matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 1 potegi pierwiastki i logarytmy pdf

POTGI
Poniżej przypominamy, jak określa się potęgi o wykładnikach całkowitych.
Przyjmujemy, że:
a0 = 1 (dla a =0)

a1 = a
1
a-1 = (dla a =0)

a
Ponadto dla n > 1 przyjmujemy, że:
an = a � a � a � � . . . � a
a
n czynników
1
a-n = (dla a =0)

an
Zauważ, że gdy podstawą potęgi jest 0, wykładnik nie może być równy 0
i nie może być liczbą ujemną.
Oblicz:
A
2 3 -1
2 1
34 (-0,2)3 3 -1 (-6)0 4-2 1 (-0,5)-4
5 3 2
Zapisz w postaci potęgi liczby 7:
B
2 -2 -2 73 75
�
711 � 75 78 75 : 73 7-1 � 75 73 710 : 7-4 7-2
7-2
Przekształcając wyrażenia, w których występują potęgi o wykładnikach cał-
kowitych, można korzystać z następujących równości:
Prawa działań na potęgach
Zakładamy, że a =0i b =0, wówczas:

am � an = am + n
am : an = am - n
(am)n = am � n
(ab)n = anbn
n n
a a
=
n
b
b
Każdą z powyższych równości można uzasadnić, korzystając z definicji
potęgi.
10 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
POTGI
n
a an
Oto jak można udowodnić równość = (a =0 i b =0):

b
bn
0
a 1 a0
Jeśli n =0, to: =1= =
b 1
b0
1
a a a1
Jeśli n =1, to: = =
b b
b1
-1 1
a 1 b 1 a a-1
Jeśli n = -1, to: = = = � b = =
a
a a 1
b
b-1
b
b
n czynników

n
a a a a a � a � . . . � a an
Jeśli n >1, to: = � � . . . � = =
b b b � b �

b b . . . � b bn
n czynników n czynników
1
-n
a 1 1 bn 1 an a-n
= = = = � bn = =
n
b
a an an an 1 b-n
bn
b bn
n
a
an
Korzystając z definicji potęgi, uzasadniliśmy równość = dla wszyst-
b
bn
kich liczb naturalnych oraz dla wszystkich liczb do nich przeciwnych, czyli
dla wszystkich liczb całkowitych.
Wiele na pozór bardzo skomplikowanych obliczeń można uprościć, korzy-
stając z praw działań na potęgach.
P Przekształć wyrażenia, korzystając z praw działań na potęgach.
17-7 � 173 17-4
1
a) = =17-4-(-3) =17-1 =
17
17-3 17-3
5
495 72 710
b) = = =73 = 343
77 77 77
3 4
22 � 2-3 26 � 2-12 2-6 1
c) = = =2-6-(-5) =2-1 =
2-8 � 23 2-5 2-5 2
154 (3 � 5)4 34 � 54 3-1 � 50 1
d) � 5-4 = � 5-4 = � 5-4 = =
65 (3 � 2)5 35 � 25 25 96
e) 5 � 107 � 4 � 10-3 =20� 107-3 =20� 104 =2� 105
POTGI 11
Poniżej pokazujemy, jak można korzystać z własności potęg przy zamianie
jednostek powierzchni i objętości.
P 1km2 = 10002 m2 =(103)2 m2 =106 m2
1cm2 =0,012 m2 =(10-2)2 m2 =10-4 m2
1m3 = 1003 cm3 =(102)3 cm3 =106 cm3
1mm3 = 0,0013 m3 =(10-3)3 m3 =10-9 m3
Przy zapisywaniu liczb bardzo dużych
lub bardzo małych wygodnie jest po-
sługiwać się notacją wykładniczą, czyli
zapisem postaci:
a � 10n
Liczba a spełnia warunek: 1 d" a < 10 ,
liczba n jest liczbą całkowitą.
Uwaga. Liczby naturalne i ułamki dziesiętne można w różny sposób zapisywać za
pomocą potęg liczby 10, na przykład:
4,2 � 107 =42� 106 =0,42� 108
Jednak tylko pierwszy z tych zapisów nazywamy notacją wykładniczą.
Zapisz podane wielkości w notacji wykładniczej:
C
Motyl waży około 0,0002 kg.
Ziarnko maku waży około 0,000 000 5 kg.
Woda w oceanach waży około 1400 000 000 000 000 000 000 kg.
Masa atomu wodoru wynosi 0,000 000 000 000 000 000 000 000 0017 kg.
Masa atomu tlenu wynosi 0,000 000 000 000 000 000 000 000 0027 kg.
P Masa Jowisza największej planety Układu Słonecznego wynosi 1,9 �1027 kg.
Masa Ziemi to 6 � 1024 kg. Ile razy masa Jowisza jest większa od masy Ziemi?
1,9 � 1027 1,9 1027
= � H" 0,3 � 103 = 300
6 � 1024 6 1024
Odp. Masa Jowisza jest około 300 razy większa od masy Ziemi.
12 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
ZADANIA
1. Oblicz:
53 5-3 (-5)3 (-5)-3 -53 -5-3 50 -50 (-5)0
2. Zapisz w postaci ilorazu liczb całkowitych:
0 -2 -1
17 3 2
1 (-1,5)-3 0,32 0,01-3 (-0,1)5 (1,1)-2
3 2 3
3. Przyjmijmy, że liczba a jest dodatnia. Które z poniższych liczb też są dodatnie?
Które z tych liczb byłyby dodatnie, gdyby liczba a była ujemna?
a3 -a3 (-a)3 a23 a-2 (-a)2 (-a)-2 -(-a)31
a-5
4. Podaj przykład liczby spełniającej warunek:
a) a2 < a b) b-1 >1 c) c2 > c i c <0 d) d3 < d i d <0
5. Uporządkuj podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
a) 172 173 170 17-2 17-5 c) 0,33 0,23 0,3-3 0,2-3 0,20
b) 0,62 0,6 0,6-3 0,6-4 0,64 d) 0,254 0,25-4 45 4-5 0,4-6
6. Zapisz w postaci jednej potęgi:
3
a) 315 � 33 d) 132 : 135 g) 2-8 j) 6-5 : 6-2
-3 -2
b) 712 : 73 e) 42 h) 176 : 17-3 k) 8-3
3
c) 45 f) 57 � 37 i) 15-3 � 15-7 l) 6-3 : 2-3
7. Zapisz w postaci potęgi liczby 2:
3 5 -2
45 8-3 1 1 1 1 1 0,5 0,25 0,53 0,25-4
2 16 4 2
25
8. Porównaj podane liczby.
a) 1253 i 59 c) (27)8 i (28)7 e) 0,58 i 0,254 g) (-8)3 i (-2)9
b) (-2)150 i (-4)80 d) (0,65)-3 i 0,620 f) 0,5-7 i 0,125-3 h) (-4)3 i (-2)6
9. Oszacuj podane liczby, korzystając z przybliżeń
zapisanych obok. 210 H" 103 72 H" 50
212 310 610 74 144 3510
32 H" 10 510 H" 107
POTGI 13
10. Oblicz:
-5
3
6-3 � 62
a) 282 : 440 d) 52 � 26 g) 253 � 0,5-6 j)
6
1
36
(1212)3
184
b) e) 0,28 � 254 h) 58 : (0,2)-7 k)
-8 � 11-2
94 1
11
4
-2
1253 � 5-2
215 � 272 75 : 49 1
c) f) 0,0112 � 1003 i) l) �
7
7
615 254 � 25-5
11. Udowodnij, że spełniona jest równość:
7n+1 +7n+1 +7n+1 +7n+1 +7n+1 +7n+1 +7n+1 =7n+2
12. Uprość wyrażenie:
-3
(4x)2 � (x : y)-2
a) a6 � a2 d) (4x2y3)-2 g)
(0,5y)-4
5
a
� a-2
(baca)2 100 000x3 � (10y)-4
b
b) e) h)
(ba)2 (baba)2 0,1x-1y-1
2
10 000x2 � 5-3y
c) (2x)2 : 4 f) do2 � (zoo)-3 i)
25(x-1 : y)-3
13. Uprość wyrażenie:
2+1
2n
a) c) 22n-1 : 2n-1 e) 92n : 33n g) (4n)2 : 23n-2
2
2
1
b) 21-n � 2n d) � 32n+2 f) 0,25 � 27n+5 h) 22n : (4n)2
9
14. Niech n będzie liczbą naturalną większą od 2. Uporządkuj podane liczby w ko-
lejności od najmniejszej do największej.
2 2 2 2
a) 3n (3n) 3n+2 b) 0,3n (0,3n) 0,3n+2 c) (-3)2n (-0,3n)2 (-3)2n+1
15. Wyobraz sobie, że jedna osoba przerywa kart-
kę z zeszytu na pół i przekazuje jedną połówkę
drugiej osobie. Druga osoba przerywa otrzymaną
część kartki na pół i przekazuje jedną z otrzyma-
nych części trzeciej osobie itd. Jaką część kartki
otrzyma piąta osoba? Oszacuj (w milimetrach kwa-
dratowych), jakiej wielkości byłby kawałek, który
otrzymałaby jedenasta osoba.
14 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
16. Odpowiedzi na podane pytania zapisz w notacji wykładniczej.
a) Objętość Słońca to około 1,41 � 1018 km3. Ile to metrów sześciennych?
b) Powierzchnia Słońca to około 6,07 � 1018 m2. Ile to kilometrów kwadratowych?
c) Objętość kropli wody to około 4,5 � 10-8 m3. Ile to centymetrów sześciennych?
d) Powierzchnia kropli wody to około 1,6�10-10 mm2. Ile to metrów kwadratowych?
17. Które z podanych liczb są liczbami naturalnymi? Ile cyfr mają te liczby? Ile
cyfr przed przecinkiem, a ile po przecinku mają pozostałe liczby?
a =7,25� 1031 c =5,6� 1025 +3,7� 1021 e =7,25 � 10100 +1,05� 10200 -1010
b =2,3� 10-14 d =2,2� 1012 +1,87� 10-9 f =6,8� 1050 -6,8� 10-12
18. a) Rok świetlny to odległość, jaką w ciągu roku
Prędkość światła
przebywa światło w próżni. Oblicz i zapisz w notacji
wpróżni wynosi wykładniczej, ile kilometrów ma rok świetlny.
km
około 300 000 .
b) Średnica naszej Galaktyki to około 100 tys. lat
s
świetlnych. Ile to kilometrów?
19. a) Ile razy masa Ziemi jest większa
Masa [kg] Średnica [m]
od masy Księżyca?
b) Ile razy średnica Słońca jest większa Słońce 1,9 � 1030 1,4 � 109
od średnicy Ziemi?
Ziemia 5,975 � 1024 1,28 � 107
c) O ile kilometrów średnica Słońca jest
Księżyc 7,3 � 1022 7,0 � 106
dłuższa od średnicy Ziemi?
TEST
2-7 � 16
T1. Liczba jest równa:
212
A. 2-15 B. 2-1 C. 2 D. 215
T2. Liczba 8 � 217 jest od liczby 4 � 220:
A. cztery razy większa C. dwa razy większa
B. cztery razy mniejsza D. dwa razy mniejsza
T3. Która z podanych liczb jest największa?
A. 7-4 � 73 B. 7-3 � 7-4 C. 7-3 : 7-4 D. 7-4 : 7-3
T4. Liczba tysiąc razy większa od liczby 10-20 to:
A. 10-1020 B. 10-980 C. 10-23 D. 10-17
POTGI 15
PIERWIASTKI
1. Podaj liczby, których druga potęga jest równa:
A
4
25 0,01 1,21 1 0
49
2. Podaj liczby, których trzecia potęga jest równa:
8
27 - 0,064 -1 1 0
125
Dla danej liczby dodatniej a istnieją dwie
liczby, które podniesione do kwadratu
Dla a e"0:
są równe a. Pierwiastkiem kwadratowym
"
z liczby a jest ta z tych liczb, która
a = b,
jest dodatnia. Pierwiastkiem kwadrato-
gdy b e" 0 i b2 = a.
wym z liczby 0 jest 0, a pierwiastek
kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje.
Dla dowolnej liczby a:
"
Dla dowolnej liczby rzeczywistej a jest
3
a = c, gdy c3 = a.
tylko jedna liczba, która podniesiona do
trzeciej potęgi jest równa a. Ta liczba to
pierwiastek trzeciego stopnia z liczby a.
Zauważ, że pierwiastek trzeciego stopnia z liczby nieujemnej jest liczbą
nieujemną, a pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą
ujemną.
Analogicznie możemy również określać pierwiastki wyższych stopni. Pier-
"
n
wiastek stopnia n z liczby a oznaczamy symbolem a. Stopień pierwiastka
jest liczbą naturalną większą od 1.
Jeśli k jest liczbą naturalną większą Jeśli m jest liczbą naturalną większą
od 1 i jest liczbą parzystą, to dla od 1 i jest liczbą nieparzystą, to dla
a e" 0 przyjmujemy, że: dowolnej liczby a przyjmujemy, że:
" "
k m
a = b, gdy b e" 0 i bk = a a = b, gdy bm = a
Zauważ, że pierwiastek nieparzystego stopnia może być liczbą ujemną, a pierwia-
stek parzystego stopnia jest zawsze liczbą nieujemną.
Znajdz:
B

"
1
1. 64 2 6,25 12,25
4

" "
3 3
64 3
3
2. 27 8 0,001
125

"
4 5
6 6 1
3. 16 0,000064 0,25
26

" "
3 7
3 8 5
4. -1000 -0,00032 -1
-27
16 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
WIASTKI
PIER
Znajdz:
C
" "
82 (-8)2 4 174 4 (-17)4 6 0,56 6 (-0,5)6

Zauważ, że (-5)2 wynosi 5, a nie -5. Warto zatem pamiętać, że jeśli chcemy
" " "
4 6
uprościć wyrażenie a2, a4, a6 itd., a nie wiemy, jaki jest znak liczby a,
musimy zaznaczyć, że wynik jest nieujemny, np. używając symbolu wartości bez-
" " "
względnej:
4 6
a2 = |a|, a4 = |a|, a6 = |a| itd.
Prawa działań na pierwiastkach
Dla parzystej liczby k: Dla nieparzystej liczby m:
"
"
k
m
ak = |a| am = a
" " " "
" "
k k m m
k m
ab = a � b dla a e"0i b e"0 ab = a � b
" "
k m
a a
a a
k m
" "
= dla a e"0i b >0 = dla b =0

k m
b
b
b b
"
" t t
" "
k m
k m
at = a dla a e"0 at = a
" "
m m
-a = - a
" "
"
n n
n
Niech n będzie dodatnią liczbą parzystą. Równość ab = a � b dla a e"0
i b e" 0 można wykazać w następujący sposób.
"
"
n
n
Przyjmijmy oznaczenia: a = x i b = y.
Stąd: a = xn i b = yn.
"

n
n
n
Zatem: ab = xn � yn = (xy)n = |xy|.
" "
"
n n
n
Zzałożeńwynika, że x e"0i y e"0, więc |xy| = xy, czyli ab = xy = a� b.
Uzasadnij w podobny sposób jedno z pozostałych praw działań.
D
Prawa działań na pierwiastkach pozwalają upraszczać niektóre wyrażenia.
P Oblicz:
" " " " "
3 3 3 3 3
a) (2 6)3 =23 � ( 6)3 =8� 6=48 c) 2 � -4 = -8=-2

" "
3 7 1 1
b) 210 = (25)2 =25 =32 d) 1 : 7= : 7= =
4 4 4 2
Czasami pierwiastki wygodnie jest zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb,
z których jedna jest liczbą wymierną, a druga jest liczbą niewymierną. Mó-
wimy wówczas, że wyłączamy czynnik przed symbol pierwiastka. Możemy
także wykonać operację odwrotną włączyć czynnik pod pierwiastek.
PIERWIASTKI 17
P Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka.
" " "
a) 20 = 4 � 5=2 5
" " "
3 3 3
b) 54 = 27 � 2=3 2
" " " "
c) 1575 = 52�32 �7=5�3 7=15 7
" " "
3 3 3
d) -324 = - 33 � 12 = -3 12
P Włącz czynnik pod znak pierwiastka.
" " " "
a) 3 5= 9 � 5= 45
" " "
3 3 3
b) 2 -100 = - 8 � 100 = - 800
Wyniki działań na pierwiastkach staramy się niekiedy zapisywać w taki
sposób, aby w mianowniku nie występowała liczba niewymierna (mówimy,
że usuwamy niewymierność z mianownika).
P Usuń niewymierność z mianownika.
" "
"
6 6� 2 6 2
" " "
a) = = =3 2
2
2 2� 2
" " "
3 3 3
5 5� 3� 3 5 9
" " " "
b) = =
3 3 3 3
6
2 3 2 3� 3� 3
ZADANIA
1. Oblicz:

"
"
3
3
a) 36+64 c) 16 e) 0,000 001 g) (-8)2

" "
3 3
122 13
b) d) 152 -122 f) 3 -64 h) 3
-144 81
2. Znajdz liczby oznaczone literami:
" " "
" "
3 3 3
a =0,2 b =-11 c =32 d =3 23
3
" " "
"
"
3
4 1
5
e = 32 f = 120 g = 42
2
18 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
3. Oblicz:
2 " 2
" " " " " " "
3 3
1
a) 3 � 27 c) 5 2 e) 6 � 2 � 3 g) -7 � 7
3
"
2
" " 3 " " " "
6 6 4 4
(2 2)3 1
b) 320 : 5 d) f) 6 5 � 125 h) 2 25 � 8 5
6 3
4. Zapisz w jak najprostszej postaci:
"
" " " " " " 5
5 5
8 16
a) 3 7-12 7 c) 7-2 -7 e) 2 5 � 4 3 g) "
5
16 8
"
" " " " " "
3 3 3 3 3 3
2
b) 9-2 9 d) -6 + 6 f) 2 3 � 3 -2 h) "30
5
5. Oblicz:
" " " "
3
(53)2 (0,12)3 114 210 3 (72)3 3 96 212
6. Zapisz w postaci potęgi liczby 7:
2

" " " " " " " "
3 3
3 3
716 7 712 (7 7)2 7 7( 7)2 7 76 1 49 � 74
73
7. Na osi liczbowej zaznaczono liczby:
" " " " " "
3 3
10 3 5 2 27 25 60 130
Oszacuj te liczby i przyporządkuj każdej z nich odpowiednią literę.
8. Wymień dwie kolejne liczby całkowite, takie że podana liczba będzie większa od
jednej z nich, a mniejsza od drugiej.
" " " "
3 3
a) 109 b) 930 c) 109 d) -930
9. Przyjrzyj się przykładom obok. Zwróć

" " "

uwagę, w jaki sposób przekształcono wy-

(1 - 2)2 = 1- 2 = 2-1
rażenia z pierwiastkami. Zapisz każdy

" " "
4
2-
z podanych niżej pierwiastków w postaci
(2 - 3)4 = 3 =2- 3
różnicy dwóch liczb.
" 2 " 2 " 4
4
a) 3-2 c) 10 - 4 e) 3-4 5
" 2 " 3
" "
3
5
b) 10-3 d) 5-7 f) ( 15 - 27)5
10. Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej (n jest liczbą naturalną, n >1).
" " " " "
3 3
a = 4n b = 82n c = 22n +1 d = 23n +1 e = 8n +1
PIERWIASTKI 19
11. Wyłącz czynnik przed pierwiastek tak, aby pod pierwiastkiem została liczba
naturalna.
" " " " " " " "
3 3 3 3
a) 63 20 32 50 c) 32 -270 16 40
" " " " " " " "
4 4 4 5
b) 98 108 99 180 d) 32 162 1024 -900 000
12. Korzystając z przybliżeń podanych

"
3
obok, oszacuj każdą z poniższych liczb 2 H" 1,4 5 H" 2,2 3 H" 1,4
z dokładnością do części dziesiątych:
"
3 3
3 H" 1,7 2 H" 1,3 5 H" 1,7
" " " " " "
3 3 3
8 20 500 16 3000 24
13. Zapisz w jak najprostszej postaci:
" " " " " " "
a) 18+4 2 c) 3 147 - 75 e) 3 24+2 54 - 150
" "
" " " "
3 3
12 + 147
b) 48 - 27 d) 32 + -108 f) "
3
14. Która z liczb jest większa?
" " " " "
a) 7 2 czy 97 d) 4 5 czy 3 g) 9 3 czy 5 5
" " " " "
b) 5 6 czy 222 e) 3 11 czy 10 h) 3 10 czy 2 23
" " " " "
3 3 3 3 3
c) 10 7 czy 6789 f) 2 5 czy 5 i) 2 -7 czy 2 -2
Wskazówka. Włącz czynnik pod znak pierwiastka.
15. Usuń niewymierność z mianownika:
"
3
8 5 5+1
"
a) c) e)
" "
3 3
2
7 5
" " "
2 1+ 2 6+2 7
" " "
b) d) f)
5 3 3 2 0,5 7
16. Zapisz odwrotność liczby, a następnie usuń niewymierność z mianownika.
" " " "
3 3
a) 2 b) 5 c) 2 8 d) 8 4
17. Zapisz w jak najprostszej postaci (usuń niewymierność z mianownika):

" "
" " 3 3
0,27
1 1 3- 2
a) " b) 3+ " c) 20 + d)
"
3
20
2 3 3
6
18. Usuń niewymierność z mianownika i porównaj liczby:
5 4 1 2 2
" " " "
a) a = i b = b) c = i d = c) e = i f =
" "3
3 3
5 2 3 5
5 25
20 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
TEST
" "
14
T1. Liczba "3 � " jest równa:
7 6
"
2
A. 1 B. 2 C. 2 D. "
2
" " " " "
T2. Ile spośród liczb: 3 200, 5 72, 10 18, 30 2 jest równych liczbie 1800?
A. żadna B. jedna C. dwie D. wszystkie
T3. Oceń, czy podane równości są spełnione.
" " "
I 17+30= 17 + 30 TAK/NIE

" "
11
II = 11 : 13 TAK/NIE
13
" "
III 762 =76 76 TAK/NIE
T4. Na osi liczbowej zaznaczono cztery liczby i oznaczono je literami. Jedna z tych
"
liczb jest równa 128. Która?
A. a B. b C. c D. d
POTGI O WYKAADNIKACH WYMIERNYCH
Umiesz już obliczać potęgi o wykładnikach całkowitych. Można również
określić potęgę, której wykładnik nie jest liczbą całkowitą. Zastanówmy się
1 2
3 3
na przykład, jakie liczby mogłyby oznaczać zapisy 5 , 5 . Aby zachowane
były prawa działań na potęgach, musiałyby zachodzić równości:
3 1 3 2
1 2
�3 �3
3 3 3 3
5 =5 =51 =5 5 =5 =52
" 3 " 3
3
3
Ponieważ także 5 = 5, więc licz- Ponieważ także 52 =52, więc
"
1 " 2
3
3
3 3
by 5 i 5 muszą być równe. liczby 5 i 52 muszą być równe.
Okazuje się, że jeśli a jest liczbą nieujemną, to wszelkie prawa działań na
potęgach będą zachodziły, gdy przyjmiemy, że:
"
1 2
"
3
3
3 3
a = aa = a2
POTGI O WYKAADNIKACH WYMIERNYCH 21
H
C
IERNY
Ogólnie dla liczby naturalnej n, gdzie n > 1, oraz dodatniej liczby natural-
nej k przyjmujemy, że:
1 "
n
n
a = a (dla a e"0)
"
k
n
n
a = ak (dla a e"0)
k
1
a- n "1
= = (dla a >0)
k n
ak
n
a
P Oblicz:
"
1 " 3 " 3
2 2
a) 9 = 9=3 d) 161,5 =16 = 163 = 16 =43 =64
" 2
" " "
2 6 "
3 3 5 5 5
3 5
b) 8 = 82 = 8 =4 e) 2 = 26 = 25 � 2=2 2
3 1
1 1 1 1 1 1 1
5
c) 32- = " = = f) 8-13 = = " = =
3 4
" "
5 4 3
323 5 32 8 84 3 8 16
3
8
Zauważ, że choć pierwiastki stopnia nieparzystego są określone dla wszystkich
liczb rzeczywistych, także ujemnych, to potęgę o wykładniku wymiernym określi-
liśmy tylko w wypadku, gdy podstawa jest nieujemna. Gdybyśmy bowiem przyjęli
1 "
3
3
na przykład, że (-8) = -8, to otrzymalibyśmy następującą sprzeczność:
Przyjmując powyższą równość otrzymujemy:
1 "
3
(-8)3 = -8 = -2
Natomiast korzystając z praw działań na potęgach, otrzymujemy:
1
1 2 "
6
3
(-8) = (-8)6 = (-8)2 6 = 64 = 2
Zapisz za pomocą potęg:
A

" " " "
3 Dla dowolnych liczb wymier-
1. 13 2 27 5 33 4 1
25
nych x i y zachodzą równości:
2
1 1 1 1
" " " " "1
2.
3 4 5
3
87 5 23 0,72
ax � ay = ax + y dla a e" 0
x
a - y
Gdy podstawa jest liczbą nieujemną, = ax dla a > 0
y
a
dla potęg o wykładnikach wymier-
nych zachodzą takie same prawa
(ax)y = ax � y dla a e" 0
działań jak dla potęg o wykładni-
kach całkowitych. Obok zebrano te
axbx = (ab)x dla a e" 0 i b e" 0
prawa.
x
x
a a
= dla a e" 0 i b > 0
x
b
b
22 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
W poniższych przykładach pokazujemy, jak można przekształcać wyraże-
nia, korzystając z praw działań na potęgach i pierwiastkach.
P Przekształć podane wyrażenia arytmetyczne, korzystając z praw działań na po-
tęgach.
" 5
"
5 5 5
3 3
3 3 3
a) 3 � 9 =27 = 275 = 27 =35
"
3 3 3
4
4 4 4
b) 64 : 4 =16 = 163 =23 =8
2 5 1 -5 " -5
5
3 1
c) 8- 6 3 3
=8- = 8 = 8 =2-5 =
32
3 3 3 3 3 "
4
-
2
d) 3 � 3- 4 2 4 4
=3 =3 = 27
1
1 1

"
8 3
0,5 2-1 8 27 2- 8 27 1 7 27 3
4
e) � 23 � 2 = � 2 = � 2 =2- =2 = 8=2 2
7 8 7 8 7 8 8 - + 8 2
1
4 4
4 2 2
2
P Przekształć podane wyrażenia arytmetyczne, korzystając z praw działań na po-
tęgach.
" " 1 1 1 1 5 "
3 + 6
3 2 3 2 6
a) 2 � 2=2 � 2 =2 =2 = 32
" " 1 1 1
3 1 "
3
6
3
2 6
b) 10 = 10 = 10 =10 = 10
" 1
"
2 1 1 1
5 5
4
-
" 2 4 4
c) = =5 =5 = 5
4 1
5
4
5
" 1 1 1 1 1 2 1 2 1 "
1 10
-
2 5 2 5 2 5 2 5 10
"
d) 3 � =3 � 9- =3 � (32)- =3 � 3- =3 =3 = 3
5
9

" 1 1 1 1 3 1 1 "
3
�
2 3 3 2 3 2
e) 7 7=(7� 7 ) =(71+ 2 ) =7 =7 = 7
ZADANIA
1. Oblicz:
1 1 3 2 4
3 4 2 3 3
a) 8 16 0,010,5 25 0,027 64
-0,75
1 2
b) 144- 2 3
0,0016-0,25 2,25-0,5 0,125- 9-1,5 1
16
POTGI O WYKAADNIKACH WYMIERNYCH 23
2. Zapisz każdą z podanych poniżej liczb w postaci pierwiastka i wyłącz czynnik
przed znak pierwiastka tak, aby pod pierwiastkiem została możliwie najmniejsza
liczba naturalna.
1,5
8 5 8
5
7 3 5
3 7 0,1- 0,9-1,5
4
3. Oblicz:
" "
" "
4
" 1,5 " 2
7 7 � 7
3
3 3 3
a) 49 b) 8 c) 9 � 9 d)
3
4
7
4. Zapisz każdą z podanych liczb w postaci potęgi liczby 3.
" "
" " " " 5 3
3 3 3 4
1 9 1 1 9
9 3 3 27 3 9 27 " " "3
"
3 5 7 4
3 3
9 3 3 9 9
5. Która z dwóch podanych liczb jest większa?

- 2
- 4
7 4 7 5 "
3 3 5
3 3 25 1
5 3 9 6
a) 3 , 9 b) 2- , 4- c) , d) ( 2)5,
5 3 2
Wskazówka. Sprawdz, czy iloraz tych liczb jest liczbą większą czy mniejszą od 1.
6. Uzasadnij równość:
"
"
3 " 1
5
5
2
5
a) 73 � 7 =7 7 g) =4-0,05 : 45
2
" "
6
7 7
3
7 7 1
0,04-1 3 0,2
" "
b) = h) =
3 6
7 7 56�0,2-2 257

29 1
2 1
5
c) 22,5 � 16-0,5 = " i) 2-2,5 � 4- =
20,1
2
" 1 1
8
"
24 9 3
4 � ( 2)-1 8 � 0,125-
2
"
d) " =0,5-1,125 j) =
0,5

6 1 "
8 � 2
32- 12
2 2 2
" 1 "
4 3
1
e) 80,25 : 2=44 k) 0,5-0,5 � 0,25-0,25 = 64
2
- 1 1,8
2
" 1
3
2-3,3 5 1 3
9
f) =0,25 4 l) : 3 = "
9
2-1,7
3
7. Znajdz liczbę a spełniającą warunek:
1 1
1
4
a) a =4 b) a0,1 =1 c) a0,2 =10 d) a- 2
=
2
24 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
TEST
"
3
T1. Liczba 5 jest równa:
1 2 5 3
6 3 6 2
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
T2. Liczba 32-0,4 jest równa:
" 5
4
1
2
A. -2 2 B. 32 C. 0,25 D.
8
"
3
T3. Odwrotnością liczby 4 jest liczba:
2 3 3 2
3 2
A. 2 B. 2 C. 2- 2 3
D. 2-
" "
4 3
T4. Liczba 27 � 9 jest równa:
" " "
5
12
12
A. 27 � 9 B. 312 35 C. 3 D. 3
POTGI O WYKAADNIKACH
RZECZYWISTYCH
Przypomnij sobie, jak oblicza się potęgi o wykładnikach wymiernych i oblicz:
A
1 1
2 3
4 27 3-4 90,5 16-1,5
Wiesz już, jak oblicza się potęgi o wykładnikach, które są liczbami wy-
miernymi. Możemy również rozpatrywać potęgi o podstawach dodatnich,
których wykładnik jest dowolną liczbą rzeczywistą, także niewymierną.
Zastanówmy się na przykład, jaką liczbę mogłaby oznaczać potęga o pod-
"
"
2
stawie 3 i wykładniku 2, czyli 3 .
"
Poniżej zapisano kilka kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby 2.
"
2 = 1,41421356 . . .
"
2
Liczbę 3 możemy przybliżać, zastępując wykładnik potęgi coraz dokład-
"
niejszymi przybliżeniami liczby 2.
"
"
2
2 H" 1,4, więc 3 H" 31,4 = 4,655536 . . .
"
"
2
2 H" 1,41, więc 3 H" 31,41 = 4,706965 . . .
"
"
2
2 H" 1,414, więc 3 H" 31,414 = 4,727695 . . .
"
"
2
2 H" 1,4142, więc 3 H" 31,4142 = 4,728733 . . .
POTGI O WYKAADNIKACH RZECZYWISTYCH 25
ACH
DNIK
A
KA
"
2
W ten sposób możemy obliczać 3 z coraz większą dokładnością. Wykonu-
jąc kolejne obliczenia, zauważylibyśmy, że liczby 31,4, 31,41, 31,414, . . . coraz
bardziej przybliżają się do liczby 4,72880438783741494 . . . Przyjmujemy
"
2
więc, że potęga 3 jest równa tej liczbie, czyli:
"
2
3 = 4,72880438783741494...
Ustal, która z dwóch podanych liczb jest większa:
B
"2 2
" " "
3 5 1 1 15
1. 2Ą czy 23 2. 10 czy 10 3. czy 4. 0,7 czy 0,74
3 3
Wartości potęg o wykładnikach niewymiernych można szacować za pomo-
cą potęg o wykładnikach wymiernych. Warto przy tym pamiętać, że gdy
podstawa jest liczbą większą od 1, to im większy wykładnik tym większa
potęga. Gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią mniejszą od 1, to im
większy wykładnik tym mniejsza potęga.
"10
"
1
10
Liczbę 2 można oszacować Liczbę możemy oszacować
2
w następujący sposób: tak:
" "
Ponieważ 3 < 10 < 4, Ponieważ 3 < 10 < 4,
więc więc
"
4 "10 3
10
23 <2 <24, 1 1 1
< < ,
2 2 2
zatem
czyli
"
10
"10
8<2 < 16.
1 1 1
< < .
16 2 8
Oszacuj w opisany powyżej sposób liczby:
C
"7
" "
3
10 5 1
1. 3 2. 2 3.
3
W praktyce wartości potęg o wykładnikach niewymiernych będziemy sza-
cować, korzystając z przybliżeń dziesiętnych wykładników. Na przykład:
"
5
2Ą H" 23,14 H" 8,82 2 H" 22,24 H" 4,72
Prawa działań na potęgach o wy-
kładnikach wymiernych obowią-
Dla a >0, b >0 oraz s, t "
zują także dla potęg o wykładni-
as � at = as + t as : at = as - t
kach rzeczywistych.
(as)t = ast (ab)s = asbs
W poniższych przykładach przy-
s
pominamy, jak korzystać z tych
a as
=
praw przy przekształcaniu wyra-
b bs
żeń.
26 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
P Przekształć wyrażenia:
" " " " "
2
a) 3-2 2 � 33 2 =3-2 2+3 2 =3
" "
" "
3+1 3+1
25 (52)
" "
b) = =5(2 3+2)-(2 3+1) =5
52 3�5 52 3+1
" " " "
3 3
c) (9 2)2Ą � (27 4)-Ą =92Ą � ( 2)2Ą � 27-Ą � ( 4)-Ą =
1 2 2 1 "
3
Ą Ą
2 3
= (32)2Ą � (2 )2Ą � (33)-Ą � (2 )-Ą =34Ą � 3-3Ą � 2Ą � 2- 3 3
=3Ą � 2 =(3 2)Ą
" " " " " "
82- 3 � 23 3 (23)2- 3 � 23 3 26-3 3 � 23 3 26
" " " "
d) = = = =26-(-4) =210
2-4
(41+ 3)1- 3 4(1+ 3)(1- 3) 4-2
ZADANIA
1. Oszacuj, która z podanych dwóch liczb jest większa.
" "
" "3
2 2
a) 2 , 2 b) 2Ą , 8 c) 3, 3 d) Ą , 9
2. Oblicz:
"2 " 3
"
"2
" " "
2
2
2
2 6
Ą
a) 7 (11Ą )- 2,25- 4
0,2 33 3 � 271- 3
"3
" " "
2"7 " 2Ą-1
"
5 2+ 3
1
" " "
b) 53+4 7 � 3 � 32,5-Ą 41,5 0,0011-Ą 3
2- 3
25
81+ 5 103Ą+2 3
3. Znajdz liczbę a spełniającą warunek:
"
a
" "
2
2 2 3
a) 3 =3 b) 3 � 3a =3 c) =3
3a
"
2
4. a) Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2 , aby otrzymać 4?
"
"
2
b) Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 2 ?
5. Uporządkuj podane liczby w kolejności
od najmniejszej do największej.
"
2 H" 1,41
"
1
2
a) 7- 2, 70, 7 , 7-2,1, 7Ą , 73
"
3 H" 1,73
1
"5 "3 -1 0
"
Ą
2 2 2 2 2
b) , , , ,
5 H" 2,24
3 3 3 3 3
4 " Ą 2
" "
Ą H" 3,14
3
3 1 1
c) 25 2, 4 , , 2 , 320,
2 16
" "2 "2
"2
"
2
6. Ile razy większa od liczby 2 jest liczba 2 ?
POTGI O WYKAADNIKACH RZECZYWISTYCH 27
" " "
1
3 5
Ą
7. Na osi liczbowej zaznaczono liczby 2Ą , 12 , 1 , 4 i Ą- 2. Przyporządkuj
te liczby odpowiadającym im literom.
8. Która z podanych dwóch liczb jest większa?
" 2
"
1 1
2
Ą 2
a) 2 , 2 b) 3 , 3-Ą c) 2Ą , Ą
9. Udowodnij, że potęga liczby niewymiernej o wykładniku niewymiernym może
być liczbą wymierną.
TEST
T1. Która z poniższych liczb jest niewymierna?
" "
" 0 " 1
3 3
A. 3 B. 1 C. 3 D. 0
T2. Oszacuj, która z poniższych liczb jest największa.
"3
"
" Ą
1 2
A. 9-Ą B. C. 3 D. 3
3
T3. Oszacuj, wartość którego z poniższych wyrażeń jest większa od 100?
"
" "
2
7 3
A. 4 B. 5Ą C. 7 D. 10
T4. Wartość wyrażenia 23-2Ą jest równa:
Ą
Ą
23 8 1
A. B. 23 -22 C. D. 8 �
22�2Ą 4 4Ą
LOGARYTMY
Znajdz liczby oznaczone literami.
A
1
2a =16 3b =27 4c = 2 125d =5 7e = 10f = 0,001
49
Rozważmy pytania: Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzy-
mać 32? Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 30?
Pytania te można przedstawić za pomocą równań:
2x =32 2x =30
28 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
RYTMY
Aatwo stwierdzić, że rozwiązaniem pierwszego z równań jest liczba 5, po-
nieważ 25 = 32. Nie jest łatwo ustalić, jaka liczba spełnia drugie równanie.
Liczbę spełniającą równanie typu 2x = b (gdzie b > 0) nazywać będziemy
logarytmem liczby b przy podstawie 2 i oznaczać symbolem log2 b. Roz-
wiązanie pierwszego z równań możemy więc zapisać jako log2 32. Zatem
log2 32 = 5. Rozwiązaniem drugiego równania jest liczba log2 30 (równa
jest ona około 4,91).
Niech a i b oznaczają liczby dodatnie,
a =1. Logarytmemliczby b przy podsta-

wie a nazywamy wykładnik potęgi, do
której należy podnieść a, aby otrzymać
liczbę b. Tak więc:
loga b = x �! ax = b
�!
Na przykład:
"
1 1
log3 81 = 4, bo 34 =81 log"3 27 = -6, bo ( 3)-6 =
27
1
log10 0,001 = -3, bo 10-3 = = 0,001 log7 7=1, bo71 =7
103
1
3
2 1 8 3 8 2
log 8 = , bo = = log0,2 1=0, bo(0,2)0 =1
5 3 125 125 5
125
Oblicz:
B
1 1
1. log2 4, log10 10000, log9 3, log7 1 , log 1 , log 1
7 27 2
3 4
1
2. log6 6, log 2 1, log 1 , log8 1, log5 54, log3 312
4
3 4
log 2
1
1
2
3. 2log2 8, 3log3 9, , 10log10 1000
2
Z definicji logarytmu dla a >0i a =1oraz b > 0 wynikają równości:

loga 1 = 0 loga a = 1 loga ab = b aloga b = b
Ostatnią z tych równości można uzasadnić tak: Z definicji logarytmu liczba loga b to
wykładnik potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać b, czyli aloga b = b.
Uzasadnij pozostałe z zapisanych wyżej równości.
C
"
"
P Oblicz log 3 25 5.
5
"
"
log 3 25 5=x Szukaną liczbę oznaczamy literą x.
5
x "
"
3
�!
5 =25 5 loga b = x �! ax = b
1 1
x
3
5 =52+ 2
Jeśli ab = ac (a >0, a =1),

to b = c.
1 5
x = , czyli x =71
3 2 2
LOGARYTMY 29
Na kalkulatorze oprócz klawisza log służącego do obliczania logaryt-
mów dziesiętnych znalezć też można klawisz ln. Służy on do obliczania
tzw. logarytmów naturalnych, to znaczy takich, których podstawą jest pew-
na liczba, nazywana liczbą e. Liczba e jest niewymierna, poniżej zapisano
kilkanaście cyfr jej rozwinięcia dziesiętnego.
e = 2,7182818284904 . . .
Liczba ta ma szczególne znaczenie. Pojawia się we wzorach i zależnościach
w wielu różnych działach matematyki. Oto przykłady kilku wzorów i za-
leżności ze współczesnej matematyki, w których pojawia się liczba e:
1 1 1
Pole obszaru zacieniowanego
e =1+1+ + + + . . .
1�2 1�2�3 1�2�3�4
na rysunku poniżej jest rów-
ne 1.
2
e =
2+
3
2 +
4
3+
5
4+
5+...
Liczbę e wprowadził do matematyki w XVIII wieku szwajcarski matematyk
Leonard Euler (czyt. Ojler). Zauważył on, że kolejne wyrazy ciągu liczb:
2 3 4
1 1 1
1+ , 1+ , 1+ , . . . zbliżają się do pewnej liczby, którą nazwał
2 3 4
liczbą e.
n
1
Wyrażenie 1+ pojawiło się przy okazji rozważań dotyczących pro-
n
centu składanego, prowadzonych w 1683 roku przez szwajcarskiego mate-
matyka Jakuba Bernoulliego (czyt. Bernuliego).
Załóżmy, że kwotę 1 zł wpłacamy na lokatę, której oprocentowanie wynosi
p % w stosunku rocznym. Wówczas stan konta po roku zależy od tego, jak
często kapitalizowane są odsetki.
Stan konta po roku Jak często kapitalizowane są odsetki
1
p
1+ 1 raz dolicza się odsetki (po roku)
100
2
1 p
1+ � 2 razy dolicza się odsetki (co pół roku)
2 100
12
1 p
1+ � 12 razy dolicza się odsetki (co miesiąc)
12 100
n
1 p
1+ � n razy w roku dolicza się odsetki
n 100
Gdy przyjmiemy, że oprocentowanie jest równe 100 % (p = 100), to stan
n
1
konta po roku przy n okresach doliczania odsetek będzie wynosił 1+ .
n
n
1
Ponieważ liczba 1+ nigdy nie przekracza liczby e H" 2,72, więc nawet
n
gdyby odsetki doliczane były co ułamek sekundy, to stan konta po roku
nigdy nie przekroczy 2,72 zł.
30 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
CIE
K
A
W
OSTK
A
Dla logarytmów przy podstawie 10 oraz dla logarytmów przy podstawie e
(zobacz ciekawostkę) wprowadzono szczególne oznaczenia i nazwy.
Logarytm przy podstawie 10 na-
zywamy logarytmem dziesiętnym
log b oznacza to samo co log10 b
i zamiast pisać log10 b, możemy
pisać log b.
Logarytm przy podstawie e na-
zywamy logarytmem naturalnym
ln b oznacza to samo co loge b
i zamiast pisać loge b, możemy
pisać ln b.
Logarytmy dziesiętne i naturalne można ła-
two obliczać, gdy mamy do dyspozycji od-
powiedni kalkulator. Służą do tego klawisze
z napisami log i ln.
Oblicz za pomocą kalkulatora:
D
log 6 log 89 log 0,2 log 1500
ln 1,2 ln 0,5 ln 45 ln 455
Uwaga. Wykorzystując logarytmy dziesiętne lub logarytmy naturalne, można obli-
czać logarytmy przy dowolnych podstawach. W jaki sposób to zrobić, pokażemy
w następnym rozdziale.
Na pomysł wprowadzenia logarytmów jako pierwszy wpadł Szkot John
Napier. Swoje rozważania opublikował w 1614 r. w książce Opisanie cu-
downych zasad logarytmów . Logarytmy Napiera różniły się nieco od tych,
którymi posługujemy się dzisiaj, ale stanowiły tak ogromny postęp w me-
todach rachunkowych, że od razu wzbudziły ogromny entuzjazm.
Zastosowanie logarytmów do obliczeń astronomicznych pozwoliło J. Ke-
plerowi odkryć prawa dotyczące ruchu planet.
Żyjący 150 lat pózniej uczony francuski Pierre Laplace twierdził nawet, że
wynalazek logarytmów (...) podwaja życie astronomom .
Nazwę logarytm wprowadził sam Napier. Powstała ona z greckich słów
logos myślenie i arithmos liczenie.
Właściwie nie wiadomo, jak naprawdę brzmiało jego nazwisko (być może
Neper lub Naper). Wiadomo jednak, że John Napier był szkockim baronem,
a matematyka była tylko jego hobby.
LOGARYTMY 31
zh
i
s
t
o
r
i
i
ZADANIA
1. Zapisz za pomocą logarytmu liczby a, b, c i d:
b
1 2
5a =10 = 7 0,02c = ed =0,6
4 3
2. a) Zastąp podaną równość odpowiednią równością typu ab = c.
2 1 1 1
"
log8 4= log7 1=0 log5 125 =-3 ln =-
3 e 2
b) Zastąp podaną równość odpowiednią równością typu loga b = c.
1
1 1
3
35 = 243 6- = 100 =1 e-3 =
"
3
e3
6
3. Znajdz x:
1
a) log2 x =4 c) log3 x = e) log x =-5 g) ln x =1
4
1
b) log 1 x =5 d) log 2 x =-1 f) log"3 x = h) ln x =3
2
2 5
4. Znajdz x:
a) logx 125 = 3 c) logx e =1 e) logx 39 =3 g) logx5=-2
1
b) logx 10000 = 2 d) logx 3= f) logx 7=-1 h) logx0,0001= -8
2 2
5. Znajdz liczby a, b i c spełniające warunki:
" "
a) log2 32 = a b) log9 3=a c) log5 3 5=a
" "
1 1
logb 1 = logb 3= logb 3 5=5
4 2 4
"
log 1 c =-3 log"3 c =-1 log 3 c =5
5
2
2
6. Oblicz:
a) log2 16 log 1 3 log4 2 log0,3 0,027 log0,1 100
3
1
3
3
b) log5 5 log7 1 log5 53 log8 8 log 3
4
4
"
c) log 10 log 0,1 log 105 log 1000 log 10
"
1 3
d) ln e ln 1 ln e2 ln ln e
e3
" "
1
e) log3 3 log 1 2 log 1 9 log5 4 5 log6 36
2 3
7. Oblicz:
1 1 9
a) log0,1 100 log2 "2 log 1 4 log9 1 log5 125 log 2
3 4
2 3
" " "
4
b) log 1 5 log1,5 4 log 2 1,5 log4 3 2 log0,25 8 log 1 3 3
9
5 3 9
" " "
" "
c) log"5 5 log"3 27 log"2 4 2 log 3 6 log 3 10 log"7 3 49
6 10
32 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
8. Przedstaw liczbę l jako logarytm pewnej liczby przy podstawie p.
1
a) l =4, p =3 c) l =1, p =7 e) l = -2, p =6 g) l = , p =10
2
1 3 2
b) l =5, p = d) l =0, p = f) l = -4, p = e h) l =- , p =2
2 4 3
9. Oblicz:
-6
1
2 7 2
a) log5 5- 7 3
log5 53 log5 5 log5 5-4 5
"
3
1
b) log6(615)-4 log6 36 log6( 6)2 log6 "1
5
36
8 "
c) log 1 2-4 log 1 (0,5)7 log 1 413 log 1 ( 2)18
2 2 2 2
7
10. a) Przyjmując, że 69 H" 107, wykaż, że log 6 H" .
9
b) Przyjmując, że 210 H" 1000, wykaż, że log 2 H" 0,3.
c) Przyjmując, że 147 H" 108, znajdz przybliżoną wartość log 14.
11. Dla każdego z podanych wyrażeń zapisz warunki, jakie muszą spełniać zgodnie
z definicją logarytmu liczby a, b, c i d, i oblicz wartość tego wyrażenia.
"
"
2
a) loga a23 loga a loga 5 a2 loga 1 loga a3
"
a7 a
b) logb b logb2 b log"b b log 1 b log 1 b
"
b 3
b
c) logc2 c4 logc3 c5 log"c c2 log 1 c3 log 1 c10
c
c2
" "
3
5
1 d
"
4
"
d) logd2 d logd5 log 3 d log 1 log 1 d
"
d
d
d d d
12. Oblicz:
1
a) 2log2 5 c) eln 3 e) 53log5 2 g) 16log2 3
log 11
1
ln 9
1
2
b) 15log15 6 d) 10log 0,7 f) e h)
10
13. Które z podanych liczb są dodatnie, a które ujemne?
1 1
log2 10 log log 1 5 log20 0,1 log12 100 log0,2 100
20
2
14. Wyznacz z podanego wzoru wskazaną wielkość.
a) P = Mat, t e) M = m - a log2 r , r
a
b) R = e- b
, a f) V = w ln(1 + a), a
1 L
c) n =1- , k g) A = B +5log , M
M
ąk
N
ln
N0
d) D = d +5� 10-m, m h) t = , N
-k
LOGARYTMY 33
TEST
T1. O dwóch liczbach dodatnich a oraz b wiadomo, że ab = 3. Z tej równości
wynika, że:
A. a =log3 b B. loga b =3 C. b =log3 a D. b =loga 3
T2. W którym wypadku wartość a jest najmniejsza?
"
A. loga 16 = 4 B. a =log3 1 C. log a =0,5 D. ln e = a
9
T3. Ile spośród liczb: log2 3, log5 3, log 1 0,25, log 0,1 jest większych od 1?
2
A. jedna B. dwie C. trzy D. cztery
1
T4. Wartość log3"3 81 jest równa:
"
2 2 1
A. B. -2 C. -1 D. -3 3
3 3 2
B -2A
C
T5. Wzór D =10 otrzymano w wyniku przekształcenia jednego z poniższych
wzorów. Wskaż ten wzór.
1
A. A = B - C log D C. B =2A +logCD
2
10
C
B
B. C = D -2A D. logD 10 =
B -2A
WAASNOŚCI LOGARYTMÓW
Pojęcie logarytmu jest ściśle związane z pojęciem potęgi. Nic więc dziwne-
go, że z praw działań na potęgach wynikają pewne własności logarytmów.
Sprawdz, że spełniona jest równość:
A
1. log2 4+log2 8=log2(4 � 8)
5. log2 4-log2 8=log2 4
8

1 1
2. log 1 2+log 1 =log 1 2 � 1 1
6. log 1 2-log 1 =log 1 2:
8 8
2 2 2
8 8
2 2 2
3. log 100 + log 1000 = log 100 000
7. log 100 - log 1000 = log 0,1
4. ln e5 +lne7 =lne12
8. ln e5 -lne7 =lne-2
34 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
YTMÓW
Równości zapisane w ćwiczeniu A wynikają z następujących ogólnych wła-
sności logarytmów.
Twierdzenie o logarytmie iloczynu
Jeśli a, b i c są liczbami dodatnimi i a =1, to

loga(bc) = loga b +loga c
Dowód
Niech loga b = x i loga c = y, wobec tego b = ax i c = ay .
Zatem bc = ax � ay
Korzystamy z własności potęg.
bc = ax+y
Korzystamy z definicji logarytmu.
Stąd x + y =loga(bc),
czyli loga b +loga c =loga(bc).
"
"
Oblicz: log6 9+log6 4, log 1 25 + log 1 0,01, log3 6+log3 22 .
B
2 2
Twierdzenie o logarytmie ilorazu
Jeśli a, b i c są liczbami dodatnimi i a =1, to

loga b = loga b -loga c
c
Dowód
Niech loga b = x i loga c = y, wtedy b = ax i c = ay.
b ax
Zatem = ,
c
ay
b
= ax-y,
c
Stąd x - y =loga b ,
c
czyli loga b -loga c =loga b .
c
Oblicz: log5 35 - log5 7, log 1 18 - log 1 9, log 0,03 - log 3.
C
4 4
Twierdzenie o logarytmie potęgi
Jeśli a, b są liczbami dodatnimi i a =1, to dla każdej liczby c

loga bc = c loga b
Dowód
Niech loga b = x i loga bc = y, wobec tego b = ax i bc = ay.
Zatem ay =(ax)c
Korzystamy z własności potęg.
ay = acx
Stąd y = cx,
czyli loga bc = c loga b.
WAASNOŚCI LOGARYTMÓW 35
2
"2
" 15 1 3
1
Oblicz: log3 3 , log , log 1 .
D
100 2 4
Twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu
Jeśli a, b są liczbami dodatnimi i a = 1, to dla dowolnej różnej od 1 liczby

dodatniej c
logc b
loga b =
logc a
Dowód
Niech loga b = x i logc a = y, wobec tego b = ax i a = cy .
Zatem b =(cy)x, więc b = cxy.
Stąd xy =logc b, czyli loga b � logc a =logc b.
logc b
Z założenia wiemy, że a =1, więc logc a =0, zatem loga b = .

logc a
Za pomocą kalkulatora możemy łatwo obliczyć logarytm dziesiętny oraz
logarytm naturalny. Ostatnia z omówionych własności umożliwia oblicza-
nie za pomocą kalkulatora logarytmu, gdy podstawą jest dowolna liczba
dodatnia różna od 1. Własność ta pozwala wyrazić bowiem taki logarytm
za pomocą logarytmów dziesiętnych (lub logarytmów naturalnych). Oto
przykłady:
log 30 1,48 ln 30 3,40
log2 30 = H" H" 4,9 log2 30 = H" H" 4,9
0,3 0,69
log 2
ln 2
ln 20 3
log 20 1,3
log 1 20 = H" H" -4,3
log 1 20 = H" H" -4,3
1
1 -0,69
-0,3 2
2 ln
log
2
2
Wyraz za pomocą logarytmów dziesiętnych: log3 5, log12 3 , log0,3 7.
E
4
P
a) Oblicz log2 10+log2 80-log4 10 000
log2 10 000
1
log2 10+log2 80-log4 10 000 = log2 800- =log2 800 - log2 10 000 =
log2 4 2
1
2
=log2 800-log2 10 000 =log2 800-log2 100 = log2 800 =log2 8=3
100
1
b) Przedstaw wyrażenie 3 log2 a2 - log2 9a3 + 4 w postaci jednego logarytmu.
2
9
2
1
16a
1
2
3log2 a2 - log2 9a3 +4= log2(a2)3 -log2(9a3) +log2 24 =log2
2
3
"
7
c) Przyjmując, że ln 2 H" 0,693 i ln 7 H" 1,946, oblicz ln .
4
"
"
7 1 1
ln =ln 7-ln4= ln 7 - 2 ln 2 H" � 1,946 - 2 � 0,693 = -0,413
4 2 2
36 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
ZADANIA
1. Oblicz:
"
a) log2 80 + log2 0,1 e) log7 14-log7 2 7
b) log3 4,5 + log3 2 f) log2 6+log2 12+log2 4
9
1
c) log 2000 + log g) log4-log5+log125
2
d) log2 7-log2 56 h) ln 3e2 -ln6+ln2e
2. Przedstaw podany logarytm za pomocą wyrażeń log a, log b i log c.
ab a 1
a) log(abc) b) log c) log d) log
c bc abc
3. Przedstaw podany logarytm w postaci sumy lub różnicy logarytmów.
5 2
a) log3(ab) c) log5 p e) ln g) log7 st
q x
a 4x u
b) log2(5x) d) log 1 f) log h) log0,1 7v
3 y
2
4. Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
a) log2 3+log2 x e) log7 n +log7 n -log7 n
2 2
b) log5 a +log5 4b f) log6 a +log6 5b -log6 10c
m
c) log +log3m g) log3 2v +log3 v -log3 3v
9
"
" "
3
d) log 7a -log4a -log3a h) log x -log x +log 2x
5. Niech a będzie taką liczbą, że log a =2. Oblicz:
"
2
5
1
3
a) log a13 c) log a e) log a2 g) log
a12
"
3 1
b) log a-7 d) log a f) log h) log 1
4
a5
a3
6. Przyjmij, że log 7 H" 0,845 i oblicz:

log 70 log 700 log 7000 000 log 0,7 log 0,07 log 7 � 10-10
WAASNOŚCI LOGARYTMÓW 37
7. Przyjmij, że log 2 H" 0,3 i log 5 H" 0,7. Oblicz:
"
1 1
a) log 4 log 2 log log 32 log
2
210
"
" "
5 6
1 5
b) log 125 log 5 log log 55 log
25
125
"

2
c) log 20 log 50 log 0,4 log log 0,02
500
2 4 25
d) log log log 2,5 log log 6,25
5 5 64
" "
" "
5 2 5 8 2
e) log log 5 2 log log log 40 2
8
5 25
" "
8. Wykaż, że log2(2 + 3) = 2 log2(1 + 3) - 1.
9. Przyjmij, że loga b = x i loga c = y. Przedstaw za pomocą liczb x i y wyrażenie:
" "
3
a) loga(bc) d) loga bc g) loga b bc2

5
b) loga(b2c3) e) loga 1 h) loga b2
"
b2c b c

"
"
3
c) loga cb f) loga b b
c
10. Przyjmij, że ln 2 H" 0,7 i ln 3 H" 1,1. Oblicz:
a) log2 3 c) log2 18 e) log6 8
b) log3 4 d) log4 9 f) log27 12
11. Przedstaw podany logarytm za pomocą logarytmów dziesiętnych, a następnie
oblicz jego wartość za pomocą kalkulatora (wynik podaj z dokładnością do części
tysięcznych).
a) log2 5 c) log0,3 4 e) log1,2 124
b) log7 2 d) log 1 2,9 f) log15 32,2
4
12. Wykaż, że:
a) log4 81 + log16 81 = log2 27 b) log9 4+log 1 10 = log3 0,2
3
13. Wykaż, że dla a >0, a =1 i b > 0 zachodzi równość:

1
1
n
a) log 1 b =loga b c) logan b =loga b
a
"
n
b) log"a b =loga b2 d) log b = n loga b
a
38 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
14. Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
1 1
a) 3log2 a +log2 b e) 2log 1 3u + log 1 v -3log 1 2w
2 9
2 2 2
1 1
b) 2log5 4x + log5 y f) -2 ln z -4ln2z + ln 8z
5 3
1
c) log3 8n -2log3 5n g) 3log2k5 -5logk3 -2logk
3
1 1 1 1
d) -4 log 3p - log 3q h) log216a6+ log216a9- log216a12
2 2 3 4
15. a) Wykaż, że jeśli a i b są liczbami dodatnimi i różnymi od 1, to zachodzi
równość:
loga b � logb a =1
b) Korzystając z powyższej równości, oblicz:
ln 7 � log7 e log 5 � log5 100 log3 8 � log2 9
16. Przedstaw podane wyrażenie jako jeden logarytm.
1
a) 2+log3 5 c) log2 3-4 e) 4-log3 g) +log4 7
2
2
b) log2+3 d) log 1 10-1 f) 1-ln5 h) -ln2
3
2
TEST
T1. Które z poniższych wyrażeń nie jest równe log 36?
ln 36
A. 2 log 6 B. 2 log 10 - 2 log 8 C. D. 2 + log 0,36
ln 10
T2. Przyjmij, że log2 3=a oraz log2 5=b. Która z równości jest fałszywa?
A. log2 0,6 = a - b C. log2 75 = a +2b
a
B. log2 27 = 3a D. log3 5=
b
T3. Liczba log2(15 � 16) jest od liczby log2 15:
A. 16 razy większa C. 4 razy większa
B. o 16 większa D. o 4 większa
T4. Oznaczmy literami a, b oraz c liczby: a = log 25, b = log 15, c = log 3. Oceń,
czy podana równość jest prawdziwa.
I log 5 = a2 TAK/NIE
II 2a = b - c TAK/NIE
III 2c =log 9 TAK/NIE
WAASNOŚCI LOGARYTMÓW 39
FUNKCJE WYKAADNICZE
Wiesz już, że dla każdej liczby rzeczywistej x określona jest liczba 2x.
Można więc rozpatrywać funkcję y = 2x. Dziedziną tej funkcji jest zbiór
liczb rzeczywistych.
1
Oblicz wartości funkcji y = 2x dla argumentów: -3, -2, -1, 0, , 1, 2, 3, a na-
A
2
stępnie zaznacz w układzie współrzędnych odpowiadające im punkty wykresu
tej funkcji.
Na poniższym rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji y =2x.
Zauważ, że:
Wartości funkcji są dodatnie, gdyż 2x >0
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Wykres nie przecina osi x, ale możemy
na nim znalezć punkty leżące dowolnie
blisko tej osi. Oś x jest więc poziomą
asymptotą wykresu funkcji.
Wykres funkcji przecina oś y w punkcie
o współrzędnych (0, 1), bo 20 =1.
Na rysunku obok przedstawiono wykres
B
funkcji y = 3x. Sprawdz, którą z opisa-
nych wyżej własności ma ta funkcja.
x
1
Oblicz wartości funkcji określonej wzorem y = dla argumentów: -3, -2,
C
2
-1, 0, 1, 2, 3, a następnie zaznacz w układzie współrzędnych odpowiadające
im punkty wykresu tej funkcji. Naszkicuj ten wykres.
Każdą funkcję, której wzór można zapisać w postaci y = ax, gdzie a >
0, nazywamy funkcją wykładniczą. Dziedziną funkcji wykładniczej jest
zbiór liczb rzeczywistych.
Zwróć uwagę, że dla a = 1 funkcja wykładnicza ma postać y = 1, a więc
jest funkcją stałą.
40 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
ADNICZE
WYKA
JE
C
NK
Obok przedstawiono wykresy funkcji
x
1
f (x) = 2x i g(x) = . Zauważ, że
2
wzór funkcji g można zapisać w posta-
ci g(x) =2-x. Zatem zachodzi równość:
f (-x) =g(x)
x
1
Wobec tego wykres funkcji g(x) =
2
jest symetryczny do wykresu funkcji
f (x) =2x względem osi y.
Poniżej narysowano wykresy kilku funkcji wykładniczych.
Z wykresówtych można odczytać następujące własności funkcji typu y = ax
(dla a >0i a =1):

Zbiorem wartości funkcji jest przedział (0; +").
Oś x jest asymptotą poziomą wykresu funkcji.
Wykres funkcji przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, 1).
Funkcja jest różnowartościowa, czyli dla różnych argumentów przyjmu-
je różne wartości, tzn. jeśli x1 = x2, to ax1 = ax2.

Dla a > 1 funkcja y = ax jest rosnąca, a dla 0 < a < 1 jest malejąca.
Korzystając z wykresów funkcji wykładniczych, możemy rysować wykresy
innych funkcji. Kilka przykładów przedstawiono na poniższych rysunkach.
FUNKCJE WYKAADNICZE 41
ZADANIA
1. Poniżej narysowano wykresy następujących funkcji:
x
6
f (x) =(0,6)x g(x) = h(x) =ex k(x) =10x
7
Dopasuj wzory do wykresów.
2. Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy następujących funkcji:
1
f (x) =3x +3, k(x) = -1, g(x) =3x -1, l(x) =3x+3, h(x) =3-x, m(x) =3x-4.
3x
Dopasuj wzory funkcji do wykresów.
3. Narysuj wykres funkcji y =2x, a następnie wykres funkcji:
a) y =1+2x c) y =2x+2 e) y =-2x g) y =8� 2x
2x
b) y =-3+2x d) y =2x-1 f) y =5-2x h) y =
4
42 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
4. Wśród podanych wzorów znajdz takie, które przedstawiają tę samą funkcję.
2
10x
a(x) =10x+2 c(x) = 100 + 10x g(x) = i(x) =10x
100
b(x) =10x-2 d(x) = 100 � 10x h(x) = 100x j(x) =102x
5. W tabelkach przedstawiono wyniki pomiarów wielkości t i M dokonanych pod-
czas trzech doświadczeń. Przypuszcza się, że wielkości te związane są wzorem
M = b � at, gdzie a i b są pewnymi stałymi charakterystycznymi dla danego do-
świadczenia. Które wyniki pomiarów potwierdzają to przypuszczenie?
1 2 3
t 0 1 5 t 0 2 3 t 0 2 4
M 0,01 0,1 1000 M 50 2 3 M 5 20 80
6. Oblicz, dla jakich wartości a i b wykres funkcji y = bax przechodzi przez punkty:

2 1
a) K = (0, 6), L = 2, b) K = (1, 8), L = , 2
3 2
7. Dane są funkcje:
x x-3
5 1
f (x) =2+ex g(x) = -5 h(x) = k(x) =6x+4
6 5
Które z tych funkcji:
a) są rosnące, d) mają miejsca zerowe,
b) przyjmują tylko wartości dodatnie, e) przecinają oś y,
c) mają asymptotę y =0, f) są różnowartościowe?
8. Znajdz równanie asymptoty oraz współrzędne punktów przecięcia wykresu
funkcji f z osiami układu współrzędnych.
a) f (x) =5+ex c) f (x) =0,1x +3 +7 e) f (x) =3x -3
x x +2
1 1
b) f (x) =4x -2 d) f (x) = -1 f) f (x) = -5
2 5
9. Zapisz przykład wzoru funkcji postaci y =5x+a + b spełniającej warunek:
a) Asymptotą wykresu funkcji jest y =5.
b) Wykres przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, -3).
c) Miejscem zerowym funkcji jest x =1.
d) Asymptotą wykresu funkcji jest y = -1 i przecina on oś y w punkcie o współ-
rzędnych (0, 4).
e) Asymptotą wykresu funkcji jest y = -5 i przechodzi on przez punkt (0, 0).
FUNKCJE WYKAADNICZE 43
TEST
T1. Dla jakiego argumentu funkcja y =3x przyjmuje wartość 7?
"
1
A. B. 7 C. log3 7 D. log7 3
7
T2. Ustal, czy podane zdania są prawdziwe.
I Wzory f (x) =10x+2 i g(x) = 100 + 10x przedstawiają tę samą funkcję. TAK/NIE
2
II Wzory f (x) =10x i g(x) =102x przedstawiają tę samą funkcję. TAK/NIE
10x
III Wzory f (x) =10x-2 i g(x) = przedstawiają tę samą funkcję. TAK/NIE
100
T3. Ile jest funkcji malejących wśród niżej podanych?
" 5
y =5-x y = 5 y =-1 y =0,5x
5x
A. jedna B. dwie C. trzy D. cztery
T4. Której z poniższych własności nie ma funkcja wykładnicza f (x) =ax?
A. Funkcja nie ma miejsc zerowych.
B. Asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu y =0.
C. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
D. Wykres funkcji przecina oś y w punkcie (0, 1).
x-2
1
T5. Punkt, w którym funkcja f (x) =-5 +5 przecina oś y ma współrzędne:
10
A. (0, 5) B. (0, -495) C. (0, -5) D. (0, -4,95)
FUNKCJE LOGARYTMICZNE
Każdą funkcję, której wzór można zapisać w postaci y =loga x, gdzie a >0
i a = 1, nazywamy funkcją logarytmiczną. Dziedziną funkcji logarytmicz-

nej jest przedział (0; +").
Podaj współrzędne punktów symetrycznych względem prostej o równaniu y =
A
x do punktów:
A = (0, 1) B = (-6, 1) C = (-1, 3) D = (2, 5) E = (7, 1)
44 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
ICZNE
Zauważmy, że w układzie współrzędnych punkty o współrzędnych (a, b)
i (b, a) są symetryczne do siebie względem prostej y = x. Tę własność
wykorzystamy przy rysowaniu wykresu funkcji y =log2 x.

1
Sprawdz, że punkty A = (5, 32), B = (0, 1), C = -3, należą do wykresu
B
8

1
funkcji y = 2x, oraz że punkty A = (32, 5), B = (1, 0), C = , -3 należą do
8
wykresu funkcji y =log2 x.
Rozważmy następujące funkcje:
f (x) =2x g(x) =log2 x
Niech punkt (p, r ) będzie dowolnym
punktem wykresu funkcji f . Zatem:
r =2p
log2 r = p
Wobec tego punkt (r , p) należy do wy-
kresu funkcji g. Wynika stąd, że wykres
funkcji g(x) = log2 x jest symetryczny
względem prostej y = x do wykresu
funkcji f (x) =2x.
Oto przykłady wykresów kilku funkcji logarytmicznych oraz ich własności.
Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Oś y jest asymptotą (pionową) wykresu funkcji.
Wykres funkcji przecina oś x tylko w punkcie (1, 0), tzn. jedynym miej-
scem zerowym funkcji jest x =1.
Funkcja jest różnowartościowa, czyli dla różnych argumentów przyjmu-
je różne wartości, tzn. jeśli x1 = x2, to loga x1 =loga x2.

Dla a > 1 funkcja y =loga x jest rosnąca, a dla 0 < a < 1 jest malejąca.
FUNKCJE LOGARYTMICZNE 45
Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresy funkcji:
C
x x
3 4
1 y = 2 y = 3 y =3x
4 3
4 y =log 3 x 5 y =log 4 x 6 y =log3 x
4 3
Dopasuj wzory do wykresów.
ZADANIA
1. Określ dziedzinę funkcji:
a) y =log3(x -2) d) y =log(x2 -3x - 10) g) y =logx(x +1)
b) y =log(3+2x) e) y =logx 2 h) y =logx(2 - x)
c) y =log 1 (x2 -9) f) y =logx-3 5 i) y =log2 |x -1|
2
2. Na rysunkach obok przedstawione
są wykresy następujących funkcji:
f (x) =log xh(x) =log 5 x
6
g(x) =lnxk(x) =log0,1 x
Dopasuj wzory do wykresów.
3. Narysuj wykres funkcji y =log2 x, a następnie wykres funkcji:
a) y =log2(x -3) d) y =-4+log2 x g) y =- log2 x
x
b) y =log2(5 + x) e) y =log2 8 h) y =3-log2 x
c) y =1+log2 x f) y =log2(4x) i) y = | log2 x -1|
4. Które z podanych wzorów przedstawiają tę samą funkcję?
f (x) =2 log3 x g(x) =log3 2x h(x) =2+log3 x i(x) =log3 x2
j(x) =log3 2+log3 x k(x) =log3(2 + x) l(x) =2 log3 |x| m(x) =(log3 x)2
46 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
5. Dobierz wartości a i b tak, aby podane wzory opisywały tę samą funkcję:
x5 1
a) y =log i y = a + b log x b) y =4- log x i y =log(ax)b
3 2
6. Oblicz, dla jakich wartości a i b wykres funkcji y = a + b log x przechodzi przez
punkty P i R, jeśli:

1
a) P = (1, 5), R = (10, 2) b) P = , 6 , R = (100, 0)
10
7. W tabelkach przedstawiono wyniki pomiarów wielkości t i p dokonanych pod-
czas trzech różnych doświadczeń. Przypuszcza się, że zależność między tymi
wielkościami przedstawia wzór p = a + b log t, gdzie a i b są pewnymi stałymi
charakterystycznymi dla danego doświadczenia. Które wyniki pomiarów potwier-
dzają to przypuszczenie?
1 2 3
1
t 1 10 t 0,01 1 1000 t 0,1 1 100
10
p -16 -10 -6 p 13 -2 -12 p -3 4 8
8. Na rysunkach obok
przedstawione są wykresy
następujących funkcji:
f (x) =log 1 (x -1)
2
g(x) =log 1 (x +2)
2
h(x) =log 1 4x
2
x
k(x) =log 1
4
2
Dopasuj wzory funkcji do
wykresów.
9. Dane są funkcje:
f (x) =ln(x - 13) g(x) =log(x + 10) h(x) =13+log0,1 x k(x) = -10 + log 1 x
6
Ustal dziedziny tych funkcji i wskaż, które z tych funkcji:
a) są rosnące, d) mają wykresy przecinające oś y,
b) mają asymptotę x =0, e) mają wykresy przecinające oś x,
c) mają miejsce zerowe, f) są różnowartościowe.
10. Znajdz równanie asymptoty podanej funkcji i współrzędne punktów przecięcia
jej wykresu z osiami układu współrzędnych.
a) y =log5(x -2) c) y =4+logx e) y =log2(16x) g) y =3-lnx
x
b) y =log3(x +3) d) y =-2+log 1 x f) y =log 1 h) y =1+log(x -5)
5
3 5
FUNKCJE LOGARYTMICZNE 47
11. Podaj przykład wzoru funkcji postaci y = a +log2(x + b) spełniającej warunek:
a) Asymptotą wykresu jest x =3.
b) Wykres przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, 4).
c) Miejscem zerowym funkcji jest x =2.
d) Asymptotą wykresu jest x = -1 i wykres przecina oś y w punkcie o współrzęd-
nych (0, 1).
e) Asymptotą wykresu jest x = -2 i wykres przechodzi przez początek układu
współrzędnych.
TEST
T1. Która z poniższych funkcji ma asymptotę o równaniu x =5?
A. f (x) =5 log5 x B. f (x) =log(x +5) C. f (x) =5+log2 x D. f (x) =ln(x -5)
T2. Wykres funkcji f (x) = 4-log 1 (4 + x) przecina oś y w punkcie o współrzędnych:
4
A. (0, 4) B. (0, -4) C. (0, 5) D. (0, 3)
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
WYKAADNICZE
Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Na każdym z nich przedstawiono
wykresy dwóch funkcji. Korzystając z tych wykresów, można znalezć roz-
wiązania równań, które zapisano pod rysunkami.
Funkcja kwadratowa nie jest róż- Funkcja wykładnicza jest różnowar-
nowartościowa. Równanie ma dwa tościowa. Równanie ma jedno roz-
rozwiązania: wiązanie:
x =-4 x =4 x =4
Równanie pod drugim rysunkiem jest przykładem równania wykładnicze-
go, czyli takiego, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku.
48 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
RÓWNOŚCI
Zauważ, że równanie 2x =16 można za-
Funkcja wykładnicza
pisać tak:
y = ax
2x =24
jest różnowartościowa.
Korzystając z różnowartościowości funk-
ax = ab �! x = b
�!
cji wykładniczej, otrzymujemy więc:
x =4
Każde równanie wykładnicze, którego dwie strony można zapisać w po-
staci potęg o tych samych podstawach, możemy rozwiązać, porównując
wykładniki tych potęg.
P Rozwiąż równania:
27x
a) 9x =
81 Zapisujemy obie strony równania w postaci
potęg o podstawie 3.
(33)x
(32)x =
34
32x =33x-4
Porównujemy wykładniki.
2x =3x -4
x =4
b) 5x+1 -15� 5x-2 = 110
15
5 � 5x - � 5x = 110
52

15
5x � 5- = 110
25
110
5x � = 110
25
5x =25, czyli x =2
Zapisujemy wszystkie potęgi występujące
w równaniu jako potęgi o tych samych pod-
c) 4x -6� 2x -16=0
stawach.
(22)x -6� 2x -16=0
(22)x =(2x )2
(2x )2 -6� 2x -16=0
t > 0, bo dla dowolnej wartości x potęga 2x
jest liczbą dodatnią.
Niech t =2x . Zatem t >0
Szukamy dodatnich rozwiązań równania
t2 -6t -16=0
kwadratowego.
"=36+4� 16 = 100
6-10 6+10
t1 = =-2 t2 = =8
2 2
t1 <0 2x = t2 Liczba t1 = -2 nie spełnia warunku t >0.
2x =8, czyli x =3
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKAADNICZE 49
Nie zawsze warto w równaniu wykładniczym zamieniać wszystkie potęgi
na potęgi o tych samych podstawach. Na przykład równanie:
7x =11
możemy rozwiązać, korzystając z definicji logarytmu:
x =log7 11
Pokażemy teraz, jak rozwiązać równanie 7x = 11 jeszcze w nieco inny
sposób.
Z różnowartościowości funkcji
Funkcja logarytmiczna y = loga x jest
logarytmicznej wynika, że mo-
funkcją różnowartościową. Zatem dla
żemy zlogarytmować obie stro-
dowolnych liczb dodatnich p i r :
ny równania (za podstawę loga-
p = r �! loga p =loga r
�!
rytmu możemy wybrać dowolną
liczbę dodatnią różną od 1).
Poniżej wykonano taką operację na trzy sposoby. Za każdym razem otrzy-
mano takie samo rozwiązanie, tylko zapisane w inny sposób.
7x =11 7x =11
7x =11
log11 7x =log11 11 log 7x =log 11
log7 7x =log7 11
x log11 7=1 x log 7 = log 11
x log7 7=log7 11
1 log 11
x =
x =
x =log7 11
log11 7
log 7
Uwaga. Gdy chcemy obliczyć przybliżoną wartość rozwiązania za pomocą kalku-
latora, najwygodniej jest używać logarytmu dziesiętnego lub naturalnego.
1. Uzasadnij, że wszystkie otrzymane rozwiązania przedstawiają tę samą licz-
A
1 log 11
bę, tzn., że zachodzą równości: log7 11 = = .
log11 7 log 7
3
2. Rozwiąż równanie 5x = .
4
P Rozwiąż równianie 4x-1 =5x .
Sposób I.
4x
=5x
41
Korzystamy z własności potęg.
4x
=4
5x
x
4
=4
5
Korzystamy z definicji logarytmu.
x =log 4 4
5
50 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
Sposób II.
log4 4x-1 =log4 5x
Logarytmujemy obie strony równania (za
podstawę logarytmu przyjmujemy 4).
(x -1) log4 4=x log4 5
x -1=x log4 5
x - x log4 5=1

x(1-log4 5) = 1 : (1-log4 5) Wiadomo, że 1 =log4 5.
1 log 5
x = log4 5= H" 1,16, więc x H" -6,21
log 4
1- log4 5
Korzystając z wykresów nary-
B
sowanych obok, podaj, dla ja-
kich wartości x spełniona jest
nierówność 2x < a dla jakich
x4,
1
nierówność <4.
2
Rozwiązując nierówności wykładnicze postaci ax < c (a także postaci ax >
c), postępujemy inaczej, gdy podstawa a jest liczbą większą od 1, a inaczej,
gdy jest liczbą dodatnią mniejszą od 1.
Funkcja y = ax jest rosnąca, więc Funkcja y = ax jest malejąca, więc
ax < ac ax > ac ax < ac ax > ac
Ń! Ń! Ń! Ń!
Ó! Ó! Ó! Ó!
x < c x > c x > c x < c
Nie zmieniamy znaku nierówności. Zmieniamy znak nierówności na
przeciwny.
Rozwiąż nierówność:
C
1
1. 3x <37
5. 2x <8
3. 4x >49
x 4
x
1 1
1 1
2. <
6. >
5 5 4. (0,6)x > (0,6)0,8 3 3
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKAADNICZE 51
P Rozwiąż nierówności:
x x+2
1 1
a) -10� e"15
5 5
x 2 x
1 1 1
-10� � e"15
5 5 5
x

1 2 3

1- e"15 :
5 5 5
x
1
e"25
5
Zapisujemy obie strony nierówności w posta-
ci potęg o takiej samej podstawie.
x -2
1 1
e" , stąd x d"-2
Zmieniamy znak nierówności na przeciwny,
5 5
1
bo <1.
5
Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-"; -2).
x 2x
9 4 3
b) � <
Wszystkie potęgi w nierówności zapisujemy
16 3 4
w postaci potęg o takiej samej podstawie.
-2 x -2x
4 4 4
� <
3 3 3
x-2 -2x
4 4
<
3 3
2
x -2<-2x, stąd x < 4
Zachowujemy znak nierówności, bo >1.
3
3

2
Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział -"; .
3
ZADANIA
1. Rozwiąż równanie:
x " x
"
1 1 1
a) = 125 e) 2 = i) 2x � 2=
5 32 16
4 x
" x " "
3
6 7 1
b) = f) 7 = 7 j) � 7x = 7
7 6 49
x

1 1
"
c) 9x =27 g) = k) 0,2 = 25x
9
3
x
1 4 8
d) =8x h) 0,1 = 1000 � 10x l) = � 3
4 3 27
2. Rozwiąż równanie:
2x 1
a) 3x � 5x =15 e) =2� 4x i) 4x � 8x+1 =
16 2
x
" x "
1
b) � 6x =9 f) 0,2 � 5x = 5 j) 27x+3 = 3 � 81x
2
x x x-1
1 1 9x 4 3 27
c) 4x = � 2x g) 81 � = k) � =
8 3 3 9 2 8
x x
"
3 8
d) 10x = 2 � 5x h) � 1,5 = l) 2,5x+2 =0,4� 0,16x
2 27
52 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
3. Rozwiąż równanie:
a) 7x +7x-1 =56 d) 5x+1 +5x =1,2 g) 3x+2 +2� 3x-1 =87
b) 3x+2 -3x =24 e) 7x+1 +7x-1 = 350 h) 2x+3 -5� 2x-2 = 13,5
2-x
7 1
c) 2x-3 +2x =18 f) 5x +10� 5x-2 = i) 2x-3 +4� =9
25 2
4. Rozwiąż równanie:
a) 52x -3� 5x -10=0 c) 4x -5� 2x +4=0 e) 9x -25� 3x -54=0
b) 7 � 72x -8� 7x +1=0 d) 4x -6� 2x -16=0 f) 5 � 25x +49� 5x -10=0
5. Rozwiąż równanie:
a) 7x =3 e) 42x+3 =1 i) 2x � 3x =5
x
1
b) 6x =3x f) 5x =2x+1 j) � 15x =2
3
x x-1
1 1
c) 3x+1 =4 g) = k) 14x =3� 2x
3 2
x
3
d) 23x-1 =5 h) 41-x =5x l) 5 � 3x =
2
6. Rozwiąż równanie:
x
2 7x
a) 3 � 2x-4 =7x d) � 5= g) 3x =2x-1 � 5x
3 2
b) 2 � 61-x =5x e) 0,2 � 3x =4x-1 h) 3x-2 � 4x =8x+1
3x 1
c) =2x+3 f) � 3x+2 =10x i) 2 � 2x+3 =5x � 3x-2
5 4
7. Rozwiąż równanie:
x 2
2 2 2
1
a) 5x =3x b) 43x =10x c) =2-5x d) 0,43x =72x
3
Wskazówka. Zlogarytmuj obie strony równania.
8. Po lewej stronie równania zapisano sumę nieskończonego ciągu geometryczne-
go. Rozwiąż to równanie.
1 1
a) 2x +2x-1 +2x-2 + . . . = b) 3x +3x-2 +3x-4 + . . . =
4 8
9. Rozwiąż nierówność:
a) 5x < 125 d) 0,1x d" 0,001 g) 0,1x � 10 < 100x
x x
1 1 5 2 4
b) 7x e" e) 273x d" � 9x h) � e"
49 3 2 5 25
x 5x x x x
1 1 1 1 3 3 5
c) > f) � 16 > i) e" �
2 32 4 2 5 5 3
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKAADNICZE 53
10. Rozwiąż nierówność:
x x-3 x-4
4 2 2 35 1
a) 3x+1 +3x d" c) + d" e) -9� 3x d"0
9 3 3 27 3
x-2 x 2x
1 1 1
b) - >24 d) 25x-1 - >0 f) 2 � 5x -5x-1 <9
2 2 4
TEST
T1. Rozwiązaniem którego z poniższych równań jest liczba dodatnia?
x

x
1 3 1 1
"1
A. 3x � 9= B. =25 C. = 4 D. 0,01x =
3 5 8
10
T2. Rozwiązaniem równania 4 � 2x =6x jest:
3
log
log2 6
3
2
A. log3 4 B. C. D.
4 4 log 4
T3. Ile rozwiązań ma równanie 4x +7� 2x -8=0?
A. nie ma żadnego rozwiązania C. ma dwa rozwiązania
B. ma jedno rozwiązanie D. ma więcej niż dwa rozwiązania
T4. Żadne z rozwiązań nierówności 2�0,1x+0,1x-1 > 1200 nie należy do przedziału:
A. (-"; -10) B. (-6; -5) C. (-1; 1) D. (-3; +")
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
LOGARYTMICZNE
Równania logarytmiczne to takie równania, w których niewiadoma wystę-
puje w podstawie logarytmu lub jako liczba logarytmowana. Najprostsze
równania tego typu można rozwiązać, korzystając z definicji logarytmu.
Rozwiąż równanie:
A
1. log5 x =3
3. logx 6=-1 5. log2x 6=-1
1
2. log 1 x =-2
4. log5(x -1) =3 6. logx+1 7=
3 2
W przykładach na następnej stronie pokazujemy, jak rozwiązuje się bar-
dziej skomplikowane równania. Przy szukaniu rozwiązań równań loga-
rytmicznych należy pamiętać, że logarytm jest określony tylko dla liczb
dodatnich, a jego podstawa musi być liczbą dodatnią różną od 1.
54 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
ÓWNOŚCI
P Rozwiąż równanie:
2+log3(x +4) =log3 8
Rozwiązania równania muszą spełniać waru-
Założenie: x +4>0, czyli x >-4 nek x + 4 > 0, bo liczba logarytmowana musi
być dodatnia.
log3(x +4) -log3 8=-2
log3 x +4 =-2
8
Korzystamy z definicji logarytmu.
x +4
3-2 =
8
1 x +4
=
9 8
8
x +4=
9
x =-31 Rozwiązanie spełnia warunek x > -4.
9
Jedna z metod rozwiązywania równań polega na przekształceniu równania
tak, aby po obu jego stronach otrzymać logarytmy o tej samej podstawie.
Wówczas możemy opuścić logarytmy i porównać logarytmowane wyraże-
nia. Własność ta wynika z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.
P Rozwiąż równanie:
log x4 - 3 log 2 = 2 log x
Zapisujemy warunek, który muszą spełniać
Założenie: x >0 rozwiązania równania (liczby logarytmowane
x oraz x4 muszą być dodatnie).
4logx -log23 =2 log x
4logx -2logx =log 8
2logx =log 8
log x2 =log 8
x2 =8
" "
x =2 2 lub x =-2 2
liczba ta nie spełnia
warunku x >0
"
x =2 2
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE 55
P Rozwiąż równanie:

log 1 x -4 � log 1 x =5
2 2
Zapisujemy warunek, który muszą spełniać
Założenie: x >0
liczby logarytmowane.
(log 1 x)2 -4log 1 x -5=0
2 2
Liczbę log 1 x oznaczamy literą t.
Niech: t =log 1 x
2
2
t2 -4t -5=0
"=36
4+6 4-6
t1 = =5 t2 = =-1
2 2
Korzystamy z definicji logarytmu.
log 1 x =5 lub log 1 x =-1
2 2
1
Rozwiązania spełniają warunek x >0.
x = lub x =2
32
Gdy w równaniach występują logarytmy o różnych podstawach, możemy
skorzystać ze wzoru na zamianę podstaw logarytmów.
P Rozwiąż równanie:
log 1 x -2log5 1 =3 log125 2
3
25
Zapisujemy warunek, który muszą spełniać
Założenie: x >0
liczby logarytmowane.
log5 x log5 2
logc b
-2log5 1 =3� Korzystamy ze wzoru loga b = .
1 logc a
3 log5 125
log5 25

log5 x log5 2
-2log5 1 =3� � (-2)
-2 3 3
log5 x +4log5 1 =-2 log5 2
3
-4
log5 x =log5 1 -log5 22
3
log5 x =log5 81
4
x =201 Rozwiązanie spełnia założenie.
4
56 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
Korzystając z wykresów narysowanych
B
obok, podaj, dla jakich wartości x speł-
niona jest nierówność log2 x >2, a dla
jakich nierówność log 1 x >2.
2
Rozwiązując nierówności postaci loga x < c (a także postaci loga x > c),
postępujemy inaczej, gdy podstawa a jest liczbą większą od 1, a inaczej,
gdy jest liczbą dodatnią mniejszą od 1. Obowiązują tu podobne zasady jak
przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych.
Funkcja y = loga x jest rosnąca, Funkcja y = loga x jest malejąca,
więc: więc:
loga x loga c loga x loga c
Ń! Ń! Ń! Ń!
Ó! Ó! Ó! Ó!
x < c x > c x > c x < c
Nie zmieniamy znaku nierówności. Zmieniamy znak nierówności.
Rozwiąż nierówność:
C
1. log2 x e"log2 5 2. log0,2 x >log0,2 7 3. log 2 x d"log 2 10 4. log x e"log1
4
3 3
P
Rozwiąż nierówność:
log0,2(x -5) >3
Założenie: x -5>0, czyli x >5
log0,2(x -5) >log0,2 0,23 Korzystamy z równości b =loga ab.
x -5<0,23 Zmieniamy znak nierówności, bo 0,2 < 1.
x < 5,008
Rozwiązania nierówności muszą spełniać wa-
x " (5; 5,008) runek x >5.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE 57
P Rozwiąż nierówność log7 x +log7(x -2) d"log7 3.
Założenie: x >0 i x -2>0, czyli x >2
log7 x(x -2) d"log7 3
Nie zmieniamy znaku nierówności, bo 7 > 1.
x(x -2) d"3
x2 -2x -3d"0, "=16
2-4 2+4
x1 = =-1 x2 = =3 Rozwiązujemy nierówność kwadratową.
2 2
x " -1; 3
x " -1; 3 i x " (2; +")
Rozwiązania nierówności muszą spełniać
warunek x >2.
x " (2; 3
ZADANIA
1. Rozwiąż równanie:
a) log3(x -5) =3 c) log0,1(2x -3) =1 e) log8(x2 -2) =-1
3

x 3
b) log 2 (x +2) =-2 d) log2 3+ =-4 f) log 1 (1 - x2) =
2 2
3 9
2. Rozwiąż równanie:
"
8
x
a) logx+1 36 = 2 c) log =-3 e) log2x-1 3 4=-1
2 125 3
1
x
b) log2-x 1 =3 d) log3x 15 = f) log2+ 2 5=1
8 2
3. Rozwiąż równanie:
a) log3 x =log3 5+log3 4 e) 2log 1 x =log 1 6+log 1 24
2 2 2
b) log0,7 x =3 log0,7 2-log0,7 3 f) 4log2 = 2logx +log5
1 1
c) log5 4+log5 x = log5 49 g) log6 5- log6 x =log6 1
2 2 2
d) log8=log x -2log1 h) log2 x2 -log2 x =2 log2 5
5
58 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
4. Rozwiąż równanie:
a) log5 x =2+log5 2 d) log(x -3) +3=log4
b) 3+log2 x =log2 5 e) log 1 (2x +1) -5=2log 1 3
2 2
1
c) 1-lnx =3 ln2 f) log0,1 3-2=log0,1(7x +3)
2
5. Rozwiąż równanie:
x 1
a) log(x +2) =logx +log2 c) log 1 = log 1 x
2 2
3 3
b) log2(x -3) =log2 x -3 d) ln(2x +1) =2lnx +1
6. Rozwiąż równanie:
a) log(x -3) +logx =log 4 d) log5(x +2) +log5(x -4) =1
b) log0,7(x -1) +log0,7(x -3) =log0,7 8 e) log3(x -2) +log3 x =0
c) log3(x +3) +log3(x +1) =1 f) ln(x +1) +ln(x +2) =0
7. Znajdz x:
a) log2(log3 x) =2 b) log4(log3(log2 x)) = 0 c) log2(log2(log2 x)) = 1
8. Rozwiąż równanie:
a) (log4 x)2 =9 e) 2(log 1 x)2 =1-log 1 x
2 2
b) (log 1 x)2 -25=0 f) (log 1 x)(3 + log 1 x) =4
5 3 3
c) (log2 x)2 +log2 x -2=0 g) (2 log3 x)2 =2 log3 x2 +3
d) (log x)2 -logx2 =3 h) (ln x)(1 + ln x) =2+lnx2
9. Rozwiąż równanie:
a) log2 x =log8 1000 e) log27 4-log3 4=log9 x
b) log3 x =log 1 5 f) log 1 3+log8 3+log4 x =0
3 2
1
c) log 1 3+log2 5=log2 x g) 2log3- log0,1 x =log100 0,5
2
4
d) log3 2-log 1 x =log 1 2 h) log0,2 49 + 2 log25 x =3 log125 7
9 9
10. Rozwiąż równanie:
1
a) xlog5 x =25x b) xlog2 x =64x c) xlog3 x =
x2
Wskazówka. Logarytmy obu stron równania muszą być równe.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE 59
11. Rozwiąż układy równań:

log x +logy =12 xy =8
a) c)
log x2 -logy =18 log2 x = y -2
ż#

�# log2 x +log4 y =-1
8x � 4y =2
b) d)
�# log2 y +log 1 x =2,5
log2 x -log2 y =-1
2
12. Po lewej stronie równania zapisano sumę wyrazów nieskończonego ciągu geo-
metrycznego. Rozwiąż to równanie.
"
2
a) 1+logx +(logx)2 + . . . = b) log2 x +(log2 x)3 +(log2 x)5 + . . . = 2
3
13. Rozwiąż nierówność:
a) log3 x <-4 c) log x e"3 e) log0,1 x e"5 g) log2 x d"-3
1 3
b) log 1 x d" d) log 3 x >-2 f) ln x <-1 h) log4 x >
2 4 2
4 5
14. Rozwiąż nierówność:
a) log2 5+log2 x >log2 2 e) log0,3(x -1) -log0,3 5<3 log0,3 3
1 1 x
b) log 1 x -2log 1 6d"log 1 4 f) log 1 5- log 1 4e"log 1
3 2 2
3 3 3 7 7 7
c) log x -3log2+log5e"0 g) 4ln2-lnx +ln3 < ln5
1 1
d) log5 1 -log5 x <2 log5 3 h) log 2 7+ log 2 8>log 2 x -log 2 3
2 9 3
3 3 3 3
15. Rozwiąż nierówność:
a) log4 x +log4(x -5) 0
b) log 1 (x +4) +log 1 x e"log 1 3 e) log0,1 2-log0,1(x -4) >log0,1(x -3)
5 5 5
c) log0,6(x -2) +log0,6(x +1) d"log0,6 4 f) ln(x +2) d"ln3-ln(x +4)
16. Rozwiąż nierówność:
a) logx 5>1 c) logx 8e"3 e) logx(x -1) d"1 g) logx(x +2) >2
b) logx 0,1 < -1 d) logx 9d"2 f) logx(x -5) e"-1 h) logx-3(2 - x) <1
60 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
TEST
T1. Wśród poniższych równań wskaż to, które ma inne rozwiązanie od pozostałych
trzech równań.
A. log2 x +log2 5=log2 40 C. logx 1 =-3
2
B. log 24 - log x =log3 ln x
D. =ln2
3
T2. Rozwiązanie równania log3 x -2=log3 2 jest liczbą:
A. parzystą B. ujemną C. niewymierną D. niecałkowitą
T3. Rozwiązaniem równania log2 x -log4 9=log 1 5 jest:
2
36 5 3
A. B. 45 C. D.
10 9 5
T4. Zbiór rozwiązań nierówności log3 (x -1) +log3 (x + 1) > 1 jest taki sam jak zbiór
rozwiązań nierówności:
A. x2 -1>1 C. x2 >4
B. x -2>0 D. x -1ZASTOSOWANIA FUNKCJI
WYKAADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH
Za pomocą funkcji wykładniczych i logarytmicznych można opisać zjawi-
ska z bardzo różnych dziedzin wiedzy. Oto dwa przykłady.
LICZEBNOŚĆ POPULACJI
Pewna kolonia bakterii liczyła początkowo 1000 bakterii, a co godzinę ich
liczba rosła o 10%.
Oblicz, ile bakterii było w tej kolonii po upływie 2 godzin, a ile po upływie
A
10 godzin.
Liczbę bakterii w tej kolonii po upływie t godzin można opisać wzorem:
L(t) = 1000 � 1,1t
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKAADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH 61
JI
C
UNK
F
A
Opisana kolonia bakterii to przykład populacji zmieniającej się w stałym
tempie. Tak zmieniające się populacje można opisać wzorami typu:
L(t) =b � at,
gdzie t oznacza czas, natomiast współczynniki a i b zależą od tempa zmian
populacji oraz jej początkowej wielkości. Gdy w ten sposób opiszemy po-
pulację, mówimy, że stworzyliśmy jej model wykładniczy. Współczynniki a
oraz b w modelu wykładniczym można obliczyć, gdy znamy wielkość po-
pulacji dla dwóch wartości t.
Na przykład liczba ludności Indii w latach 1960 1995 zmieniała się zgod-
nie z modelem wykładniczym. Wiedząc, że w roku 1971 w Indiach żyło
548 mln ludzi, a w roku 1991 846 mln, możemy w następujący sposób
obliczyć współczynniki a i b we wzorze L(t) =b � at.
Przyjmujemy, że początkiem obserwacji populacji był rok 1971. Wówczas
t = 0 odpowiada rokowi 1971, a rokowi 1991 odpowiada t = 20. Wobec
tego:
548 = b�a0 L(0) = 548
b = 548
846 = b�a20 L(20) = 846
846 = 548a20
b = 548

20 846
a = H" 1,022
548
Liczbę ludności Indii (w mln) w latach 1960 1995 możemy więc opisać
wzorem:
L(t) = 548 � 1,022t ,
gdzie t oznacza czas (w latach) liczony od roku 1971 (tzn. t > 0 dla lat po
1971 r., t < 0 dla lat wcześniejszych).
Ten wzór pozwala na obliczenie liczby ludności Indii tylko w pewnym
przybliżeniu. Do wielu celów takie przybliżenie jednak wystarczy.
P
a) Oszacuj liczbę ludności Indii w 1980 roku i w 1960 roku.
L1980 = 548 � 1,0229 H" 667
Korzystamy ze wzoru L = 548 � 1,022t dla
t =9 i dla t = -11.
L1960 = 548 � 1,022-11 H" 431
Odp. W 1980 roku liczba ludności Indii wynosiła ok. 667 mln, a w 1960 roku
ok. 431 mln.
62 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
b) W 2000 roku liczba ludności Indii przekroczyła 1 miliard. Oblicz, w którym
roku miało to nastąpić zgodnie z podanym wzorem.
Korzystamy ze wzoru L = 548 � 1,022t ,
1000 = 548 � 1,022t
L = 1000.
1000
1,022t =
548
log 1,022t =log1000 Logarytmujemy obie strony równania.
548
1000
t � log 1,022 = log
548
1000
log
548
t =
log 1,022
t H" 28 28 lat po 1971 roku.
Odp. Zgodnie ze wzorem liczba ludności Indii miała przekroczyć 1 mld w 1999 r.
Model wykładniczy można stosować także do opisu innych wielkości, które
zmieniają się w stałym tempie.
Masa M próbki zmienia się zgodnie z modelem wykładniczym. Czy masa ta
B
rośnie, czy maleje, gdy:
1. M =20� 0,7t ,
2. M =10� 1,2t ?
W 1862 roku prezydent Stanów Zjednoczonych Abraham Lincoln przedsta-
wił Kongresowi prognozę liczby ludności USA do 1930 roku. Na podstawie
spisów ludności z lat 1790 1860 Lincoln zauważył, że współczynnik przy-
rostu naturalnego w tym okresie był stały. Założył więc, że współczynnik
ten nie będzie się zmieniał do 1930 roku i, stosując model wykładniczy,
obliczył, że do tego czasu w USA będzie żyło ponad 250 mln ludzi. W rze-
czywistości Stany Zjednoczone miały w 1930 roku 123 mln mieszkańców.
Gdyby Lincoln prognozował liczbę Amerykanów żyjących w końcu XX wie-
ku, otrzymałby liczbę 2 mld, podczas gdy naprawdę w USA żyło wówczas
mniej niż 280 mln mieszkańców.
Jak widać, model wykładniczy jest skuteczny tylko dla krótkich okresów
czasu, ponieważ zakłada on niezmienność współczynnika przyrostu natu-
ralnego. W rzeczywistości współczynnik ten nie jest stały i zależy od wielu
czynników, m.in. od wielkości populacji, zmian kulturowych, migracji lud-
ności.
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKAADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH 63
ci
ek
a
w
o
s
tk
a
POZIOM GAOŚNOŚCI DyWIKU
Niektóre wielkości opisywane są liczbami od bardzo małych do bardzo du-
żych. Tak rozległy zakres wartości utrudnia posługiwanie się nimi. Często
w takich wypadkach korzysta się z tzw. skali logarytmicznej. Przykładem
takiej skali jest skala poziomu głośności dzwięków.
Siłę dzwięku określa się, obliczając, ile razy natężenie I tego dzwięku (mie-
rzone w W/m2) jest większe od natężenia I0 dzwięku odpowiadającego
progowi słyszalności (I0 = 10-12 W/m2). Tak więc siłę dzwięku opisuje
I
iloraz . Wartości tego ilorazu wahają się od 1 do 1021. Są to więc licz-
I0
by, które niezbyt wygodnie się porównuje. Natomiast logarytmy dziesiętne
tych liczb przyjmują wartości od 0 (log 1 = 0) do 21 (log 1021 = 21). Liczba-
mi w takim zmniejszonym zakresie o wiele łatwiej się posługiwać. Dlatego
wprowadzono nowe pojęcie poziom głośności dzwięku i przyjęto,
I
że jest on równy log . Za jednostkę przyjęto 1 bel. Jednak najczęściej
I0
stosowana jednostka poziomu głośności jest 10 razy mniejsza niż 1 bel
i nazywana jest decybelem (w skrócie dB). Poziom głośności dzwięku (w de-
cybelach) można obliczyć ze wzoru:
L poziom głośności dzwięku (w decybelach)
I
I natężenie dzwięku w W/m2
L =10 log
I0
I0 natężenie dzwięku odpowiadającego progowi
słyszalności (I0 =10-12 W/m2)
Poziom głośności progu słyszalności wynosi 0 dB, a poziom huku startu-
jącej rakiety jest równy 210 dB (jego natężenie jest 1021 razy większe od
progu słyszalności).
Warto wiedzieć, że natężenie dwóch równoczesnych dzwięków jest sumą
ich natężeń. Jednak poziom głośności dwóch równoczesnych dzwięków nie
jest sumą ich poziomów głośności.
P
Poziom głośności gwizdka czajnika wynosi 90 dB, a gwizdka pociągu 110 dB.
a) Ile razy natężenie dzwięku gwizdka pociągu jest większe od natężenia dzwię-
ku gwizdka czajnika?
Ic natężenie dzwięku gwizdka czajnika
Ip natężenie dzwięku gwizdka pociągu
Ip
Ic
90=10 log10-12 110 = 10 log
10-12
I
Korzystamy ze wzoru L =10 log ,
I0
Ip
Ic
9=log10-12 11 = log
10-12 gdzie I0 =10-12 W/m2.
Ip
Ic
=109 =1011
10-12 10-12
Korzystamy z definicji logarytmu.
Ic =109 � 10-12 Ip =1011 � 10-12
Ic =10-3 Ip =10-1
64 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
Ip 10-1
= = 100 Ic =10-3 W/m2
Ic 10-3
Odp. Natężenie dzwięku gwizdka pociągu jest 100 razy większe od natężenia
dzwięku gwizdka czajnika.
b) Oblicz poziom głośności dzwięku wydawanego przez gwizdki dwóch mijają-
cych się pociągów.
Ip natężenie dzwięku gwizdka pociągu
I natężenie dzwięku gwizdków dwóch pociągów
I = Ip + Ip
Natężenia dwóch równoczesnych dzwięków
I =2� 10-1
dodają się; wcześniej obliczyliśmy, że
Ip =10-1 W/m2.
L =10 log2�10-1
10-12

L =10 log(2� 1011)
log 2 � 1011 =log2+log1011
L = 10(log 2 + log 1011)
L = 10(11 + log 2) H" 113
Odp. Poziom głośności dzwięku gwizdków dwóch pociągów to około 113 dB.
c) Ile gwizdków czajników stwarza hałas bolesny dla ucha, czyli o poziomie
głośności 130 dB?
In natężenie dzwięku n gwizdków czajników
In = n � Ic
Obliczyliśmy wcześniej, że Ic =10-3 W/m2.
In = n � 10-3
I
Korzystamy ze wzoru L =10 log .
130=10 logn �10-3
I0
10-12
13=log(n � 109)
n � 109 =1013
1013
n =
109
n =104
Odp. Potrzeba byłoby aż 10 000 gwiżdżących czajników, aby poziom głośności
wyniósł 130 dB.
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKAADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH 65
ZADANIA
1. Przyjmijmy, że liczbę ludności Polski w latach
Ludność Polski
1960 1970 można obliczyć ze wzoru L = a�bt , gdzie
a i b są stałymi, a t oznacza czas w latach po 1962
1962 1964
roku (wtedy t > 0) lub przed 1962 (wtedy t <0).
30,5 mln 31,3 mln
a) Korzystając z danych przedstawionych w tabelce,
oblicz wartości a i b.
b) Oblicz, jaka była (według otrzymanego wzoru) liczba ludności Polski w 1960 ro-
ku oraz w 1970 roku. Porównaj swoje wyniki z rzeczywistą liczbą ludności w tych
latach (w 1960 r. 29,8 mln, w 1970 r. 32,6 mln).
c) Oszacuj, jaka byłaby liczba mieszkańców Polski w 1999 roku, gdyby współczyn-
nik przyrostu naturalnego z lat 1962 1964 utrzymywał się bez zmian aż do tego
czasu. Porównaj otrzymany wynik z rzeczywistą liczbę ludności Polski w 1999 roku,
która wynosiła 38,6 mln.
2. W pewnej mazurskiej miejscowości podjęto walkę z plagą komarów. Specjaliści
twierdzą, że systematyczne opryski spowodują zmniejszenie liczby komarów o 15%
rocznie. Przyjmij, że przed opryskami populacja komarów wynosiła 2 mln.
a) Po jakim czasie liczba komarów powinna zmniejszyć się o połowę?
b) Walkę z komarami zamierza się przerwać, gdy populacja komarów będzie mniej-
sza niż 500 000. Jak długo będzie trwała ta walka?
3. Pacjent przyjął dawkę 50 mg pewnego leku. Wiadomo, że nerki usuwają z krwio-
biegu 60% tego leku w ciągu 6 godzin.
a) Masę m leku (w mg) pozostałą w organizmie po upływie czasu t (w godzinach)
można obliczyć ze wzoru: m = abt, gdzie a i b są stałymi. Oblicz wartości tych
stałych.
b) Ile leku pozostaje w krwiobiegu po upływie godziny, a ile po upływie doby?
c) Pacjent powinien przyjąć drugą dawkę leku, zanim zawartość pierwszej dawki
w krwiobiegu spadnie poniżej 10 mg. Po jakim czasie od przyjęcia pierwszej dawki
pacjent powinien przyjąć drugą dawkę?
4. Przyjmij, że w grupie N dorosłych ludzi informacja rozprzestrzenia się z ta-
ką prędkością, że po czasie t zna ją n osób. Według instytucji badających opinię
publiczną liczbę tę można oszacować za pomocą wzoru: n = N(1 - e-kt), gdzie k
oznacza stałą, której jednostka jest odwrotnością jednostki czasu t.
a) Po godzinie od momentu ogłoszenia wiadomość o podwyżce płac znało 300
z 500 pracowników fabryki. Ilu pracowników zapewne dowie się o tej nowinie po 2
godzinach, a ilu po 6 godzinach?
b) Plotka o dniu bez samochodu po trzech dniach od jej powstania dotarła do
40% kierowców. Jaka część kierowców znała tę plotkę po pierwszym dniu? Kiedy
znać ją będzie 80% kierowców?
66 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
Jądra atomów niektórych pierwiastków określonego dla tego pierwiastka cza-
ulegają samoistnej przemianie w jądra su, zwanego okresem połowicznego roz-
innych pierwiastków. Zjawisku temu to- padu. Na przykład okres połowicznego
226
warzyszy promieniowanie i dlatego na- rozpadu radu Ra wynosi 1600 lat, za-
226
zwano je rozpadem promieniotwórczym. tem próbka radu Ra o masie 10 g po
Masa pierwiastka ulegającego rozpado- 1600 latach zawierać będzie 5 g tego
wi promieniotwórczemu zmniejsza się pierwiastka, a po kolejnych 1600 latach
o połowę po upływie pewnego ściśle tylko 2,5 g.
5. Przeczytaj ciekawostkę. Masa m pierwiastka promieniotwórczego po upływie
czasu t wynosi:
t

T
1
m = m0 �
2
,
gdzie m0 masa początkowa pierwiastka, T okres połowicznego rozpadu (poda-
ny w tej samej jednostce czasu co t). Wykaż, że ten wzór jest zgodny z informacją,
którą przedstawiono w ciekawostce, gdy czas t jest wielokrotnością okresu poło-
wicznego rozpadu.
131
6. a) Okres połowicznego rozpadu izotopu jodu I wynosi 8 dni. Pewna próbka
131
zawiera 5 g tego izotopu. Oblicz masę I wtej próbce po 20 dniach.
223
b) Okres połowicznego rozpadu izotopu fransu Fr wynosi 22 minuty. Oblicz, po
jakim czasie zawartość tego izotopu w próbce zmniejszy się z 1 mg do 0,1 mg.
137
c) Zawartość izotopu cezu Cs w próbce zmniejszyła się w ciągu 6 lat z 2 g do
1,74 g. Oblicz okres połowicznego rozpadu tego izotopu.
Wskazówka. Skorzystaj ze wzoru podanego w zadaniu 5.
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKAADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH 67
ci
ek
a
w
o
s
tk
a
14
Jednym z izotopów węgla występują- jak zmieniła się zawartość izotopu C
14
cych w przyrodzie jest izotop C. Izo- w znalezisku w porównaniu z zawarto-
top ten ulega promieniotwórczemu roz- ścią w żywym organizmie, a w konse-
padowi (zob. str. 67), w wyniku którego kwencji wiek znaleziska.
14
powstaje azot N. Okres połowicznego
Na przykład stwierdzono, że masa izo-
14
rozpadu C wynosi 5715 lat. Każdy ży-
14
topu C w znalezisku to tylko 90 %
12
wy organizm absorbuje węgiel C i izo-
masy tego izotopu, jaką zawierałby ży-
14
top C z otoczenia. Tak długo, jak żyje
wy organizm. Skorzystamy ze wzoru:
roślina, zwierzę czy człowiek, stosunek
t

12 14 1 T
liczby atomów C do C worganizmie
m = m0 � , gdzie
2
14
się nie zmienia (1 atom C przypa-
m =0,9m0 i T = 5715
12
da na 1012 atomów C). Po śmierci
t

14
organizmu atomy C ulegają rozpado-
5715
1
0,9m0 = m0 �
12
2
wi, a atomy C nie. Zatem im wię-
t

cej czasu upływa od śmierci organizmu,
5715
1
0,9 =
tym większa przewaga liczby atomów 2
12 14
t

C nad liczbą atomów C. Amerykań-
5715
1
log 0,9=log
ski fizyk Willard F. Libby w 1946 roku
2
opracował metodę, która pozwala wyko-
t 1
log 0,9 = log
5715 2
rzystać to zjawisko do określenia wie-
ku znalezisk pochodzenia organicznego. log 0,9
t = 5715 �
1
W tym celu spala się niewielką próbkę
log
2
znaleziska i otrzymany dwutlenek wę-
t H" 870
gla przepuszcza przez urządzenie, które
12 14
rozdziela atomy C i C na podstawie
Wynika stąd, że znalezisko pochodzi
różnicy ich mas. To pozwala określić,
sprzed około 870 lat.
7. a) Odkrywca pewnego egipskiego grobowca twierdzi, że jego znalezisko pocho-
dzi z okresu Średniego Państwa (około 2 tys. lat p.n.e.). Ponieważ niektórzy uczeni
są innego zdania, przedmioty z grobowca będą poddane badaniom wieku metodą
14
opartą na pomiarze zawartości izotopu C. Jakiego procentu początkowej masy
izotopu należy się spodziewać w znaleziskach, jeżeli ich odkrywca ma rację?
b) Pewien ekspert ma wątpliwości, czy obraz w muzeum jest dziełem wielkiego
włoskiego malarza Giotto di Bondone (1266 1337). Po zbadaniu zawartości izotopu
14
węgla C w płótnie i farbach obrazu okazało się, że stanowi ona 95% początkowej
masy tego izotopu. Czy autorem obrazu mógł być Giotto?
c) W połowie XX wieku pewien genialny fałszerz podrobił obrazy jednego z najwy-
bitniejszych malarzy holenderskich Vermeera van Delfta (1632 1675). Fałszerstwo
14
udowodniono mierząc zawartość izotopu C. Jaki procent początkowej masy
izotopu powinny zawierać płótno i farby, jeśli pochodzą z obrazu Vermeera?
d) Najstarszymi świadectwami operacji chirurgicznych przeprowadzanych przez
naszych przodków są czaszki z wyciętymi otworami znalezione w Peru. Badania
14
wykazały, że czaszki te zawierają zaledwie 23% początkowej masy C. Sprzed ilu
lat pochodzą te znaleziska?
68 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
CIE
K
A
W
OSTK
A
Jeśli przedmiot umieścimy w otocze-
T = T0 +(Tp - T0)e-kt
niu, którego temperatura jest niższa niż
temperatura przedmiotu, to zacznie on
ć%
T0 temperatura otoczenia (w C)
stygnąć. Jeśli założymy, że temperatura
Tp początkowa temperatura przedmiotu
otoczenia nie zmienia się, to tempera-
ć%
(w C)
turę T przedmiotu po upływie czasu t
k stała charakterystyczna dla danego
możemy obliczyć ze wzoru, który poda-
przedmiotu
no obok.
8. Ciasto wyjęte z piekarnika stygnie w kuchni, w której panuje temperatura 25ć%C.
ć%
Temperaturę ciasta (w C) po upływie t minut można obliczyć ze wzoru:
T = 25 + 200 � e-0,1t
a) Jaką temperaturę miało ciasto zaraz po wyjęciu z piekarnika?
b) Jaką temperaturę będzie miało ciasto po upływie 10 minut?
c) Kiedy ciasto ostygnie do temperatury 30ć%C?
9. W laboratorium, w którym panowa-
Czas t
ła temperatura 20ć%C, mierzono tempe-
0 1 5 10
(w minutach)
raturę herbaty w kubku. Wyniki po-
miarów przedstawiono w tabeli. Znajdz
Temperatura
90 81,6 56,9 39,5
wzór opisujący, jak się zmienia tempe- ć%
herbaty (w C)
ratura herbaty w zależności od czasu.
10. Z przedstawionego w ciekawostce wzoru T = T0 + (Tp - T0)e-kt korzystają
specjaliści medycyny sądowej, określając czas, jaki upłynął od śmierci denata.
Przyjmijmy, że policja znalazła zwłoki o godz. 1800, oraz że temperatura ciała
ofiary wynosiła 30ć%, a temperatura otoczenia, podobnie jak przez całe popołudnie,
wynosiła 10ć%C. Przyjmijmy też, że po upływie godziny temperatura otoczenia się
nie zmieniła, ale ciało ostygło do 28ć%C. Oblicz, o której godzinie nastąpił zgon.
11. W 1938 roku amerykański psycholog R. S. Woodworth przeprowadził badania
nad szybkością zapominania zdobytej wiedzy, gdy nie jest ona utrwalana. Okaza-
ło się, że zjawisko zapominania można opisać za pomocą funkcji logarytmicznej.
Wyniki jednego z jego doświadczeń można opisać wzorem:
M procent pamiętanych wiadomości
M = 100 - 15 ln(t +1)
t liczba dni, które upłynęły od nauczenia się tych wiadomości
a) Oblicz, jaka część wiadomości została zapomniana podczas badań Woodwortha
w czasie pierwszych 5 dni, a jaka w czasie 10 dni.
b) Po jakim czasie została zapomniana połowa wiadomości?
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKAADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH 69
CIE
K
A
W
OSTK
A
Wyobraz sobie eksperyment, w którym t = a + b log2 2y
x
badana osoba ma na przemian trafić
t czas (w sek.) potrzebny do wykonania
wskaznikiem w dwa jednakowe paski
ruchu od paska do paska
położone obok siebie.
y odległość (w cm) między paskami
x szerokość (w cm) każdego z pasków
a, b stałe charakterystyczne dla danego
eksperymentu
Wzór Fittsa został doceniony np. przez
projektantów interfejsów systemów kom-
Aatwo zrozumieć, że czas potrzebny do puterowych. Chociaż opisuje on prostą
przesunięcia wskaznika i trafienia w pa- prawdę, że trafia się w cel tym łatwiej,
sek zależy od szerokości pasków i odle- im jest on większy i bliżej położony, to
głości między nimi. W 1954 roku amery- pomaga zdecydować, czy lepiej umiesz-
kański psycholog P. M. Fitts podał wzór, czać duże ikony na większej powierzch-
który przedstawia ten związek. ni, czy małe, ale za to blisko siebie.
12. W pewnym eksperymencie podobnym do opisanego w powyższej ciekawostce
ustalono, że stałe a i b wynoszą: a =0,2s, b =0,15s. Zatem:
t =0,2+0,15log2 2y
x
a) Oile wydłuży się czas t, gdy odległość między paskami zwiększymy dwukrotnie,
a o ile, gdy zwiększymy ją trzykrotnie?
b) O ile dłuższy jest czas t w wypadku, gdy y = 3 cm i x = 7 cm, od czasu t
wprzypadku, gdy y =2 cmi x =5 cm?
13. Przypomnij sobie wiadomości na
szelest liści 10 dB
temat głośności dzwięku (zob. str. 64).
Obok podano poziomy głośności kilku
skrzypce (pianissimo) 30 dB
wybranych dzwięków.
krzyk 80 dB
a) Oblicz natężenie dzwięku wydawa-
młot pneumatyczny 100 dB
nego przez szeleszczące liście.
orkiestra (fortissimo) 100 dB
b) Ile razy mniejsze natężenie ma
koncert rockowy 120 dB
dzwięk skrzypiec grających pianissimo
od dzwięku orkiestry grającej fortissimo?
c) Oblicz poziom głośności hałasu wydawanego przez dwa młoty pneumatyczne
pracujące jednocześnie.
d) Oblicz poziom głośności koncertu wykonywanego równocześnie przez dziewię-
ciu skrzypków grających pianissimo.
e) Oblicz poziom głośności hałasu, na który narażony jest sąsiad krzyczącego wi-
dza na głośnym koncercie rockowym.
f) Oblicz, ile pracujących młotów pneumatycznych wytwarza hałas równy pozio-
mem głośności koncertowi rockowemu.
70 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
CIE
K
A
W
OSTK
A
W 1935 roku amerykański sejsmolog Tak powstała, powszechnie dziś używa-
Charles Richter wpadł na pomysł mie- na, skala Richtera. Siłę trzęsienia ziemi
rzenia siły trzęsień ziemi na podstawie oblicza się w tej skali ze wzoru:
amplitud drgań wywoływanych przez te
A
R =logA0
trzęsienia. Początkowo za podstawę swej
R siła trzęsienia ziemi mierzona
miary chciał obrać stosunek amplitudy
wstopniach wskali Richtera
drgań (mierzonej w odległości 100 km
A amplituda trzęsienia ziemi (w cm)
od epicentrum) do amplitudy wzorco-
A0 amplituda wzorcowa (10-4 cm)
wej, wynoszącej 10-4 cm (odpowiada
ona drganiom niewyczuwalnym przez Na przykład, jeśli amplituda trzęsienia
człowieka). Okazało się jednak, że otrzy- ziemi była 100 razy większe od wzor-

A
mywał w ten sposób liczby od bardzo cowej = 100 , to R = log 100 = 2.
A0
małych do bardzo dużych (od 0 do Jeśli natomiast trzęsienie ziemi miało
800 000 000), co utrudniało ich porów- 7 stopni w skali Richtera, to z powyż-
nywanie. Postanowił więc jako miarę in- szego wzoru można obliczyć, że było
tensywności trzęsień ziemi przyjąć lo- ono 10 mln razy silniejsze od trzęsienia
garytm dziesiętny otrzymywanych liczb. o amplitudzie wzorcowej.
14. a) Naukowcy oceniają (na podstawie obserwowanych do dziś skutków), że naj-
silniejsze trzęsienie ziemi nawiedziło Polskę 5 czerwca 1443 roku i miało siłę 5,8
stopnia w skali Richtera. Oblicz amplitudę drgań tego trzęsienia.
b) Najsilniejsze trzęsienie ziemi w Polsce o sile 4,8 stopnia w skali Richtera zano-
towane przez sejsmografy miało miejsce w 2010 roku. Ile razy było one słabsze od
najsilniejszego zarejestrowanego trzęsienia ziemi na świecie, które dotknęło Indie
15 sierpnia 1950 roku i miało siłę 8,7 stopnia w skali Richtera?
TEST
131
T1. Okres połowicznego rozpadu izotopu jodu I wynosi 8 dni. Pewna próbka
131
zawiera 4 g tego izotopu. Po 20 dniach masa I w tej próbce będzie:
A. mniejsza niż 1 g
B. większa niż 1 g, ale mniejsza niż 2 g
C. większa niż 2 g, ale mniejsza niż 3 g
D. większa niż 3 g, ale mniejsza niż 4 g
223
T2. Okres połowicznego rozpadu izotopu fransu Fr wynosi 22 minuty. Po jakim
1
czasie zawartość tego izotopu w próbce zmniejszy się z 1 mg do mg.
8
A. po 33 min C. po 3 min
22
B. po min D. po 66 min
3
ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKAADNICZYCH I LOGARYTMICZNYCH 71
CIE
K
A
W
OSTK
A
9. Określ dziedzinę funkcji:
1. Oblicz:
-2
" " a) y =log(5-x) c) y =logx 1
3
3 0,12Ą 3
a) 5 b) 23e+1 � 8-e c)
1002-Ą
b) y =log4(x2 -2) d) y =lnx2 (x2 -2x)
2. Znajdz x:
10. Znajdz wzór funkcji logarytmicz-
a) logx 5=2 c) log8 2=x
nej, której wykres przechodzi przez
punkt:
b) log 1 x =-4 d) logx(4x -3) =2

3
1
a) P = 11, b) P = (2, -5)
2
3. Oblicz:
11. Rozwiąż równanie:
a) log5 5 c) log 0,01

x
"
2 5 4
b) log0,3 1 d) ln e
a) � =
5 2 25
b) 3x +3x+1 =36
4. Przedstaw podane wyrażenie jako
c) 10x-4 =2
jeden logarytm.
"
d) log5 x -log5 2=2 log5 3
1
a) 2log5 a +log5 a3 b) ln b2 -3ln b
3
e) 2+logx =log3
5. Przyjmij, że loga 2=5i oblicz:
12. Rozwiąż nierówność:
a) loga 2a d) log2 a

1
a) 5x d" b) 3log 1 (x +2) >-6
b) loga 32 e) log8 a3
5
2
"
c) loga a2 f) log 1 4 a
2
2
13. Poniżej podano wzory, za pomo-
cą których można oszacować liczbę
6. Oblicz za pomocą kalkulatora:
ludności w Bułgarii i w Holandii, za-
kładając, że przyrost naturalny w obu
a) log 0,3 b) ln 18 c) log11 20
krajach jest taki jak w 2002 roku i nie
będzie się zmieniał:
7. Dopasuj wzory funkcji dowykresów.
Bułgaria: LB = 7 600 000 � 0,99t
f (x) =1,5x g(x) =ex
Holandia: LH = 16 100 000 � 1,005t
x
8
h(x) =0,7x k(x) =
9
t oznacza czas (w latach) mierzony
od roku 2002.
Korzystając z tych wzorów, odpowiedz
na pytania:
a) W którym z tych krajów liczba lud-
ności z roku na rok rośnie, a w którym
maleje?
b) Jaka była liczba ludności w tych kra-
jach w 2002 roku, a jakiej można było
się spodziewać w 2005 roku?
8. Znajdz wzór funkcji wykładniczej,
której wykres przechodzi przez punkt
c) Jaka była liczba ludności w Holandii

16
A = -2, . w 2000 roku?
9
72 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
POWTÓRZENIE
14. Uporządkuj podane liczby w kolej- 20. Rozwiąż równanie:
x x
ności od najmniejszej do największej.
1 1
a) - -6=0
"3 " 9 3
"
10 1
2e 1 2 ( 2)Ą
2
2-Ą b) 4x � 3x-2 =2x
"
c) 2log3 x -3log3 1 =8
x
15. Oblicz wartość wyrażenia, przyj-
mując, że a >0 i a =1. d) log 1 x � log4 x =-4

2
1
a) loga aĄ b) log 1 a2 c) log"a a
a
21. Rozwiąż nierówność:
x x+1
9 5
16. a) Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą a) � e"1
25 3
naturalną trzycyfrową, to 2 d" log n <3.
1
b) 2log 1 5-log 1 5
3 3 3
b) Wykaż, że liczba naturalna n ma
w zapisie dziesiętnym k cyfr, wtedy
22. Pewien naukowiec ważył próbkę
i tylko wtedy, gdy k -1d"logn < k.
214
izotopu ołowiu Pb. Na początku ma-
c) Ile cyfr w zapisie dziesiętnym ma
sa próbki wynosiła 3,127 g, a po minu-
liczba 2100?
cie 3,047 g. Oblicz okres połowicznego
rozpadu tego izotopu.
d) Znajdz w internecie, jaka jest naj-
większa znana liczba pierwsza. Oblicz,
23. Wykaż, że jeśli 0 < a < 1 i b > 1,
ile ma cyfr w zapisie dziesiętnym.
to: loga b +logb a d" -2.
17. Z podanego wzoru wyznacz x.
24. Wykaż, że:
a) p =3e-kx
logd a =logb a � logc b � logd c
x
b) M = m +2logy
25. Rozwiąż nierówność:
18. Wykres pewnej funkcji wykładni-
a) 2log4 x <3 b) log2x(2 - 3x) <0
czej przechodzi przez punkt (3, 17). Czy
jest to funkcja rosnąca, czy malejąca?
26. Jaki warunek muszą spełniać licz-
by a oraz b, aby wykresy funkcji
19. Znajdz współrzędne punktów prze- f (x) = a � 2x i g(x) = b � 2-x miały do-
cięcia wykresów funkcji f (x) = log x kładnie jeden punkt wspólny? Znajdz
i g(x) =logx 10. współrzędne tego punktu.
ZAGADKA
Rozwiązaniem rebusu przedsta-
wionego obok jest pewne po-
jęcie matematyczne (można je
znalezć w tym rozdziale). Jakie
to pojęcie?
POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY 73
CZARNA ŚMIERĆ
Czarną śmiercią nazwano tragiczną epi-
demię dżumy, która w XIV i XV wie-
ku ogarnęła świat. Najprawdopodobniej
miała ona swój początek w środkowej
Azji, a stamtąd przeniosła się na za-
chód, dziesiątkując ludność Indii, Bli-
skiego Wschodu i północnej Afryki, aż
w końcu dosięgnęła Europy.
Kulminacyjnym okresem czarnej śmierci były lata 1347 1351, kiedy to w samej
Europie z powodu epidemii zmarło ponad 20 mln osób, a liczba ludności na świecie
zmniejszyła się o około 100 mln, czyli ponad 20%.
Bezsprzecznie czarna śmierć miała znaczący wpływ na losy ludzkości. Ciekawe, ilu
ludzi żyłoby dziś na świecie, gdyby nie śmiertelne żniwo tej epidemii. Spróbujmy
oszacować tę liczbę.
A. W tabeli obok podano szacunkowe dane doty-
Liczba ludności
Rok
czące liczby ludności świata w ostatnim tysiącleciu.
świata (w mln)
Narysuj wykres zależności liczby ludności od czasu.
1000 250
Omów ten wykres.
1100 300
B. Aby określić liczbę ludności świata po upływie
1200 400
okresu t lat, można posłużyć się wzorem:
1300 430
L2 = L1at
1348 470
L1 liczba ludności na początku okresu
1400 370
L2 liczba ludności na końcu okresu
a stała opisująca roczny przyrost naturalny
1500 460
1600 580
Oblicz wartości stałej a dla kolejnych okresów
(1000 1100 itd), korzystając z powyższego wzoru
1700 680
i danych z tabeli.
1800 950
Na przykład w celu obliczenia wartości stałej a dla
1900 1630
okresu 1000 1100, przyjmij:
2000 6010
L1 = 250, L2 = 300, t = 100
Obliczone wartości stałej a przedstaw w tabeli.
74 POTGI, PIERWIASTKI I LOGARYTMY
ADAWCZA
B
A
AC
PR
C. Spróbuj oszacować, ilu ludzi żyłoby na świecie, gdyby epidemia czarnej śmierci
została ludzkości oszczędzona. Przyjmij, że poza tym wszystkie pozostałe wydarze-
nia ostatniego tysiąclecia potoczyłyby się tak samo. W takim razie liczba ludności
na świecie w latach poprzedzających czarną śmierć się nie zmieniła.
Aby przewidzieć liczbę ludności w 1400 roku (bez czarnej śmierci), załóż, że dla
całego XIV wieku wartość stałej a była taka suma, jak obliczona przez ciebie dla
okresu 1300 1348. Dla pozostałych stuleci przyjmij, że wartości stałej a pozostają
bez zmian. Korzystając z tak ustalonych wartości stałej a i wzoru z punktu B, oblicz
liczbę ludności na przełomach kolejnych stuleci i przedstaw te dane w tabeli.
D. Porównaj liczby otrzymane w punkcie C z liczbami z tabeli na poprzedniej stro-
nie. Narysuj wykres zależności liczby ludności świata (bez czarnej śmierci) od czasu
w tym samym układzie współrzędnych co wykres z punktu A. Omów otrzymane
wyniki.
Liczba ludności
Rok
Europy (w mln)
Co dalej?
1000 38
1. W tabeli obok przedstawiono szacun-
kowe liczby ludności Europy w ostatnim
1100 48
tysiącleciu. Zanalizuj te dane w podobny
1200 59
sposób, jak zrobiłeś to dla liczby ludności
świata, i oszacuj, ilu mieszkańców liczy-
1300 70
łaby Europa dzisiaj, gdyby nie epidemia
1348 75
czarnej śmierci.
1400 55
2. Zbierz i opracuj informacje potrzebne
1500 83
do oszacowania wpływu innych wydarzeń
1600 95
historycznych na liczbę ludności świata,
Europy, Polski lub twojego miasta.
1700 135
1800 203
1900 408
2000 740
PRACA BADAWCZA 75

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 7 statystyka pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 5 ciagi pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 6 figury podobne pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 2 wielomiany pdf
Program nauczania matematyki do liceum i technikum zakres podstawowy (Operon)
Fizyka z komputerem dla liceum i technikum fizkol
Od XV w do kongresu wiedeńskiego Teksty źródłowe z ćwiczeniami dla liceum i technikum
informatyka europejczyka podrecznik dla szkol ponadgimnazjalnych zakres podstawowy pdf

więcej podobnych podstron