Z równości = , = i P"OA B = P"OAB wynika proporcja
P"OA |OA | P"OAB |OB |
B
|OA| |OB| |OA| |OA |
= , a po jej przekształceniu otrzymamy = .
|OA | |OB | |OB| |OB |
Jeśli długości odcinków oznaczymy tak jak
na rysunku obok, to z twierdzenia Talesa
otrzymujemy:
e + f
e a b
= =
a a + b e f
Drugą z tych proporcji można otrzymać, prze-
kształcając pierwszą proporcję.
Z podobieństwa odpowiednich trójkątów wynikają też inne proporcje, na
przykład:
d a + b d e + f c d
= = =
c a c e a a + b
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Jeśli na jednym ramieniu kąta o wierzchoł-
ku O wybierzemy punkty A i B, anadrugim
ramieniu punkty C i D w taki sposób, że za-
chodzi proporcja:
|OA| |OB|
= ,
|OC| |OD|
to proste AC i BD są równoległe.
342 FIGURY PODOBNE
Dowód
Załóżmy, że punkty A i B leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O,
|OA| |OB|
a punkty C i D leżą na jego drugim ramieniu oraz = .
|OC| |OD|
Jeśli przez punkt B poprowadzimy prostą równoległą do prostej AC i przetnie
|OA| |OB|
ona ramiÄ™ kÄ…ta w punkcie B , to = , co wynika z twierdzenia Talesa.
|OC| |OB |
|OA| |OB|
Z tej równości oraz z założenia = wynika, że |OB | = |OD|, zatem
|OC| |OD|
B = D, czyli prosta BD jest równoległa do prostej AC.
ZADANIA
1. Czy z informacji podanych na rysunku wynika, że trójkąty są podobne?
2. Uzasadnij, że zacieniowany trójkąt jest podobny do trójkąta ABC. Znajdz
skalÄ™
podobieństwa.
CECHY PODOBIEC
STWA TRÓJK
TÓW. TWIERDZENIE TALESA 343
3. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DAC. Znajdz
skalÄ™ tego
podobieństwa.
4. Wykaż, że wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona z wierzchołka kąta pro-
stego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty do niego podobne. Znajdz
skale tych
podobieństw, gdy trójkąt ma boki długości 3, 4 i 5.
5. Narysuj prostokąt, a następnie podziel go na:
a) trzy trójkąty podobne, b) pięć trójkątów podobnych.
6. Na rysunku obok punkt P jest punktem przeciÄ™-
cia okręgu o średnicy AB z bokiemDC prostokąta
ABCD. Wykaż, że trójkąt ADP jest podobny do trój-
kąta BPA i do trójkąta PCB.
7. Wykaż, że trójkąt DCS na rysunku obok jest po-
dobny do trójkąta ABC. Znajdz
skalę podobieństwa.
8. Znajdz
na rysunku obok trzy trójkąty podobne
do trójkąta ADC.
9. Proste k, l, m są równoległe. Znajdz
długość odcinka x.
344 FIGURY PODOBNE
10. Proste m i n na rysunku obok sÄ…
równoległe. Wykaż, że:
|AC|.|OD| = |BD|.|OC|
11. Popatrz na rysunek obok. Znajdz

brakujÄ…ce wyrazy proporcji.
a a + c d ?
a) = c) =
b ? b + d ?
e f a ?
b) = d) =
b ? c ?
12. W trójkącie ABC dane są |AC| = |BC| = a oraz
|AB| = b. Prosta równoległa do ramienia AC przeci-
na boki trójkąta w punktach D i E wtaki sposób, że
|CE| = |BD|. Oblicz obwód trójkąta DBE.
13. Podczas całkowitego zaćmienia Słońca Księżyc niemal całkowicie zasłania tar-
czę słoneczną. Korzystając z poniższych danych, oblicz średnicę Słońca.
14. Jeśli osoba stanie w odległości 4 m od okna
w mieszkaniu pewnego budynku, zobaczy fragment
budynku naprzeciwko, przedstawiony na rysunku.
Przyjmując, że jedna kondygnacja ma 3 m wysoko-
ści, oblicz, jaka jest odległość między budynkami.
15. a) KorzystajÄ…c z danych na rysun-
ku, oblicz, jak wysoko znajduje siÄ™ ko-
niec huśtawki, gdy drugi koniec jej bel-
ki dotyka ziemi.
b) Jak zmieni się największa wysokość, na którą wznosi się koniec huśtawki, gdy
wydłużymy lub skrócimy belkę huśtawki, a punkt podparcia ciągle będzie w środku
i nie zmieni się jego wysokość?
CECHY PODOBIEC
STWA TRÓJK
TÓW. TWIERDZENIE TALESA 345
Perspektywa w malarstwie to sposób Rysunek poniżej przedstawia rząd słu-
uzyskiwania wrażenia trójwymiarowości pów narysowany zgodnie z regułami
na płaskim rysunku. Opiera się on na perspektywy. W rzeczywistości słupy te
wrażeniu pozornego zmniejszania się mają równe wysokości i są rozstawione
przedmiotów wraz z oddalaniem się ich w takich samych odstępach. Według za-
od obserwatora i na złudzeniu zbieżno- sad perspektywy trapezy ABDC, CDFE,
ści linii biegnących ku horyzontowi. EFHG itd. są podobne.
Zasady perspektywy znano już w staro-
żytności, ale z różnych przyczyn nie sto-
sowano ich w ciągu wielu wieków. Przy-
wrócił je w malarstwie włoski architekt
i rzez
biarz Filippo Brunelleschi (czyt.
brunelleski) na poczÄ…tku XV wieku.
16. Przeczytaj ciekawostkÄ™. Rysunek
obok został wykonany zgodnie z regu-
Å‚ami perspektywy. Kolumny przedsta-
wione na rysunku w rzeczywistości ma-
ją równe wysokości. Liczby na rysunku
oznaczają długości narysowanych od-
cinków w milimetrach.
a) Uzasadnij, że w rzeczywistości odległość między kolumnami RP i TS jest inna
niż między kolumnami TS i WU.
b) Przypuśćmy, że przed kolumną oznaczoną na rysunku RP w tej samej linii stoi
jeszcze jedna kolumna o tej samej wysokości, ale jej odległość (w rzeczywistości)
od kolumny RP jest taka sama jak odległość między kolumnami RP i TS. Jaką
wysokość powinien mieć odcinek przedstawiający tę kolumnę na rysunku?
17. Na szczeblach drabiny położono
poziomo deski jak na rysunku obok.
a) Wskaż pięć trójkątów podobnych do
trójkąta ABM.
b) Wyjaśnij, dlaczego trapezy FGHI
i EFIJ nie sÄ… podobne.
c) Wskaż dwa trapezy podobne do tra-
pezu BCLM oraz trapez podobny do
trapezu BDKM.
346 FIGURY PODOBNE
ci
e
k
a
w
o
stk
a
Prototypem aparatu fotograficznego jest Takie urzÄ…dzenie nazwano camera ob-
szczelne pudełko z małym otworkiem scura (czyt. kamera obskura), czyli  ciem-
w jednej ze ścian. Światło wpadające na komnata , i rzeczywiście niekiedy mia-
przez ten otwór rzuca na przeciwległą ło ono rozmiary pokoju.
ścianę (ekran) odwrócony obraz przed-
miotu stojÄ…cego przed otworem.
18. Przeczytaj ciekawostkę. Załóżmy, że odległość między otworem a ekranem
w camera obscura wynosi 30 cm.
a) W jakiej odległości od budynku o wysokości 15 m należy umieścić to urządzenie,
aby obraz budynku na ekranie miał 10 cm wysokości?
b) Jak wysoki jest pomnik, którego obraz uzyskany za pomocą camera obscura
z odległości 20 m ma wysokość 12 cm?
19. Uderzona bila potoczyła się z punktu A i po odbiciu od dwóch band zatrzy-
mała się w punkcie B. W jakich odległościach od narożnika C bila odbiła się od
band?
20. Wykaż, że trójkąty zaznaczone na rysunku obok
są podobne do trójkąta ABC. Dla każdego z tych
trójkątów oblicz, w jakiej skali jest on podobny do
trójkąta ABC.
CECHY PODOBIEC
STWA TRÓJK
TÓW. TWIERDZENIE TALESA 347
ci
e
ka
w
o
stk
a
21. Na rysunku obok litery oznaczają długości za-
znaczonych odcinków. Wykaż, że zachodzi równość:
1 1 1
+ =
a b c
Uwaga. Liczba 2c nazywana jest średnią harmoniczną
liczb a i b.
22. a) Wykaż, że czworokąty przedsta-
wione na rysunku obok sÄ… podobne.
b) Rysunek ten ilustruje pewnÄ… cechÄ™
podobieństwa czworokątów. Sformułuj
tÄ™ cechÄ™.
TEST
T1. Poniżej podano pewne informacje o trójkątach ABC i KLM. Wktórymprzy-
padku można stwierdzić, że te trójkąty są podobne?
A. |AB| =8, |BC| =6 oraz|KL| =4, |KM| =3
B. |AB| =8, | ABC| =40ć% oraz |KL| =4, | KLM| =40ć%
C. | ABC| =80ć%, | ACB| =40ć% oraz | KLM| =80ć%, | LKM| =60ć%
D. |AB| =8, |BC| =6, | ABC| =40ć% oraz |KL| =4, |LM| =3, | LKM| =40ć%
T2. Proste BE, CD i FG są równoległe, |AE| = 12, |ED| = 8, |EB| = 6, |FG| = 2
i |BC| = 6. Która z poniższych długości odcinków jest błędna?
A. |AB| =9 B. |CD| =10 C. |AG| =5 D. |AF| =3
T3. Które z prostych na rysunku są równoległe?
A. a i b B. b i d C. a i d D. b i c
348 FIGURY PODOBNE
POLA FIGUR PODOBNYCH
1. Figury F i F na rysunku obok sÄ… podob-
A
ne. Jaka jest skala podobieństwa figury F
do figury F? Ile kratek mieści się w figurze
F, a ile wfigurze F ? Jaki jest stosunek pola
figury F do pola figury F?
2. Narysuj figurÄ™ podobnÄ… do figury F wska-
li k = 3. Ile razy pole figury, którą narysowa-
łeś, jest większe od pola figury F?
Wiemy już, że stosunek długości odpowiednich boków wielokątów podob-
nych jest równy skali podobieństwa. Istnieje także ścisła zależność między
polami tych figur.
1. Jakie jest pole kwadratu podobnego w skali k do kwadratu o boku a?
B
2. Bok trójkąta ma długość a, zaś wysokość poprowadzona do tego boku ma
długość h. Jakie jest pole trójkąta podobnego do tego trójkąta wskali k?
3. Jakie pole ma figura podobna w skali k do sześciokąta foremnego o boku a?
Rozwiązując ćwiczenie B, można zauważyć, że stosunek pól prostokątów
podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Z ćwiczenia wynika
także, że stosunek pól trójkątów podobnych oraz sześciokątów foremnych
podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Taka równość za-
chodzi dla dowolnych figur podobnych.
Stosunek pól figur podobnych jest równy
kwadratowi skali podobieństwa.
Inaczej mówiąc, jeżeli figura F jest podob-
na do figury F w skali k i pole figury F
jest równe PF , to pole figury F jest równe
k2 · PF , czyli:

PF = k2 · PF
Figury F i F sÄ… podobne. Ustal, w jakiej skali figura F jest podobna do
C
figury F, jeśli:
1. pole figury F jest 9 razy większe od pola figury F,
2. pole figury F jest 2 razy większe od pola figury F,
3. pole figury F jest 4 razy mniejsze od pola figury F?
Figury F1 i F2 sÄ… podobne. Pole figury F1 wynosi 7, a pole figury F2 jest
D
równe 63. Jaki obwód ma figura F1, jeśli figura F2 ma obwód 100?
POLA FIGUR PODOBNYCH 349
CH
ODOBNY
P
R
U
G
I
F
A
P Trójkąt ABC przecięto prostą równoległą do boku AB w ten sposób, że otrzyma-
no mniejszy trójkąt i trapez o podstawach długości 7 i 10. Trójkąt ABC ma pole
równe 100. Jakie jest pole otrzymanego trapezu?
SporzÄ…dzamy rysunek pomocniczy.
Z równoległości odcinków AB i DE wynika,
że | ABC| = | DEC| i | BAC| = | EDC|,
Trójkąty DEC i ABC są podobne.
czyli trójkąty są podobne (cecha kk).
|DE | 7 Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta DEC
k = =
|AB| 10 do trójkąta ABC.
2
7
P1 = k2 · P = · 100 = 49
10
P2 = P - P1 =100-49=51
Odp. Trapez ma pole równe 51.
ZADANIA
1. Figury F1 i F2 przedstawione na rysunku sÄ… podobne.
a) Pole figury F1 wynosi 8. Oblicz pole c) Pole figury F1 jest 5 razy większe od
figury F2. pola figury F2. Oblicz długość boku a.
b) Pole figury F1 wynosi 21. Oblicz po- d) Pole figury F1 wynosi 15, a pole fi-
le figury F2. gury F2 jest równe 20. Oblicz długość
boku x.
350 FIGURY PODOBNE
2. Znajdz
skalę podobieństwa narysowanych figur  mniejszej do większej.
3. Poniżej narysowano trójkąt, romb i trapez. W każdym z wielokątów zaznaczono
wielokÄ…t do niego podobny. Oblicz pola zacieniowanych figur.
4. W trójkącie o polu P przez środki dwóch boków poprowadzono prostą. Oblicz
pola figur, na jakie prosta ta podzieliła trójkąt.
5. Poniżej są narysowane trzy jednakowe sześciokąty foremne o polu 16. W każ-
dym z tych sześciokątów zaznaczono mniejszy sześciokąt foremny. (Na pierwszym
rysunku wierzchołki mniejszego sześciokąta są środkami boków większego). Oblicz
pola tych sześciokątów.
6. CzworokÄ…t ABCD na rysunku obok
jest trapezem. Oblicz pola trójkątów
ABE, DEC, AED i BCE.
7. W trapezie ABCD podstawy mają długości: |AB| = a i |CD| = b. Punkt E
jest punktem przecięcia przekątnych trapezu. Oblicz stosunek pól trójkątów ABE
i CDE oraz stosunek pól trójkątów AED i ABE.
POLA FIGUR PODOBNYCH 351
8. Punkt M jest środkiem boku CD równoległobo-
ku ABCD. Jaką część pola równoległoboku stanowi
pole trójkąta ABN?
9. PrzekÄ…tna AC prostokÄ…ta ABCD jest bokiem po-
dobnego do niego prostokąta ACFE. Pole części
wspólnej tych prostokątów stanowi 40% pola pro-
stokÄ…ta AEFC. Znajdz
stosunek długości boków pro-
stokÄ…ta ABCD.
10. Trapez podzielono dwiema liniami równoległy-
mi do podstaw na trzy figury, z których każda jest
podobna do dwóch pozostałych. Dane są pola S1
i S3. Znajdz
pole S2.
11. Punkty B, C i D są współliniowe.
Wykaż, że pole P trójkąta ACE jest rów-
ne średniej geometrycznej pól i P2
P1
trójkÄ…tów ABC i ECD, tzn. P = P1 · P2.
Twierdzenie Pitagorasa można sformułować w na-
stępujący sposób:
W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbu-
dowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokÄ…tnej.
Twierdzenie to można uogólnić, zastępując kwadra-
ty odpowiednimi figurami podobnymi:
Jeśli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy
trzy figury podobne, to suma pól figur zbudowa-
nych na przyprostokątnych jest równa polu figury
zbudowanej na przeciwprostokÄ…tnej.
PF1 + PF2 = PF3
12. Uzasadnij uogólnione twierdzenie Pitagorasa podane w ciekawostce.
352 FIGURY PODOBNE
ci
e
k
a
w
o
stk
a
13. Na bokach trójkąta prostokątnego zbu-
dowano trójkąty równoboczne w sposób
przedstawiony na rysunku. Pole najwięk-
szego z tych trójkątów jest równe 60, a naj-
mniejszego 15. Jakie jest pole trzeciego
z tych trójkątów równobocznych?
14. Na bokach trójkąta prostokątnego ABC
zbudowano trójkąty prostokątne podobne
do niego (zob. rysunek). Pole trójkąta rów-
"
nobocznego AEF jest równe 9 3. Oblicz
pole trójkąta ABC.
TEST
T1. Wielkość (wysokość) czcionki mierzona jest w punktach. Słowo  figura napi-
sano poniżej czcionką o wielkości 12 punktów (napis po lewej stronie). Napis po
prawej stronie powstał przez powiększenie poprzedniego do wielkości 16 punktów.
figura figura
Ile razy więcej tuszu zużyto na wydrukowanie drugiego z tych słów niż na wydru-
kowanie pierwszego?
4
A. razy C. 2 razy
3
16
B. razy D. 3 razy
9
T2. Na dwóch planach tego samego terenu, jednym w skali 1 : 100, a drugim w ska-
li 1 : 500, pokolorowano te same obiekty. Na planie w skali 1 : 100 pokolorowane
obiekty zajmują powierzchnię 50 cm2. Jakie jest pole powierzchni obiektów poko-
lorowanych na planie w skali 1 : 500?
A. 2 cm2 C. 10 cm2
B. 250 cm2 D. 1250 cm2
T3. ZdjÄ™cie o wymiarach 12 cm × 15 cm przedstawia samochód. Samochód na tym
zdjęciu zajmuje powierzchnię 54 cm2. Na powiększeniu tego zdjęcia samochód zaj-
muje powierzchnię 96 cm2. Jakie są wymiary powiększonego zdjęcia?
A. 15 cm × 18,75 cm C. 24 cm × 30 cm
B. 16 cm × 20 cm D. 27 cm × 33,75 cm
POLA FIGUR PODOBNYCH 353
1. Wielokąt F1 jest podobny do wielo- 7. Uzasadnij, że narysowane poniżej
kąta F2 wskali k. trójkąty są podobne. Oblicz długości
boków a i b.
a) Jaki obwód ma wielokąt F1, jeśli
wielokąt F2 ma obwód 30?
b) Jakie pole ma wielokąt F2, jeśli pole
wielokąta F1 jest równe 3?
2. Prostokąt o bokach długości 1 i 3
rozcięto na dwa prostokąty podobne.
W jakiej skali jeden z tych prostokątów
jest podobny do drugiego?
8. Trójkąty narysowane poniżej są po-
dobne. Oblicz długość boku x oraz
3. a) W jakiej skali wykres funkcji
1
stosunek pól tych trójkątów.
y = sin 3x jest podobny do wykresu
3
funkcji y =sin x?
b) Zapisz wzór funkcji, której wykres
jest podobny w skali 5 do wykresu
funkcji y =cos x.
4. Trójkąt A B C otrzymano w wyni-
ku przekształcenia trójkąta ABC przez
1
jednokładność o skali k = - i środku
9. Ustal, czy na podstawie poniższych
2
w punkcie A. Obrazem trójkąta A B C danych można stwierdzić, że trójkąty
w jednokładności o skali 3 i środ- ABC i UVW są podobne.
ku w punkcie C jest trójkąt A B C .
a) |AB| =9, |BC| =6, |AC| =5,
Jaka jest skala i gdzie leży środek jed-
5
nokładności, która przekształca trój- |VW| = , |UW| =2, |UV| =3
3
kąt ABC w trójkąt A B C ?
b) |BC| = 10, |AC| = 15, | ACB| =70ć%,
|UW| =5, |VW| =3, | VWU| =70ć%
5. a) Jakie współrzędne ma obraz
punktu P = (-3, -2) przekształconego
c) | ABC| =35ć%, | BCA| =70ć%,
przez jednokładność o środku w punk-
| WVU| =35ć%, | UWV| =75ć%
cie S = (1, -2) i skali 5?
b) Znajdz
współrzędne środka jedno-
kładności i jej skalę, jeśli obrazem od-
10. Oblicz, w jakiej skali trójkąt ACD
cinka o końcach A = (-1, 2) i B = (5, 5)
jest podobny do trójkąta ABC, a w ja-
jest odcinek o końcach A = (2, -1) oraz
kiej  do trójkąta DBC.
B = (0, -2).
6. Wykres funkcji y = sin x przekształ-
cono przez jednokładność o skali k
i środku leżącym w początku układu
współrzędnych. Zapisz wzór funkcji,
której wykres otrzymano, jeśli:
1
a) k =5 b) k = c) k =-2
3
354 FIGURY PODOBNE
POWTÓRZENIE
11. Jeden z kątów ostrych pewnego
14. Uzasadnij, że zacieniowany
trójkąta prostokątnego ma miarę ą.
trójkąt jest podobny do
Wysokość opuszczona z wierzchołka
trójkąta ABC. Znajdz

kąta prostego tego trójkąta dzieli go
skalę podobieństwa.
na dwa trójkąty do niego podobne. Dla
każdego z tych trójkątów ustal, w ja-
kiej skali jest on podobny do dużego
trójkąta.
15. W trapezie ABCD, który nie jest
12. Proste k, l i m na poniższym ry-
równoległobokiem, boki AB i CD są
sunku są równoległe. Oblicz długości
równoległe. Przekątna BD dzieli ten
odcinków a, b i c.
trapez na dwa trójkąty podobne. Wia-
domo, że |AB| = 10, |BD| =8i |AD| =5.
Oblicz obwód trapezu.
16. Pewne dwa wielokÄ…ty sÄ… podobne.
Wiadomo, że jeden z nich ma pole
2 razy większe, a obwód o 10 większy
od drugiego wielokÄ…ta. Znajdz
obwody
tych wielokątów.
13. Oblicz wysokość budynku,
wykorzystujÄ…c informacje
przedstawione na
17. Figura F2 jest podobna do figury
rysunku.
F1 w skali k. Figura F3 także jest po-
dobna do figury F1, a jej obwód jest
równy sumie obwodów figur F1 i F2.
Ile razy pole figury F3 jest większe od
sumy pól figur F1 i F2?
ZAGADKA
Na rysunku przedstawiono
pewne pojęcie matematycz-
ne (można je znalez
ć w tym
rozdziale). Jakie to pojęcie?
FIGURY PODOBNE 355
FRAKTALE
Figura przedstawiona na rysunku obok
to tzw. drzewko Pitagorasa. NazwÄ™ swÄ…
zawdzięcza temu, że jej fragmenty ilu-
strujÄ… twierdzenie Pitagorasa.
Na rysunkach obok sÄ… przedstawione
trzy etapy powstawania drzewka Pita-
gorasa. Figura poczÄ…tkowa jest zbudo-
wana z kwadratu i trójkąta prostokąt-
nego. W kolejnych etapach dorysowuje
siÄ™ figury do niej podobne.
A. Przyjmijmy, że pierwsza figura składa się z kwadratu o boku długości 5 i trójką-
ta prostokÄ…tnego o przyprostokÄ…tnych 3 i 4. Znajdz
na drugim rysunku dwie figury,
które są podobne do pierwszej figury. Określ dla każdej z nich skalę podobieństwa.
Na drzewku Pitagorasa (u góry strony) zaznaczona jest gałązka. Zauważ, że jest
ona figurą podobną do figury, jaką otrzymano w trzecim etapie. Gdybyśmy kon-
tynuowali rysowanie drzewka, to na pewnym etapie gałązka ta rozrosłaby się tak,
że byłaby figurą podobną do drzewka, które widać u góry strony. Gdybyśmy mogli
kontynuować rysowanie drzewka w nieskończoność, to w rezultacie otrzymalibyś-
my  drzewo , którego  gałązki są podobne do całego drzewa.
Figury, które powstają w podobny sposób, nazywamy fraktalami. Każdy fraktal ma
tę własność, że pewne jego fragmenty są podobne do całego fraktala. Pojęcie frakta-
la wprowadził Benoit Mandelbrot (czyt. Benua Mandelbro)  matematyk urodzony
w Warszawie. Zainspirowały go obserwacje natury  płatków śniegu, konturów gór,
wirów wodnych.
Czasami mała zmiana reguły rysowania
fraktala powoduje duże zmiany w jego
wyglÄ…dzie. Na rysunku obok przedsta-
wiono innÄ… wersjÄ™ drzewka Pitagorasa.
B. a) Porównaj to drzewko z drzew-
kiem narysowanym u góry strony. Jakie
reguły przyjęto przy jego rysowaniu?
b) Narysuj jeszcze innÄ… wersjÄ™ drzew-
ka Pitagorasa, zaczynajÄ…c w pierwszym
etapie od kwadratu i trójkąta prosto-
kątnego równoramiennego.
c) WzorujÄ…c siÄ™ na drzewku Pitagorasa, narysuj kolejny fragment  tym razem
rozpocznij od kwadratu i figury innej niż trójkąt (np. trapezu prostokątnego).
356 FIGURY PODOBNE
ADAWCZA
B
A
AC
PR
Fraktale można tworzyć na różne sposoby. Jednym z bardzo znanych fraktali jest
figura zwana dywanem Sierpińskiego. Na poniższych rysunkach zostały przedsta-
wione cztery kolejne etapy powstawania dywanu Sierpińskiego oraz dwóch innych
znanych fraktali.
Dywan Sierpińskiego
PÅ‚atek Kocha
Smok
C. Narysuj trójkąt równoboczny i podziel go na 4 jednakowe trójkąty równobocz-
ne (łącząc środki boków). Zamaluj środkowy trójkąt. Następnie każdy z pozostałych
trójkątów podziel na 4 jednakowe trójkąty równoboczne i zamaluj środkowy. Po-
wtórz te czynności. Kontynuując te czynności w nieskończoność, otrzymalibyśmy
inny rodzaj dywanu Sierpińskiego.
D. Dla każdego z powyższych fraktali znajdz
w figurach narysowanych w eta-
pach II i III fragment, który jest podobny do figury narysowanej w etapie I. Oblicz
w każdym wypadku skalę podobieństwa.
Co dalej?
1. Wymyśl swój sposób tworzenia fraktala.
2. Podobnie jak fraktale, na płaszczyz
nie, moż-
na budować fraktale trójwymiarowe. Opisz, jak
mogłyby wyglądać w kolejnych etapach prze-
strzenne odpowiedniki dywanu Sierpińskiego
i płatka Kocha.
PRACA BADAWCZA 357