plik


ÿþ PRZYKAADY CIGÓW Przyjrzyj si tabelkom przedstawio- Kolejno[ Kolejno[ nym obok. W pierwszej uporzdko- paDstw ONZ paDstw ONZ wano kraje ONZ ze wzgldu na ich wg powierzchni wg liczby ludno[ci powierzchni, a w drugiej  ze wzgl- w 2012 roku w 2012 roku du na liczb ludno[ci. Z ka|dej tabeli Lp. PaDstwo Lp. PaDstwo Batwo odczyta, który z krajów jest wwybranej klasyfikacji pierwszy, któ- 1 Rosja 1 Chiny ry drugi, a który ostatni. 2 Kanada 2 Indie Gdy pewne elementy ustawimy w ko- 3 Chiny 3 USA lejno[ci tak, |e wiadomo, który ele- 4 USA 4 Indonezja ment jest pierwszy, który drugi, który 5 Brazylia 5 Brazylia trzeci itd., to mówimy, |e utworzyli- [my cig. Tak ponumerowane elemen- 6 Australia 6 Pakistan ty nazywamy wyrazami cigu. 7 Indie 7 Nigeria W tabelkach s przedstawione dwa 8 Argentyna 8 Bangladesz ró|ne cigi paDstw. Jak wida, w wy- 9 Kazachstan 9 Rosja padku cigu wa|ne jest nie tylko to, 10 Algieria 10 Japonia z jakich wyrazów si skBada, ale te| . . . .  w jakiej kolejno[ci te wyrazy wy- . . stpuj. 70 Polska 33 Polska 71 Oman 34 Algieria 1. Wska| w ka|dym z cigów przed- A 72 WBochy 35 Kanada stawionych w tabelkach obok wyrazy: . . drugi i dziewity. . . . . 2. Którym wyrazem jest Polska? 192 Nauru 192 Tuvalu 3. Ile wyrazów ma ka|dy z tych cigów? 193 Monako 193 Nauru 4. Ile wyrazów cigu znajduje si mi- dzy Chinami a Polsk w pierwszym cigu, a ile  w drugim? Poni|ej podajemy kilka przykBadów ró|nych cigów. Zwró uwag, |e wy- razy cigu mog si powtarza. Cig nazw miast  gospodarzy igrzysk olimpijskich od roku 1896 do roku 2012: Ateny, Pary|, St. Louis, Londyn, .... , Sydney, Ateny, Pekin, Londyn Cig dystynkcji oficerskich w marynarce wojennej (pierwsze z nich nosi podporucznik, a ostatnie  admiraB): 268 CIGI CIGÓW Y AD PRZYKA Cig kolejnych liter sBowa matematyka w alfabecie semaforowym: Cig kolejnych znaków numeru rejestracyjnego pewnego samochodu: G, A, 7, 0, 4, 0, N Cig figur budowanych z zapaBek: Cig liczb naturalnych podzielnych przez 11: 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132, . . . Dwa ostatnie z podanych cigów maj nieskoDczenie wiele wyrazów. Takie cigi nazywamy cigami nieskoDczonymi. Gdy cig skBada si ze skoDczo- nej liczby wyrazów, nazywamy go cigiem skoDczonym. Wyrazy cigu s ponumerowane  kolejnym liczbom naturalnym odpo- wiadaj kolejne wyrazy cigu (liczbie 1 odpowiada pierwszy wyraz cigu, liczbie 2  drugi, liczbie 3  trzeci itd.). Mo|emy wic powiedzie, |e wyrazy cigu to warto[ci pewnej funkcji okre[lonej na zbiorze liczb natu- ralnych dodatnich lub na jego skoDczonym podzbiorze {1, 2, 3, 4, ..., k}. Wyrazy cigu oznaczamy zwykle za pomoc maBych liter z indeksem, na przykBad a1, a7, an (indeks jest dodatni liczb naturaln); a1 oznacza pierwszy wyraz cigu, a7  siódmy, a an to n-ty wyraz cigu. Cig a1, a2, a3, a4, ... , a100, a101, . .. oznacza bdziemy symbolem (an). Ten cig to taka funkcja f , której dziedzin jest zbiór liczb naturalnych dodatnich oraz f (n) =an, czyli: f (1) = a1, f (2) = a2, f (3) = a3, ... , f (100) = = a100, f (101) = a101, ... Uwaga. Symbolu (an) u|ywa bdziemy do oznaczania zarówno cigów nieskoD- czonych, jak i cigów skoDczonych. Cigi, których wszystkie wyrazy s liczbami, nazywamy cigami liczbowy- mi. Oto kilka przykBadów cigów liczbowych: 1 1 1 1, , 3, , 5, , 7, ... 2 4 6 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, . . . -1, -2, 3, 4, -5, -6, 7, 8, . . . " " " " " " " " " " 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, . . . PRZYKAADY CIGÓW 269 W ka|dym z cigów liczbowych zapisanych na poprzedniej stronie kolejne B wyrazy powstaj wedBug pewnej reguBy. Spróbuj odgadn t reguB i napisz trzy nastpne wyrazy ka|dego z tych cigów. Niektóre reguBy powstawania kolejnych wyrazów cigu mo|na opisa za pomoc ogólnego wzoru przedstawiajcego zale|no[ wyrazu an od licz- by n. Na przykBad cig kolejnych liczb naturalnych parzystych: 0, 2, 4, 6, 8, 10, . . . mo|na opisa za pomoc wzoru: an =2(n -1) Korzystajc z niego, mo|na obliczy dowolny wyraz cigu, na przykBad setny lub piset jedenasty: a100 = 2(100 - 1) = 198 a511 = 2(511 - 1) = 1020 Poni|ej podajemy przykBady kilku cigów liczbowych oraz wzory opisujce te cigi. Cig Wzór ogólny 1 2 3 4 5 n , , , , , ... an = 2 3 4 5 6 n +1 " " " 1, 2, 2, 2 2, 4, . . . bn =( 2)n-1 1, -1, 1, -1, 1, . . . cn = (-1)n+1 2, 6, 12, 20, 30, . . . dn = n(n +1) 5, 5, 5, 5, . . . en =5 1. Oblicz pidziesity i dwusetny wyraz ka|dego z powy|szych cigów. C n+1 2. Korzystajc z pierwszego wzoru, mo|emy otrzyma równo[ an+1 = . n+2 Zapisz w podobny sposób liczby: dn +1 en -1 +1 + en bn+1, cn-1, dn+1, c2n, an+1 - an, dn-1 · dn, , dn 2 Cig mo|na okre[li, podajc pierwszy wyraz (lub kilka pocztkowych) i wzór pozwalajcy obliczy wyraz an+1 na podstawie jednego lub wicej wyrazów poprzednich. Ten sposób opisywania cigu nazywamy rekuren- cyjnym. Rozwa|my cig liczb: Pierwszy wyraz tego cigu jest równy 10 (a1 = 10), drugi wyraz jest o 1 wikszy od pierwszego (a2 = a1 + 1), trzeci wyraz jest o 2 wikszy od drugiego (a3 = a2 + 2) itd. Cig ten mo|na okre[li za pomoc wzoru rekurencyjnego: a1 = 10, an+1 = an + n. 270 CIGI Oto przykBady cigów opisanych za pomoc wzorów rekurencyjnych: Cig Wzór rekurencyjny -216, -220, -224, -228, . . . a1 = -216, an +1 = an -4 1, 11, 111, 1111, . . . b1 =1, bn +1 =10bn +1 dn + dn +1 1 1 3, 5, 4, 4 , 4 , ... d1 =3, d2 =5, dn +2 = 2 4 2 Je[li wyrazy cigu s liczbami, z których ka|da nastpna jest wiksza od poprzedniej, to cig nazywamy rosncym. W takim cigu dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów an i an+1 zachodzi nierówno[ an < an+1. Gdy wyrazy cigu s takimi liczbami, z których ka|da nastpna jest mniejsza od poprzedniej, to cig nazywamy malejcym. W takim cigu dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów an i an+1 zachodzi nierówno[ an+1 < an. Gdy wszystkie wyrazy cigu s jednakowe, to cig nazywamy cigiem sta- Bym. W cigu staBym dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów an i an+1 zachodzi równo[ an+1 = an. Podaj przykBad cigu rosncego, cigu malejcego oraz cigu, który nie jest D ani rosncy, ani malejcy, ani staBy. Aby sprawdzi monotoniczno[ cigu okre[lonego wzorem (tzn. spraw- dzi, czy jest on rosncy, malejcy czy staBy), wystarczy ustali znak ró|nicy an+1 - an. Je[li ró|nica ta jest dodatnia (niezale|nie od warto[ci n), to cig jest rosncy, gdy ujemna  malejcy, a gdy równa 0  staBy. P a) Zbadaj monotoniczno[ cigu: 2n an = n +1 2(n +1) 2n 2n +2 2n an+1 - an = - = - = (n +1) +1 n +1 n +2 n +1 (2n +2)(n +1) - 2n(n +2) 2n2 +2n +2n +2-2n2 -4n = = = (n +2)(n +1) (n +2)(n +1) Nierówno[ jest speBniona, gdy| dla 2 = >0 dowolnej liczby naturalnej dodatniej (n +2)(n +1) n liczby n +2 oraz n + 1 s dodatnie. 2n Poniewa| an+1 - an >0, wic an+1 > an. Zatem cig an = jest rosncy. n +1 b) Zbadaj monotoniczno[ cigu: an = n2 -8n +7 an+1 - an =(n +1)2 -8(n +1) +7-n2 +8n -7=2n -7 Warto[ wyra|enia 2n - 7 mo|e by liczb dodatni (np. dla n = 4) lub ujemn (np. dla n =3). Zatemcig an = n2 -8n + 7 nie jest ani rosncy, ani malejcy. PRZYKAADY CIGÓW 271 ZADANIA 1. Zapisz kilka ró|nych cigów utworzonych z liter twojego imienia. 2. Antoni SBonimski i Julian Tuwim w  Pracowitej pszczóBce  kalendarzyku encyklopedyczno informacyjnym na rok 1921 zamie[cili w[ród wielu innych dow- cipnych tekstów  Pierwszy spis alfabetyczny wszystkich liczb od 1 do 100 . UBó| podobny spis dla liczb naturalnych od 0 do 10. 3. Poni|sze znaki to cig kolejnych liczb naturalnych zapisanych po arabsku (pierwsza to 0). Zapisz szesnasty, dziewitnasty i pidziesity wyraz tego cigu. 4. Czy domy[lasz si, jakie mog by nastpne dwa wyrazy podanego cigu? a) pn., wt., [r., czw., pt., sob., nd., pn., . . . b) 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, . . . 366 365 365 365 366 365 365 c) , , , , , , , . . . 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 5. Oto przykBad BamigBówki rysunkowej. Jaka mogBaby by nastpna figura w tym cigu? 6. Ustal, ile wyrazów cigu (an) znajduje si midzy wyrazami: a) a27 i a33 b) a25 i a108 c) an i a2n d) an+1 i a3n 7. Podaj pierwsze trzy wyrazy, wyraz dziesity oraz jedenasty cigu okre[lonego nastpujco: a) n-tym wyrazem cigu jest liczba zer w liczbie 10n, b) an to ostatnia cyfra liczby 2n, c) n-ty wyraz cigu to liczba jedynek wystpujcych w zapisie (dziesitkowym) liczby n, d) an oznacza, ile liter wystpuje w zapisie liczby n sBowami. 8. Podaj pierwsze trzy wyrazy cigu okre[lonego wzorem: 1 a) an =-7n + c) an =-n3 +2n +5 e) an = (-3)n +3n n 2n +1 2n b) an = d) an =tg nÀ f) an = 2n -1 n2 272 CIGI 9. Poni|ej zapisano wzory ogólne trzech cigów: 1 n -1 2 an =(n -1)(n +3) bn =5n +4 cn = n +1 Zapisz wyra|enia przedstawiajce liczby: cn an +1, bn -1, c2n +1, an - a1, bn +1 - bn -1, cn -2 10. Wzór an = n2 - n + 41 okre[la cig, którego czterdzie[ci pocztkowych wyrazów to liczby pierwsze. Wzór ten podaB matematyk szwajcarski Leonhard Euler. a) Podaj kilka pocztkowych wyrazów cigu (an). b) Uzasadnij, |e a41 nie jest liczb pierwsz. W tabelce obok przedstawiono [rednie odlegBo[ci od SBoDca sze[ciu kolejnych planet, liczc od SBoDca. Jako Zrednia 1 jednostk odlegBo[ci przyjto jednostki astronomicz- Planeta odlegBo[ 10 1 od SBoDca nej (czyli [redniej odlegBo[ci Ziemi od SBoDca). 10 W 1772 roku niemiecki astronom Daniel Titius zauwa- Merkury 4 |yB, |e gdyby midzy liczby 16 i 52 wpisa jeszcze Wenus 7 liczb 28, to otrzymany cig mo|na by opisa prost Ziemia 10 reguB: a1 =4 i an =4+3· 2n-2 dla n e"2 Mars 16 Ku zaskoczeniu astronomów, dziki znacznie pózniej- Jowisz 52 szym obserwacjom, znaleziono midzy Marsem a Jowi- Saturn 100 szem pas planetoid, którego odlegBo[ od SBoDca odpo- wiada w tym cigu liczbie 28. 11. a) Przeczytaj ciekawostk. Planet Uran odkryto dopiero w 1781 roku i dlatego Titius nie uwzgldniB jej w swoich rozwa|aniach. Jednak liczba w cigu Titiusa odpowiadajca planecie nastpnej po Saturnie jest zdumiewajco bliska prawdziwej odlegBo[ci Urana od SBoDca. Znajdz t liczb. b) Neptun to nastpna po Uranie planeta. Znajduje si ona okoBo 30 razy dalej od SBoDca ni| Ziemia. Sprawdz, czy i t odlegBo[ pozwalaB przewidzie cig Titiusa. 2n 12. Cig jest okre[lony za pomoc wzoru: an = -8. 5 a) Którym wyrazem tego cigu jest liczba 0? 1 1 1 b) Czy wyrazami tego cigu s liczby , i ? 2 3 5 c) Które wyrazy tego cigu s wiksze od 10? d) Które wyrazy tego cigu s mniejsze od 13? 13. Wyrazami ka|dego z podanych cigów s kwadraty liczb caBkowitych. Znajdz wzory ogólne tych cigów. a) 1, 4, 9, 16, 25, . . . b) 0, 4, 16, 36, 64, . . . 4, 9, 16, 25, 36, . . . 9, 4, 1, 0, 1, 4, . . . 25, 36, 49, 64, 81, . . . 100, 81, 64, 49, 36, . . . PRZYKAADY CIGÓW 273 ci e k aw o stk a 14. Podaj wzór ogólny cigu: a) 1+51, 2+52, 3+53, . . . d) 1, 8, 27, 64, 125, . . . 1 2 3 4 5 b) 2, 4, 6, 8, 10, . . . e) , , , , , . . . 2 3 4 5 6 " " " " 1 1 1 3 2 5 6 7 " c) 1, , , , . . . f) , , " , , " , . . . 2 3 4 2 10 3 2 4 3 6 5 15. Niech Sk oznacza sum k pocztkowych wyrazów cigu (an), czyli: S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, Sk = a1 + a2 + . . . + ak. a) Znajdz S1, S2, S3 i S4 dla cigu (an) okre[lonego za pomoc wzoru an =2n. 5 b) Dla pewnego cigu (an) warto[ Sn mo|na obliczy ze wzoru Sn = n2 - . Oblicz n pierwszy oraz dziesity wyraz cigu (an). Znajdz wzór ogólny cigu (an). Wskazówka. an = Sn - Sn-1. 16. Wyka|, |e cig (an) jest rosncy, a cig (bn) malejcy: 3 1 a) an =4n -5, bn =- n - c) an = n2 +3n - 10, bn =-5n2 +10 4 3 n+1 7 1 2 b) an =- +1, bn = +2 d) an =5n+3, bn = n 2n 3 17. Wyka|, |e cig (an) nie jest ani rosncy, ani malejcy: 1 a) an = |5-n| b) an = c) an = n2 -6n d) an = (-2)n-1 n -9,5 18. Zbadaj monotoniczno[ cigu (an). n a) an =-2n +20 b) an =1+(-1)n c) an = d) an = n2 n +1 19. Zbadaj, czy podany cig jest cigiem staBym, czy nie jest. n a) an = (-1)n + (-1)n+1 b) bn = (-1)n - (-1)n c) cn = (-1)(-1) d) dn = ((-1)n)n+1 20. Przyjmijmy, |e wszystkie wyrazy cigu (an) s dodatnie. Czy na podstawie podanej nierówno[ci mo|na okre[li monotoniczno[ cigu (an)? an +1 an +1 a) <1 b) >2 c) an+1 > an +2 d) an+1 + an e"0 an an 21. Przyjmijmy, |e cig (an) jest rosncy. Wska| te cigi, które na pewn s rosnce. an bn = an +5 cn =-an dn = |an| rn = an + an+1 tn = 4 22. Wymy[l reguB rekurencyjn opisujc jaki[ cig i oblicz kilka pocztkowych wyrazów tego cigu. 23. Podaj cztery pierwsze wyrazy cigu okre[lonego rekurencyjnie: an a) a1 =90 i an+1 = +3 c) a1 =1 i an+1 =2an - n 3 b) a1 =-5 i an+1 = an +3(n -1)n+1 d) a1 = -2, a2 =2 i an+2 = an · an+1 274 CIGI 24. Podaj wzór rekurencyjny i ogólny cigu: a) 5, 10, 15, 20, 25, . . . b) 3a, 3a -1, 3a -2, 3a - 3, ... W roku 1202 Leonardo z Pizy, zwany Fi- Okazuje si, |e w ró|nych zjawiskach bonaccio (czyt. fibonaczio), opublikowaB przyrodniczych mo|na dostrzec cig Fi- sBynn  Ksig abaku , w której spisaB bonacciego. Ciekawe jest to, |e cig ten ówczesn wiedz matematyczn. W jed- jest [ci[le zwizany z czsto stosowa- nym z zadaD tej ksigi rozwa|aB pewien nym przez artystów tzw.  zBotym po- cig liczb, który (jak si pózniej oka- dziaBem i wynikajc z niego  zBot " 1+ 5 zaBo) ma niezwykBe wBasno[ci. W cigu liczb Õ = . Mo|na bowiem wyka- 2 tym pierwszy i drugi wyraz to 1, a ka|dy za, |e wzór ogólny cigu Fibonacciego nastpny jest sum dwóch poprzednich. jest nastpujcy: n Zatem: 1 1 " an = Õn - - Õ 5 a1 =1, a2 =1, an+2 = an + an+1. 25. a) Zapisz dziesi pocztkowych wyrazów cigu Fibonacciego. b) Je[li krowa rodzi swoje pierwsze ciel-jaBówk w wieku dwóch lat, a potem now jaBówk ka|dego roku, to ile krów bdzie po 12 latach  przy zaBo|eniu, |e |adna nie padnie? To zadanie podaB znany twórca BamigBówek H. Dudeney. PrzyjB on, |e ka|da jaBówka po 2 latach tak|e zacznie rodzi cielta  jaBówki. Sprawdz, |e liczby krów w kolejnych latach tworz cig Fibonacciego. c) Korzystajc z podanego w ciekawostce ogólnego wzoru cigu Fibonacciego, sprawdz, |e a1 = a2 = 1. PosBugujc si kalkulatorem, oblicz z tego wzoru a3 i a4. TEST T1. Cztery pocztkowe wyrazy cigu an = n + (-2)n to: A. -1, -2, -5, -12 B. 1, 5, 9, 13 C. -1, 6, -5, 20 D. -1, 6, -3, 12 T2. Wska| cig, którego jednym z wyrazów jest 2. n +8 2 A. an =2n +2 B. bn = C. cn =2n2 -2 D. dn = 2 8-n 5 T3. Cig jest okre[lony wzorem an = . OceD prawdziwo[ poni|szych zdaD. n +1 I Cig jest malejcy. TAK/NIE II Wszystkie wyrazy tego cigu s dodatnie. TAK/NIE III Dziewity wyraz tego cigu jest 10 razy wikszy ni| a99. TAK/NIE T4. Cig (an) jest okre[lony wzorem rekurencyjnym: a1 =0 an+1 =-2an +5 Pity wyraz tego cigu jest równy: A. -25 B. -5 C. 0 D. 15 PRZYKAADY CIGÓW 275 ci e k aw o stk a CIGI ARYTMETYCZNE Spróbuj odkry reguB, wedBug której powstaj kolejne wyrazy cigu. Podaj A dwa nastpne wyrazy. 1. 1, 11, 21, 31, 41, ... 3. 5, 3, 1, -1, -3, -5, ... 1 1 2 1 2. 1, , - , -1, -1 , -2 , ... 4. À, 3À, 5À, 7À, 9À, 11À, ... 3 3 3 3 W ka|dym z cigów przedstawionych w wiczeniu A kolejny wyraz po- wstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego pewnej liczby dodatniej albo ujemnej, zawsze takiej samej. Takie cigi nazywamy arytmetyczny- mi. Aby stwierdzi, czy cig jest arytmetyczny, wystarczy sprawdzi, czy ró|nice midzy kolejnymi jego wyrazami s jednakowe. Cig (an) nazywamy arytmetycznym, je[li ma co najmniej trzy wyrazy i ka|dy jego wyraz, z wyjtkiem pierwszego, powstaje przez dodanie do wy- razu poprzedniego pewnej staBej liczby r . Liczb r nazywamy ró|nic ci- gu. Cig arytmetyczny mo|emy opisa za pomoc wzoru rekurencyjnego. Wzór rekurencyjny cigu arytmetycznego (an) o ró|nicy r : an+1 = an + r Zauwa|, |e dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów an i an+1 cigu aryt- metycznego zachodzi równo[ an+1 - an = r . Zapisz kilka pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego o podanym pierw- B szym wyrazie i ró|nicy. 1. a1 = 10, r =7 2. a1 = 22, r =-2 3. a1 =8, r =0 Niech r oznacza ró|nic pewnego cigu arytmetycznego (an). C 1. Który wyraz tego cigu otrzymamy, gdy do wyrazu a50 dodamy 2r , a który  gdy od wyrazu a100 odejmiemy 5r? 2. Jak otrzymamy liczb, gdy od wyrazu a30 odejmiemy a22? W cigu arytmetycznym ka|dy wyraz (któ- Je[li cig (an) jest ci- ry nie jest ani pierwszym, ani ostatnim) giem arytmetycznym, to: jest równy [redniej arytmetycznej dwóch an-1 + an+1 ssiednich wyrazów. Z tej wBasno[ci pew- an = 2 nie wziBa si nazwa  cig arytmetyczny . Niech (an) bdzie cigiem arytmetycznym o ró|nicy r . Zapisz za pomoc an D oraz r wyrazy: an-1, an+1. Sprawdz, czy [rednia arytmetyczna tych wyrazów jest równa an. 276 CIGI ZNE C ETY RYTM A CIGI Wcigu a E "rytmetycznym(an) pierwszy wyraz jest równy 7, a ró|nica tego cigu wynosi 2. Znajdz kilka pocztkowych wyrazów cigu (an) oraz wyrazy a10, a20, a100. Podaj wzór ogólny tego cigu. W cigu arytmetycznym o ró|nicy r i pierwszym wyrazie a1 kolejne wyrazy s równe: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 +2r a4 = a3 + r = a1 +3r itd. Z równo[ci tych wynika wzór ogólny cigu (an). Wzór ogólny cigu arytmetycznego (an) o ró|nicy r : an = a1 +(n -1)r Oto przykBady cigów arytmetycznych oraz ich wzory rekurencyjne i ogólne. Cig arytmetyczny Wzór rekurencyjny Wzór ogólny " " " " " 2, 2+3, 2+6, .. . a1 = 2 an+1 = an +3 an = 2+3(n -1) 3 1 1 1 1 1 1, , , , 0, - , ... a1 =1 an+1 = an - an =1- (n -1) 4 2 4 4 4 4 Zapisz wzory ogólne cigów podanych w wiczeniu A. Oblicz dwudziesty pity F wyraz ka|dego z tych cigów. P W cigu arytmetycznym dane s a5 =8 oraz a12 = -6. Oblicz a50. an = a1 +(n -1)r Zapisujemy wzór ogólny cigu arytmetycznego. 8=a1 +4r Korzystajc z tego, |e a5 =8 i a12 = -6, zapisujemy ukBad równaD. -6 = a1 +11r a1 =8-4r -6=8-4r +11r 7r = -14 r =-2 a1 =8-4r a1 =8-4· (-2) = 16 a50 =16+49· (-2) = -82 Ze wzoru ogólnego wiemy, |e a50 = a1 +49r. Uwaga. Zwró uwag, |e aby obliczy ró|nic r w powy|szym przykBadzie, mo|na byBo skorzysta z równo[ci a12 = a5 +7r . CIGI ARYTMETYCZNE 277 Carl Friedrich Gauss, jeden z najwybitniejszych matematyków, ju| od najmBodszych lat wykazywaB niezwykBe zdolno[ci matematyczne. Podobno gdy Gauss miaB 7 lat, nauczyciel w jego klasie kazaB uczniom obliczy sum liczb naturalnych od 1 do 50. Zapewne miaB nadziej, |e zajmie to uczniom du|o czasu i dziki temu bdzie miaB spokój do koDca lekcji. Mo|na sobie wyobrazi jego zaskoczenie, gdy mBody Gauss podaB poprawn odpowiedz ju| po chwili. By mo|e Gauss liczyB w nastpu- jcy sposób: zapisaB liczby od 1 do 50, a pod spodem te same liczby w odwrotnej kolejno[ci i wykonaB dodawanie. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . +49+50 50+49+48+47+. . . + 2 + 1 + 51+51+51+51+. . . +51+51= 51·50 W ten sposób otrzymaB liczb 2 razy wiksz ni| szukana suma. Zatem: 51 · 50 1+2+3+. . . +50= = 1275 2 Opisany w powy|szej ciekawostce sposób obliczania sumy 50 pocztko- wych liczb naturalnych mo|na wykorzysta do znalezienia sumy poczt- kowych wyrazów dowolnego cigu arytmetycznego. Niech (an) oznacza cig arytmetyczny o ró|nicy r . Zapiszmy sum wyra- zów od a1 do an, a pod spodem  t sam sum, ale skBadniki ustawmy w odwrotnej kolejno[ci. a1 + a2 + a3 + . . . + an an + an-1 + an-2 + . . . + a1 Sumy te zapisano poni|ej w innej postaci i dodano odpowiednie wyrazy: a1 + (a1 + r ) + (a1 +2r ) + . . . + an an + (an - r ) + (an -2r ) + . . . + a1 + (a1 + an) + (a1 + an) +(a1 + an) + . . . +(a1 + an) =(a1 + an) · n Niech Sn oznacza sum a1 + a2 + . . . + an. Suma n pocztkowych Z powy|szych rozwa|aD wynika równo[: wyrazów cigu arytme- tycznego (an): 2Sn =(a1 + an) · n Std: a1 + an a1 + an Sn = · n Sn = · n 2 2 1. Oblicz sum jedenastu pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego, G wktórym a1 = -12 i r =0,2. 2. Oblicz sum pidziesiciu pocztkowych dodatnich liczb parzystych. 278 CIGI ci e ka w o stk a P Liczby 5, 1, -3 to trzy pocztkowe wyrazy cigu arytmetycznego (an). Oblicz sum a11 + a12 + . . . + a30. a11 + a12 + . . . + a30 = S30 - S10 a1 =5, r =1-5=-4 an =5+(n -1) · (-4) a30 =5+29· (-4) = -111 a10 =5+9· (-4) = -31 5 -111 5-31 S30 = · 30 = -1590 S10 = · 10 = -130 2 2 Szukana suma wynosi S30 - S10 = -1590 - (-130) = -1460. Uwaga. Zadanie w powy|szym przykBadzie mo|na byBo rozwiza inaczej  za- uwa|y, |e cig b1 = a11, b2 = a12, ... , b20 = a30, ... jest cigiem arytmetycznym. Szukana suma jest równa sumie pierwszych dwudziestu wyrazów cigu (bn). ZADANIA 1. Podany cig jest cigiem arytmetycznym. Oblicz ró|nic tego cigu i zapisz kolejne dwa jego wyrazy. a) -3, 2, 7, . . . d) 125,5, 120, 114,5, . . . " " " 3 6 2 b) 1+ 2, 1+2 2, 1+3 2, . . . e) 1 , , , . . . 7 7 7 " " c) 10,2, 10,6, 11, . . . f) (1 + 2)2, 3, (1 - 2)2, . . . 2. Zapisz drugi, trzeci i czwarty wyraz cigu arytmetycznego, w którym: a) a1 =7, r =-3 c) a7 = -4, r =0 b) a5 = 11, r =2 d) a5 = 13, a6 =6 3. Podany cig jest cigiem arytmetycznym. Ustal jego ró|nic i podaj dwa pierw- sze wyrazy tego cigu. a) a1, a2, 24, 31, 38, . . . c) a1, a2, m +7, m -7, m - 21, . . . x -3 x -4 x -5 b) a1, a2, -3, -5, -7, . . . d) a1, a2, , , , ... 4 4 4 4. a) Zapisz trójwyrazowy cig arytme- Liczby pierwsze mniejsze od 50: tyczny malejcy, którego wyrazami s liczby pierwsze. 2 3 5 7 11 13 17 19 b) Zapisz piciowyrazowy cig arytme- 23 29 31 37 41 43 47 tyczny o ró|nicy 6, którego wyrazami s liczby pierwsze. CIGI ARYTMETYCZNE 279 5. a) Pierwszym wyrazem pewnego cigu arytmetycznego jest liczba -3, a pitym  liczba 15. Znajdz drugi, trzeci i czwarty wyraz tego cigu. b) Liczby 2, a, b, c, d, -24 tworz cig arytmetyczny. Znajdz liczby a, b, c i d. 1 c) Wstaw pomidzy liczby i 8 sze[ liczb tak, by razem tworzyBy one osiem 2 kolejnych wyrazów cigu arytmetycznego. 6. Ile jest nieskoDczonych cigów arytmetycznych o wyrazach caBkowitych, w któ- rych pierwszym wyrazem jest liczba 3, a jednym z wyrazów jest liczba 15? 7. Ustal, dla jakiej warto[ci t podane liczby s kolejnymi wyrazami cigu arytme- tycznego. t -1 t +3 a) -6, -12, 18 - t2 b) , 8, 2 2 8. Podaj przykBad cigu arytmetycznego rosncego oraz przykBad cigu arytme- tycznego malejcego. Jak monotoniczno[ cigu arytmetycznego zale|y od jego ró|nicy? 9. Oto wzory ogólne czterech cigów. Które z tych cigów s arytmetyczne? 4n + n2 6n2 +12n an = -13 - 5n bn = cn = 3+(n -1) · 2 dn = n n +2 10. Przyjmijmy, |e cigi (an) i (bn) s arytmetyczne. Wyka|, |e cig (cn), w którym cn = an + bn, te| jest arytmetyczny. 11. ZaBó|my, |e cig (an) jest cigiem arytmetycznym. a) Znajdz a10, je[li a1 =2i r =5. c) Znajdz a13, je[li a1 =1i a2 =4. " " b) Znajdz a21, je[li a1 = 2 i r = 2. d) Znajdz a100, je[li a1 =-6i a2 = -8. 12. a) Zapisz wzory ogólne i rekurencyjne nastpujcych cigów arytmetycznych: " " " 1 4 5 , 5 , 6, ... 3+4 3, 3 + 3, 3-2 3, ... -27,4, -26, -24,6, . . . 7 7 b) Zapisz wzory ogólne cigów arytmetycznych (okre[lonych rekurencyjnie): 1 1 a1 =-7 i an+1 = an +2 b1 = i bn+1 = bn - c1 = -13 i cn+1 = cn -0,2 4 2 c) Zapisz wzory rekurencyjne cigów arytmetycznych (okre[lonych wzorami ogól- nymi): n xn =4+5(n -1) yn = -2,5 + zn = 104 - 4n 2 13. ZaBó|my, |e cig (an) jest arytmetyczny. a) Znajdz ró|nic cigu oraz a12, je[li a1 =3i a13 = -5,4. b) Oblicz a1 oraz a15, je[li a31 =8, a ró|nica wynosi 0,1. c) Znajdz ró|nic cigu oraz a1, je[li a100 = 100 i a102 = 104. d) Znajdz ró|nic cigu oraz a1, je[li a5 =-8i a9 = -2. 280 CIGI 14. W pewnym cigu arytmetycznym wyraz dziesity jest liczb 2 razy wiksz ni| wyraz pity i zarazem liczb o 2 mniejsz od wyrazu pitnastego. Znajdz pierwszy wyraz i ró|nic tego cigu. 15. Sprawdz, czy liczba -120 jest wyrazem podanego cigu arytmetycznego. Je[li tak  to którym? 1 a) -240, -230, . . . b) 26, 22, . . . c) 66, 65 , ... 2 16. Ustal, ile wyrazów ma cig arytmetyczny: a) 7, 11, 15, . . . , 55 b) 121, 132, 143, . . . , 1100 17. Dane s cigi arytmetyczne 17, 21, . . . oraz 16, 21, . . . . Znajdz pi pocztko- wych liczb, które wystpuj zarówno w jednym, jak i w drugim cigu. 18. a) Wybierz dowoln liczb naturaln wiksz od 1. Zapisz rosncy cig wszyst- kich liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez wybran przez ciebie liczb daj reszt 1. Sprawdz, czy otrzymany cig jest cigiem arytmetycznym. b) Wyka|, |e je[li wyrazami cigu arytmetycznego s liczby caBkowite, to przy dzie- leniu ka|dej z tych liczb przez ró|nic cigu otrzymamy tak sam reszt. Cig arytmetyczny ma [cisBy zwizek Liczby te mo|na zapisa inaczej: z funkcj liniow. Dla dowolnej funkcji a + b, a + b + a, a + b +2a, a + b +3a, . . . liniowej f (x) = ax + b warto[ci f (1), f (2), Wida wic, |e jest to cig arytmetyczny f (3), ... tworz cig arytmetyczny. o pierwszym wyrazie a + b i ró|nicy a. Wynika std m.in., |e dla danej funkcji liniowej ró|nica midzy jej warto[ciami dla dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze taka sama (zob. rysunek). Mo|na wykaza ogólniejsz wBasno[: Cig (an) jest cigiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy punkty (1, a1), Kolejne wyrazy tego cigu to: a · 1+b, (2, a2), (3, a3) itd. le| na jednej prostej. a·2+b, a·3+b, a·4+b, ... 19. a) Dana jest funkcja f (x) = -3x + 5. Sprawdz, |e cig f (1), f (2), f (3), . .. jest cigiem arytmetycznym. Podaj pierwszy wyraz i ró|nic tego cigu. b) Dany jest cig arytmetyczny a1 = -5, a2 = -2, a3 = 1, ... . Znajdz wzór takiej funkcji liniowej f , |e f (1) = a1, f (2) = a2, f (3) = a3, ... . c) Wyka|, |e je[li f jest funkcj liniow, a cig a1, a2, a3, ... jest cigiem arytme- tycznym, to cig f (a1), f (a2), f (a3), ... te| jest cigiem arytmetycznym. CIGI ARYTMETYCZNE 281 C IE K A W O S T K A 20. a) Oblicz sum dwudziestu jeden pocztkowych wyrazów cigu arytmetyczne- go, w którym a1 =42i r = -3. b) Oblicz sum trzydziestu piciu pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego an =8-5n. 1 c) Oblicz sum stu pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego -51 , -5, -4 , ... . 2 2 d) Suma dziesiciu pierwszych wyrazów cigu arytmetycznego jest równa 21 oraz 2 a7 =3 . Oblicz a1 i r . 3 e) Wcigu arytmetycznyma4 = -1,9 i a7 = -4. Oblicz sum dziewitnastu pierw- szych wyrazów tego cigu. 21. a) Oblicz sum wyrazów od dziesitego do trzydziestego dla cigu arytmetycz- 1 nego, w którym a1 =-5i r = . 2 b) Dla pewnego cigu arytmetycznego S10 = -37,5, a S20 = 25. Oblicz S30. c) Oblicz sum dziesiciu pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego, w którym S20 = 33, a S30 = 86. 22. Cig (an) jest arytmetyczny i Sn = a1 + a2 + . . . + an. Znajdz pierwszy wyraz i ró|nic cigu (an), wiedzc, |e: a) S2 = -24, a2 =12 b) S2 = 13, S3 =16 c) Sn =4n2 -9n 23. Ile zapaBek potrzeba do uBo|enia setnej figury w podanym cigu? Ile figur tego cigu mo|na uBo|y z 1000 zapaBek? 24. W pierwszym rzdzie amfiteatru mo|e zasi[ 40 osób, a w ka|dym nastp- nym rzdzie  o 8 osób wicej. Ile miejsc znajduje si w ostatnim, dwudziestym pierwszym rzdzie? Ile miejsc ma ten amfiteatr? 282 CIGI 25. Dachówki s uBo|one na jednej po- Baci dachu w szesnastu rzdach. Naj- ni|szy rzd skBada si ze 130 dachó- wek, a w ka|dym nastpnym rzdzie le|y o 5 dachówek mniej ni| w rzdzie poprzednim. Ile dachówek le|y w naj- wy|szym rzdzie? Ile dachówek le|y na caBej poBaci dachu? 26. Która z dwóch podanych ofert jest wedBug ciebie korzystniejsza? Oblicz w obu przypadkach sum zarobion po 5 latach. Oferta 1: Wynagrodzenie wypBacane Oferta 2: Wynagrodzenie wypBacane jest co póB roku. Pierwsza wypBata jest raz w roku. Pierwsza wypBata wyniesie 10 000 zB, a po ka|dym na- wyniesie 21 100 zB, a po ka|dym na- stpnym póBroczu dostaniesz 100 zB stpnym roku dostaniesz 200 zB pod- podwy|ki. wy|ki. 27. UkBadamy domek z kart tak, |e w ka|dej war- stwie s o 3 karty mniej ni| w poprzedniej, a naj- wy|sze  pitro zbudowane jest z dwóch kart. a) Wyobraz sobie, |e mamy do dyspozycji 2 talie kart (tzn. 104 karty). Ile kondygnacji mo|e mie domek uBo|ony z tych kart? Ile kart potrzeba do uBo|enia parteru tego domku? b) WedBug ksigi rekordów Guinnessa najwy|sza bu- dowla uBo|ona z kart miaBa 131 kondygnacji. Ile ta- lii kart potrzeba do uBo|enia tak wysokiego domku w sposób, który opisali[my na pocztku? 28. Oblicz sum wyrazów cigu arytmetycznego: a) 2+4+6+. . . + 248 c) -34 - 38 - 42 - . . . - 126 1 2 b) 12,5 + 11,25 + 10 + . . . + (-5) d) 29 +28 +28+. . . +171 3 3 3 29. a) Oblicz sum wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych. b) Oblicz sum wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 210. c) Oblicz sum wszystkich liczb naturalnych wikszych od 39 i mniejszych od 93. 30. Oblicz sum wszystkich liczb naturalnych: a) podzielnych przez 3 i mniejszych od 1000, b) niepodzielnych przez 5 i mniejszych od 500, c) mniejszych od 200, które przy dzieleniu przez 7 daj reszt 2. CIGI ARYTMETYCZNE 283 31. Oblicz: 2 5 1 a) 13,7 + + 13,3 + +12,9+1 + . . . +8,1+62 7 7 7 7 b) 12-7+10-4+8-1+6+2+. . . -20+41 c) -129 -6-123-11-117-16-111-21-. . . -69-56 32. Ile pocztkowych wyrazów podanego cigu arytmetycznego nale|y doda, aby otrzymana suma byBa wiksza od liczby p? 4 a) -2,7, -2,1, -1,5, -0,9, . . . , p =2 c) a3 =1, a2 = , p =13 5 b) a1 = -59, r = 10, p = -29 d) S5 = -35, a5 = -1, p =0 33. Lewa strona równania jest sum wyrazów cigu arytmetycznego. Rozwi| to równanie. a) 0,2+(0,2+x) +. . . +(0,2+19x) = -129 c) 13+11+9+. . . + x = -51 b) x +(x +3) +. . . +(x + 57) = 580 d) -24,3 - 23,7 - 23,1 - . . . - x = -480 34. Sum n pocztkowych wyrazów pewnego cigu (an) mo|na obliczy ze wzoru Sn =20n-3n2. Znajdz wzór ogólny cigu (an). Wyka|, |e cig (an) jest arytmetyczny. TEST T1. Dziesitym wyrazem pewnego cigu arytmetycznego jest 20, a trzynastym wy- razem tego cigu jest 29. Drugim wyrazem tego cigu jest: A. -4 B. -1 C. 3 D. 7 T2. Trzy pocztkowe wyrazy pewnego skoDczonego cigu arytmetycznego to licz- 5 2 by 1, 1 , 2 , a ostatnim wyrazem jest liczba 16. Ile wyrazów ma ten cig? 6 3 A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 T3. Istniej dwie warto[ci p, dla którychcig p, 6, p2 jest cigiem arytmetycznym. Suma tych dwóch warto[ci jest równa: A. -6 B. -1 C. 0 D. 3 T4. Suma pewnej liczby kolejnych wyrazów cigu arytmetycznego jest równa 65. Pierwszy z tych wyrazów jest równy 8, a ostatni 18. Ile wyrazów sumowano? A. 13 B. 26 C. 5 D. 9 284 CIGI CIGI GEOMETRYCZNE ZaBó|my, |e kto[ wysBaB do 100 osób SMS o tre[ci, któr podajemy obok. ZaBó|my te|, |e ka|da osoba, która otrzy- maBa tak wiadomo[, wysBaBa cztery SMS-y. W takim razie ka|dego dnia wysyBano ta- kich SMS-ów 4 razy wicej ni| dnia po- przedniego. Zatem w cigu kolejnych dni liczba wysBanych SMS-ów wyniosBa: 100, 100 · 4, 100 · 42, 100 · 43, 100 · 44, 100 · 45, 100 · 46, ... Aatwo zauwa|y, |e dziesitego dnia liczba wysBanych SMS-ów wyniosBaby 100 · 49, czyli ponad 26 milionów. Przyjmijmy, |e operatorzy sieci komórkowych na ka|dej wysBanej wiadomo[ci A zarabiaj 10 gr. Jaki dochód przyniesie  BaDcuszek szcz[cia w jedenastym dniu zabawy? Kolejne wyrazy cigu 100, 100 · 4, 100 · 42, . . . otrzymujemy, mno|c poprzedni wyraz przez 4. Cig, w którym kolejne wyrazy powstaj przez pomno|enie poprzedniego wyrazu przez staB liczb, nazywamy cigiem geometrycznym. Aby stwierdzi, czy dany cig o wyrazach ró|nych od 0 jest geometryczny, wystarczy sprawdzi, czy obliczajc iloraz wyrazu przez wyraz go poprzedzajcy, otrzymujemy zawsze t sam liczb. Cig (an) nazywamy geometrycznym, je[li ma co najmniej trzy wyrazy i ka|dy jego wyraz, z wyjtkiem pierwszego, powstaje w wyniku pomno|e- nia poprzedniego wyrazu przez pewn staB liczb q. Liczb q nazywamy ilorazem cigu. Cig geometryczny mo|na opisa za pomoc wzoru reku- rencyjnego. Wzór rekurencyjny cigu geometrycznego o ilorazie q: an+1 = an · q Zauwa|, |e dla dowolnych dwóch kolejnych (niezerowych) wyrazów an an+1 i an+1 cigu geometrycznego zachodzi równo[ = q. an Oto przykBady cigów geometrycznych. Oblicz ich ilorazy. B 1 1 1 1 1. 3, 1, , , , , ... 3. -3, -0,3, -0,03, -0,003, -0,0003, ... 3 9 27 81 " " " " " " 1 1 2. - , , -1, 2, -4, 8, ... 4. 1+ 2, 3+ 6, 3 + 3 2, 3 3+3 6, ... 4 2 CIGI GEOMETRYCZNE 285 CZNE ETRY EOM G CIGI Zapisz cztery pocztkowe wyrazy cigu geometrycznego o podanym pierw- C szym wyrazie i podanym ilorazie. " 2 1. a1 = 18, q = 3. a1 =2 3, q =0 3 " 2. a1 =1, q = 2 4. a1 =-À, q =-1 Niech (an) oznacza cig geometryczny o ilorazie q. D 1. Który wyraz tego cigu otrzymamy, gdy wyraz a37 pomno|ymy przez q2, a który  gdy wyraz a101 podzielimy przez q5? 2. Jak liczb otrzymamy, dzielc wyraz a55 przez a48? 3. Przez jak liczb trzeba pomno|y wyraz a22, aby otrzyma wyraz a37? Podaj przykBad dowolnego cigu geometrycznego. Wybierz trzy kolejne wyrazy E tego cigu. Oblicz kwadrat [rodkowego wyrazu i iloczyn dwóch pozostaBych. Zredni geometryczn dwóch liczb nie- " ujemnych a i b nazywamy liczb a · b. W cigu geometrycz- Aatwo wykaza, |e w cigu geometrycz- nym (an) o wyrazach nieujemnych: nym o wyrazach nieujemnych ka|dy wy- " raz (który nie jest pierwszym ani ostatnim an = an -1 · an +1 wyrazem cigu) jest równy [redniej geo- metrycznej ssiednich wyrazów. Tej wBasno[ci cig geometryczny zawdzicza zapewne sw nazw. Niech (an) bdzie cigiem geometrycznym o ilorazie q i wszystkich wyrazach F dodatnich. Zapisz za pomoc an oraz q wyrazy an-1 i an+1. Wyka|, |e [rednia geometryczna liczb an-1 i an+1 jest równa an. W cigu geometrycznym (an) o pierwszymwyrazie a1 i ilorazie q poczt- kowe wyrazy s równe: a1 a2 = a1 · q a3 = a2 · q = a1q2 a4 = a3 · q = a1q3 itd. Równo[ci te prowadz do wzoru: Wzór ogólny cigu geometrycznego (an) o ilorazie q: an = a1 · qn-1 286 CIGI Oto przykBady cigów geometrycznych i ich wzory rekurencyjne i ogólne: Cig geometryczny Wzór rekurencyjny Wzór ogólny " " " " " 2, 3 2, 9 2, ... a1 = 2 an+1 =3an an = 2 · 3n-1 n-1 3 3 1 1 3, - , , ... a1 =3 an+1 =- an an =3· - 4 16 4 4 Znajdz wzory rekurencyjne i ogólne cigów geometrycznych z wiczenia B. G P W cigu geometrycznym o pierwszym wyrazie równym 2 pity wyraz jest o 40 wikszy od trzeciego. Znajdz wzór ogólny tego cigu. a5 = a3 +40 Równo[ wynika z warunków zadania. Korzystamy z tego, |e a5 = a1q4 =2q4 2q4 =2q2 +40 oraz a3 = a1q2 =2q2. q4 - q2 -20=0 Niech q2 = t, wówczas t2 - t -20=0. ”=1+80=81 1+9 1-9 t1 = =5 t2 = =-4 2 2 q2 =5 lub q2 =-4 " " równanie sprzeczne q = 5 lub q =- 5 " " an =2( 5)n-1 lub an =2(- 5)n-1 Dwa cigi speBniaj warunki zadania. Podaj przykBad cigu geometrycznego, który: H 1. jest rosncy, a jego pierwszy wyraz jest liczb dodatni, 2. jest malejcy, a jego pierwszy wyraz jest liczb ujemn, 3. nie jest ani rosncy, ani malejcy. Cig geometryczny (an) o ilorazie q jest: cigiem rosncym, gdy: cigiem malejcym, gdy: a1 >0 i q >1 a1 >0 i 0<q <1 (np. 0,7, 7, 70, 700, ...) (np. 6, 3, 1,5, 0,75, ...) lub lub a1 <0 i 0<q <1 a1 <0 i q >1 (np. -0,5, -0,05, -0,005, ...) (np. -10, -20, -40, -80, ...) Uwaga. Cig geometryczny o ilorazie q = 1 jest cigiem staBym. Cigiem staBym jest tak|e cig geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 0. CIGI GEOMETRYCZNE 287 Niech Sn oznacza sum n pocztkowych wyrazów cigu geometryczne- go (an): Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an-1 + an Mno|c obie strony powy|szej równo[ci przez q, otrzymujemy: Wobec tego liczba Snq jest równa sumie wyrazów od a2 do an+1. Std: Sn - Snq =(a1 + a2 + . . . + an) -(a2 + a3 + . . . + an + an+1) Sn(1 - q) =a1 - an+1 a1 - an +1 Sn = dla q =1 1-q T równo[ mo|emy zapisa w innej postaci: a1 - a1qn Sn = 1-q Suma n pocztkowych wyrazów cigu geometrycznego (an) o ilorazie q =1: 1 - qn Sn = a1 · 1 - q Uwaga. Je[li w cigu geometrycznym q =1, toSn = na1. Oblicz sum wyrazów skoDczonego cigu geometrycznego: I 1. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 2 4 8 16 2. 1, - , , - , 3 9 27 81 P SkBadniki poni|szej sumy s wyrazami cigu geometrycznego. Oblicz t sum. 4+12+36+ ... +4· 310 12 a2 a1 =4, an =4· 310, q = =3 Korzystamy z równo[ci q = . a1 4 4 · 310 =4· 3n-1 10 = n -1 Ustalamy, którym wyrazem cigu jest wyraz 4 · 310, korzystajc ze wzoru an = a1 · qn-1. n =11 1-311 1 - 177 147 S11 =4· =4· = 354 292 1-3 -2 288 CIGI ZADANIA 1. Czy podany cig jest geometryczny? " " 4 2 1 1 2 1 1 1 a) - , , - , b) 14, 2, , c) 5 5, 5, " , " 27 9 3 2 7 2 5 5 5 2. Podany cig jest cigiem geometrycznym. Ustal jego iloraz i znajdz kolejny wy- raz tego cigu. 3 7 49 a) 10, 100, 1000, . . . c) , -1, , - , . . . e) 200, 2, 0,02, 0,0002, . . . 7 3 9 " " " " " 3 3 3 b) 5, 25, 5, 5 5, . . . d) 1, -1, 1, -1, . . . f) 1+ 5, (1+ 5)3, . . . 3. Podany cig jest cigiem geometrycznym. Ustal jego iloraz i znajdz a1 i a4. a) a1, -3, 15, a4, . . . b) a1, 2, 7, a4, . . . c) a1, 204, -68, a4, . . . 4. a) Pierwszym wyrazem cigu geometrycznego jest liczba -0,15, a trzecim  liczba -6. Znajdz drugi wyraz tego cigu. 4 b) Liczby 25, x, y, 12 tworz cig geometryczny. Znajdz liczby x i y. 5 c) Wstaw pomidzy liczby 16 i 81 trzy liczby tak, by razem tworzyBy one pi kolejnych wyrazów cigu geometrycznego. 5. Znajdz liczb x, dla której podany cig jest geometryczny. x a) -6, 15, b) -4, x + 1, -25 c) 3+x, x, 3 2 6. Które z podanych cigów s cigami geometrycznymi? 2 an =4-3n bn = cn =2n · 7n+2 dn =3· 5n-3 en =6n2 11n 7. ZaBó|my, |e cig (an) jest cigiem geometrycznym, a jego wyrazy s ró|ne od 0. Które z poni|szych cigów s geometryczne? 1 2 bn = cn = |an| dn = an en =2an fn = an +2 an 8. a) Pity wyraz pewnego cigu geometrycznego jest równy -5. Czy siódmym wyrazem tego cigu mo|e by liczba 20? b) Wyka|, |e w cigu geometrycznym o wyrazach ró|nych od zera wyrazy an i an+2 maj taki sam znak. c) Czy istnieje taki cig geometryczny (an), w którym a12 =8i a28 = -64? " 9. a) Pierwszy wyraz cigu geometrycznego (an) jest równy 7, a jeden z nastp- nych wyrazów tego cigu jest równy 0. Oblicz a127. b) W cigu geometrycznym (bn) czwarty wyraz jest równy 3, a wyrazy b17 i b25 s jednakowe. Oblicz b100. CIGI GEOMETRYCZNE 289 10. a) Zapisz wzory ogólne i rekurencyjne nastpujcych cigów geometrycznych: " " 1 3 9 1 , , , ... 5 2, 10, 10 2, ... -2, 1, - , ... 2 2 2 2 b) Zapisz wzory ogólne cigów geometrycznych (okre[lonych rekurencyjnie): bn 3 a1 =13 i an+1 =5an b1 = -0,4 i bn+1 = c1 = i cn+1 =-9cn 7 4 c) Zapisz wzory rekurencyjne cigów geometrycznych (okre[lonych za pomoc wzorów ogólnych): n 2 3 -5 xn =19· (-0,7)n-1 yn =- · zn = 3 2 3n 11. Przyjmijmy, |e cig (an) jest cigiem geometrycznym. a) Znajdz iloraz tego cigu i a10, je[li a1 =1i a11 =32. b) Znajdz iloraz tego cigu i a10, je[li a9 =0,28i a13 = 175. " c) Znajdz a4, je[li a10 =24i ilorazwynosi q = 2. 1 d) Znajdz a10, je[li a13 =-1 i a15 =- . 9 12. Podany cig jest cigiem geometrycznym. Sprawdz, czy wyrazem tego cigu jest liczba b. 3 9 243 2 64 a) 1, , , . . . b = b) 6, 4, 2 , . . . b = 5 25 625 3 81 13. Szósty wyraz pewnego cigu geometrycznego o niezerowych wyrazach jest dwa razy wikszy od wyrazu trzeciego. Jaki jest iloraz tego cigu? 14. Wyobraz sobie ogromny arkusz papieru o grubo[ci 0,1 mm. Arkusz ten skBada- my na póB, potem jeszcze raz na póB i jeszcze raz na póB. Zapisz wzór pozwalajcy obliczy grubo[ zBo|onego arkusza po n zBo|eniach. Oblicz grubo[ zBo|onego papieru po 30 zBo|eniach. 15. Moc obliczeniowa to najwiksza mo|- liwa liczba operacji wykonywanych przez komputer w cigu sekundy. W 1994 roku najszybszym komputerem byB Paragon wykonujcy 15 · 1010 operacji na sekun- d. W 1965 roku Amerykanin Gordon Moore (czyt. Mur), sformuBowaB zasad znan jako  prawo Moore a : Moc obli- czeniowa komputerów podwaja si co 18 miesicy. a) Najszybsze komputery w 2000 roku wykonywaBy okoBo 2 · 1012 operacji na se- kund. Czy wzrost mocy obliczeniowej w latach 1994 2000 byB zgodny z prawem Moore a? b) Przewiduje si, |e prawo Moore a bdzie obowizywaBo do okoBo 2015 roku. Jakiej mocy obliczeniowej komputerów mo|na si wówczas spodziewa? 290 CIGI 16. Przeczytaj ciekawostk ze str. 67. 14 a) Okres poBowicznego rozpadu izotopu wgla C wynosi 5700 lat. Oblicz mas 14 tego izotopu w próbce zawierajcej 1 g C po upBywie 34200 lat. 131 b) Okres poBowicznego rozpadu izotopu jodu I wynosi 8 dni. Zmierzono, |e 131 131 pewna próbka zawiera 0,4 mg jodu I. Oblicz mas I, jak zawieraBa ta próbka 40 dni wcze[niej. c) Próbka zawiera m0 gramów pewnego pierwiastka promieniotwórczego. Zapisz wzór pozwalajcy obliczy mas tego pierwiastka, jaka bdzie zawarta w próbce po upBywie n okresów poBowicznego rozpadu. 17. Podane cigi s geometryczne. Zbadaj ich monotoniczno[. " 5 -5n an =4· ( 2)n bn = 100 · 0,1n cn = 10 n 2 -8 dn =-9· - en = 7 4n 2 1 1 18. Spo[ród liczb -3, - , 0, , 2 , 5 wybieramy dwie i tworzymy cig geometrycz- 3 4 2 ny (an) w taki sposób, |e jedna z tych liczb jest pierwszym wyrazem tego cigu, a druga  jego ilorazem. a) Wybierz a1 i q tak, by cig (an) byB malejcy. Ile takich cigów mo|na utworzy? b) Ile cigów rosncych o wyrazach ujemnych mo|na utworzy w ten sposób? 19. Oblicz sum: a) piciu pocztkowych wyrazów cigu geometrycznego, w którym a1 =3 i q =-2, 5 b) siedmiu pocztkowych wyrazów cigu geometrycznego bn = , 2n c) sze[ciu pocztkowych wyrazów cigu geometrycznego 22, -66, 198, . . . 20. Oblicz podan sum wyrazów cigu geometrycznego. 2 a) 4+12+36+ . . . + 4 · 39 c) 50-10+2-. . . + 625 3 9 243 1 1 1 1 1 b) -1 - - - . . . - d) - + - + . . . - · 2 4 32 3 6 12 3 1024 21. Ka|dy czBowiek ma dwoje rodziców, czworo dziadków, o[mioro pradziadków, szesna[cioro prapradziadków itd. a) Oblicz liczb wszystkich swoich przodków w 10 pokoleniach. b) Przyjmijmy, |e co 25 lat rodzi si nowe pokolenie. Ilu twoich przodków urodziBo si w cigu ostatnich 2000 lat? Szacuje si, |e od zarania ludzko[ci na Ziemi |yBo 11 · 1010 ludzi. WytBumacz sprzeczno[ midzy t liczb a otrzymanym rezultatem. CIGI GEOMETRYCZNE 291 22. Gr w szachy wymy[lono w Indiach. Legenda gBosi, |e wBadca Indii zachwycony t gr postanowiB nagrodzi jej twórc, proponujc mu, by sam wy- braB nagrod. Sprytny wynalazca poprosiB o jedno ziarno pszenicy za pierwsze pole szachownicy, dwa ziarenka za drugie, a za ka|de nastpne 2 razy wi- cej ziaren ni| za pole poprzednie. a) Zapisz wzór, który przedstawia liczb ziarenek za n-te pole szachownicy. b) Oszacuj, ile ton pszenicy miaBby otrzyma wynalazca szachów. Mo|esz przyj, |e 210 H" 1000 oraz |e 4 tony pszenicy to okoBo 108 ziaren. Rocznie na [wiecie produkuje si okoBo 600 mln ton pszenicy. Porównaj otrzymany wynik z t liczb. 23. PiBk puszczono z wysoko[ci 2 m. Po ka|dym odbiciu si od podBogi piBka wznosi si na wysoko[ równ 0,7 wysoko[ci, z której opadaBa. Oblicz: a) wysoko[, na któr wzniesie si piBka po pitym odbiciu si od podBogi, b) drog, jak pokona piBka od momentu puszcze- nia jej do momentu szóstego odbicia si od podBogi. 24. Sze[cian, który jest podstaw budowli przed- stawionej na rysunku, ma krawdz dBugo[ci 30 m. 1 Krawdz ka|dego nastpnego sze[cianu jest o 3 krótsza od krawdzi sze[cianu poni|ej. Oblicz wyso- ko[ budowli, jej pole powierzchni caBkowitej oraz objto[. 25. Odgadnij, wedBug jakiej reguBy s dopisywane kolejne skBadniki, i oblicz: a) 5-4+25-8+125-16+. . . +57 -28 b) 3-1+9-4+27-7+. . . +310 -28 1 1 c) 3+2+6+1+9+ + . . . +30+ 2 256 3 5 9 17 33 1 d) + + + + + . . . + 1+ 2 4 8 16 32 29 26. Oblicz sum: a) 9+99+999+ . . . + 999999999 b) 3+33+333+ . . . + 333333333 27. Uzasadnij, |e dla a = 1 zachodzi równo[: a(30a31 -31a30 +1) a +2a2 +3a3 +4a4 + . . . +30a30 = (1 - a)2 292 CIGI TEST 1 T1. Cig (an) jest geometryczny, a1 = 6, a iloraz tego cigu jest równy . Która 3 z poni|szych równo[ci nie jest prawdziwa? a20 2 2 1 A. a3 = B. a11 = C. =3 D. a13 · a12 = 3 a21 3 39 T2. Suma pocztkowych o[miu wyrazów cigu okre[lonego za pomoc wzoru 0,3n an = , zaokrglona do cz[ci dziesiciotysicznych, wynosi: 9 A. 0,0476 B. 3,6666 C. 0,9303 D. 2,4932 1 " T3. Pitym wyrazem pewnego cigu geometrycznego jest , a jego ósmym wyra- 2 zem jest 2. Iloraz tego cigu jest równy: " " 1 A. " B. 2 C. 2 2 D. 2 2 T4. Iloraz pewnego cigu geometrycznego wynosi 2, a suma trzech pocztkowych wyrazów tego cigu jest równa 14. Suma czterech pocztkowych wyrazów jest równa: A. 16 B. 28 C. 30 D. 31 PROCENT SKAADANY Wyobraz sobie, |e w twoim domu zjawiB si nagle bardzo bogaty krew- ny i obiecaB, |e przez najbli|sze dwa lata bdzie ci co miesic wypBacaB kieszonkowe. ZBo|yB przy tym dwie propozycje do wyboru. Propozycja I Propozycja II W pierwszym miesicu otrzymasz W pierwszym miesicu otrzymasz kwot 100 zB, a w ka|dym na- 2 zB, a w ka|dym nastpnym mie- stpnym  wicej ni| w poprzed- sicu  o 50 % wicej ni| w po- nim o kwot równ 50 % kieszon- przednim miesicu. kowego w pierwszym miesicu. Która propozycja wydaje ci si korzystniejsza? Oblicz, ile wyniosBoby kieszonkowe w trzecim miesicu wedBug pierwszej pro- A pozycji, a ile  wedBug drugiej. PROCENT SKAADANY 293 ADANY KA Niech Kn oznacza kieszonkowe (w zBotych) otrzymane w n-tym miesicu. Zatem wypBaty w kolejnych miesicach wyniosByby: Propozycja I Propozycja II K1 = 100 K1 =2 K2 = K1 + 50 = 100 + 50 K2 = K1 · 1,5 = 2 · 1,5 K3 = K2 + 50 = 100 + 2 · 50 K3 = K2 · 1,5 = 2 · 1,52 K4 = K3 + 50 = 100 + 3 · 50 K4 = K3 · 1,5 = 2 · 1,53 . . . . . . Kn = Kn-1 +50=100+(n -1) · 50 Kn = Kn-1 · 1,5 = 2 · 1,5n-1 Aatwo zauwa|y, |e kolejne wypBaty w pierwszej propozycji tworz cig arytmetyczny (o pierwszym wyrazie K1 = 100 i ró|nicy r =50), a w dru- giej  cig geometryczny (o pierwszym wyrazie K1 = 2 i ilorazie q =1,5). Korzystajc z powy|szych równo[ci, mo|na porówna kieszonkowe po pierwszym roku i po drugim. Propozycja I Propozycja II K12 100 + 11 · 50 = 650 2 · 1,511 H" 173 K24 100 + 23 · 50 = 1250 2 · 1,523 H" 22 445 Jak wida, w ostatnim miesicu drugiego roku wypBaty wedBug drugiej propozycji byByby zdecydowanie wy|sze. Aby porówna obie propozycje, nale|aBoby obliczy sum wszystkich wy- pBat. W tym celu mo|emy skorzysta ze wzorów na sum n pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego i geometrycznego. Propozycja I Propozycja II K1 + K24 1-q24 S24 = · 24 = S24 = K1 · = 2 1-q 100 + 1250 1-(1,5)24 = · 24 = =2· H" 2 1-1,5 = 16 200 H" 67 332 Cho propozycja druga wydawaBa si pocztkowo maBo atrakcyjna, okazaBa si jednak du|o korzystniejsza. Opisane powy|ej propozycje przypominaj dwa najcz[ciej spotykane spo- soby naliczania odsetek przy ró|nych operacjach finansowych. 294 CIGI PROCENT PROSTY W tej metodzie odsetki s obliczane od staBej kwoty, tzn. je[li kapitaB po- cztkowy wynosi K0, a oprocentowanie jest równe p %, to po n okresach naliczania odsetek kapitaB wraz z odsetkami bdzie wynosiB: p Kn = K0 + · K0 · n 100 P Warunki kredytowe s nastpujce: Przez 2 lata nale|y spBaca co miesic 1% po|yczonej kwoty, przy czym w ostat- nim miesicu oprócz odsetek trzeba odda caB po|yczon kwot. Jak sum trzeba bdzie wpBaci po|yczkodawcy w cigu 2 lat, je[li na tych warunkach zacigniemy kredyt w wysoko[ci 5000 zB? K0 = 5 000 zB K0  po|yczona kwota p %=1% p  oprocentowanie n  liczba miesicy (okresów naliczania od- n =24 setek) Suma wpBaconych odsetek wynosi: p · K0 · n 100 0,01 · 5000 zB ·24=1200 zB Suma wpBat wynosi: 5000 zB +1200 zB = 6200 zB PROCENT SKAADANY W tej metodzie odsetki s obliczane od kapitaBu powikszonego o odsetki za wcze[niejszy okres, tzn. je[li kapitaB pocztkowy wynosi K0, a opro- centowanie jest równe p %, to po kolejnych okresach naliczania odsetek kapitaB wraz z odsetkami wynosi: p p po pierwszym okresie: K1 = K0 + K0 = K0 1+ 100 100 2 p p p po dwóch okresach: K2 = K1 + K1 = K1 1+ = K0 1+ 100 100 100 3 p p p po trzech okresach: K3 = K2 + K2 = K2 1+ = K0 1+ 100 100 100 n p po n okresach: Kn = K0 1+ 100 Ten sposób obliczania odsetek jest zwykle stosowany przy naliczaniu od- setek od lokat bankowych. Gdy bank dolicza kwot odsetek do kapitaBu (stanu konta), to mówimy, |e odsetki s kapitalizowane. Uwaga. W kolejnych przykBadach oraz w zadaniach 5 13, gdy mowa o opro- centowaniu lokat bankowych, nie uwzgldniamy podatku od odsetek, czyli przyjmujemy, |e podano oprocentowanie netto. PROCENT SKAADANY 295 P Na konto, którego oprocentowanie wynosi 4% w skali roku, wpBacono 10 000 zB. Oblicz, jaki bdzie stan konta po upBywie 5 lat, je[li wBa[ciciel konta nie bdzie dokonywaB |adnych wpBat ani wypBat. K0 = 10 000 zB K0  wpBacona kwota p %=4% p  oprocentowanie w skali roku n =5 n  liczba lat (okresów naliczania odsetek) 5 p K5 = K0 1+ = 100 K5  kwota na koncie po 5 latach 5 4 = 10 000 1+ H" 12 166,53 100 Odp. Po 5 latach na koncie bdzie 12 166,53 zB. Przy lokatach krótszych ni| 1 rok bank kapitalizuje odsetki po ka|dym okresie trwania lokaty. Je[li na przykBad przez dBu|szy czas pozostawimy pienidze na lokacie 3-miesicznej, to odsetki bd doliczane co 3 miesice. Przypomnijmy, |e oprocentowanie lokat bankowych jest zawsze podawane w skali roku, tak|e lokat, które trwaj krócej ni| rok. Trzeba o tym pami- ta przy obliczaniu odsetek. Na przykBad: gdy oprocentowanie wynosi 4%, 3 to odsetki po 3 miesicach wynosz · 4% kwoty, która byBa na koncie. 12 P Na lokat 2-miesiczn wpBacamy 30 000 zB. Oprocentowanie lokaty wynosi 5%. Ile wyniesie suma odsetek z tej lokaty po póBtora roku? K0 = 30 000 zB 2 5 Obliczamy oprocentowanie za okres lokaty. p %= · 5% = % 12 6 1,5 roku to 18 miesicy, czyli 9 okresów na- n =9 liczania odsetek. 9 p K9 = K0 · 1+ = 100 Obliczamy wedBug wzoru stan konta po 18 9 5 miesicach. = 30 000 · 1+ H" 6·100 H" 32 326,48 K9 - K0 H" 2326,48 Obliczamy sum odsetek. Odp. Odsetki po 18 miesicach wynios 2326,48 zB. 296 CIGI ZADANIA 1. Kasa po|yczkowa proponuje kredyty, które nale|y spBaci w nastpujcy sposób: 1. CaB po|yczon kwot nale|y wpBaci do kasy po upBywie ustalonego terminu kredytu. 2. Przez czas, na który udzielono kredytu, nale|y na pocztku miesica wpBaca do kasy 2% po|yczonej kwoty. Oblicz, jak kwot trzeba bdzie w sumie wpBaci do kasy, po|yczajc: a) 1 000 zB na 1 rok, b) 10 000 zB na 8 miesicy, c) 15 000 zB na 3 lata. 2. Cena pewnego towaru wynosi 1000 zB. Sprzedawca ma zamiar zmienia j co tydzieD. Zapisz wzór, który pozwala oblicza, jaka bdzie cena towaru po n tygo- dniach, je[li co tydzieD sprzedawca: a) bdzie powiksza cen o 10% ceny pocztkowej, b) bdzie zmniejsza cen o 10% ceny pocztkowej, c) bdzie zwiksza cen o 2%, d) bdzie zmniejsza cen o 2%. 3. Cena akcji pewnej firmy podczas sesji gieBdowej wzrosBa o 10%, a potem przez pi kolejnych sesji spadaBa o 2% (podczas ka|dej kolejnej sesji warto[ akcji byBa o 2% mniejsza). W czasie szóstej sesji cena si ju| nie zmieniBa. Czy cena ta byBa wy|sza czy ni|sza od ceny pocztkowej? 4. a) Miesiczne obroty pewnej firmy pocztkowo wynosiBy 5000 zB, a nastpnie wzrastaBy systematycznie o 2% miesicznie przez 1,5 roku. Jakie obroty osignBa ta firma po tym czasie? b) Nowy samochód kosztowaB 50 000 zB i co roku traciB 10% swojej warto[ci. Po ilu latach jego cena bdzie mniejsza od poBowy ceny pocztkowej? Uwaga. Rozwizuj zadania 5 13, nie uwzgldniajc podatku od odsetek. 5. Na lokat roczn, której oprocentowanie wynosi p %, wpBacono kwot K zB. Ob- licz, jaki bdzie stan tej lokaty po upBywie n lat, je[li: a) K = 4 000, p %=3%, n =5 b) K = 1 200, p %=5%, n =10 c) K = 35 000, p %=2%, n =8 d) K = 5 500, p %=3,5%, n =6 6. Na lokat terminow, oprocentowan p % w stosunku rocznym, wpBacono kwot 10 000 zB. Oblicz, jaki bdzie stan tej lokaty po upBywie okresu t, je[li: a) lokata jest miesiczna, p %=4%, t =2lata, b) lokata jest 3-miesiczna, p %=3,5%, t =3lata, c) lokata jest 6-miesiczna, p %=3%, t =3,5roku. PROCENT SKAADANY 297 7. Pan Kowalski wpBaciB 50 000 zB na lokat miesiczn, której oprocentowanie wy- nosi 5%, i co miesic wypBaca odsetki. Jak kwot odsetek wypBaci w cigu roku? O ile wy|sze byByby odsetki, gdyby pierwszej wypBaty dokonaB po roku? 8. a) Na lokat roczn, której oprocentowanie wynosi 3%, wpBacono 2000 zB. Po ilu latach stan tej lokaty wyniesie 2388,10 zB? b) Jak kwot wpBacono na lokat 3-miesiczn, której oprocentowanie wynosi 2,5%, skoro po upBywie 2 lat oszczdzania na koncie znajduje si 7778,20 zB? c) Na lokat roczn wpBacono 5200 zB i po 4 latach oszczdzania kwota ta wzrosBa do 6201,10 zB. Jakie byBo oprocentowanie tej lokaty? 9. a) O ile procent wzro[nie po roku kwota wpBacona na lokat miesiczn, której oprocentowanie wynosi 5%? (Odpowiedz podaj z dokBadno[ci do dziesitej cz[ci procenta). b) Jak dBugo nale|aBoby oszczdza na lokacie póBrocznej, której oprocentowanie wynosi 6%, by kwota na lokacie si podwoiBa? 10. Po piciu latach oszczdzania na lokacie rocznej, której oprocentowanie wy- nosiBo 3%, stan konta zwikszyB si o 262,80 zB. Jaki byB stan konta po roku oszczdzania? 11. Na lokat miesiczn o oprocentowaniu w wysoko[ci 2% wpBacono 5000 zBo- tych. Po jakim czasie kwota odsetek osignie ponad 200 zB? 12. Kwot 12 000 zB wpBacono na lokat 3-letni, ale odsetki doliczane byBy co póB roku. Kwota odsetek wyniosBa w sumie 1513,95 zB. Oblicz oprocentowanie lokaty. 13. Bank proponuje lokat miesiczn o staBym oprocentowaniu w wysoko[ci 3% i lokat póBroczn o staBym oprocentowaniu 4%. Która z tych lokat przyniesie wiksze korzy[ci po dwóch latach od jej zaBo|enia? Odsetki, które dopisuje bank do naszych Po roku bank doliczy nam 6 % odsetek, oszczdno[ci, traktowane s przez paD- tzn. kwot 0,06 · 1000 zB = 60 zB. Jednak stwo jako nasz dochód. Dlatego musi- 19 % tej kwoty bank przeka|e do skar- my zapBaci od nich podatek. Podatek bu paDstwa. Oznacza to, |e do naszych ten wynosi w Polsce 19% kwoty odse- oszczdno[ci zostanie dopisana kwota, tek i jest automatycznie przekazywany która stanowi 81% nale|nych odsetek, przez bank do skarbu paDstwa po ka|- czyli 0,81 · 60 zB = 48,60 zB. dym doliczeniu odsetek. Mo|na wic powiedzie, |e je[li opro- Przypu[my na przykBad, |e zBo|yli[my centowanie lokaty wynosi brutto p%, to w banku kwot 1000 zB na lokacie rocz- oprocentowanie netto tej lokaty jest nej, której oprocentowanie wynosi 6 %. równe 0,81p %. 298 CIGI ci e k a w o stk a 14. Przeczytaj ciekawostk na poprzedniej stronie. Przypu[my, |e kwot 10 000 zB wpBacono na lokat póBroczn, której oprocentowanie wynosi 4%. Wiadomo, |e przy tej lokacie co póB roku jest odprowadzany do skarbu paDstwa podatek w wy- soko[ci 19%. a) Jaki podatek od odsetek zostanie odprowadzony do skarbu paDstwa, gdy pie- nidze pozostan na tej lokacie przez 1,5 roku? b) Jaki podatek od odsetek zostaBby odprowadzony do skarbu paDstwa, gdyby podatek ten obliczany byB dopiero po 1,5 rocznym oszczdzaniu od caBej kwoty uzyskanych odsetek? TEST T1. Pani Marta wpBaciBa 10 000 zB na lokat roczn, której oprocentowanie wyno- si 4%. Ka|dego roku odsetki z tej lokaty przekazywane s na rachunek bie|cy, a kwota na lokacie nie zmienia si. Po upBywie 10 lat suma odsetek wpBaconych na rachunek wynosi bdzie: A. 400 zB B. 3600 zB C. 4000 zB D. 4802 zB T2. Pan Adam i pan Jan skorzystali z wielokrotnej lokaty, której oprocentowanie wynosi 3% w skali roku, a odsetki doliczane s po roku. Pan Adam wpBaciB 10 000 zB, a pan Jan 20 000 zB. OceD, które z podanych zdaD jest prawdziwe. I Po trzech latach pan Adam otrzyma w sumie 1500 zB odsetek. TAK/NIE Po drugim roku panu Janowi zostanie dopisana dwa razy wik- II TAK/NIE sza kwota odsetek ni| panu Adamowi. Po czterech latach pan Adam bdzie miaB na lokacie tyle samo III TAK/NIE co pan Jan po dwóch latach. T3. Pani Jola potrzebowaBa sporej kwoty pienidzy, postanowiBa wic oszczdza. ObliczyBa, |e dokBadnie tyle, ile potrzebuje, zaoszczdzi po czterech latach, gdy wpBaci 1000 zB na wieloletni lokat oprocentowan 4% w skali roku. Ile musiaBaby wpBaci na t lokat, aby potrzebn kwot otrzyma rok wcze[niej? A. 1030 zB B. 1040 zB C. 1300 zB D. 1400 zB T4. Pan Nowak zainwestowaB 40 tysicy zB w przedsiwzicie, którego warto[ po ka|dym roku bdzie rosBa o p % (p jest liczb naturaln). ObliczyB, |e dokBadnie po czwartym roku (nie wcze[niej) warto[ jego inwestycji przekroczy 50 tysicy zB. Wynika std, |e p jest równe: A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 PROCENT SKAADANY 299 GRANICE CIGÓW Oblicz sze[ pocztkowych wyrazów cigu okre[lonego za pomoc wzoru A n 1 ogólnego an = 8 · . Zaznacz w ukBadzie wspóBrzdnych kilka punktów 2 nale|cych do wykresu tego cigu, tzn. punktów o wspóBrzdnych (n, an). Poni|ej podano wzory ogólne oraz zapisano kilka wyrazów trzech ró|nych cigów. Na rysunkach zilustrowano te cigi za pomoc wykresów. 1-2n an = n 1 2 3 -1, -1 , -1 , -1 , ... 2 3 4 Aatwo zauwa|y, |e im wiksza liczba n, tymwyraz an jest bli|- szy liczbie -2. Mo|emy powie- dzie, |e wyrazy tego cigu zbli- |aj si do liczby -2. bn =1-0,7n 0,3, 0,51, 0,657, 0,7599, . . . W tym cigu wraz ze wzrostem n coraz mniejsze s ró|nice mi- dzy liczb 1 a wyrazami cigu. Mo|emy powiedzie, |e wyrazy tego cigu zbli|aj si do licz- by 1. cn =2+(-1)n n 1 2 1 4 1, 2 , 1 , 2 , 1 , ... 2 3 4 5 W tym cigu nieskoDczenie wiele wyrazów jest wikszych od licz- by 2 i nieskoDczenie wiele wyra- zów jest mniejszych od liczby 2, ale wyrazy tego cigu wyraznie zbli|aj si do liczby 2. O ka|dym z tych trzech cigów mo|emy powiedzie, |e jest zbie|ny do pewnej liczby. Liczb, do której  zbiegaj wyrazy cigu, nazywamy granic cigu. Granic cigu (an) jest wic liczba -2. Zapisujemy to tak: lim an =-2 albotak: an -’! -2 przy n -’!" n’!" Czytamy: granic cigu (an) jest liczba -2 (przy n d|cym do nieskoDczo- no[ci). 300 CIGI G CI ANICE GR 1-2n Granica to po Bacinie limes i std pochodzi skrót lim. Poniewa| an = , n wic podan na poprzedniej stronie równo[ mo|na zapisa inaczej: 1-2n lim =-2 n’!" n Granice cigów (bn) i (cn) s równe 1 i 2, zatem: (-1)n lim (1-0,7n) =1 lim 2+ =2 n’!" n’!" n Spróbujemy teraz precyzyjniej okre[li, co to znaczy, |e cig ma granic. (-1)n Rozwa|my cig cn =2+ . Granic tego cigu jest liczba 2. n Wszystkie wyrazy tego le| przedziale 1; 3), a w krótszym cigu w 1 1 przedziale, na przykBad 2- ; 2 + , mieszcz si, oprócz trzech poczt- 3 3 kowych, wszystkie pozostaBe wyrazy tego cigu. Ogólnie mówic, dla dowolnie maBej liczby dodatniej µ (czyt. epsilon) wprzedziale (2 - µ; 2 + µ) le|y nieskoDczenie wiele wyrazów cigu, a liczba wyrazów le|cych poza tym przedziaBem jest skoDczona. Mówimy wów- czas, |e prawie wszystkie wyrazy cigu le| w przedziale (2 - µ; 2 + µ). Uwaga. Mo|emy te| powiedzie, |e prawie wszystkie wyrazy cigu (cn) ró|ni si od granicy tego cigu o mniej ni| µ. GRANICE CIGÓW 301 Liczba g jest granic nieskoDczonego cigu (an), czyli lim an = g wtedy n’!" i tylko wtedy, gdy dla ka|dej liczby dodatniej µ istnieje taka liczba natu- ralna k, |e dla wszystkich n speBniajcych warunek n e" k: |an - g| < µ Uwaga. O granicy cigu mo|emy mówi tylko wtedy, gdy rozwa|amy cig nie- skoDczony. 1 Granic cigu an =3- jest liczba g =3. B 10n 1. Oblicz dla kilku wyrazów tego cigu, ile wynosi warto[ wyra|enia |an - g|. 2. Znajdz taki wyraz ak, aby wszystkie wyrazy nastpujce po nim ró|niBy si 1 od granicy cigu o mniej ni| . 5000 Cig, który ma granic, nazywamy cigiem zbie|nym. Cig, który nie ma granicy, nazywamy cigiem rozbie|nym. Poni|ej poda- jemy przykBady czterech cigów rozbie|nych. 1 an = (-1)n · 1+ n 1 1 1 -2, 1 , -1 , 1 , ... 2 3 4 Ten cig nie ma granicy, gdy| nieskoDczenie wiele wyrazów le|y dowolnie blisko liczby 1, ale równie| nieskoDczenie wie- le wyrazów le|y dowolnie bli- sko liczby -1. Jest to cig roz- bie|ny. " bn = n " " 1, 2, 3, 2, . . . Prawie wszystkie wyrazy tego cigu (poza czterema poczt- kowymi) s wiksze od 2. Pra- wie wszystkie wyrazy tego ci- gu (poza dwudziestoma pi- cioma pocztkowymi) s tak|e wiksze od 5. Ogólnie dla dowolnie du|ej liczby M prawie wszystkie wyrazy tego cigu (poza skoDczon liczb pocztkowych) s wiksze od M. O cigach, któ- re maj t wBasno[, mówimy, |e s rozbie|ne do +". Mo|emy zapisa wskrócie: " lim n =+" n’!" 302 CIGI 1 cn =- n +2 3 2 1 2 1 , 1 , 1, , ... 3 3 3 Dla dowolnej ujemnej liczby M mo|na wskaza w tym cigu taki wyraz, po którym wszyst- kie kolejne wyrazy bd mniej- sze od liczby M. Innymi sBowy  prawie wszystkie wyrazy tego cigu s mniejsze od dowol- nej liczby M. O cigach, które maj t wBasno[, mówimy, |e s rozbie|ne do -". Mo|emy wic zapisa równo[: 1 lim - n +2 =-" n’!" 3 dn = (-1,1)n -1,1, 1,21, -1,331, 1,4641, . . . W tym cigu dla dowolnej licz- by M nieskoDczenie wiele wyra- zów jest wikszych od M i nie- skoDczenie wiele wyrazów jest mniejszych od M. Jest to cig rozbie|ny (cho nie jest on roz- bie|ny ani do +", ani do -"). Cigi (bn) i (cn) opisane powy|ej s rozbie|ne w sposób szczególny. Oto bardziej precyzyjne okre[lenia cigów rozbie|nych do +" oraz do -". Cig (an) nazywamy cigiem rozbie|nym do +", je[li dla dowolnej liczby M istnieje taka liczba naturalna k, |e dla n e" k zachodzi nierówno[ an > M. Zdanie:  Cig (an) jest rozbie|ny do +" mo|emy zapisa w skrócie tak: lim an =+" n’!" Cig (an) nazywamy cigiem rozbie|nym do -", je[li dla dowolnej liczby M istnieje taka liczba naturalna k, |e dla n e" k zachodzi nierówno[ an < M. Zdanie:  Cig (an) jest rozbie|ny do -". mo|emy zapisa w skrócie tak: lim an =-" n’!" Je[li cig (an) jest rozbie|ny do +" (czyli lim an = +"), to mówimy, |e n’!" cig ten ma granic niewBa[ciw +". Analogicznie  je[li lim an = -", to n’!" mówimy, |e ma on granic niewBa[ciw -". Uwaga. Gdy cig jest zbie|ny, to jego granica jest nazywana granic wBa[ciw. GRANICE CIGÓW 303 1 Zapisz kilka pocztkowych wyrazów cigu typu an = , gdzie k jest liczb C nk naturaln ró|n od 0, i ustal, jaka jest granica tego cigu. Omówimy teraz przykBady kilku cigów. Obok zapisano przykBady kilku cigów 1 1 1 an = bn = postaci an = , gdzie k jest liczb natu- n n2 nk raln. Ka|dy z tych cigów jest zbie|ny, 1 1 cn = dn = n5 n10 gdy| o ka|dym z nich mo|emy powie- dzie, |e prawie wszystkie jego wyrazy le| dowolnie blisko 0. Ogólnie dla dowolnej liczby naturalnej k > 0 zachodzi równo[: 1 lim = 0 n’!" nk Aatwo równie| zauwa|y, |e ka|dy cig staBy jest cigiem zbie|nym. Granic cigu staBego an = c jest liczba c. lim c = c n’!" Obok zapisano przykBady kilku cigów n geometrycznych postaci an = qn. 1 an = bn = (-2)n 2 n n 3 1 Oblicz kilka pocztkowych wyrazów ka|de- D cn = dn = - 2 2 go z tych cigów. Które z tych cigów s zbie|ne? Cig geometryczny typu an = qn jest zbie|ny, gdy q " (-1; 1 , a je[li q " (-1; 1 , to cig geometryczny an = qn jest rozbie|ny, przy czym: Je[li q " (-1; 1), to lim qn = 0. Je[li q = 1, to lim qn = 1. n’!" n’!" Je[li q > 1, to lim qn = +". n’!" Je[li q " (-", -1 , to cig an = qn jest rozbie|ny (ale nie jest rozbie|ny ani do +", ani do -"). Rozwa|my teraz cig okre[lony wzorem: n 1 an = 1+ n Oblicz trzy pocztkowe wyrazy tego cigu. E Cig ten jest zbie|ny. Liczb równ jego granicy oznaczamy liter e. Ozna- czenie to wprowadziB w 1736 roku szwajcarski matematyk Leonhard Euler. n 1 lim 1+ = e n n’!" 304 CIGI \ Liczba e jest liczb niewymiern. W matematyce ma ona szczególne zna- czenie. Pojawia si we wzorach i zale|no[ciach w wielu ró|nych dziaBach matematyki. Poni|ej zapisano kilkana[cie cyfr rozwinicia dziesitnego liczby e. e = 2,71828182845904 . . . n 1 Cig 1+ pojawiB si po raz pierwszy przy okazji rozwa|aD dotyczcych pro- n centu skBadanego, prowadzonych w 1683 roku przez szwajcarskiego matematyka Jakuba Bernoulliego. ZaBó|my, |e kwot 1 zB wpBacamy na lokat, której oprocentowanie wynosi p % w stosunku rocznym. Wówczas stan konta po roku zale|y od tego, jak czsto kapitalizowane s odsetki. Stan konta po roku Jak czsto kapitalizowane s odsetki 1 p 1+ 1 raz dolicza si odsetki (po roku) 100 2 p 1+ 2 razy dolicza si odsetki (co póB roku) 2·100 12 p 1+ 12 razy dolicza si odsetki (co miesic) 12·100 n p 1+ n razy w roku dolicza si odsetki n·100 Gdy przyjmiemy, |e oprocentowanie jest równe 100 %, to stan konta po roku przy n okresach doliczania odsetek bdzie wynosiB: n 1 1+ n Cig ten jest cigiem rosncym. Poniewa| jego granic jest liczba e H" 2,72, wic nawet gdyby odsetki doliczane byBy co uBamek sekundy, to stan konta po roku nigdy nie przekroczy kwoty 2,72 zB. Jakub Bernoulli nie przypuszczaB zapewne, jak wielk rol odegra granica rozwa- |anego przez niego cigu. Oto przykBady tylko niektórych wzorów i zale|no[ci ze wspóBczesnej matematyki, w których pojawia si liczba e: Pole obszaru zacieniowanego na ry- Niech pn (dla n e" 2) oznacza ilo- sunku poni|ej jest równe 1. czyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych lub równych n (czyli p2 = 2, p3 = 2 · 3, p4 = 2 · 3, p5 = n = 2·3·5 . . .). Wówczas lim pn = e. n’!" " " " 3 5 7 e · e · e · e · . . . " " " =2 4 6 e · e · e · . . . 1 1 1 e =1+1+ + + + . . . 2 1·2 1·2·3 1·2·3·4 e = 2+ 3 2 + 4 3+ 5 4+ 5+... GRANICE CIGÓW 305 ci e k a w o stk a ZADANIA 1. Podane cigi s cigami zbie|nymi. Oblicz kilka pocztkowych wyrazów ka|dego z nich. Czy domy[lasz si, jakie s granice tych cigów? n 1 1 n -2 an =7- bn =2+ cn =3+1 dn = n n 10n 2 2. Zastp znak zapytania odpowiedni liczb lub jednym ze znaków +" lub -": n 1 1 a) lim =? c) lim n5 =? e) lim 1+n2 =? g) lim 6- =? n n’!" 3 n’!" n’!" n’!" n 1 3 b) lim =? d) lim 6n =? f) lim =? h) lim 1,6n =? n’!" n’!" n’!" 5 n’!" n7 3. Podaj przykBad cigu rosncego oraz przykBad cigu malejcego, które maj: a) t sam granic równ 0, b) t sam granic równ 7. 4. a) Wybierz dowoln liczb a. Oblicz za pomoc kalkulatora kilkana[cie " dodatni " " wyrazów cigu: a, a, a, a, . .. . Jak my[lisz, jaka jest granica tego cigu? b) Wybierz dowoln liczb a tak, by 0 < a < 1. Oblicz za pomoc kalkulatora kilkana[cie wyrazów cigu a, a2, (a2)2, ((a2)2)2, ... . Jak my[lisz, jaka jest granica tego cigu? 1 1 2 5. Na poni|szych rysunkach przedstawiono wykresy cigów an = n , bn = n- 2 , 2 n cn = 1 - i dn = 3 · (1,1)n. Które z tych cigów s rozbie|ne? Które z nich s 9 rozbie|ne do +" lub do -"? 6. Podany cig jest cigiem geometrycznym. Czy jest to cig zbie|ny? Je[li tak, to podaj jego granic, a je[li nie, to okre[l, czy jest rozbie|ny do +" lub -". n 4an 2 a) 16, 8, 4, . . . c) an = e) a1 =1, an+1 = 3 3 n " 5 3 b) a1 =- , q =5 d) an = - f) a1 =- 2, an+1 = an 3 4 306 CIGI 7. Naszkicuj wykres funkcji y =-3x(x +1)(x - 1). Korzystajc z tego wykresu, ustal, czy cig an =-3n(n +1)(n - 1) jest zbie|ny czy rozbie|ny. 8. Czy cig (an) jest cigiem zbie|nym? Je[li tak, to jaka jest jego granica? §# §# ¨# ¨# 0 dla n parzystych -1 dla n d"109 a) an = c) an = 1 ©# ©# dla n nieparzystych 1 dla n >109 n §# §# ¨# ¨# n2 dla n d" 1000 3n2 dla n d" 100 b) an = d) an = 1 ©# ©# - dla n > 1000 -5 dla n > 100 n 9. Podaj przykBad: 3 a) cigu, którego granic jest liczba , 4 b) cigu, którego granic jest liczba ujemna, c) cigu, którego granic jest liczba dodatnia i który ma 100 wyrazów ujemnych, d) cigu rozbie|nego do +", który nie jest cigiem rosncym, e) cigu, w którym dokBadnie 10 wyrazów jest równych 1 i którego granic jest liczba 1, f) cigu, którego wszystkie wyrazy s liczbami niewymiernymi i którego granic jest liczba wymierna. 10. a) Czy w cigu rosncym jeden z wyrazów mo|e by równy granicy cigu? b) Czy granica cigu, którego wszystkie wyrazy s ujemne, mo|e by liczb nie- ujemn? c) Czy cig, którego wyrazy przyjmuj tylko dwie warto[ci, musi by cigiem roz- bie|nym? d) Czy cig, w którym nieskoDczenie wiele wyrazów jest ujemnych i nieskoDczenie wiele wyrazów jest dodatnich, musi by cigiem rozbie|nym? e) Czy cig geometryczny mo|e mie granic równ 1? 11. Granic pewnego cigu arytmetycznego jest liczba 7. Jaki jest pierwszy wyraz tego cigu? 12. W[ród podanych cigów wska| cigi zbie|ne i oblicz ich granice. Które z tych cigów nie s ani zbie|ne, ani rozbie|ne do +", ani rozbie|ne do -"? an = (-2)n bn =-n4 cn =sinnÀ dn =cos nÀ " (-1)n 3 en = n fn =2· (-1)n gn = (-1)n + (-1)n+1 hn = (-1)n+1 GRANICE CIGÓW 307 TEST T1. Granic jednego z poni|szych cigów nie jest 0. Wska| ten cig. n 2 5 5 A. an = B. bn = C. cn =2-n2 D. dn = 5 n2 2n T2. Która z poni|szych liczb mo|e by ilorazem zbie|nego cigu geometrycznego (o wyrazach ró|nych od zera)? 5 3 A. 3 B. C. D. -1 3 7 T3. Która z poni|szych granic cigów geometrycznych jest równa 6? A. lim 6 · 1, 2n C. lim 6 · 0, 8n n’!" n’!" B. lim (6 · 1n) D. lim 6 · (-0, 2)n n’!" n’!" OBLICZANIE GRANIC 5 2 Rozwa|my cigi okre[lone wzorami: an =4+ oraz bn =3+ . A n n 1. Oblicz lim an oraz lim bn. n’!" n’!" 2. Niech cn = an + bn i dn = an - bn. Zapisz wzory cigów (cn) i (dn) i oblicz ich granice. Poni|ej podajemy wBasno[ci granic, z których bdziemy korzysta przy obliczaniu granic ró|nych cigów. Je[li cigi (an) i (bn) s zbie|ne, Je[li cigi (an) i (bn) s zbie|ne to zachodz równo[ci: i wyrazy cigu (bn) s ró|ne od 0 oraz lim bn =0, to: n’!" lim lim (an + bn) = lim an + lim bn an n’!" an n’!" n’!" n’!" lim = n’!" bn lim bn n’!" lim (an - bn) = lim an - lim bn n’!" n’!" n’!" Je[li cig (an) jest zbie|ny i wszystkie jego wyrazy s nieujemne (an e" 0), to: lim (an · bn) = lim an · lim bn " n’!" n’!" n’!" lim an = lim an n’!" n’!" Zauwa|, |e z jednej z powy|szych równo[ci wynika, |e dla dowolnej liczby rzeczywistej k, je[li (an) jest cigiem zbie|nym, to: lim (k · an) =k · lim an n’!" n’!" 308 CIGI ANIC GR ANIE 1 Wiemy ju|, jakie granice maj cigi staBe oraz cigi typu . Wiadomo nk tak|e, kiedy cig geometryczny jest zbie|ny. W poni|szych przykBadach pokazujemy, jak korzystajc z powy|szych wBasno[ci, mo|na oblicza gra- nice cigów o bardziej skomplikowanych wzorach. 1 1 1 1 P lim 5+ - = lim 5 + lim - lim =5+0-0=5 n3 n2 n’!" n3 n2 n’!" n’!" n’!" 7 1 1 lim = lim 7 · =7· lim =7· 0=0 n2 n’!" n’!" n2 n’!" n2 " 4 2 4 2 4 2 lim 2- · 3+ = lim 2- · lim 3+ = lim 2- · lim 3+ = 6 n’!" n n3 n’!" n n’!" n3 n’!" n n’!" n3 Dla uproszczenia zapisu mo|emy zakre[li kóBkiem ogólny wyraz cigu, narysowa strzaBk i na jej koDcu zapisa liczb równ granicy tego cigu. Na przykBad obliczenia z pierwszego przykBadu mo|na zapisa w nastpu- jcy sposób: 1 Oblicz lim an, a nastpnie lim , je[li: B n’!" n’!" an n 4 1. an =5n 2. an = n5 3. an =- 4. an =-n3 3 PrzykBady podane w wiczeniu B s ilustracj pewnej ogólnej wBasno[ci: 1 Je[li lim |an| =+", to lim =0. an n’!" n’!" Z powy|szej wBasno[ci wynika, |e je[li cig (an) jest rozbie|ny do +" lub 1 do -", to lim =0. an n’!" Oblicz lim an oraz lim bn. Jak my[lisz, ile wynosi lim (an + bn), a ile C n’!" n’!" n’!" lim (an · bn)? n’!" 1. an = n3, bn = n2 2. an =-n5, bn =-n7 3. an =2n, bn =5n Oto wBasno[ci granic cigów rozbie|nych do +" lub do -". Je[li lim an =+" i lim bn =+", to lim (an + bn) =+", a tak|e lim (an · bn) =+". n’!" n’!" n’!" n’!" Je[li lim an =-" i lim bn =-", to lim (an + bn) =-", a tak|e lim (an · bn) =+". n’!" n’!" n’!" n’!" OBLICZANIE GRANIC 309 Oblicz lim an oraz lim bn. Jak my[lisz, ile wynosi lim (an + bn), a ile D n’!" n’!" n’!" lim (an · bn)? n’!" 1 1 1. an = n2, bn =3+ 2. an =-n3, bn =5- n2 n4 Je[li lim an =+" i lim bn = g, gdzie g " , to lim (an + bn) =+", n’!" n’!" n’!" je[li ponadto g >0, to lim (an · g) =+", a je[li g <0, to lim (an · g) =-". n’!" n’!" Pierwsz z wBasno[ci podanych na poprzedniej stronie mo|na zapisa w na- E 1 stpujcy sposób: Przy n ’!", je[li |an| ’!", to ’! 0. Zapisz w podobny an sposób pozostaBe wBasno[ci. Uwaga. Podane wBa- 1 1 =0 =0 +" -" sno[ci granic mo|na (+") +(+") =+" (+") · (+") =+" zapisa w skrócie za pomoc symboli +" (-") +(-") =-" (-") · (-") =+" i -". Obok zapisa- (-") -(+") =-" (-") · (+") =-" ne s niektóre rów- (+") · q =+" dla q >0 (+") · q =-" dla q <0 no[ci odpowiadajce tym wBasno[ciom. (-") · q =-" dla q >0 (-") · q =+" dla q <0 Zastanówmy si teraz, czy mo|na ustali reguBy dotyczce obliczania lim (an - bn), gdy cigi (an) i (bn) s rozbie|ne do +". n’!" Przyjrzyj si poni|szym czterem przykBadom. Zauwa|, |e w ka|dym wy- padku lim an =+" i lim bn =+". Natomiast rezultaty obliczania granicy n’!" n’!" cigu cn = an - bn s ró|ne. an = n2 lim (an - bn) = lim (n2 -2n2) = lim (-n2) =-" n’!" n’!" bn =2n2 n’!" an =4n3 lim (an - bn) = lim (4n3 - n3) = lim 3n3 =+" n’!" n’!" bn = n3 n’!" n an = 3 n n lim (an - bn) = lim - -5 = lim (-5) = -5 n n’!" n’!" 3 3 n’!" bn = +5 3 an = n + (-1)n lim (an-bn) nie istnieje, gdy| an -bn =(n+(-1)n-n) = (-1)n, n’!" a ten cig jest rozbie|ny i nie ma ani granicy wBa[ciwej, bn = n ani niewBa[ciwej 310 CIGI Sytuacj, z któr mieli[my do czynienia w przykBadach, mo|na opisa za pomoc symbolu  " - " . Jak wida, nie mo|na poda ogólnej reguBy po- zwalajcej okre[li lim (an - bn), gdy cigi (an) i (bn) s rozbie|ne do +". n’!" Mówimy wtedy, |e symbol  " - " jest nieoznaczony. Poni|ej podajemy symbole nieoznaczone, z którymi mo|esz si spotka przy okazji obliczania granic cigów. Symbole nieoznaczone 0 "  " - "  0 ·"     0 " Dane s cigi (an) i (bn). Zauwa|, |e lim an = 0 i lim bn = +". Oblicz, je[li F n’!" n’!" istnieje, lim (an · bn). n’!" 1 1 1. an = , bn = n6 3. an = , bn =6n5 n2 n5 1 (-1)n 2. an = , bn = n3 4. an = , bn = n n4 n P OBLICZANIE GRANIC 311 ZADANIA 1. Oblicz: 1 1 4 1 a) lim 3+ + e) lim 9+ - n’!" n n’!" n2 n4 n2 n n n 2 2 2 2 b) lim 5- + f) lim 4- · 4+ n’!" 3 n’!" 7 7 n3 3 -1,5 7 4 n c) lim -3 -5 + g) lim n’!" n n’!" 3-0,5n n2 n 5 1 d) lim (1-0,3n) - h) lim 0,7 -10 n’!" n3 4 n’!" 0,1n +0,01 2an an +4bn 1 2. Oblicz lim , lim , lim an(bn -1), lim (an - bn + 1), wiedzc, |e n’!" 3bn n’!" 5 n’!" 2 n’!" przy n ’!": a) an ’! 3, bn ’! 2 c) an ’! 5, bn ’! +" b) an ’! 0, bn ’! 3 d) an ’! -", bn ’! -2 3. Oblicz: 2 a) lim 3n + e) lim 5n -0,2n +3n2 n’!" n n’!" n 3 3 4 b) lim 0,6n +2n4 - f) lim + -2n n’!" n3 n’!" 5 n n n 2 1 c) lim 0,3n - n5 g) lim 4n2 - -5n3 n’!" n’!" 7 7 n n 5 1 d) lim - h) lim 0,1n -3n3 2 -4n4 n’!" n4 6 n’!" 3 4. Oblicz: n +2 n3 + n (n - 2)(2n +1) a) lim e) lim i) lim 2n n’!" -7 n’!" n’!" n(1 - n) n5 3-5n 15n +1 3n3 b) lim f) lim j) lim n’!" n +1 n’!" n’!" 2n(n -7)(n -2) 3-2n2 2 6n2 - n 9n4 - n3 -n3 + n c) lim g) lim k) lim n’!" n’!" n’!" 4n2 +8n n3 +12 n2 +1 3 - n3 + n2 -17 2n5 +5n2 3n +1 d) lim h) lim l) lim n’!" - n3 n10 +3n n’!" n’!" 2-n n2 312 CIGI 5. Oblicz: a) lim (3n2 +2n -1) d) lim (-5n2 +2n3 -7) n’!" n’!" b) lim (-2n3 + n2 - 13) e) lim -2n(n -1)(n +3) n’!" n’!" c) lim (n5 - n7 +1) f) lim (2n + 1)(3 - n)(6n +2) n’!" n’!" an 6. Oblicz lim (an + bn), lim (an - bn), lim (an · bn), lim , wiedzc, |e: n’!" n’!" n’!" n’!" bn 2 a) an =3n2, bn = e) an =2n5, bn =6n5 n 5 3 1 b) an = , bn =4n f) an = , bn = n2 n2 2n2 -7 c) an = , bn =2n3 g) an =-8n4, bn =4n3 n3 -1 2 6 d) an =-5n4, bn = h) an = , bn = 10n4 n5 n2 7. Podaj przykBady takich cigów (an) i (bn), dla których lim an = 0, lim bn =+" n’!" n’!" oraz: a) lim (an · bn) =0 d) lim (an · bn) =-1 n’!" n’!" b) lim (an · bn) =+" e) lim (an · bn) =-" n’!" n’!" c) lim (an · bn) =5 f) granica cigu (an · bn) nie istnieje n’!" an 8. Oblicz lim an, lim bn, lim (an + bn) oraz lim , je[li: n’!" n’!" n’!" n’!" bn 1 3 a) an =2-n, bn =2n+1 c) an = , bn = n 3n 1 1 b) an = n +1, bn =-n d) an =1+ , bn =1- n n2 9. Przyjmijmy, |e cig (xn) ma granic równ 3. Znajdz granice cigów: x5 - xn -2 -3 1 n an = bn =2x3 +3 cn = + dn = n xn x3 n2 2x5 + xn n n 10. Przyjrzyj si obliczeniom przedstawionym obok, 3·5n +1 a nastpnie w podobny sposób oblicz: lim = n’!" 5n +2n 3n 3·7n -2n 1 a) lim d) lim 5n 3+ 5n n’!" 7·3n +2 n’!" 3·2n -2·7n = lim = n’!" 2n 5n 1+ 5n 2·5n 2·4n -6n+1 b) lim e) lim 1 n’!" 5n +3n n’!" 5·6n -3 3+ n = lim 5 n =3 n’!" 2 1+ 3n +4 2·9n -8n 5 c) lim f) lim " n’!" 3n +5n n’!" 2·9n OBLICZANIE GRANIC 313 11. Przyjrzyj si obliczeniom przedsta- " " wionym obok, a nastpnie w podobny lim ( n +3- n) = n’!" sposób oblicz: " " " " " " ( n+3 - n)( n+3 + n) = lim " = " a) lim ( n - n -2) n’!" n+3 + n n’!" " " b) lim ( 3n +1- 3n -1) = lim "n +3-n = " n’!" n’!" n+3 + n " " c) lim ( 5n - 5n +8) 3 n’!" = lim " =0 " n’!" n+3 + n " d) lim ( n2 +1-n) n’!" 12. Oblicz granic cigu: n 1 n 4n 2 a) an = 5 n c) an = e) an = 2 n +3 6n+2 3 (0,3)n (0,3)n+7 b) an = " d) an = n · 7n f) an = ( 2)n 2n2 +1 13. Oblicz: 1+2+3+ ... + n 1 1 1 a) lim e) lim + + + . . . n’!" n’!" 2 4 2n n2 1+3+5+ ... +(2n-1) 1 1 1 b) lim f) lim + + + . . . n’!" n n’!" 5 25 5n 1 1 1 + + + . . . 3 9 3n 2+4+ ... +2n c) lim g) lim 1 1 1 n’!" 1+3+5+ ... +(2n-1) n’!" + + + . . . 4 16 4n 1 1 1 n + + + . . . 7 49 7n 5+10+ ... +5n d) lim h) lim 1 1 n n’!" n’!" 2n +1 +1+1 + ... + 2 2 2 Wskazówka. Skorzystaj ze wzorów na sum wyrazów cigu arytmetycznego i cigu geome- trycznego. 14. Zapisz wzór okre[lajcy ró|nic midzy warto[ciami podanej funkcji f dla dwóch kolejnych liczb naturalnych. Oblicz, jaka jest granica cigu f (n +1) -f (n). " 1 a) f (x) =2x +3 b) f (x) = c) f (x) =x2 d) f (x) = x 2x+3 15. Korzystajc z odpowiednich wykresów funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej, oblicz: À À 1 a) lim sin nÀ c) lim tg + nÀ e) lim tg - n n’!" n’!" 4 n’!" 2 1 À 1 b) lim cos 2nÀ d) lim sin f) lim tg + n n n’!" n’!" n’!" 2 314 CIGI (p +3)n3 -7 1 16. a) Dla jakiej warto[ci parametru p granica cigu an = jest równa ? 2 1-2n3 1-(p -2)2n b) Dla jakiej warto[ci parametru p granica cigu an = jest najwiksza? n n2 cos ± c) Jaka jest najwiksza mo|liwa warto[ wyra|enia lim ? Dla jakiej warto[ci n’!" 1+2n2 parametru ± wyra|enie to przyjmuje najmniejsz warto[? TEST T1. Granica cigu an jest równa -2, a granic cigu bn jest +". Która z poni|szych granic zostaBa bBdnie obliczona? A. lim (an + bn) =+" C. lim (anbn) =-" n’!" n’!" an B. lim (an - bn) =-" D. lim =+" bn n’!" n’!" T2. Który z poni|szych cigów jest zbie|ny? 6n2 +5 2n2 -3 -3n3 +5 A. an = -2n2 -7n +5 B. bn = C. cn = D. dn = -5n2 +2n 2n +4 n2 -6n 3·2n -5·3n T3. Granica lim jest równa: n’!" 4+2·3n 3 5 3 5 A. B. - C. D. - 4 2 2 4 SZEREGI GEOMETRYCZNE Pola zamalowanych figur tworz cig sum n pocztkowych wyrazów pew- nego cigu geometrycznego. SZEREGI GEOMETRYCZNE 315 CZNE ETRY Korzystajc ze wzoru na sum n pocztkowych wyrazów cigu geome- trycznego, otrzymujemy: n 1 1- 3 1 Sn = · 1 3 1- 3 Gdyby[my mogli zamalowywa kolejne figury w nieskoDczono[, to otrzy- 1 1 1 maliby[my figur o polu równym: + + + . . .. Przyjmujemy, |e taka 3 9 27 nieskoDczona suma jest równa lim Sn. n’!" n 1 Poniewa| przy n d|cym do nieskoDczono[ci wyrazy cigu zbli|aj 3 si do 0, wic zamalowane pole byBoby równe: ›# n ž# 1 1- œ# 3 Ÿ# 1 1 1 1 lim # ·  # = · = 1 2 n’!" 3 3 2 1- 3 3 Powy|ej obliczyli[my sum wszystkich wyrazów pewnego nieskoDczone- go cigu geometrycznego. W podobny sposób mogliby[my oblicza sum wyrazów dowolnego cigu geometrycznego nieskoDczonego. Niech (an) bdzie cigiem geometrycznym o ilorazie q. Suma n pocztko- wych wyrazów tego cigu wynosi: 1- qn Sn = a1 1- q Gdy |q| < 1, to przy n d|cym do nieskoDczono[ci wyrazy cigu qn zbli- |aj si do 0, zatem otrzymujemy: a1 lim Sn = lim a1 1- qn = n’!" n’!" 1- q 1- q Suma wszystkich wyrazów nieskoDczonego cigu geometrycznego (an) o ilo- razie |q| <1 jest równa: a1 S = 1 - q Oblicz sum wyrazów nieskoDczonego cigu geometrycznego: A 2 4 8 1. 3, , , , . . . 3 27 243 1 1 2. 2, -1, , - , . . . 2 4 3. 70, 7, 0,7, 0,07, . . . 316 CIGI Niech (an) oznacza cig geometryczny o ilorazie q. Cig sum cz[ciowych, czyli S1 = a1, S2 = a1 + a1q, S3 = a1 + a1q + a1q2, . . . nazywamy szeregiem geometrycznym. Uwaga. Szeregiem nazywa bdziemy tak|e wyra|enie a1 + a1q + a1q2 + . . . Gdy |q| <1, tocig(Sn) jest zbie|ny. Liczb lim Sn nazywamy sum szeregu. n’!" P Narysowana poni|ej figura zbudowana jest z nieskoDczonego cigu kwadratów. Pierwszy z nich ma bok dBugo[ci 1, a ka|dy kolejny kwadrat ma bok dwa razy krótszy ni| bok poprzedniego kwadratu. Oblicz dBugo[ zaznaczonej kolorem niebieskim nieskoDczonej Bamanej oraz pole caBej figury. DBugo[ Bamanej jest równa sumie wyrazów 1 1 L =3+3· +3· + . . . nieskoDczonego cigu geometrycznego 2 4 1 o pierwszym wyrazie a1 = 3 i ilorazie q = . 2 3 L = =6 1 1- Korzystamy ze wzoru na sum szeregu geo- 2 a1 metrycznego S = . 1-q 2 2 2 1 1 1 P =1+ + + + . . . 2 4 8 Pole figury jest równe sumie wyrazów nie- skoDczonego cigu geometrycznego o pierw- 2 4 6 2 1 1 1 1 P =1+ + + + . . . szym wyrazie a1 = 1 i ilorazie q = . 2 2 2 2 1 4 P = = 1 3 1- 4 P ZamieD uBamek okresowy 1,2(45) na uBamek zwykBy. 1,2(45) = 1,2454545. . . = 0,045 + 0,00045 + 0,0000045. . . jest szeregiem geometrycznym, = 1,2 + 0,045 + 0,00045 + 0,0000045 + . . . = wktóryma1 = 0,045 i q = 0,01, korzystamy zatem ze wzoru 0,045 0,045 45 a1 S = . =1,2+ =1,2+ =1,2+ = 1-q 1-0,01 0,99 990 1 1 137 =1 + = 5 22 110 SZEREGI GEOMETRYCZNE 317 P Zapisz, dla jakiej liczby x kolejne skBadniki sumy tworz cig geometryczny. Znajdz x. 1 1 x -1+ - + . . . =2 x x2 1 Ilorazem cigu geometrycznego jest q = - ; x 1 aby szereg geometryczny byB zbie|ny, iloraz ZaBo|enie: x =0 i - <1 x musi speBnia warunek |q| <1. 1 1 <1, czyli <1, wic |x| >1 x |x| Korzystamy ze wzoru na sum wszystkich x =2 wyrazów nieskoDczonego cigu geometrycz- 1 1- - a1 x nego S = . 1-q x =2 1 1+ x 1 x =2 1+ x 2 x =2+ | · x x x2 =2x +2 x2 -2x -2=0 ”=12 " " " " 2- 12 2-2 3 x1 = = =1- 3 Rozwizanie 1 - 3 nie speBnia warunku |x| >1. 2 2 " " " 2+ 12 2+2 3 x2 = = =1+ 3 2 2 " Odp. x =1+ 3 ZADANIA 1. Sprawdz, |e podany szereg geometryczny jest zbie|ny. Oblicz sum tego szeregu. 1 1 1 a) 1+ + + + . . . d) 5+2+0,8+. . . 3 9 27 1 1 1 b) 1- + - + . . . e) -100 - 60 - 36 - . . . 3 9 27 1 1 1 5 25 " " c) + + + . . . f) -4 + - + . . . 2 3 36 2 2 2 2. Dla jakich warto[ci a podany szereg geometryczny jest zbie|ny? 1 1 3 a) 2a +2a2 +2a3 + . . . d) - + - . . . 3 a a2 a2 a4 b) 1+ + + . . . e) 3+0,3· (a - 1) + 0,03 · (a -1)2 + . . . 3 9 5 5 c) 5+ + + . . . f) 4a -2a(3 - a) +a(3 - a)2 - . . . a a2 318 CIGI Szwajcarski matematyk Leonhard Euler (czyt. ojler) podaB nastpujcy paradoks. Wybierzmy dowoln liczb dodatni a i rozwa|my cigi geometryczne a, a2, 1 1 a3, . . . oraz 1, , , . . . Korzystajc ze wzoru na sum nieskoDczonego cigu a a2 geometrycznego, otrzymujemy równo[ci: a 1 1 1 a a + a2 + a3 + . . . = i 1 + + + . . . = =- a 1-a a2 1- 1 1-a a Po dodaniu tych równo[ci stronami otrzymujemy: 1 1 1 1+a + + a2 + + a3 + + . . . =0 a a2 a3 Równo[ci takiej nie speBnia |adna liczba dodatnia! 3. Wyja[nij paradoks opisany w powy|szej ciekawostce. Wskazówka. Euler sformuBowaB ten paradoks ku przestrodze  dla tych, którzy bagateli- zuj zaBo|enia. 4. ZamieD podany uBamek okresowy na uBamek zwykBy. a) 1,(7) c) 5,(07) e) -7,1(25) b) -2,(80) d) -4,3(2) f) 0,0(320) 5. Kolejne skBadniki sumy tworz cig geometryczny. Oblicz x. 2 2 a) 4+4x +4x2 + . . . =5 d) 2+ + + . . . =2,5 x x2 1 b) x + x2 + x3 + . . . =3 e) x +1+ + . . . =4,5 x x2 x4 50 1 1 c) 1+ + + . . . = f) 1- + - . . . =1,5 2 4 49 x x2 6. Rozwi| równanie: 1 x2 1 x3 1 a) x - + - + - + . . . =1 2x 2 4x 4 8x 2 4 1 1 b) 15 1+ + + . . . =8 1+ + + . . . x x2 x2 x4 7. Jedna ze stron równania jest szeregiem geometrycznym. Znajdz te rozwizania równania, które nale| do przedziaBu 0; 2À . a) 1+cosx =cos2 x +cos3 x +cos4 x + . . . 2 b) sin x +sin3 x +sin5 x + . . . = 3 SZEREGI GEOMETRYCZNE 319 ci e k aw o stk a 8. Ka|da z trzech narysowanych linii zbudowana jest z nieskoDczonego cigu co- raz krótszych odcinków. DBugo[ci kolejnych odcinków tworz cig geometryczny. Oblicz dBugo[ci tych linii. 9. Ka|da z narysowanych linii skBada si z odcinków. DBugo[ci co drugiego odcinka tworz cig geometryczny. Oblicz dBugo[ci tych linii. 10. Niech a1 oznacza pierwszy wyraz cigu geometrycznego, a q  iloraz tego cigu. Oblicz ró|nic midzy sum dziesiciu pocztkowych wyrazów tego cigu a sum wszystkich jego wyrazów, je[li: 1 a) a1 = 50, q = b) a1 =9, q =0,1 2 11. Suma wyrazów pewnego nieskoDczonego cigu geometrycznego jest równa 1, a suma kwadratów tych wyrazów jest równa 7. Znajdz pierwszy wyraz i iloraz tego cigu. 12. Iloraz pewnego nieskoDczonego cigu geometrycznego (an) jest równy 0,7, a su- ma wszystkich wyrazów tego cigu wynosi 20. Oblicz sum a1 + a3 + a5 + . . .. 320 CIGI 13. Przyjrzyj si poni|szym rysunkom. Najpierw dzielimy kwadrat o polu 1 na 9 mniejszych kwadratów i wycinamy [rodkowy. Potem ka|dy z mniejszych kwadra- tów znowu dzielimy na 9 jeszcze mniejszych kwadratów i wycinamy [rodkowy itd. Gdyby[my w ten sposób kontynuowali wycinanie kwadracików w nieskoDczono[, otrzymaliby[my figur zwan dywanem SierpiDskiego. Jaka jest suma pól wszyst- kich kwadracików, które trzeba by usun z pocztkowego kwadratu, aby otrzyma dywan SierpiDskiego? 14. Na rysunkach przedstawiono kolejne etapy powstawania figury zwanej pBat- kiem Kocha. Aby otrzyma t figur, nale|aBoby w podobny sposób postpowa nieskoDczon liczb razy. Oblicz pole pBatka Kocha, którego budow zaczynamy od trójkta o boku 1. Trójkt równoboczny. Dorysowujemy trójkty rów- Dorysowujemy trójkty rów- noboczne o boku trzy razy noboczne o boku trzy razy krótszym. krótszym od boku poprzed- nio dorysowanych trójktów. TEST T1. Który z poni|szych szeregów geometrycznych nie jest zbie|ny? A. 18+6+2+. . . B. -16+12-9+. . . C. 4+0,8+0,16+. . . D. -8+12-18+. . . T2. Lewa strona równania 3 - 3x +3x2 -3x3 + . . . = 5 jest szeregiem geometrycznym. Rozwizaniem tego równania jest: 2 1 2 3 A. - B. - C. D. 5 3 5 5 T3. Rozwa| nieskoDczony cig kwadratów. DBugo[ci boków tych kwadratów two- rz cig geometryczny: 1 m, 0,8 m, 0,64 m itd. Suma pól wszystkich kwadratów nale|cych do tego cigu jest równa: 25 2 A. 2,0496 m2 B. 5 m2 C. m2 D. 3 m2 9 5 SZEREGI GEOMETRYCZNE 321 2n 1. Dany jest cig an =7- . 11. Do pustej skarbonki na pocztku 5 stycznia wrzucono 50 groszy i odtd a) Znajdz setny wyraz tego cigu. co tydzieD dorzucano kwot o 10 gro- 3 b) Którym wyrazem tego cigu jest 2 ? 5 szy wiksz ni| tydzieD wcze[niej. Jak c) Ile wyrazów dodatnich ma ten cig? kwot wrzucono do skarbonki w ostat- nim tygodniu roku? Ile pienidzy zgro- 2. Ile wyrazów cigu an = n2 -30n+300 madziBo si w skarbonce przez caBy jest mniejszych od 100? rok? (Przyjmij, |e rok to 52 tygodnie). 12. Dana jest funkcja f (x) = 3x + 7. 3. Zbadaj monotoniczno[ cigu okre[- Uzasadnij, |e liczby f (1), f (2), f (3), . . . lonego wzorem an =4n2 -3. tworz cig arytmetyczny. Zapisz wzór ogólny tego cigu. 4. Wyka|, |e je[li cig an jest malejcy, to cig bn = an+1 + 3an jest malejcy, 13. Cig (an) jest cigiem arytmetycz- a cig cn =-2an + n jest rosncy. nym. Uzasadnij, |e cig a5, a10, a15, a20, . . . tak|e jest cigiem arytmetycz- 5. Znajdz wzór ogólny cigu okre[lone- nym. go rekurencyjnie: a) a1 =5, an+1 =-an 14. Oblicz, dla jakiej liczby n sumy n pocztkowych wyrazów cigu arytme- 1 b) a1 =2, an+1 = an tycznego 6, 18, 30, . . . oraz cigu aryt- metycznego 18, 24, 30, . . . s równe. 6. Zapisz wzór ogólny cigu arytme- tycznego (an), w którym a1 =0,4 15. Tylko jeden z cigów: an = 1+2n, 3n i an+1 = an +0,5. bn = , cn =2n -3n jest geometryczny. 4 Wska| ten cig, znajdz jego pierwszy wyraz i iloraz. 7. Dla jakiej warto[ci p liczby 5p -4, p + 5, 2 s kolejnymi wyrazami cigu arytmetycznego? 16. W pewnym cigu geometrycznym a6 = 5 i a8 = 10. Jakie mog by wy- razy a1, a7 i a10 tego cigu? 8. a) Znajdz wyraz a26 cigu arytme- tycznego, w którym a2 =7i a3 =5. 17. Siódmy wyraz pewnego cigu geo- b) Znajdz a1 oraz ró|nic cigu metrycznego jest 16 razy wikszy od arytmetycznego, w którym a10 = -12 wyrazu trzeciego. Ile razy wikszy jest i a5 =3. dwudziesty wyraz tego cigu od wyra- zu dziesitego? 9. W pewnym cigu (an) sum n po- cztkowych wyrazów cigu mo|na ob- 18. Do dziesiciu szklanek o pojemno- licza ze wzoru Sn = pn2 + qn. Wyka|, [ci 0,2 l wlano wod. Pierwsz szklank |e cig (an) jest arytmetyczny. napeBniono po brzegi. W ka|dej kolej- nej szklance znajdowaBo si o poBow 10. Oblicz sum wszystkich liczb natu- mniej wody ni| w szklance poprzed- ralnych podzielnych przez 7 i mniej- niej. Czy woda ze wszystkich szklanek szych od 500. zmie[ci si w dwóch szklankach? 322 CIGI POWTÓRZENIE 19. Oprocentowanie wieloletniej lokaty 24. Wiedzc, |e an -’! -3 i bn -’! +" wynosi 6% w skali roku. WpBacamy na przy n -’!", oblicz: ni 50 000 zB. O ile wiksza bdzie kwo- a) lim (an · bn -4) c) lim (an - bn)2 ta odsetek po czwartym roku oszcz- n’!" n’!" dzania od kwoty odsetek po trzecim an +3 2 b) lim an + d) lim roku oszczdzania? n’!" 1-bn n’!" bn 20. Przypu[my, |e warto[ pewnej 25. Kolejne skBadniki podanej sumy nieruchomo[ci zwiksza si o 10% po tworz cig geometryczny. Oblicz x. ka|dym roku od chwili zakupu. Po ilu x + x3 + x5 + . . . =-15 najwcze[niej latach nieruchomo[ b- 16 dzie warta o 60% wicej ni| w chwili zakupu? 26. a) Narysowana spirala zbudowana jest z nieskoDczonego cigu póBokr- gów, których dBugo[ci tworz cig geo- 21. Promienie czterech metryczny. Oblicz dBugo[ tej linii. narysowanych okrgów tworz cig geometry- czny, w którym a1 = 1 i q = 0,7. Znajdz pole zacieniowanego obszaru. 22. Które z podanych granic s równe liczbie 0? 1 1 -5 lim lim n lim n’!" n’!" 5 n’!" n b) DBugo[ innej spirali, zbudowanej n2 n n w podobny sposób z póBokrgów, jest 4 1 lim lim 0,3n lim - równa dBugo[ci okrgu o promieniu n’!" 3 n’!" n’!" 7 takim samym jak najwikszy z póB- okrgów. Znajdz iloraz cigu geome- 23. Oblicz: trycznego utworzonego przez dBugo[ci 6 3 4n3 +2 póBokrgów tej spirali. a) lim - d) lim n’!" n n’!" - n 5n2 2n3 6n2 + n +5 b) lim 4 4+0,3n e) lim 27. Wyka|, |e logarytmy wyrazów ci- n’!" n’!" 5n5 gu geometrycznego (o wyrazach dodat- n4 -2n c) lim (2n5 - n4 - n) f) lim nich) tworz cig arytmetyczny. n’!" n’!" 5-3n ZAGADKA Rozwizaniem rebusu przed- stawionego obok jest pewne pojcie matematyczne (mo|- na je znalez w tym rozdzia- le). Jakie to pojcie? CIGI 323 ANTYBIOTYKI Antybiotyki to leki, które powinny by za|ywane bardzo regularnie. Je[li przyjmu- jc antybiotyk, zastosujemy si do zaleceD lekarza, to utrzymamy w organizmie ilo[ leku wymagan do przeprowadzenia skutecznego leczenia. Keflin to antybiotyk z grupy penicylin. W trakcie trwania kuracji Keflinem organizm w cigu 6 godzin usuwa 60% tego leku (a wic w organizmie zostaje tylko 40% leku). Dlatego co jaki[ czas nale|y uzupeBnia ilo[ leku w organizmie. Zwykle dorosBej osobie zaleca si przyjmowanie 1 g Keflinu co 6 godzin. Niech Kn oznacza ilo[ Keflinu (w gramach) w organizmie zaraz po za|yciu n-tej dawki. Je[li zatem chory zastosuje si do zaleceD lekarza, to: K1 =1 K2 =0,4K1 +1 K3 =0,4K2 +1 itd. A. Zapisz wzór rekurencyjny cigu Kn. Liczby K1, K2, K3, .. . mo|emy zapisa w inny sposób: K1 =1 K2 =0,4K1 +1=0,4· 1+1 K3 =0,4K2 +1=0,4(0,4+1) +1=0,42 +0,4+1 K4 =0,4K3 +1=0,4(0,42 +0,4+1) +1=0,43 +0,42 +0,4+1 B. Napisz wzór ogólny cigu (Kn) (skorzystaj ze wzoru na sum wyrazów cigu geometrycznego). Korzystajc z tego wzoru, oblicz ilo[ leku w organizmie chorego po drugiej dobie kuracji. Na rysunku obok przedstawio- no wykres cigu (Kn). Mo|na z niego odczyta ilo[ Keflinu w organizmie po za|yciu kolej- nych dawek. Jak wida, ilo[ ta bardzo szybko si stabilizuje. 324 CIGI ADAWCZA B A AC PR C. Odczytaj z wykresu, po której dawce ilo[ leku w organizmie przekroczy 1,5 grama. Spróbujmy teraz okre[li, na jakim poziomie stabilizuje si ilo[ Keflinu podczas kuracji. Niech S oznacza ustabilizowan ilo[ leku. Na podstawie wykresu mo|emy zauwa|y, |e wraz z kolejnymi dawkami zmniejsza si ró|nica midzy ssiednimi wyrazami cigu (Kn). Mo|emy powiedzie, |e po pewnym czasie warto[ Kn (zawar- to[ leku w organizmie) w zasadzie si stabilizuje. Po odpowiednio wielu dawkach: S H" Kn H" Kn+1 Korzystajc ze wzoru rekurencyjnego Kn+1 =0,4Kn + 1, otrzymamy: S H" 0,4S +1 Std: 2 S H" 1 3 2 Oznacza to, |e ilo[ leku w organizmie stabilizuje si na poziomie okoBo 1 grama. 3 D. Chory otrzymuje 1,5 grama Keflinu co 6 godzin. Okre[l poziom, na którym stabilizuje si ilo[ leku w organizmie chorego. E. Oblicz dawk Keflinu, jak chory powinien przyj co 6 godzin, aby ilo[ leku w organizmie ustabilizowaBa si na poziomie 3 gramów. F. Lekarz zaleciB choremu przyjmowanie 0,5 g antybiotyku o nazwie Ampicillin co 8 godzin. Mo|na przyj, |e po upBywie 8 godzin organizm wydala 30% tego leku. Okre[l poziom, na którym ustabilizuje si ilo[ tego antybiotyku w organizmie chorego. Co dalej? St|enie chlorków w wodzie rzeki przed miej- scowo[ci A wynosi 30 mg/l. Ka|dego dnia fabryka w miejscowo[ci A odprowadza do rze- ki [cieki, które zwikszaj zanieczyszczenie wody o 70 mg/l. Z przyczyn naturalnych st|e- nie zanieczyszczeD w wodzie w miejscu zrzutu [cieków zmniejsza si o 10% w cigu doby. Oblicz, na jakim poziomie stabilizuje si zanie- czyszczenie chlorkami wody w rzece w miej- scowo[ci A. Spróbuj znalez informacje na temat zjawiska, które mo|na opisa w podobny sposób. PRACA BADAWCZA 325

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 7 statystyka pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 2 wielomiany pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 6 figury podobne pdf
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 1 potegi pierwiastki i lo
Program nauczania matematyki do liceum i technikum zakres podstawowy (Operon)
Fizyka z komputerem dla liceum i technikum fizkol
Od XV w do kongresu wiedeńskiego Teksty źródłowe z ćwiczeniami dla liceum i technikum
informatyka europejczyka podrecznik dla szkol ponadgimnazjalnych zakres podstawowy pdf
program matematyka z plusem dla ii etapu nauczania zgodny z rozporzadzenim z 2012 pdf

więcej podobnych podstron