Monika Cio"kosz
Pawe" Cio"kosz
Anna Jatczak
Piotr Pyrdo"
Matematyka
PROGRAM NAUCZANIA
dla liceum ogólnokszta"cącego, liceum profilowanego i technikum
Zakres podstawowy
G d y n i a 2 0 0 8
Projekt ok"adki: Artur Tarasiewicz
Redaktor prowadzÄ…cy: Sebastian Przybyszewski
Redakcja j´zykowa: Ma"gorzata Makowska
Redakcja graficzna i sk"ad: Danuta Jarzembek, Zenobia PoŻarska
Korekta: Joanna DÄ…browska-Samaszko
Program dopuszczony do uŻytku szkolnego przez ministra w"aĘciwego do spraw oĘwiaty i wycho-
wania i wpisany do wykazu programów przeznaczonych do kszta"cenia ogólnego do nauczania
matematyki w zakresie podstawowym na poziomie liceum, na podstawie opinii rzeczoznawców:
dr GraŻyny Komarzyniec, mgr Marka Sadowskiego.
Numer dopuszczenia DPN-5002-31/08
Program jest zgodny z podstawą programową kszta"cenia ogólnego dla liceów ogólnokszta"-
cących, liceów profilowanych i techników w zakresie podstawowym (rozporządzenie Ministra
Edukacji Narodowej z dnia 23 sierpnia 2007 r., Dz.U. Nr 157, poz. 1100).
© Copyright by Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON Sp. z o.o. & Monika Cio"kosz,
Pawe" Cio"kosz, Anna Jatczak, Piotr Pyrdo"
Gdynia 2008
Wszelkie prawa zastrzeŻone. Kopiowanie w ca"oĘci lub we fragmentach bez zgody wydawcy
zabronione.
11-8/V
Wydawca:
Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON Sp. z o.o.
81-212 Gdynia, ul. Hutnicza 3
tel. centrali (058) 679 00 00
e-mail: [e-mail]
http://www.operon.pl
ISBN 978-83-7461-859-5
Spis treĘci
I. Wst´p  cha rakterystyka programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II. Podstawa programowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III. Szczegó"owe cele edukacyjne  kszta"cenia i wychowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV. Procedury osiągania celów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
V. Ramowy rozk"ad materia"u  proponowany przydzia" godzin . . . . . . . . . . . . . . . . 11
VI. TreĘci nauczania i przewidywane osiÄ…gni´cia ucznia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
VII. Szczegó"owy rozk"ad materia"u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
VIII. Kontrola i ocena osiÄ…gni´ç ucznia, kryteria oceny z matematyki . . . . . . . . . . . . . 26
IX. Propozycja metod oceniania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3
I. Wst´p  charakterystyka programu
Proponowany program nauczania matematyki przeznaczony jest dla liceum ogólno-
kszta"cÄ…cego, liceum profilowanego i technikum (dla zakresu podstawowego). Program
napisany jest g"ównie z myĘlą o uczniach o zróŻnicowanych predyspozycjach, zaintere-
sowaniach i umiej´tnoĘciach matematycznych (na Å»adnym etapie w porównaniu z pod-
stawą programową nie zawiera zbyt wielu nowych treĘci ani ich rozszerzeł
). Realizacja
programu, ze wzgl´du na zawartoĘç wszelkich niezb´dnych treĘci wymagaÅ‚
egzamina-
cyjnych, umoŻliwia sprostanie standardom wymagał
egzaminu maturalnego i podj´cie
dalszej nauki na wyÅ»szym poziomie edukacji. Uczniowie majÄ… szans´ zdobycia konkret-
nych umiej´tnoĘci poĘrednio i bezpoĘrednio zwiÄ…zanych z matematykÄ… i wykorzystywa-
nych w Życiu codziennym, poniewaŻ w programie po "oŻono nacisk na zastosowanie
wiedzy i umiej´tnoĘci w praktyce. Program jest wreszcie uniwersalny i moÅ»e byç stoso-
wany nie zaleÅ»nie od programu, wed"ug któ rego wcze Ęniej uczniowie kszta" cili si´
w gimnazjum.
Wspó"czesny Ęwiat stawia m"odemu cz"owiekowi coraz wi´cej wyzwaÅ‚
. Niejasna przy-
sz"oĘç, cz´ sto brak per spektyw prze raÅ»ajÄ… i przy t"aczajÄ… m"odych ludzi. Globalizacja
i szybki post´p naukowo-techniczny nie zawsze czyniÄ… t´ sytuacj´ "atwiejszÄ…. Czy na -
uczanie matematyki w szko le moŻe w jakimĘ stopniu temu zapobiec? Ideą programu
jest przekazanie m"odemu cz"owiekowi takiej wiedzy i takich umiej´tnoĘci, by móg" on
swobodnie i pewnie Å»yç i dzia"aç we wspó"czesnym Ęwiecie. Metoda projektu, ukierun-
kowanie nauczania na umie j´tnoĘci i wiedz´ (nie tylko encyklopedycznÄ…) pokazujÄ…, Å»e
matematyka, nawet jeĘli nie pomaga wprost, to przynajmniej uczy dostosowania si´
do panujÄ…cej sytuacji. Zgodnie wi´c z za"oÅ»eniami reformy systemu edukacji, program
k"adzie wi´kszy nacisk na kszta"cenie umiej´tnoĘci praktycznych, rozumienie zaleÅ»noĘci
przyczynowo-skutkowych wspó"czesnego Ęwiata oraz dostrzeganie związków matema-
tyki z innymi dziedzinami wiedzy i Życia. ToteŻ nauczając wed"ug tego programu, odwo-
"ujemy si´ do róŻnych sytuacji z Å»ycia codziennego.
Ârodowisko akademickie sprawdzi"o, Å»e wyniki egzaminu maturalnego z matematyki sÄ…
skorelowane z wynikami osiÄ…ganymi w czasie studiów. RównieÅ» zwi´kszenie konkurencyj-
noĘci gospodarki Polski zaleŻy wprost od dobrego wykszta"cenia matematycznego absol-
wentów szkó". Dlatego zdecydowano si´ przywróciç matematyce status obowiÄ…zkowego
przedmiotu na maturze. Ponowne wprowadzenie obowiÄ…zku zdawania matematyki przez
wszystkich maturzystów od roku 2010 wymaga niezw"ocznego podj´cia dzia"aÅ‚
s"uŻących
podniesieniu jakoĘci kszta"cenia ma tematycznego. Program nasz wychodzi naprzeciw
tym wymaganiom.
Autorzy zak"adajÄ… realizacj´ ca"ego programu w wymiarze 3 godzin tygodniowo w ciÄ…-
gu 3 lat nauki w szkole Ęredniej ponadgimnazjalnej. Siatka godzin uwzgl´dnia niezb´d-
ne rezerwy czasowe, gwarantujÄ…c pe"nÄ… realizacj´ programu.
II. Podstawa programowa
Program oparty zosta" na ce lach, zadaniach i treĘciach kszta"cenia matematycznego
sformu"owanych w pod stawie programowej kszta"cenia ogólnego dla liceów ogólno-
kszta"cących, liceów profilowanych i techników w zakresie podstawowym (rozporządze-
nie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 23 sierpnia 2007 r. Dzu. Nr 157, poz. 1100).
Ze wzgl´du na koniecznoĘç zachowania ciÄ…g"oĘci i spójnoĘci mi´dzy poszczególnymi
etapami kszta"cenia naleÅ»y stosowaç odpowiednio zasady ogólne kszta"cenia i wychowa-
nia przyj´te dla szko"y podstawowej i gimnazjum. Nauczanie i wychowanie na kolejnym
4
etapie kszta"cenia stanowiÄ… na turalnÄ… kon sekwencj´ nauczania i wychowania na po -
przednim etapie kszta"cenia.
Nadrz´dnym celem pracy edukacyjnej kaÅ»dego nauczyciela jest dÄ…Å»enie do wszech-
stronnego rozwoju ucznia. Konieczna jest harmonijna realizacja zadał
w zakresie na -
uczania, kszta"cenia umie j´tnoĘci i wychowania. Zadania te tworzÄ… wza jemnie si´ uzu-
pe"niające i rów nowaŻne wymia ry pra cy kaŻ dego na uczyciela. Szko"a w za kresie
nauczania, co jest jej zadaniem specyficznym, zapewnia uczniom w szczególnoĘci:
1) nauk´ poprawnego i swobodnego wypowiadania si´ w mowie i w piĘmie z wykorzy-
staniem róŻnorodnych Ęrodków wyrazu,
2) poznawanie wymaganych poj´ç i zdobywanie rzetelnej wiedzy w zakresie umoÅ»liwia-
jÄ…cym podj´cie studiów wyÅ»szych bÄ…dÄ™ u"atwiajÄ…cym zdobycie zawodu,
3) dochodzenie do rozumienia, a nie tylko do pami´ciowego opanowania przekazywa-
nych treĘci,
4) rozwijanie zdolnoĘci dostrzegania róŻnego rodzaju związków i zaleŻnoĘci (przyczyno-
wo-skutkowych, funkcjonalnych, czasowych i przestrzennych itp.),
5) rozwijanie zdolnoĘci myĘlenia analitycznego i syntetycznego,
6) traktowanie wia domoĘci przedmiotowych sta nowiÄ…cych war toĘç po znawczÄ… samÄ…
wsobie w sposób integralny, prowadzący do lepszego rozumienia Ęwiata, ludzi i siebie,
7) poznawanie zasad rozwoju osobowego i Życia spo"ecznego,
8) poznawanie dziedzictwa kultury narodowej postrzeganej w perspektywie kultury eu-
ropejskiej i Ęwiatowej.
W liceum ogólnokszta"cącym, liceum pro filowanym i technikum uczniowie kszta"cą
swoje umie j´tnoĘci w ce lu wykorzystania zdobytej wiedzy we wspó"czesnym Ęwiecie.
Szczególnie istotnym zadaniem jest odpowiednie przygotowanie uczniów do pod j´cia
pracy. Nauczyciele tworzÄ… uczniom warunki do nabywania nast´pujÄ…cych umiej´tnoĘci:
1) planowania, organizowania i oceniania w"asnej nauki, przyjmowania za niÄ… odpowie-
dzialnoĘci,
2) skutecznego porozumiewania si´ w róŻnych sytuacjach, prezentacji w"asnego punk-
tu widzenia i uwzgl´dniania poglÄ…dów innych ludzi, poprawnego pos"ugiwania si´ j´-
zykiem ojczystym, przygotowywania do publicznych wystąpieł
,
3) efektywnego wspó"dzia"ania w zespole, budowania wi´zi mi´dzyludzkich, podejmo-
wania indywidualnych i grupowych decyzji, skutecznego dzia"ania na gruncie zacho-
wania obowiÄ…zujÄ…cych norm,
4) rozwiązywania problemów w twórczy sposób,
5) poszukiwania, porządkowania i wykorzystywania informacji z róŻnych ęróde", efektyw-
nego pos"ugiwania si´ technologiami informacyjnymi i komunikacyjnymi,
6) odnoszenia do prak tyki zdobytej wiedzy oraz two rzenia po trzebnych doĘwiadczeł

i nawyków,
7) rozwijania sprawnoĘci umys"owych oraz osobistych zainteresował
,
8) przyswajania sobie metod i technik negocjacyjnego rozwiązywania konfliktów i pro-
blemów spo"ecznych.
W swojej pracy wychowawczej nauczyciele wspie rają rodziców w realizacji ich zadał

wychowawczych, tak aby umoÅ»liwiaç uczniom przejmowanie odpowiedzialnoĘci za w"a-
sne Życie i rozwój osobowy.
Nauczyciele tworzą w szkole Ęrodowisko sprzyjające wszechstronnemu rozwojowi osobo-
wemu uczniów (w wymiarze fizycznym  w tym zdrowotnym, psychicznym, intelektualnym,
moralnym i duchowym). JednoczeĘnie Ęrodowisko to sprzyja ich rozwojowi spo"ecznemu
oraz:
1) rozwijaniu dociekliwoĘci poznawczej, ukierunkowanej na poszukiwanie prawdy, dobra
i pi´kna w Ęwiecie,
5
2) poczuciu uŻy tecznoĘci za równo poszczególnych przedmiotów nauczania, jak i ca "ej
edukacji na danym etapie,
3) dÄ…Å»eniu do dobra w jego wymiarze indywidualnym i spo"ecznym, umiej´tnemu godze-
niu dobra w"asnego z dobrem innych, odpowiedzialnoĘci za siebie z odpowiedzialno-
Ęcią za innych, wolnoĘci w"asnej z wolnoĘcią innych,
4) poszukiwaniu, odkrywaniu i dÄ…Å»eniu na drodze rzetelnej pracy do osiÄ…gni´cia wielkich
celów Życiowych i wartoĘci waŻnych dla odnalezienia w"asnego miejsca w Ęwiecie,
5) przygotowywaniu si´ do Å»ycia w rodzinie, w spo"ecznoĘci lokalnej i w paÅ‚
stwie,
6) dąŻenie do rozpoznawania wartoĘci moralnych, dokonywania wyborów i hierarchizacji
wartoĘci,
7) kszta"towaniu w sobie postawy dialogu, umiej´tnoĘci s"uchania innych i rozumienia ich
poglądów.
Uczniowie liceów ogólnokszta"cących, liceów profilowanych i techników w szczególno-
Ęci są przygotowywani do podejmowania wyzwał
wspó"czesnego Ęwiata, takich jak: inte-
gracja, globalizacja, wymiana informacji, post´p naukowo-techniczny.
Wszechstronny rozwój ucznia oraz zrównowaÅ»ony rozwój kraju wymagajÄ…, aby osnow´
programów nauczania i programów wychowania w liceach ogólnokszta"cących, liceach pro-
filowanych i technikach stanowi"y równoczeĘnie: otwartoĘç na Ęwiat, ale i toÅ»samoĘç opar-
ta na dziedzictwie kultury w"asnej ojczyzny; wiedza ogól na i umiej´tnoĘç jej praktycznego
wykorzystywania, ale takÅ»e zdolnoĘç rozumienia i de finiowania zmiennej rzeczywistoĘci;
Ęmia"e poszukiwania wĘród tego, co nowe i nieznane, ale i wiernoĘç zasadom etycznym.
Nauczyciele w pracy wychowawczej wskazują idea", zgodnie z którym uczeł
dojrza"y,
dobrze przygotowany do Życia w spo"eczeł
stwie, to cz"owiek uczciwy, umiejÄ…cy Å»yç z in-
nymi i dla innych.
Dzia"alnoĘç edukacyjna liceum ogólnokszta"cÄ…cego, liceum profilowanego i technikum
powinna byç okreĘlona przez:
1) szkolny ze staw programów nauczania, któ ry uwzgl´dniajÄ…c wymiar wychowawczy,
obejmuje ca"Ä… dzia"alnoĘç szko"y pod wzgl´dem dydaktycznym,
2) program wychowawczy szko"y, który opisuje w sposób ca"oĘciowy wszystkie treĘci i dzia-
"ania o charakterze wychowawczym i jest realizowany przez wszystkich nauczycieli,
3) program profilaktyki dostosowany do potrzeb rozwojowych uczniów oraz potrzeb da-
nego Ęrodowiska, któ ry ca "oĘciowo opisuje wszystkie treĘci i dzia "ania o cha rakterze
profilaktycznym skierowane do uczniów, nauczycieli oraz rodziców.
Szkolny zestaw programów nauczania, program wychowawczy szko "y oraz program
profilaktyki powinny tworzyç spójnÄ… ca"oĘç. Ich przygotowanie i realizacja sÄ… zadaniem za-
równo ca"ej szko"y, jak i kaŻdego nauczyciela.
Podstawa programowa zak"ada w liceum ogólnokszta"cącym, liceum pro filowanym
i technikum kszta"cenie w zakresie podstawowym, natomiast w liceum ogólnokszta"cą-
cym przewiduje dla wybranych przedmiotów  zgodnie z odr´bnymi przepisami  dodat-
kowo kszta"cenie w zakresie rozszerzonym.
6
Liceum ogólnokszta"cące, liceum profilowane i technikum
Kszta"cenie w zakresie podstawowym
Matematyka
Podstawa programowa
Cele edukacyjne
1. Przygotowanie do Ęwiadomego i pe"nowartoĘciowego uczestnictwa w Ęwiecie, w któ-
rym modele matematyczne odgrywajÄ… kluczowÄ… rol´.
2. Przyswojenie podstawowych struktur matematycznych w stopniu umoŻliwiającym rozpo-
znawanie ich przydatnoĘci i wykorzystanie w sytuacjach praktycznych, w szczególnoĘci:
1) usystematyzowanie wiedzy o liczbach rzeczywistych oraz nabycie sprawnoĘci wyko-
nywania obliczeł
,
2) opanowanie regu" rachunku algebraicznego,
3) wdroŻenie do opisywania oraz analizy zaleŻnoĘci i zmiennoĘci za pomocą elemen-
tarnych funkcji,
4) poznanie struktury otaczającej nas przestrzeni poprzez w"asnoĘci klasycznych obiek-
tów geometrycznych; rozwój wyobraęni przestrzennej,
5) poznanie elementarnych metod analizy zjawisk statystycznych i losowych oraz ich
najprostszych opisów kombinatorycznych.
3. Przyzwyczajenie do typowych elementów rozumował
matematycznych, w szczegól-
noĘci do stosowania po j´ç takich jak: za "oÅ»enie, wniosek, dowód (takÅ»e nie wprost),
przyk"ad i kontrprzyk"ad.
4. Wy robienie umiej´tnoĘci i potrzeby krytycznej oceny przeprowadzonego rozumowa-
nia lub otrzymanego wyniku obliczeł
.
5. Wy robienie nawyku samodzielnego zdobywania, ana lizowania i klasyfikowania in for-
macji, stawiania hipotez i poszukiwania metod ich weryfikacji.
6. Kszta"towanie umiej´tnoĘci jasnego i precyzyjnego formu"owania wypowiedzi oraz ar-
gumentowania.
Zadania szko"y
1. Zapewnienie kszta" cenia promującego samodzielne, kry tyczne i twór cze my Ęlenie,
ograniczenie do minimum dzia"ał
schematycznych i odtwórczych.
2. Zapewnienie kaŻdemu uczniowi warunków do rozwoju zdolnoĘci matematycznych na
miar´ jego moÅ»liwoĘci poznawczych.
3. Przygotowanie uczniów do samodzielnego zdobywania wiedzy na dalszych etapach
edukacji oraz w pracy zawodowej.
4. WdroÅ»enie uczniów do korzystania z nowoczesnych narz´dzi (kalkulatory, komputery,
multimedia) i Ä™róde" informacji (podr´czniki, s"owniki, atlasy, encyklopedie, zasoby sie-
ciowe).
TreĘci nauczania
Liczby rzeczywiste
1. Liczby naturalne i ca"kowite.
2. Liczby wymierne; rozwini´cia dziesi´tne.
3. Liczby niewymierne.
4. OĘ liczbowa; przedzia"y osi liczbowej.
7
5. WartoĘç bezwzgl´dna.
6. Procenty i punkty procentowe; lokaty i kredyty.
7. B"ąd przybliŻenia; szacowanie wartoĘci liczbowych.
8. Pierwiastki (w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych).
9. Pot´gi liczb nieujemnych o wyk"adniku wymiernym i ich w"asnoĘci; informacja o w"a-
snoĘciach pot´g o wyk"adniku rzeczywistym.
10. Logarytmy; podstawowe w"asnoĘci logarytmów.
WyraŻenia algebraiczne
1. Wzory skróconego mnoŻenia, w tym (a + b)3; a3 + b3.
2. Wie lomiany; dodawanie, odejmowanie i mnoŻenie wielomianów.
3. WyraŻenia wymierne.
4. Dodawanie, odejmowanie, mnoŻenie i dzielenie wyraŻeł
wymiernych.
Równania i nierównoĘci
1. Równania i nierównoĘci kwadratowe z jedną niewiadomą.
2. Proste równania wielomianowe.
3. Proste równania wymierne.
Funkcje
1. RóŻne sposoby okreĘlania funkcji.
2. Odczytywanie w"asnoĘci funkcji z wykresu.
3. Proste przekszta"cenia wykresów funkcji liczbowych.
4. Funkcja liniowa.
5. Funkcja kwadratowa.
a
6. Funkcja f (x)= .
x
7. Funkcja wyk"adnicza.
CiÄ…gi
1. Przyk"ady ciągów.
2. CiÄ…g arytmetyczny.
3. CiÄ…g geometryczny.
Trygonometria
1. Funkcje sinus, cosinus i tangens kÄ…ta ostrego.
2. Proste zwiÄ…zki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi.
Planimetria
1. KÄ…ty w okr´gu.
2. Figury podobne.
3. Zastosowania trygonometrii w planimetrii.
Geometria na p"aszczyęnie kartezjał
skiej
1. Równanie prostej na p"aszczyęnie.
2. Interpretacja geometryczna uk"adu równał
liniowych.
3. Od
leg"oĘç punktów w uk"adzie wspó"rz´dnych; równanie okr´gu.
Stereometria
1. Równoleg"oĘç i prostopad"oĘç w przestrzeni.
2. KÄ…t mi´dzy prostÄ… i p"aszczyznÄ…; kÄ…t dwuĘcienny.
3. Zastosowania trygonometrii w stereometrii.
8
Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieł
stwa i kombinatoryka
1. Ârednia arytmetyczna, Ęrednia waÅ»ona, mediana, odchylenie standardowe.
2. Zliczanie przypadków w prostych sytuacjach kombinatorycznych; zasada mnoŻenia.
3. Ob liczanie prawdopodobieł
stwa w przypadku skoł
czonej liczby zdarzeł
elementarnych.
OsiÄ…gni´cia
1. Umie j´tnoĘç budowania modeli matematycznych zjawisk z róŻnych dziedzin Å»ycia i ich
stosowania:
1) opisywanie zwiÄ…zków pomi´dzy wielkoĘciami liczbowymi za pomocÄ… równaÅ‚
i nie-
równoĘci,
2) wyznaczanie zaleÅ»noĘci funkcyjnych mi´dzy wielkoĘciami liczbowymi,
3) wyznaczanie związków metrycznych i miarowych w otaczającej przestrzeni,
4) budowanie modeli zjawisk losowych.
2. Umiej´tnoĘç wykorzystania podstawowych narz´dzi i technik matematycznych:
1) przeprowadzanie obliczeł
dok"adnych i przybliŻonych (w tym procentowych), takŻe
z wykorzystaniem kalkulatora,
2) opisywanie zbiorów za pomoc równał
, nierównoĘci i ich uk"adów,
3) rozwiązywanie pewnych typów równał
oraz ich uk"adów,
4) sporządzanie wykresów funkcji oraz odczytywania w"asnoĘci funkcji z wykresu,
5) wyznaczanie związków miarowych dla figur p"askich i bry",
6) obliczanie prawdopodobieł
stw zdarzeł
.
3. Umiej´tnoĘç przeprowadzenia prostego rozumowania dedukcyjnego.
4. Umiej´tnoĘç zdobywania i krytycznego analizowania informacji, formu"owania hipotez
oraz ich weryfikacji.
III. Szczegó"owe cele edukacyjne  kszta"cenia i wychowania
Wielu nauczycieli matematyki zaczyna zdawaç sobie spraw´, Å»e nauczanie tego przed-
miotu sprzyja wyjÄ…tkowej relacji mi´dzy nauczycielem i uczniem. Za pomocÄ… matematy-
ki moÅ»emy wp"ywaç niemal na kaÅ»dÄ… innÄ… dziedzin´ nauki czy teÅ» na wiele aspektów Å»y-
cia spo "ecznego. Są wreszcie i tacy, dla któ rych ma tematyka jest  twórczą przygodą
humanistycznÄ… (Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions, Phoenix 1972).
Jakie zatem cele powinien sobie postawiç nauczyciel, aby w pe"ni wykorzystaç moÅ»liwo-
Ęci matematyki?
Oprócz celów wymienionych w podstawie programowej, w zakresie rozwoju intelek-
tualnego powinniĘmy dÄ…Å»yç do kszta"towania u uczniów:
 wyobraęni przestrzennej,
 zdolnoĘci logicznego rozumowania i wyciągania wniosków,
 umiej´tnoĘci szacowania i przewidywania wyników,
 spostrzegawczoĘci,
 umiej´tnoĘci korzystania z nowoczesnych technologii informacji,
 umiej´tnoĘci interpretacji i przetwarzania tekstu matematycznego,
 umiej´tnoĘci zbierania, porzÄ…dkowania i analizy danych oraz ich interpretacji,
 umiej´tnoĘci rozumowania na podstawie podanego modelu,
 umiej´tnoĘci dostrzegania zwiÄ…zków i analogii w matematyce,
 umiej´tnoĘci budowania algorytmów i pos"ugiwania si´ nimi,
 umiej´tnoĘci  przenoszenia matematyki na inne dziedziny Å»ycia,
 rozbudzania ĘwiadomoĘci intelektualnej ukierunkowanej na kontynuacj´ nauki,
 umiej´tnoĘci rozwiÄ…zywania problemów w twórczy sposób.
9
WĘród celów o charakterze wychowawczym i uniwersalnym warto zwróciç uwag´ na
kszta"towanie:
 systematycznoĘci i porządku w róŻnych aspektach Życia,
 precyzji myĘlenia i wypowiadania si´,
 umiej´tnoĘci wspó"pracy w grupie (w spo"eczeÅ‚
stwie),
 wspó"odpowiedzialnoĘci za siebie i innych,
 umiej´tnoĘci podejmowania decyzji, odwagi wypowiadania si´, stawiania tez i aser-
tywnoĘci,
 umiej´tnoĘci projektowania i planowania w znaczeniu ogólnym,
 szacunku dla poglądów innych,
 umiej´tnoĘci argumentowania,
 umiej´tnoĘci krytycznej (obiektywnej) postawy wobec w"asnych opinii,
 postawy samozadowolenia i samosatysfakcji z w"asnych osiÄ…gni´ç,
 pozytywnej motywacji i wiary we w"asne moŻliwoĘci (optymizmu).
Do realizacji proponowanego programu nie są konieczne Żadne szczególne warunki.
Niemniej cele edukacyjne mogÄ… byç w"aĘciwie realizowane, jeĘli szko"a:
 zapewnia wykwalifikowanÄ… kadr´ nauczycielskÄ…,
 stwarza atmosfer´ zrozumienia i wspólnego dÄ…Å»enia do celu (wspó"odpowiedzialno-
Ęci),
 wspomaga uczniów, za równo tych mniej zdolnych (prowadzi formy za j´ç wy rów-
nawczych), jak i utalentowanych (prowadzi kó"ka zainteresował
),
 zapewnia swobodny dost´p do Ęrodków informacji (biblioteka, Internet),
 traktuje kaŻdego ucznia w sposób indywidualny  stwarza warunki rozwoju tych za-
interesował
, które są najmocniejszą stroną ucznia.
IV. Procedury osiągania celów
Sztuka nauczania jest tylko sztuką rozbudzania ciekawoĘci w m"odych duszach po to,
aby nast´pnie jÄ… zaspokoiç; ciekawoĘç zaĘ Å»ywa jest i zdrowa tylko w umys"ach szcz´Ä˜li-
wych. WiadomoĘci, które gwa"tem wpycha si´ do umys"u, t"umiÄ… go i duszÄ…. Úeby prze-
trwaç nauk´, trzeba po"ykaç jÄ… z apetytem.
Anatole France
Ca"y proces nauczania powinien byç ukie runkowany na wzmacnianie pozytywne. Co
rozumiemy pod poj´ciem wzmacniania? Jakie kroki (procedury) powinien przedsi´wziÄ…ç
nauczyciel, aby doprowadziç ucznia do celu? Co jest celem konkretnego ucznia? To py-
tania, które stawia sobie niejeden nauczyciel tak na początku, jak w trakcie dynamiczne-
go procesu kszta"cenia.
Bardzo istotne jest uĘwiadomienie sobie dwóch istotnych kwestii. Po pierwsze, moŻe-
my i powinniĘmy stawiaç cele ogólne dotyczÄ…ce wszystkich uczniów w klasie (patrz cele
edukacyjne kszta"cenia i wychowania). Po drugie, pami´tajmy, Å»e kaÅ»dy uczeÅ‚
jest indy-
widualnoĘciÄ…. Jak w takim razie okreĘliç uniwersalne procedury osiÄ…gania celów?
RozwiÄ…zanie tej sprzecznoĘci na etapie szko"y ponadgimnazjalnej moÅ»e byç nast´pujÄ…-
ce: uczeł
powinien pod jÄ…ç wspó"odpowiedzialnoĘç za swo je wyniki, a nauczyciel powi-
nien mu na to pozwoliç. Niech ingerencja nauczyciela w proces uczenia ogranicza si´
do roli uĘwiadamiania uczniowi tej odpowiedzialnoĘci, aktywizowania go (inspirowania)
i integrowania ca "ego procesu nauczania. Nauczyciel powinien podejmowaç wszelkie
dzia"ania w celu wzbudzania ciekawoĘci ucznia, wskazywania mu i wzmacniania jego moc-
nych stron i ukazywania mu korzyĘci, jakie moÅ»e czerpaç z nauki.
10
Oprócz ogólnej tendencji wzmacniania po zytywnego do czynników zwi´k szajÄ…cych
skutecznoĘç procesu dydaktycznego, a zatem wspomagajÄ…cych osiÄ…gni´cie za "oÅ»onych
celów, naleŻą: w"aĘciwa atmosfera w trakcie lekcji, stosowanie róŻnorodnych form pro-
wadzenia zaj´ç, pomocy naukowych i Ęrodków dydaktycznych, nauczanie ukierunkowa-
ne na zastosowanie i kreowanie, systematyczna ocena osiÄ…gni´ç ucznia.
Atmosfera w trakcie lekcji powinna sprzyjaç nauce. Ucznia naleÅ»y traktowaç partner-
sko i podmiotowo, ale powinien on równieÅ» uĘwiadamiaç sobie stawiane mu wymagania.
Wszelkie inicjatywy ucznia powinny spotkaç si´ z zainteresowaniem nauczyciela.
RóŻnorodne formy prowadzenia zaj´ç s"uŻą g"ownie temu, by uczeÅ‚
nie poczu" znuŻe-
nia przedmiotem. Warto przy okazji zwróciç uwag´, Å»e stopieÅ‚
przyswajalnoĘci wiedzy
uzaleŻniony jest od zastosowanej przez nauczyciela metody zgodnie z zasadą: im bardziej
angaÅ»ujemy ucznia w proces dydaktyczny, tym lepszych efektów moÅ»emy si´ spodzie-
waç. Od metody wyk"adu, przez metody audiowizualne i pokazy, do dyskusji i sytuacji,
w których uczniowie uczÄ… si´ nawzajem. Szczególny nacisk na leÅ»y po "oÅ»yç na prac´
w grupach, która rozwija umiej´tnoĘç komunikowania si´ i uczy wspó"odpowiedzialnoĘci.
Przedmiot stanie si´ bardziej atrakcyjny dla ucznia, jeĘli nauczyciel zastosuje róŻne pomo-
ce naukowe i Ęrodki dydaktyczne. Kalkulatory, komputery, modele bry", puzzle, domi-
na i gry dydaktyczne powinny stanowiç nieod"Ä…czny element lekcji. Korzystanie z litera-
tu ry (en cyklopedii ma tematycznej, ta blic, rocz ników sta tystycznych) oraz za sobów
Internetu uczyni matematyk´ bardziej praktycznÄ…, a tym samym mniej abstrakcyjnÄ….
Bardzo waŻnym elementem procesu dydaktycznego jest systematyczna ocena osią-
gni´ç ucznia i bieŻąca kontrola zadaÅ‚
domowych. Wp"ywa to mobilizujÄ…co na postaw´
uczniów, a nauczycielowi daje obraz ich post´pów i ewentualnych braków w wiadomo-
Ęciach i umiej´tnoĘciach.
Nauczanie powinno byç ukierunkowane na zastosowanie i kreowanie. UczeÅ‚
powinien
dostrzegaç wymierne (praktyczne) korzyĘci, jakie niesie uczenie si´ matematyki. Wprowa-
dzenie form metod typu projekt daje uczniowi moÅ»liwoĘç realizacji w"asnych pomys"ów,
sprzyja kszta"towaniu osobowoĘci kreatywnej, niesie satysfakcj´ i zadowolenie z pracy.
V. Ramowy rozk"ad materia"u  proponowany przydzia" godzin
Zakres podstawowy
PoniŻej proponujemy rozk"ad bloków tematycznych wed"ug treĘci nauczania dla zakre-
su pod stawowego w po szczególnych kla sach z orien tacyjną liczbą godzin po trzebną
na ich realizacj´.
DZIA¸ Liczba jednostek lekcyjnych
KLASA I
3 godziny tygodniowo (99 godz.)
I. Liczby rzeczywiste i wyraŻenia algebraiczne 33
II. Funkcje 13
III. Trygonometria 14
IV. Funkcja liniowa 15
V. Funkcja kwadratowa 24
11
KLASA II
3 godziny tygodniowo (99 godz.)
I. Wielomiany 14
II. Funkcje wymierne 18
III. CiÄ…gi liczbowe 22
IV. Elementy geometrii p"aszczyzny 28
V. Geometria analityczna 17
KLASA III
3 godziny tygodniowo (80 godz.)
11
I. Funkcja wykladnicza i logarytmy
II. Stereometria 30
III. Rachunek prawdopodobieł
stwa i statystyka 19
IV. Powtórzenie 20
VI. TreĘci nauczania i przewidywane osiÄ…gni´cia ucznia
PoniÅ»ej, dla kaÅ»dego bloku tematycznego, zamieszczono przewidywane osiÄ…gni´cia
ucznia dotyczÄ…ce matematyki teoretycznej, jak równieÅ» te, które b´dzie móg" wykorzy-
staç w Å»yciu codziennym, czyli przynaleÅ»ne do matematyki uÅ»ytkowej. W podr´czniku
przygotowanym na podstawie tego programu szczególny nacisk po"oŻono na zastoso-
wanie matematyki w praktyce. Dlatego osiÄ…gni´cia ucznia w niniejszym programie zo-
sta"y podzielone na do tyczące teo rii wiedzy ma tematycznej i przydatne w Życiu co -
dziennym.
KLASA I
(3 godziny tygodniowo)
I. Liczby rzeczywiste i wyraŻenia algebraiczne
" Ra chunek zbiorów: relacja przynaleŻnoĘci do zbioru, inkluzji i równoĘci zbiorów
" Suma, iloczyn i róŻnica zbiorów
" Zbiór liczb rzeczywistych
" Licz by naturalne (liczby pierwsze) ca"kowite, wymierne, niewymierne.
" Rozwini´cia dziesi´tne liczb rzeczywistych
" Dzia "ania na liczbach wymiernych
" Wy raŻenia algebraiczne
" Prze kszta"canie wyraŻeł
algebraicznych
" Wzo ry skróconego mnoŻenia
" Dzia "ania na pot´gach (pot´gi o wyk"adniku ca"kowitym i wymiernym) i pierwiastkach
" OĘ licz bowa i prostokÄ…tny uk"ad wspó"rz´dnych
" Prze dzia"y liczbowe, dzia"ania na przedzia"ach
12
" War toĘç bezwzgl´dna liczby rzeczywistej, jej interpretacja geometryczna
" Ob liczenia procentowe
" Pro cent sk"adany
" Za stosowanie procentów do obliczeł
bankowych
" B"ąd przy bliŻenia, szacowanie wartoĘci liczbowych
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 rozumie róŻnic´ pomi´dzy elementem i zbiorem, pos"uguje si´ symbolikÄ… matema-
tyczną dotyczącą zbiorów, podaje przyk"ady zbiorów, porównuje je,
 wykonuje dzia"ania na zbiorach, zna ich w"asnoĘci,
 zna relacje mi´dzy podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych,
 planuje i sprawnie wykonuje obliczenia, zna prawa i w"asnoĘci dzia"ał
,
 porównuje liczby wymierne i niewymierne,
 zna rodzaje u"amków, zamienia u"amki dziesi´tne skoÅ‚
czone lub nieskoł
czone i okre-
sowe na zwyk"e, rozumie poj´cie rozwini´cia okresowego,
 wykonuje dzia"ania na wyraŻeniach algebraicznych,
 stosuje wzory skróconego mnoŻenia dla wyraŻeł
stopnia drugiego i trzeciego:
(a Ä… b)2, a2  b2, (a Ä… b)3, a3 Ä… b3,
 usuwa niewymiernoĘç mianownika,
 przeprowadza operacje arytmetyczne na pot´gach i pierwiastkach,
 upraszcza wyraÅ»enia zawierajÄ…ce pot´gi o wyk"adniku wymiernym i pierwiastki,
 stosuje notacj´ wyk"adniczÄ… w obliczeniach,
 zaznacza liczby na osi liczbowej i punkty w uk"adzie wspó"rz´dnych,
 zaznacza przedzia"y na osi liczbowej, zapisuje za pomocą przedzia"ów zbiory opisane
nierównoĘciami,
 wyznacza sum´, iloczyn i róŻnic´ przedzia"ów,
 rozumie poj´cie wartoĘci bezwzgl´dnej liczby, zna podstawowe w"asnoĘci i interpre-
tacj´ geometrycznÄ…,
 oblicza odleg"oĘç punktów na osi liczbowej,
 zna po j´cie procentu i punk tu procentowego, wy konuje ob liczenia procentowe
wzadaniach z Życia codziennego,
 rozumie poj´cie procentu sk"adanego, potrafi zastosowaç procent sk"adany do obli-
czeł
bankowych,
 wyznacza b"Ä…d wzgl´dny i bezwzgl´dny,
 umie podaç przybliÅ»enie liczby, okreĘliç jego rodzaj, potrafi oszacowaç wynik wyko-
nywanej operacji.
WŻyciu. Uczeł
:
 umie planowaç i wykonywaç obliczenia (równieÅ» pisemnie),
 potrafi oszacowaç i porównaç wielkoĘci,
 umie zamieniç jednostki (na przyk"ad hektar na ar),
 samodzielnie rozwiązuje problemy dotyczące podwyŻek (obniŻek) cen, p"ac, opro-
centowania lokaty (kredytu)  wybiera korzystniejsze dla siebie warunki umowy,
 potrafi obliczyç podatek,
 odczytuje i sporzÄ…dza procentowÄ… ilustracj´ danych.
II. Funkcje
" Po j´cie funkcji, funkcja liczbowa i jej wykres
" Dzie dzina i zbiór wartoĘci funkcji, sposoby okreĘlania funkcji, miejsce zerowe funkcji,
wartoĘci dodatnie i ujemne funkcji (znak funkcji)
13
" War toĘç najwi´ksza i najmniejsza w dziedzinie i przedziale
" Mo notonicznoĘç funkcji
" Prze suni´cia i odbicia wykresu funkcji wzgl´dem osi uk"adu wspó"rz´dnych
" Funk cja i jej zastosowanie w przyrodzie, gospodarce i Życiu codziennym
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 zna i rozumie poj´cie funkcji, podaje jej przyk"ady, odczytuje wartoĘç dla danego ar-
gumentu i argument, któremu przyporzÄ…dkowana jest podana wartoĘç,
 potrafi okreĘliç funkcj´ (opis s"owny, tabela, graf, wzór, zbiór par uporzÄ…dkowanych)
oraz sporzÄ…dziç jej wykres,
 odczytuje z wykresu zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartoĘci do-
datnie (ujemne, niedodatnie, nie wi´ksze od podanej liczby itp.), wartoĘci najmniej-
sze i najwi´ksze funkcji,
 wyznacza dziedzin´, zbiór wartoĘci i miejsce zerowe funkcji,
 czyta i interpretuje potrzebne w"asnoĘci z wykresu, tabelki, grafu, na podstawie wzo-
ru,
 umie okreĘliç monotonicznoĘç funkcji,
 potrafi sporzÄ…dzaç wykresy funkcji o podanych w"asnoĘciach,
 umie podaç podstawowe w"asnoĘci funkcji (monotonicznoĘç),
 potrafi przesuwaç wykres funkcji liczbowej wzd"uÅ» osi uk"adu wspó"rz´dnych i podaç
wzór otrzymanej funkcji,
 potrafi przekszta"ciç wykres funkcji liniowej wzgl´dem osi uk"adu wspó"rz´dnych i po-
daç wzór otrzymanej funkcji.
WŻyciu. Uczeł
:
 interpretuje zaleŻnoĘci funkcyjne na podstawie danego wzoru,
 interpretuje diagramy, tabele, wykresy (indeksy spó"ek, kursy akcji i walut, wartoĘç
temperatury jako funkcji czasu itp.).
III. Trygonometria
" Funk cje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
" ZwiÄ…z ki mi´dzy funkcjami tego samego kÄ…ta
" Pro ste toŻsamoĘci trygonometryczne
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 okreĘla sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta ostrego,
 oblicza wartoĘç funkcji trygonometrycznych kÄ…ta ostrego oraz wyznacza miar´ kÄ…ta,
gdy dana jest wartoĘç jednej z jego funkcji trygonometrycznych,
 zna wartoĘci funkcji trygonometrycznych dla charakterystycznych kÄ…tów: 30°, 60°,
45° i wykorzystuje je w zadaniach,
 odczytuje z tablic i oblicza wartoĘci funkcji trygonometrycznych za pomocą kalkula-
tora,
 rozwiÄ…zuje równania typu sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a dla 0° wykonuje proste rachunki z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych,
 stosuje trygonometri´ w zadaniach tekstowych,
 zna zwiÄ…zki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kÄ…ta
sina
sin2a + cos2a = 1, tga = , tga · ctga = 1,
cosa
 sprawdza, czy podane równania trygonometryczne są toŻsamoĘciowe.
14
WŻyciu. Uczeł
:
 stosuje funkcje trygonometryczne w miernictwie: nachylenie stoku, kÄ…t padania pro-
mieni s"onecznych, zasi´g w rzucie ukoĘnym w zaleÅ»noĘci od kÄ…ta, rozdzielczoĘç oka
ludzkiego, pole widzenia itp.,
 analizuje i lepiej rozumie zjawiska związane z wielkoĘciami fizycznymi spotykanymi
w Życiu, a zwią zanymi z funk cjami trygonometrycznymi: roz k"ad si"y dzia "ającej
na cia"o,
 okreĘla po"oÅ»enie geograficzne  d"ugoĘç i szerokoĘç geograficznÄ….
IV. Funkcja liniowa
" Funk cja liniowa i jej w"asnoĘci
" Pro porcjonalnoĘç prosta
" Rów nania i nierównoĘci liniowe z jedną niewiadomą
" Rów nania i nierównoĘci liniowe z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ…
" Uk"a dy równał
liniowych z dwiema niewiadomymi
" Rozwiązywanie zadał
prowadzących do równał
i nierównoĘci liniowych oraz uk"adów
równał
liniowych
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 sporządza wykres funkcji liniowej i odczytuje jej w"asnoĘci na podstawie wykresu,
 rozpoznaje wielkoĘci wprost proporcjonalne, pos"uguje si´ nimi w praktyce,
 interpretuje geometrycznie wspó"czynniki we wzorze funkcji liniowej,
 znajduje wzór funkcji liniowej o podanych w"asnoĘciach,
 rozwiÄ…zuje zadania dotyczÄ…ce funkcji liniowej i jej zastosowania,
 rozwiązuje równania liniowe z jedną niewiadomą,
 przeprowadza dyskusj´ liczby rozwiÄ…zaÅ‚
równania liniowego (ax + b=0) w zaleŻno-
Ęci od wspó"czynników a i b,
 rozwiązuje nierównoĘci liniowe z jedną niewiadomą oraz ich uk"ady,
 rozwiÄ…zuje równania i nie równoĘci liniowe z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ…, wykorzystujÄ…c
w"asnoĘci wartoĘci bezwzgl´dnej liczby, zaznacza na osi liczbowej zbiory ich rozwiÄ…-
zał
,
 rozwiązuje uk"ady równał
liniowych z dwiema niewiadomymi (algebraicznie i graficz-
nie),
 rozróŻnia uk"ady równał
niezaleŻnych, zaleŻnych i sprzecznych,
 rozwiązuje zadania tekstowe z róŻnych dziedzin, wykorzystując uk"ady równał
linio-
wych.
WŻyciu. Uczeł
:
 pos"uguje si´ wielkoĘciami wprost proporcjonalnymi, na przyk"ad potrafi oszacowaç
zuŻycie benzyny na zaplanowanej trasie, stosuje proporcje,
 stosuje równania i nierównoĘci liniowe do zagadnieł
zwiÄ…zanych z programowaniem
liniowym (planowanie optymalnego budŻetu),
 interpretuje związki i za leŻnoĘci liniowe wyraŻone wzorem, wykresem czy schema-
tem ukazujÄ…ce si´ w mediach.
V. Funkcja kwadratowa
" Trójmian kwadratowy, funkcja kwadratowa w postaciach kanonicznej, ogólnej i iloczy-
nowej (miejsca zerowe funkcji kwadratowej)
" Wy kres funkcji kwadratowej
" War toĘç najmniejsza i najwi´ksza funkcji w dziedzinie i w przedziale
15
" Za dania optymalizacyjne wykorzystujące w"asnoĘci funkcji kwadratowej
" Rów nania i nierównoĘci kwadratowe
" Przy k"ady praktycznych zastosował
funkcji kwadratowej
" Uk"a dy dwóch równał
, z których co najmniej jedno jest stopnia drugiego
" Rozwiązywanie zadał
prowadzących do równał
i nierównoĘci stopnia drugiego
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 rozpoznaje na podstawie wzoru funkcj´ kwadratowÄ…, zna jej definicj´,
 przekszta"ca wzór w postaci ogólnej do postaci kanonicznej lub iloczynowej (jeĘli ist-
nieje) i odwrotnie,
 sporządza wykres dowolnej funkcji kwadratowej, podaje jej w"asnoĘci,
 wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej, zna warunki ich istnienia i liczby,
 wyznacza wspó"rz´dne wierzcho"ka paraboli b´dÄ…cej wykresem funkcji kwadratowej,
okreĘla przedzia"y monotonicznoĘci, podaje wartoĘci najwi´kszÄ… i najmniejszÄ… funkcji
kwadratowej w dziedzinie i w przedziale domkni´tym,
 rozwiÄ…zuje problemy optymalizacyjne z zakresu funkcji kwadratowej,
 rozwiązuje równania i nierównoĘci kwadratowe,
 rozwiązuje uk"ady równał
, z których co najmniej jedno jest stopnia drugiego,
 rozwiązuje zadania tekstowe dotyczące poszukiwania równał
i nierównoĘci kwadra-
towych.
WŻyciu. Uczeł
:
 wykorzystuje funkcj´ kwadratowÄ… do rozwiÄ…zywania problemów optymalizacyjnych,
na przyk"ad wyznaczania minimalnej wartoĘç kosztów produkcji, maksymalnego zy-
sku itp.,
 dostrzega związki matematyki z innymi dziedzinami wiedzy i Życia (np. zastosowanie
funkcji kwadratowej w fizyce, ekonomii),
 buduje modele matematyczne dla róŻnych sytuacji z Życia codziennego oraz wyko-
rzystuje je do rozwiązywania problemów praktycznych.
KLASA II
(3 godziny tygodniowo)
I. Wie lomiany
" Wie lomian jednej zmiennej, stopieł
wielomianu
" Dzia "ania na wielomianach (dodawanie, odejmowanie, mnoŻenie)
" Pierwiastek wielomianu
" Roz k"ad wielomianu na czynniki
" Rów nania wielomianowe
" Za dania z tekstem prowadzące do równał
wielomianowych
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 rozpoznaje wielomiany, okreĘla ich stopieł
,
 przeprowadza dzia"ania na wielomianach jednej zmiennej (porzÄ…dkuje, dodaje, mno-
Ży, porównuje),
 rozumie definicj´ pierwiastka wielomianu,
 sprawdza, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu,
16
 zna metody rozk"adu wielomianu na czynniki, przekszta"ca wielomian do postaci ilo-
czynowej,
 rozwiązuje proste równania wielomianowe metodą rozk"adu na czynniki,
 rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równał
i nierównoĘci wielomianowych.
WŻyciu. Uczeł
:
 wykorzystuje wiadomoĘci dotyczące wielomianu do rozwiązywania problemów prak-
tycznych, takich jak: zaleÅ»noĘç obj´toĘci od skali, podobieÅ‚
stwa figur, d"ugoĘç czasu
wykonania pracy.
II. Funkcje wymierne
" Wy raŻenia wymierne, dziedzina wyraŻenia wymiernego, przekszta"canie wyraŻeł
i dzia-
"ania na nich
" Pro porcjonalnoĘç odwrotna
a
" Funk cja okreĘlona wzorem f(x) = , xe R \ {0}, jej wykres i podstawowe wlasnoĘci
x
" Rów nania wymierne prowadzące do równał
liniowych lub kwadratowych
" Za dania z tekstem prowadzące do równał
wymiernych
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 rozpoznaje wyraÅ»enia wymierne, wyznacza ich dziedzin´,
 przeprowadza dzia"ania na wyraŻeniach wymiernych,
 rozpoznaje wielkoĘci odwrotnie proporcjonalne, pos"uguje si´ nimi,
a
 sporządza wykres funkcji okreĘlonej wzorem f(x) = , x ! 0, okreĘla jej podstawo-
x
we w"asnoĘci,
 rozwiązuje równania wymierne prowadzące do równał
liniowych lub kwadratowych,
 rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do prostych równał
i nierównoĘci wymier-
nych.
WŻyciu. Uczeł
:
 pos"uguje si´ wielkoĘciami odwrotnie proporcjonalnymi, na przyk"ad potrafi okreĘliç
termin ukoł
czenia budowy w zaleŻnoĘci od liczby zatrudnionych pracowników,
 wykorzystuje wiadomoĘci dotyczące wyraŻeł
wymiernych do rozwiÄ…zywania proble-
mów prak tycznych, mi´dzy innymi wyznacza: opór za st´pczy uk"adu, po jemnoĘç
kondensatora, okres obiegu planety wokó" S"oł
ca, odleg"oĘç obrazu od zwierciad"a
itp.
III. CiÄ…gi liczbowe
" Po j´cie ciÄ…gu, rodzaje ciÄ…gów, sposoby przedstawiania ciÄ…gów
" Mo notonicznoĘç ciÄ…gu
" CiÄ…g arytmetyczny, wzór na n-ty wyraz i n-tÄ… sum´ cz´Ä˜ciowÄ…
" CiÄ…g geometryczny, wzór na n-ty wyraz i n-tÄ… sum´ cz´Ä˜ciowÄ…
" Za dania z ciÄ…giem arytmetycznym i geometrycznym
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 rozumie intuicyjnie poj´cie ciÄ…gu, okreĘla ciÄ…g, podaje w"asnoĘci ciÄ…gu na podstawie
jego wykresu,
 wyznacza wyrazy ciągu okreĘlonego wzorem ogólnym,
17
 bada monotonicznoĘç ciÄ…gu,
 rozpoznaje ciÄ…gi arytmetyczne, bada czy ciÄ…g jest arytmetyczny, wyznacza wy razy
ciÄ…gu arytmetycznego i jego sumy cz´Ä˜ciowe,
 rozpoznaje ciÄ…gi geometryczne, bada czy ciÄ…g jest geometryczny, wyznacza wyrazy
ciÄ…gu geometrycznego i jego sumy cz´Ä˜ciowe,
 stosuje w"asnoĘci ciągów arytmetycznego i geometrycznego w zadaniach,
 bada zjawiska opisane za pomocą ciągów.
WŻyciu. Uczeł
:
 rozwiÄ…zuje problemy dotyczÄ…ce oprocentowania lokat i kredytów, umie wybraç opty-
malny wariant, porównuje oferty banków i instytucji finansowych,
 dostrzega w przy rodzie zjawiska zwiÄ…zane z ciÄ…gami (arytmetycznym, geometrycz-
nym), na przyk"ad za leÅ»noĘç liczebnoĘci populacji od cza su, kosz tów na st´pnego
etapu budowy (eksploatacji urządzenia) w zaleŻnoĘci od poprzedniego.
IV. Elementy geometrii p"aszczyzny
" Pod stawowe po j´cia planimetrii (punkt, prosta, p"aszczyzna, pó"prosta, odcinek, kÄ…t,
"amana, wielokÄ…t)
" Od leg"oĘç mi´dzy punktami
" OkrÄ…g i ko "o, d"ugoĘç okr´gu i pole ko"a
" KÄ… ty zwiÄ…zane z okr´giem
" OĘ i Ęro dek symetrii figury, symetralna odcinka, dwusieczna kąta
" Trój kąty, ich punkty szczególne, pole trójkąta
" Czwo rokąty i ich w"asnoĘci, pola czworokątów
" Fi gury przystajÄ…ce i figury podobne
" Ce chy przystawania i cechy podobieł
stwa trójkątów
" Twier dzenie Talesa i jego związek z podobieł
stwem
" Za stosowanie trygonometrii w planimetrii
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 zna po j´cia pierwotne planimetrii (punkt, prosta, p"aszczyzna),
 definiuje pó"prostą, odcinek, "amaną, wielokąt, kąt (rozróŻnia rodzaje kątów), pos"u-
guje si´ nimi,
 rozumie poj´cie odleg"oĘci,
 zna i rozumie definicje okr´gu i ko "a, wyznacza Ęrodek okr´gu, wskazuje promieÅ‚
,
Ęrednic´ i ci´ciw´,
 zna za leÅ»noĘci dotyczÄ…ce liczby punktów wspólnych okr´gu i prostej, dwóch okr´-
gów, wykorzystuje je w zadaniach,
 zna i stosuje twierdzenia o kÄ…tach w okr´gu,
 rozumie poj´cie osi i Ęrodka symetrii figury, podaje przyk"ady figur osiowosymetrycz-
nych i Ęrodkowosymetrycznych,
 rozpoznaje wielokÄ…ty foremne,
 zna po j´cia symetralnej odcinka i dwusiecznej kÄ…ta, w"asnoĘci tych obiektów,
 klasyfikuje trójkąty, oblicza ich pola i obwody,
 zna po j´cia wysokoĘci trójkÄ…ta, jego Ęrodkowej i w"asnoĘci dotyczÄ…ce punktów prze-
ci´cia wysokoĘci, Ęrodkowych (twierdzenie o Ęrodkowych w trójkÄ…cie),
 klasyfikuje czworokąty, zna ich w"asnoĘci, oblicza pola i obwody,
 rozumie poj´cia  figury przystajÄ…ce i  figury podobne , wskazuje ich przyk"ady,
 zna cechy przystawania i cechy podobieł
stwa trójkątów oraz stosuje je przy rozwią-
zywaniu problemów teoretycznych i praktycznych,
18
 zna i stosuje twierdzenie Ta lesa i do niego odwrotne, zna ich związek z podobieł
-
stwem,
 stosuje trygonometri´ do rozwiÄ…zywania zagadnieÅ‚
z planimetrii.
WŻyciu. Uczeł
:
 wyznacza najkrótszÄ… drog´ pomi´dzy punktami,
 potrafi wyznaczyç optymalnÄ… (najkrótszÄ…) tras´ podróŻy,
 wykorzystuje twierdzenie Talesa w róŻnych sytuacjach,
 wyznacza pole powierzchni i obwód, na przyk"ad potrafi obliczyç iloĘç farby potrzeb-
nÄ… do wymalowania pokoju itp.,
 wie, w jaki sposób wzmocniç wykonanÄ… konstrukcj´ budowlanÄ…,
 wyznacza zwiÄ…zki miarowe w otaczajÄ…cej go przestrzeni,
 wykorzystuje w"asnoĘci symetrii osiowej (Ęrodkowej) w praktyce: na przyk"ad wzor-
nictwo serwetki, uŻytkowanie ksera,
 tworzy poprawnÄ… klasyfikacj´ obiektów ze wzgl´du na pewnÄ… cech´ lub uk"ad cech.
V. Geometria analityczna
" Rów nania prostej na p"aszczyęnie
" Wa runek równoleg"oĘci i warunek prostopad"oĘci prostych
" Od leg"oĘç na p"aszczyÄ™nie kartezjaÅ‚
skiej
" Âro dek odcinka
" Równanie okr´gu
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 zna równania prostej na p"aszczyęnie (ogólne, kierunkowe, wyznaczonej przez dwa
punkty),
 zna warunek równoleg"oĘci i wa runek pro stopad"oĘci pro stych, bada ana litycznie
wzajemne po"oŻenie prostych,
 wyznacza równanie prostej równoleg"ej i prostej prostopad"ej do danej prostej,
 rozumie poj´cie odleg"oĘci,
 wyznacza odleg"oĘç mi´dzy dwoma punktami, punktem i prostÄ… oraz prostymi rów-
noleg"ymi w uj´ciu analitycznym,
 wyznacza wspó"rz´dne Ęrodka odcinka,
 opisuje okrąg przy pomocy równania.
WŻyciu. Uczeł
:
 wyznacza najkrótszÄ… odleg"oĘç,
 potrafi odczytaç z mapy po"oÅ»enie punktów,
 starannie wykonuje rysunki.
KLASA III
(3 godziny tygodniowo)
I. Funkcja wyk"adnicza i logarytmy
" Po t´ga o wyk"adniku rzeczywistym
" Funk cja wyk"adnicza
" Lo garytmy i ich podstawowe w"asnoĘci
" Za dania umieszczone w kontekĘcie praktycznym dotyczące funkcji wyk"adniczych i lo-
garytmów
19
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 ob licza pot´gi o wyk"adnikach wymiernych,
 potrafi podaç przybliÅ»onÄ… wartoĘç pot´gi o wyk"adniku niewymiernym,
 porównuje pot´gi,
 wykonuje dzia "ania "Ä…czne na pot´gach o wyk"adniku rzeczywistym, stosuje prawa
dzia"ał
na pot´gach,
 zna definicj´ funkcji wyk"adniczej, sporzÄ…dza wykresy funkcji wyk"adniczych dla róŻ-
nych podstaw, odczytuje z wykresów w"asnoĘci tych funkcji,
 zna po j´cie logarytmu, wykonuje podstawowe obliczenia przy uÅ»yciu logarytmów,
 zna i stosuje w obliczeniach podstawowe w"asnoĘci logarytmów (wzory na logarytm
iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm pot´gi o wyk"adniku naturalnym),
 rozwiÄ…zuje zadania tekstowe zwiÄ…zane z funkcjÄ… wyk"adniczÄ… i logarytmami.
WŻyciu. Uczeł
:
 wykorzystuje wiadomoĘci dotyczÄ…ce pot´g i logarytmów do wykonywania obliczeÅ‚

w róŻnych dziedzinach wiedzy, np. ekonomii, chemii, Żegludze, geodezji.
II. Stereometria
" Wza jemne po"oŻenie prostych w przestrzeni, prostej i p"aszczyzny oraz p"aszczyzn
" Równoleg"oĘç i prostopad"oĘc w przestrzeni
" KÄ…t mi´ dzy dwiema prostymi, prostÄ… i p"aszczyznÄ…, kÄ…t dwuĘcienny
" Wie loĘciany, klasyfikacja wieloĘcianów. Graniastos"upy i ostros"upy
" Wza jemne po"oÅ»enie kraw´dzi i Ęcian wieloĘcianów
" Wzo ry na pole powierzchni i obj´toĘç graniastos"upa i ostros"upa (zwiÄ…zki miarowe)
" Siat ki graniastos"upów i ostros"upów
" Bry "y obrotowe (walec, stoÅ»ek, kula), ich pola powierzchni i obj´toĘci
" Za dania z bry"ami z zastosowaniem trygonometrii
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 wie, jakie elementy wyznaczajÄ… prostÄ… i p"aszczyzn´ w przestrzeni,
 zna moŻ liwe po "oŻenia prostych w przestrzeni (roz róŻnia je), prostej i p"aszczyzny
oraz p"aszczyzn,
 wie kiedy dwie proste w przestrzeni są równoleg"e, prosta jest równoleg"a do p"asz-
czyzny, plaszczyzny są równoleg"e,
 wie kiedy dwie proste w przestrzeni sÄ… prostopad"e, prosta jest prostopad"a do p"asz-
czyzny, plaszczyzny sÄ… prostopad"e,
 wyznacza kÄ…t mi´dzy prostymi w przestrzeni, kÄ…t mi´dzy prostÄ… i p"aszczyznÄ… i kÄ…t
dwuĘcienny,
 klasyfikuje wieloĘciany, wskazuje i oblicza kÄ…ty mi´dzy Ęcianami wieloĘcianu, mi´dzy Ęcia-
nami i odcinkami oraz mi´dzy odcinkami takimi jak kraw´dzie, przekÄ…tne, wysokoĘci,
 rozróŻnia podstawowe graniastos"upy i ostros"upy (proste i prawid"owe),
 zna bry "y obrotowe (walec, stoŻek, kula) i przekroje osiowe bry" obrotowych,
 buduje modele bry", zna w"asnoĘci siatek ostros"upów i graniastos"upów,
 ob licza pola powierzchni i obj´toĘç graniastos"upów, ostros"upów i bry" obrotowych,
 stosuje trygonometri´ do wyznaczania wielkoĘci miarowych bry" i obliczania ich pól
powierzchni i obj´toĘci.
20
WŻyciu. Uczeł
:
 ma wyobraÄ™ni´ przestrzennÄ…,
 rozwiÄ…zuje praktyczne zagadnienia zwiÄ…zane z polem powierzchni i obj´toĘciÄ… bry":
kubatura pomieszczeł
, powierzchnia Ęcian mieszkania,
 pro jektuje szkielety konstrukcji budowlanych na podstawie modeli wieloĘcianów,
 dok"adnie i starannie wykonuje rysunki bry",
 dostrzega zwiÄ…zek mi´dzy obiektami geometrycznymi a otaczajÄ…cÄ… nas rzeczywistoĘciÄ….
III. Rachunek prawdopodobieł
stwa i statystyka
" Za dania kombinatoryczne (niewymagające uŻycia wzorów), zasada mnoŻenia
" Do Ęwiadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zbiór zdarzeł
elementarnych i zdarze-
nie losowe
" Cz´ stoĘç zdarzenia
" Praw dopodobieł
stwo i jego w"asnoĘci (definicja klasyczna prawdopodobieł
stwa)
" Za dania z wykorzystaniem definicji klasycznej, w"asnoĘci i drzewa
" Elementy statystyki opisowej  Ęrednie, wariancja i odchylenie standardowe (liczone
z próby)
WiadomoĘci i umiej´tnoĘci
Uczeł
:
 rozwiązuje proste zadania kombinatoryczne, niewymagające uŻycia wzorów, stosuje
regu"´ mnoÅ»enia,
 zna podstawowe poj´cia probabilistyczne (doĘwiadczenie losowe, zdarzenie elemen-
tarne, zbiór zdarzeł
elementarnych, zdarzenie losowe),
 zna i rozumie poj´cia: cz´stoĘç i prawdopodobieÅ‚
stwo zdarzenia (model klasyczny),
 ob licza prawdopodobieł
stwa zdarzenia na podstawie definicji klasycznej lub za po-
mocÄ… drzewa,
 stosuje w"asnoĘci prawdopodobieł
stwa do rozwiązywania zadał
,
 wyznacza Ęrednie: arytmetycznÄ…, waÅ»onÄ…, dominant´, median´ oraz wariancj´ i od-
chylenie standardowe (liczone z próby),
 odczytuje dane z tabel, diagramów, wykresów, przeprowadza ich analiz´ iloĘciowÄ…,
 przedstawia dane w postaci tabel, diagramów, wykresów.
WŻyciu. Uczeł
:
 rozwiÄ…zuje praktyczne problemy z wykorzystaniem kombinatoryki, na przyk"ad ile de-
legacji utworzyç, aby si´ zakwalifikowaç do...),
 ob licza szanse zdarzenia w sytuacjach Å»yciowych: na przyklad kolejnoĘç zawodników
w grze a szanse wygrania,
 odczytuje dane z tabel, wykresów i diagramów, potrafi je analizowaç.
21
VII. Szczegó"owy rozk"ad materia"u
Przy kaÅ»dej jednostce tematycznej zaproponowano liczb´ godzin lekcyjnych przezna-
czonych na jej realizacj´, podajÄ…c kolejne numery lekcji.
KLASA I
(3 godziny tygodniowo)
I. Liczby rzeczywiste i wyraŻenia algebraiczne
1 2. Zbiory, dzia"ania na zbiorach
3. Liczby naturalne i liczby ca"kowite
4 5. Dzia"ania na liczbach wymiernych
6. Rozwini´cia dziesi´tne liczb rzeczywistych (zamiana u"amków zwyk"ych na dziesi´t-
ne i u"amków okresowych na zwyk"e)
7. Liczby niewymierne
8. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
9. WyraŻenia algebraiczne
10. Wzory skróconego mnoÅ»enia na kwadrat sumy lub róŻnicy oraz róŻnic´ kwadratów
11. Wzory skróconego mnoÅ»enia na szeĘcian sumy lub róŻnicy oraz na sum´ lub róŻni-
c´ szeĘcianów
12. Wykonywanie dzia "ał
na wy raŻeniach algebraicznych z za stosowaniem wzo rów
skróconego mnoŻenia
13 14. Pot´ga o wyk"adniku ca"kowitym, prawa dzia"aÅ‚
na pot´gach
15. Pierwiastek arytmetyczny stopnia n
16. Usuwanie niewymiernoĘci z mianownika
17 18. Dzia"ania na pierwiastkach arytmetycznych
19 20. Pot´ga o wyk"adniku wymiernym
21. OĘ liczbowa. P"aszczyzna z uk"adem wspó"rz´dnych
22 23. Przedzia"y liczbowe. Dzia"ania na przedzia"ach liczbowych
24. WartoĘç bezwzgl´dna liczby rzeczywistej
25 26. Interpretacja geometryczna wartoĘci bezwzgl´dnej liczby i jej w"asnoĘci
27 28. Procenty i punkty procentowe
29. Procent sk"adany
30. Zastosowanie procentów do obliczeł
bankowych
31. B"ąd przybliŻenia. Szacowanie wartoĘci liczbowych wyraŻeł

32 33. Praca klasowa i jej omówienie
II. Funkcje
1. Poj´cie funkcji i jej dziedzina, sposoby przedstawiania i zapisywania funkcji
2. Wykres funkcji
3. Zbiór wartoĘci funkcji: miejsce zerowe funkcji i jej znak
4. Najmniejsza i najwi´ksza wartoĘç funkcji w dziedzinie i w przedziale domkni´tym
5. MonotonicznoĘç funkcji
6 7. Odczytywanie z wykresu w"asnoĘci funkcji
8. Opi sywanie za leŻnoĘci w Życiu codziennym, przy rodzie, go spodarce za pomocą
funkcji
9 10. Przesuni´cie wykresu funkcji wzd"uÅ» osi uk"adu wspó"rz´dnych
11. Przekszta"cenia wykresu funkcji przez symetri´ wzgl´dem osi uk"adu wspó"rz´dnych
12 13. Praca klasowa i jej omówienie
22
III. Trygonometria
1 2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
3. WartoĘci funkcji trygonometrycznych kÄ…tów 30°, 45°, 60°
4 7. Rozwiązywanie zadał
geometrycznych z wykorzystaniem funkcji trygonometrycz-
nych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
8 9. ZwiÄ…zki mi´dzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kÄ…ta
10. Wyznaczanie wartoĘci funkcji trygonomertycznych kąta na podstawie jednej z nich
11 12. Dowodzenie toŻsamoĘci trygonometrycznych
13 14. Praca klasowa i jej omówienie
IV. Funkcja liniowa
1. Funkcja okreĘlona wzorem f(x) = ax, xe R
2. WielkoĘci wprost proporcjonalne
3. Funkcja okreĘlona wzorem f(x) = ax + b, xe R
4. Rozwiązywanie zadał
dotyczÄ…cych funkcji liniowej
5 6. Równania i nierównoĘci liniowe z jedną niewiadomą oraz ich zastosowanie do roz-
wiązywania zadał

7. Uk"ady nierównoĘci stopnia pierwszego z jedną niewiadomą
8 9. Równania i nierównoĘci liniowe z wartoĘciÄ… bezwzgl´dnÄ…
10. Uk"ady równał
stopnia pierwszego z dwoma niewiadomymi
11. Interpretacja graficzna uk"adów równał
stopnia pierwszego z dwiema niewiado-
mymi (uk"ady równał
zaleŻnych, niezaleŻnych, sprzecznych)
12 13. Rozwiązywanie zadał
prowadzących do uk"adów równał
stopnia pierwszego
z dwiema niewiadomymi
14 15. Praca klasowa i jej omówienie
V. Funkcja kwadratowa
2
1. Funkcja okreĘlona wzorem f(x) = ax , xe R ( a! 0)
2. Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej
3. Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej
4 5. Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowych i odczytywanie na ich podstawie
w"asnoĘci (sprowadzanie wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do kanonicz-
nej)
6 7. Miejsca zerowe (pierwiastki) funkcji kwadratowej. Funkcja kwadratowa w postaci
iloczynowej
8 9. Najmniejsza i najwi´ksza wartoĘç funkcji kwadratowej w dziedzinie i w przedziale
domkni´tym
10 11. Wykorzystanie w"asnoĘci funkcji kwadratowej i jej wykresu do rozwiązywania za-
dał
optymalizacyjnych
12. Rozwiązywanie równał
kwadratowych niezupe"nych
13. Rozwiązywanie równał
kwadratowych zupe"nych przez rozk"ad trójmianu kwadra-
towego na iloczyn
14 15. Rozwiązywanie równał
kwadratowych z zastosowaniem wzorów i równał
spro-
wadzalnych do równał
kwadratowych
16 17. NierównoĘci kwadratowe
18 19. Uk"ady równał
, z których co najmniej jedno jest stopnia drugiego
20 22. Rozwiązywanie zadał
tekstowych prowadzących do równał
i nierównoĘci kwa-
dratowych
23 24. Praca klasowa i jej omówienie
23
KLASA II
(3 godziny tygodniowo)
I. Wie lomiany
1. Wielomian stopnia n. RównoĘç wielomianów
2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów
3. MnoŻenie wielomianów
4. Wykonywanie dzia"ał
"Ä…cznych na wielomianach
5 6. Pierwiastki wielomianu
7 8. Rozk"ad wielomianu na czynniki
9 10. Równania wielomianowe
11 12. Zadania z tekstem prowadzące do równał
i nierównoĘci wielomianowych
13 14. Praca klasowa i jej omówienie
II. Funkcje wymierne
1. WyraŻenia wymierne. OkreĘlenie dziedziny wyraŻenia
2. Obliczanie wartoĘci liczbowej wyraŻeł
wymiernych
3 4. Skracanie i rozszerzanie wyraŻeł
wymiernych
5 6. MnoŻenie i dzielenie wyraŻeł
wymiernych
7 8. Dodawanie i odejmowanie wyraŻeł
wymiernych
9 10. Dzia"ania "ączne na wyraŻeniach wymiernych
a
11. Funkcja okreĘlona wzorem f(x)= , x ! 0
x
12. WielkoĘci odwrotnie proporcjonalne
13 14. Rozwiązywanie równał
wymiernych
15 16. Rozwiązywanie zadał
tekstowych prowadzących do równał
wymiernych
17 18. Praca klasowa i jej omówienie
III. CiÄ…gi liczbowe
1. Poj´cie ciÄ…gu liczbowego i jego przyk"ady
2. CiÄ…gi monotoniczne
3. Odczytywanie wlasnoĘci ciągu z jego wykresu
4 5. OkreĘlenie ciągu arytmetycznego, wzór ogólny
6 7. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
8 10. CiÄ…g arytmetyczny w zadaniach
11 12. OkreĘlenie ciągu geometrycznego, wzór ogólny
13 14. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
15 17. CiÄ…g geometryczny w zadaniach
18 20. Rozwiązywanie zadał
"ącznych dotyczących ciągów arytmetycznego i geome-
trycznego
21 22. Praca klasowa i jej omówienie
IV. Elementy geometrii p"aszczyzny
1. Podstawowe poj´cia planimetrii
2. Poj´cie i w"asnoĘci odleg"oĘci mi´dzy punktami, wspó"liniowoĘç punktów
3. OkrÄ…g i ko"o
4 5. KÄ…ty zwiÄ…zane z okr´giem (Ęrodkowy, wpisany, mi´dzy stycznÄ… a ci´ciwÄ…)
6. OĘ i Ęrodek symetrii figury, symetralna odcinka i dwusieczna kąta
7. Trójkąty i ich wielkoĘci charakterystyczne
8 9. Pole trójkąta
10. Czworokąty, w"asnoĘci czworokątów wypuk"ych
24
11 12. Pola czworokątów
13. Figury przystajÄ…ce i figury podobne
14. Cechy przystawania trójkątów
15. Cechy podobieł
stwa trójkątów
16 17. Zastosowanie cech przystawania i podobieł
stwa trójkątów do rozwiązywania
zadał

18. Twierdzenie Talesa i twierdzenia odwrotne do niego
19. Związek twierdzenia Talesa z podobieł
stwem
20 21. Rozwiązywanie problemów teo retycznych lub praktycznych z zastosowaniem
podobieł
stwa i twierdzenia Talesa
22 26. Zastosowanie trygonometrii do rozwiązywania zagadnieł
z planimetrii
27 28. Praca klasowa i jej omówienie
V. Geometria analityczna
1. Przypomnienie wiadomoĘci o funkcji liniowej. Równanie kierunkowe prostej
2 3. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
4. Równanie ogólne prostej
5. Warunek równoleg"oĘci i warunek prostopad"oĘci prostych w uj´ciu analitycznym
6 7. Proste równoleg"e i proste prostopad"e w zadaniach
8 9. Odleg"oĘç mi´dzy punktami na osi i odleg"oĘç w uk"adzie wspó"rz´dnych
10. Odleg"oĘç mi´dzy punktem i prostÄ… oraz mi´dzy prostymi równoleg"ymi
11. Wspó"rz´dne Ęrodka odcinka
12. Równanie opisujące okrąg
13. Równanie okr´gu w zadaniach
14 15. Rozwiązywanie zadał
utrwalających wiadomoĘci z geometrii analitycznej
16 17. Praca klasowa i jej omówienie
KLASA III
(3 godziny tygodniowo)
I. Funkcja wyk"adnicza i logarytmy
1. Przypomnienie wiadomoĘci o pot´gach o wyk"adniku wymiernym
2. Pot´ga o wyk"adniku rzeczywistym
3 4. Wykonywanie dzia"ał
"Ä…cznych na pot´gach
5. Poj´cie funkcji wykladniczej, jej wykres i w"asnoĘci
6. Rozwiązywanie zadał
zwiÄ…zanych z funkcjÄ… wyk"adniczÄ…
7. Poj´cie logarytmu
8 9. podstawowe w"asnoĘci logarytmów
10 11. Praca klasowa i jej omówienie
II. Stereometria
1. Równoleg"oĘç prostych i p"aszczyzn w przestrzeni
2. Prostopad"oĘç prostych i p"aszczyzn w przestrzeni
3. Kąt prostej z p"aszczyzną i kąt dwuĘcienny
4. Poj´cie wieloĘcianu, kÄ…ty w wieloĘcianach
5. OkreĘlenie i budowa graniastos"upów, siatki graniastos"upów
6. Graniastos"upy prawid"owe
7. Pole powierzchni i obj´toĘç graniastos"upa
8 11. Obliczanie pola powierzchni i obj´toĘci graniastos"upa z zastosowaniem trygo-
nometrii
12. OkreĘlenie i budowa ostros"upa, siatki ostros"upa
25
13. Ostros"upy prawid"owe
14. Pole powierzchni i obj´toĘç ostros"upa
15 20. Ob liczanie po la powierzchni i ob j´toĘci ostros"upa z zastosowaniem trygono-
metrii
21. OkreĘlenie i budowa bry"y obrotowej (walec, stoŻek, kula)
22. Pole powierzchni i obj´toĘç figury obrotowej (walec, stoÅ»ek, kula)
23 26. Obliczanie pola powierzchni i obj´toĘci bry"y obrotowej
27 28. Pro jektowanie w"asnych rozwiązał
architektonicznych z wykorzystaniem po -
znanych bry"
29 30. Praca klasowa i jej omówienie
III. Rachunek prawdopodobieł
stwa i statystyka
1. Przyk"ady zadał
kombinatorycznych. Zasada mnoŻenia
2 3. DoĘwiadczenie losowe. Zdarzenie elementarne. Zbiór zdarzeł
elementarnych
4. Zdarzenia losowe. Relacje mi´dzy zdarzeniami
5. Definicja klasyczna prawdopodobieł
stwa
6. W"asnoĘci prawdopodobieł
stwa
7 10. Obliczanie prawdopodobieł
stwa zdarzenia na podstawie definicji i jego w"asno-
Ęci
11 12. Obliczanie prawdopodobieł
stwa zdarzenia za pomocÄ… drzewa
13. Prezentacja danych w postaci tabel, diagramów i wykresów
14. Ârednia arytmetyczna i Ęrednia arytmetyczna waÅ»ona
15. Mediana i dominanta
16-17. Wariancja i odchylenie standardowe liczone z próby
18 19. Praca klasowa i jej omówienie
IV. Powtórzenie wiadomoĘci
Na powtórzenie wiadomoĘci przewidziano 20 godzin.
VIII. Kontrola i ocena osiÄ…gni´ç ucznia, kryteria oceny z matematyki
W liceum ogólnokszta"cÄ…cym, liceum profilowanym i technikum stosuje si´ standardo-
we metody oceniania: bieŻące i okresowe (roczne). Metody bieŻące to oceny z odpowie-
dzi ustnych, zadał
domowych, sprawdzianów, testów, prac klasowych i ocena z aktyw-
noĘci ucznia w trakcie lekcji. SzczególnÄ… uwag´ nauczyciel powinien zwróciç na ocen´
z aktywnoĘci. NaleÅ»y dokonywaç jej moÅ»liwie najcz´Ä˜ciej, jest ona bowiem jednym z czyn-
ników zewn´trznych najbardziej motywujÄ…cych ucznia. Systematyczne ocenianie pozwa-
la na kontrol´ post´pów w nauce i pe"ni rol´ informacyjnÄ… dla ucznia, nauczyciela i rodzi-
ca. Oce na okresowa na tomiast w g"ów nej mierze in formuje o stop niu re alizacji
za"oŻonych celów kszta"cenia.
OceniajÄ…c ucznia, sprawdzamy poziom jego wiedzy i umiej´tnoĘci. Jako podstawowe
kryterium oceny moÅ»emy przyjÄ…ç poziom wiedzy odnoszÄ…cy si´ do wymagaÅ‚
na ocen´
dopuszczajÄ…cÄ… i dostatecznÄ…, które okreĘlajÄ… znajomoĘç poj´ç, definicji, twierdzeÅ‚
, regu"
i ich zrozumienie. W wypadku wymagał
ponadpodstawowych (na ocen´ dobrÄ… i wyÅ»szÄ…)
egzekwujemy równieÅ» umiej´tnoĘci, sprawdzamy, jak uczeÅ‚
wykorzystuje swÄ… wiedz´: jak
dedukuje, interpretuje dane, jak orientuje si´ w przestrzeni trójwymiarowej itp. Dla lep-
szego rozeznania proponujemy przypomnienie wspó"czesnej taksonomii celów kszta"ce-
nia w matematyce.
26
Czasowniki
Taksonomia celów kszta"cenia w matematyce
operacyjne
Poziom Przyswojenie (zapami´tanie) wiadomoĘci: nazywaç
wiadomoĘci znajomoĘç kryteriów, faktów identyfikowaç
znajomoĘç terminologii wymieniaç
uÅ»ywanie prostych algorytmów wyliczaç
definiowaç
Rozumienie wiadomoĘci: streĘciç
znajomoĘç poj´ç (definicji) wyjaĘniç
znajomoĘç regu", zasad i twierdzeÅ‚
zilustrowaç
znajomoĘç struktur matematycznych rozróŻniç
umiej´tnoĘç zamiany formy zdania na równowaÅ»nÄ…
umiej´tnoĘç Ęledzenia rozumowania
odczytywanie i interpretowanie problemu
Poziom Zastosowanie wiadomoĘci w sytuacjach typowych: rozwiÄ…zaç
umiej´tnoĘci umiej´tnoĘç rozwiÄ…zywania zadaÅ‚
wed"ug podane- skonstruowaç
go wzorca zastosowaç
dokonywanie porównał
porównaç
analizowanie danych sklasyfikowaç
rozpoznawanie modeli, wzorców i symetrii narysowaç
zmierzyç
wybraç sposób
okreĘliç
zaprojektowaç
Zastosowanie wiadomoĘci w sy tuacjach proble- dowieĘç
mowych: przewidzieç
rozwiązywanie zadał
nieschematycznych zanalizowaç
wykrywanie zaleÅ»noĘci wykryç
konstruowanie i analiza dowodów oceniç
umiej´tnoĘç dokonywania i uzasadniania uogólnieÅ‚
zaplanowaç
zaproponowaç
Kryteria oceny z matematyki, obj´te wewnÄ…trzszkolnymi zasadami oceniania, sÄ… precy-
zowane przez szczegó"owe wymagania przedmiotowego systemu oceniania. Standardo-
we przedzia"y, okreĘlajÄ…ce poziom wiadomoĘci i umie j´tnoĘci na poszczególne stopnie
szkolne, przedstawiajÄ… si´ nast´pujÄ…co:
0% 29%  ocena niedostateczna,
30% 49%  ocena dopuszczajÄ…ca,
50% 74%  ocena dostateczna,
75% 89%  ocena dobra,
90% 97%  ocena bardzo dobra,
98% i wi´cej  ocena celujÄ…ca.
NaleÅ»y przez to rozumieç, Å»e ocena czÄ…stkowa, zarówno z odpowiedzi ustnych, jak i pi-
semnych, oraz w konsekwencji ocena okresowa (roczna), uzaleŻnione są od stopnia przy-
swojenia wiadomoĘci i umiej´tnoĘci, które zosta"y okreĘlone procentowo.
27
Ogólne kryteria oceny z matematyki mogÄ… si´ przedstawiaç nast´pujÄ…co:
a) ocena celujÄ…ca
Otrzymuje ją uczeł
, któ rego wiedza znacznie wykracza poza obowiązujący program
nauczania i który spe"nia co najmniej dwa spoĘród warunków:
 pomys"owo i oryginalnie rozwiÄ…zuje nietypowe zadania,
 wykazuje ponadprzeci´tne za interesowanie przedmiotem, star tuje w kon kursach
i olimpiadach przedmiotowych,
 samodzielnie formu"uje nowe problemy i z dobrym skutkiem je rozwiÄ…zuje,
 z zaangaÅ»owaniem uczestniczy w róŻnych formach zaj´ç pozalekcyjnych,
 osiąga wyniki prac pisemnych, odpowiedzi na poziomie 98% i powyŻej.
b) ocena bardzo dobra
Otrzymuje ją uczeł
, który opanowa" pe"en zakres wiadomoĘci obj´ty programem na-
uczania, oraz:
 sprawnie przeprowadza rachunki,
 umie w pe"ni samodzielnie rozwiÄ…zywaç zadania,
 poprawnie pos"uguje si´ j´zykiem matematycznym,
 zna dobrze definicje i twierdzenia i umie si´ nimi pos"ugiwaç,
 osiąga wyniki prac pisemnych, odpowiedzi na poziomie 90% i powyŻej,
 ma wyobraÄ™ni´ geometrycznÄ….
c) ocena dobra
Otrzymuje ją uczeł
, któ ry opanowa" wiadomoĘci z zakresu pod stawy programowej
oraz wybrane elementy obowiÄ…zujÄ…cego w danej klasie programu nauczania, a ponadto:
 zna i rozumie podstawowe poj´cia,
 przeprowadza proste rozumowania dedukcyjne,
 sprawnie przeprowadza rachunki,
 osiąga wyniki prac pisemnych, odpowiedzi na poziomie 75% i powyŻej,
 samodzielnie rozwiÄ…zuje zadania typowe.
d) ocena dostateczna
Otrzymuje ją uczeł
, który:
 samodzielnie lub z niewielką pomocą nauczyciela rozwiązuje zadania o Ęrednim stop-
niu trudnoĘci,
 skutecznie przeprowadza rachunki (niekoniecznie sprawnie),
 osiąga wyniki prac pisemnych, odpowiedzi na poziomie 50% i powyŻej,
 zna podstawowe poj´cia matematyczne.
e) ocena dopuszczajÄ…ca
Otrzymuje ją uczeł
, który:
 samodzielnie lub z niewielkÄ… pomocÄ… nauczyciela rozwiÄ…zuje zadania o niewielkim
stopniu trudnoĘci,
 zna i rozumie najprostsze poj´cia matematyczne,
 poprawnie wykonuje proste operacje arytmetyczne,
 osiąga wyniki prac pisemnych, odpowiedzi na poziomie 30% i powyŻej,
 wykazuje ch´ç wspó"pracy w celu uzupe"nienia braków.
Na ocen´ niedostatecznÄ… nie formu"ujemy Å»adnych kry teriów. Otrzymuje jÄ… uczeÅ‚
,
który nie spe"nia kryteriów na ocen´ dopuszczajÄ…cÄ….
28
IX. Propozycja metod oceniania
KaÅ»da szko "a ma swój wewn´trzny regulamin oceny czÄ…stkowej i okresowej, zawarty
w statucie szko"y, któ remu podporządkowane są za sady przedmiotowego oceniania.
Oprócz tradycyjnego (wyraÅ»onego stopniem) systemu oceniania coraz cz´Ä˜ciej, szczegól-
nie w wypadku przedmiotów Ęcis"ych, stosuje si´ system punktowy. Oto propozycja:
 niedostateczna  od 0% do 29%,
 dopuszczajÄ…ca  od 30% do 49%,
 dostateczna  od 50% do 74%,
 dobra  od 75% do 89%,
 bardzo dobra  od 90% do 97%,
 ce lujÄ…cy  od 98% do 100%.
Nauczyciel, informujÄ…c uczniów i rodziców, ustala przewidywanÄ… liczb´ ocen czÄ…stko-
wych. MogÄ… to byç na przyk"ad na przyk"ad: dwie oceny z odpowiedzi, trzy sprawdziany,
jedno zadanie klasowe, jeden test. Ocenom tym przypisuje nast´pnie wagi (rangi) punk-
towe, to znaczy maksymalne liczby punktów, jakie moÅ»na uzyskaç  tym wi´cej punktów,
im bardziej znaczÄ…ca ocena, przyk"adowo:
Odpo- Odpo- Spraw- Spraw- Spraw- Zadanie Test AktywnoĘç
wiedÄ™ wiedÄ™ dzian dzian dzian klasowe
1 2 1 2 3 (dodatkowe
30 pkt 30 pkt 20 pkt 30 pkt 15 pkt 60 pkt 40 pkt punkty)
ChcÄ…c wy stawiç ocen´ okre dzie limy sum´ punk tów zdobytych przez ucznia
sowÄ…,
przez sum´ punktów, które móg" otrzymaç, i tak na przyk"ad:
IloĘç punktów
1. 22  7 22 11 49 21 6 140/195 = 0,72
2. 12 27  7 13 22 16 2 99/205 = 0,48
3. 7  16  (0) 5 19  0 47/185 = 0,25
Maksymalna
liczba
30 30 20 30 15 60 40
punktów
29
we
na
dzian
dzian
dzian
da
Test
Oce
po
po
Za
nie
kla so
Ak tyw noĘç
Uczeł

Od
wiedÄ™ 1
Od
wiedÄ™ 2
Spraw
1
Spraw
2
Spraw
3
Uczeł
pierwszy by" jeden raz pytany, pisa" wszystkie sprawdziany, jest stosunkowo aktyw-
ny, a dla podniesienia Ęredniej moÅ»na mu na przyk"ad nie wliczaç najs"abszej pracy (przywilej
tych, którzy byli obecni na wszystkich pracach pisemnych), wtedy ma 131/175 = 0,75 punk-
tu, co daje ocen´ okresowÄ… dobrÄ… (s"aby dobry).
Uczeł
drugi, pytany dwa razy, nie pisa" jednego sprawdzianu (do Ęredniej wliczamy
wszystkie oceny czÄ…stkowe z prac pisemnych), otrzymuje ocen´ dopuszczajÄ…cÄ… (mocny
dopuszczajÄ…cy)  moÅ»na si´ zastanowiç nad ewentualnÄ… moÅ»liwoĘciÄ… poprawy na ocen´
wyŻszą.
Uczeł
trzeci opuĘci" dwie prace pisemne i Żadnej nie napisa" w terminie póęniejszym,
w związku z czym za jedną z nich nie otrzymuje Żadnego punktu, nie wykazywa" teŻ ak-
tywnoĘci w trakcie zaj´ç ani zainteresowania przedmiotem, stÄ…d ocena koÅ‚
cowa  niedo-
stateczna.
Zalety systemu punktowego
1. Uczeł
w kaÅ»dym momencie roku szkolnego zna swojÄ… aktualnÄ… ocen´ okresowÄ…. Wie,
jak powinien napisaç najbliÅ»szy sprawdzian, aby podnieĘç swojÄ… ĘredniÄ… albo jej nie ob-
niÅ»yç (nauczyciel nie musi mówiç, która ocena jest bardziej znaczÄ…ca  to zosta"o okre-
Ęlone przez nadanie jej wagi punktowej).
2. Dzi´ki zastosowaniu tego systemu nauczyciel dysponuje szerszÄ… skalÄ… punktowÄ…  oce-
na staje si´ wi´c bardziej obiektywna, a punktów ze sprawdzianu nie musi przeliczaç
na ocen´, lecz wpisuje je bezpoĘrednio do dziennika (w rubryce na górze bÄ…dÄ™ na do-
le wpisuje si´ tylko maksymalne pu"apy).
3. Po zakoł
czeniu pierwszego okresu uczeł
automatycznie otrzymuje jednÄ… ocen´ czÄ…st-
kowÄ…, której nauczyciel nadaje rang´ 100 (duÅ»y wp"yw na ocen´ rocznÄ…)  jest to oce-
na za pierwszy okres (i tak np. 48% to 48 pkt).
4. Uczniowie nie przeŻywają jako poraŻki róŻnicy 2 punktów na sprawdzianie lub w trak-
cie odpowiedzi, jak w sytuacji, gdy dostajÄ… dostatecznÄ… z plusem, a mogli mieç ocen´
dobrą z minusem. Ocena jest bardziej sprawiedliwa  róŻnica 2 punktów na 40 nie jest
traktowana jak jeden stopieł
w skali szeĘciostopniowej, tym bardziej Że moŻna ją zni-
welowaç, na przyk"ad aktywnoĘciÄ….
5. Nauczyciel nie ma Żadnych problemów z wystawianiem ocen okresowych, uczniowie
sami o nich informują, gdyŻ znają regu"y ich okreĘlania.
6. MocnÄ… stronÄ… systemu punktowego jest moÅ»liwoĘç poprawy oceny ze sprawdzianu czy
pracy klasowej aktywnoĘciÄ… na zaj´ciach. Dzi´ki dodatkowym punktom za aktywnoĘç,
których nie wlicza si´ do mianownika oceny okresowej, kaÅ»de 2, 3 stracone punkty
moÅ»na nadrobiç aktywnoĘciÄ…. Procentuje to szczególnie, gdy uczeÅ‚
ma tego Ęwiado-
moĘç.
7. Dzi´ki systemowi punktowemu, uczniowie lepiej przyswajajÄ… sobie obliczenia procen-
towe.
Wady systemu punktowego
Wprowadzenie systemu punktowego wymaga zmiany przyzwyczajeł
, i to uczniów, jak
i nauczyciela, który byç moÅ»e stosowa" do tej pory tradycyjny system oceniania. System
punktowy jest jednak "atwy do zastosowania.
30
NOTATKI
31