Wykład 6:
NIEPEWNOŚĆ WYNIKU POMIARU*)
Przy przedstawianiu wyniku pomiaru niezbędnym jest podanie jego do-
kładności (określa ona  jakość wykonanego pomiaru i jego wiarygodność) - bez
tego niemożliwe jest porównywanie wyników między sobą jak również z
wartościami odniesienia i wzorcowymi.
Wynik pomiaru x (po korekcie rozpoznanych oddziaływań systematycznych)
jest tylko przybliżeniem (estymatą) wartości mierzonej wielkości fizycznej i
w ogólnym przypadku różni się od wartości prawdziwej (przyczyna:
x
losowe oddziaływania wielu czynników na proces pomiarowy i niedoskonała korekta
oddziaływań systematycznych).
Różnica między tymi wielkościami jest błędem pomiaru
&
&
"x = x - x
(6.1)
Ponieważ wartość prawdziwa nie może być określona, wartość błędu
jest nieznana.
(wiedza niepewna) + (wiedza o rozmiarach niepewności) = (wiedza użyteczna)
Niezbędnym stało się opracowanie powszechnie akceptowalnej metody
określenia  jakości wykonanego pomiaru - stosowanej do wszystkich
pomiarów i do wszystkich typów wielkości wejściowych. Wielkość zasto-
sowana do wyrażania niepewności powinna być:
- wewnętrznie spójna (bezpośrednio wyznaczalna z elementów na nią się składa-
jących oraz niezależna od sposobu pogrupowania tych elementów),
- przechodnia (możliwa do bezpośredniego zastosowania jako składowa przy ob-
liczaniu niepewności innego pomiaru).
Niepewność (pomiaru)  parametr, związany z wynikiem pomiaru,
charakteryzujący rozrzut wartości, które można w
uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.
Niepewność jest pojęciem samodzielnym, które nie wywodzi ani nie łączy
się z błędem pomiaru (np. błąd może być zerowy a niepewność duża).
*)
Opracowano na podstawie:  Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik Główny
UrzÄ…d Miar, 1995
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 1
Niepewność wyniku pomiaru posiada wiele składowych, które można
zgrupować w dwie kategorie, zgodnie ze sposobem obliczania ich wartości
liczbowych:
A. takie, które zostały obliczone metodami statystyki matematycznej
(np. na podstawie serii pomiarów),
B. takie, które zostały obliczone innymi metodami (np. pojedynczy
pomiar, brak rozrzutu w serii).
Szczegółowe przedstawienie niepewności powinno obejmować pełną
listę jej składowych z określonymi metodami użytymi do wyznaczenia
wartości liczbowej każdej z nich.
Niepewności obliczane metodami typu A  uA (niepewności typu A) są
charakteryzowane przez:
- estymatÄ™ odchylenia standardowego Si (lub estymatÄ™ wariancji Si2),
- liczbę stopni swobody fi (liczbę pomiarów).
Niepewności obliczane metodami typu B - uB (niepewności typu B) winny
być również charakteryzowane przez wielkości, które można rozpatrywać
jako przybliżone wartości odpowiednich odchyleń standardowych (wariancji).
A
ączna niepewność wyniku pomiaru  złożona niepewność
standardowa uc powinna być charakteryzowana przez wartość liczbową
otrzymaną przez zastosowanie zwykłej metody składania wariancji i
wyrażana w formie  odchyleń standardowych
uc = uA 2 + uB2 (6.2)
W pewnych zastosowaniach wymagana jest znajomość niepewności
rozszerzonej U bÄ™dÄ…cej krotnoÅ›ciÄ… niepewnoÅ›ci standardowej U = kÄ…Å" uc.
Przy podawaniu tego typu niepewności trzeba zawsze podawać wartość
współczynnika rozszerzenia ką . Dla rozkładu normalnego często przyjmuje się
ką = 2 (odpowiadający mu poziom ufności 1-ą = 95,45%) i ką = 3 (1-ą = 99,73%)
Do oszacowania składowych niepewności wykorzystujemy:
- dane doświadczalne,
- wiedzę o zjawiskach występujących w polu doświadczenia
(szczególnie wiedza i inwencja są potrzebne do wyodrębnienia czynników
generujących różne składowe niepewności).
Niepewność obejmuje składowe wygenerowane w czasie pomiaru
przez zjawiska, ale tylko te, które spostrzegł eksperymentator  nie
zawiera tych składowych o których nie wiedział, że istnieją.
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 2
Podawanie wyniku pomiaru
Ogólnie:
- im hierarchicznie wyższy jest pomiar, tym więcej wymaga się szczegóło-
wych informacji o sposobie otrzymania wyniku i jego niepewności,
- dla każdego pomiaru wszystkie informacje niezbędne do odtworzenia
obliczeń wyniku pomiaru powinny być dostępne dla każdego, kto tego
potrzebuje.
Podając wynik pomiaru, gdy miarą niepewności jest złożona
niepewność standardowa uc(y) należy:
a) podać pełną definicję wielkości mierzonej Y,
b) podać estymatę y wartości wielkości mierzonej Y i jej złożoną niepe-
ność standardową uc(y) łącznie z jednostkami w których są wyrażone,
c) podać gdy zachodzi tego potrzeba, względną złożoną niepewność
standardowÄ… uc(y)/|y|.
Preferuje się podawanie wyniku pomiaru w jednej z poniższych form:
-  ms = 100,02147g z uc = 0,35 mg ;
-  ms = 100,02147(35) g (liczba w nawiasie jest wartością uc odniesioną do
ostatnich cyfr podawanego wyniku);
-  ms = 100,02147 (0,000 35) g (liczba w nawiasie jest wartością uc wyrażoną
w tej samej jednostce co wynik);
-  ms = (100,02147 ą 0,00035) g (liczba za symbolem ą jest wartością uc, a nie
jest przedziałem ufności)  ze względu na możliwość pomyłki z
niepewnością rozszerzoną tego zapisu powinno się unikać.
Podając wynik pomiaru, gdy miarą niepewności jest niepewność
rozszerzona U = kÄ…Å"uc(y) należy:
a) podać pełną definicję wielkości mierzonej Y,
b) podać wynik pomiaru jako Y = y ą U łącznie z jednostkami y i U,
c) podać wartość ką przyjętą do obliczenia U,
d) podać przybliżoną wartość poziomu ufności 1  ą związanego z
przedziałem y ą U oraz podać sposób jego wyznaczenia.
e) podać gdy zachodzi tego potrzeba, względną niepewność rozszerzoną
U/|y|,
Przykład (podania wyniku pomiaru):  ms = (100,02147 ą 0,00047) g
- liczba za symbolem ą jest wartością niepewności rozszerzonej U = ką uc , obliczonej
dla uc = 0,35 mg i ką = 2,26 wyznaczonego jako wartość krytyczna zmiennej losowej
rozkładu t-Studenta o 9 stopniach swobody i poziomie ufności szacowanym na 95 %
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 3
Wyznaczania wartości niepewności
A. Niepewność typu A
A.1. Pomiar bezpośredni
Po wykonaniu serii pomiarów:
- metodami statystyki matematycznej (wykład 4 i 5) wyznaczamy
estymaty wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego,
- zapisujemy wynik w postaci estymaty wartości mierzonej wielkości i
niepewności standardowej (lub rozszerzonej niepewności standardowej).
Przykład 6.1
Wykonano kilkakrotne pomiary zewnętrznej średnicy wałka napędo-
wego maszyny włókienniczej uzyskując skorygowane (po wprowadzeniu po-
prawek na systematyczne oddziaływania) wyniki:
di [mm] 119,5 120,4 119,1 119,7 120,1 120,7
Podaj wynik pomiaru.
6
RozwiÄ…zanie
"di
i=1
Estymata wartości oczekiwanej
d = = 119,9 mm
6
Niepewność standardowa
n
Sd 1
2
uc (d)= Sd = = - d) = 0,24 mm
"(di
n Å" (n - 1)
n
i=1
Przyjmujemy, że wartość niepewności typu B jest pomijalnie mała.
Wynik pomiaru d = 119,9(3) mm
z niepewnością standardową uc(d) = 0,3 mm określoną dla 5 stopni swobody.
Celem wyznaczenia niepewności rozszerzonej:
- przyjmujemy poziom ufności 95 % (ą = 0,05),
- z tablic znajdujemy wartość krytyczną zmiennej losowej Studenta t0,05; 5 = 2,57
- przyjmujemy k0,05 = t0,05;5
Wartość niepewnoÅ›ci rozszerzonej U = k0,05Å"uc(d) = 2,57Å"0,24 = 0,62 mm
Wynik pomiaru d = (119,9 Ä…
Ä… 0,7) mm
Ä…
Ä…
z niepewnością rozszerzoną obliczoną dla niepewności standardowej uc = 0,24 mm i
współczynnika rozszerzenia k0,05 =2,57 wyznaczonego z rozkładu t-Studenta dla
poziomu ufności 95 % i 5 stopni swobody.
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 4
A.2. Pomiar pośredni
W pomiarach pośrednich mierzona wielkość (zmienna losowa) jest funk-
cjÄ… wielu zmiennych (losowych)
Y = f ( Xi ) i = 1, 2, ...n
Średnia wartość mierzonej wielkości (estymata wartości oczekiwanej) wynosi
Y = f (Xi)
(6.3)
Jeśli funkcja jest liniowa i zmienne Xi są wzajemnie niezależne (brak
jest korelacji między mierzonymi wielkościami Xi ) złożoną niepewność standar-
dową uc(y) (niepewność średniej wartości wielkości Y) wyznaczamy z zależności
2
n n
" Y
2
uc(y)= Sy = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Sx 2 = Å"u(xi)]
"ëÅ‚ " xi öÅ‚ "[ci (6.4)
ìÅ‚ ÷Å‚ i
i=1 i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: ci = " Y/" xi, - pochodna czÄ…stkowa w punkcie odpowiadajÄ…cym war-
tościom średnim xi  współczynnik wrażliwości
a1 a2 an
Y = AÅ" X Å" X K X
Jeśli Y ma postać a wykładniki ai są zna-
i 2 n
nymi liczbami dodatnimi lub ujemnymi o znikomych niepewnościach to
złożoną niepewność standardową można wyrazić
2
n
uc(y) îÅ‚ Å‚Å‚
=
"ðÅ‚a Å" u(xi )ûÅ‚ (6.5)
i
ïÅ‚
y xi śł
i=1
Dla wzajemnie zależnych (skorelowanych) mierzonych wielkości Xi zło-
żoną niepewność standardową wyznaczamy z zależności
2
n n-1 n
" Y " Y
v
uc(y)= Sy = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Sx 2 + 2 ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Sx x
"ëÅ‚ " xi öÅ‚ ""ëÅ‚ " xi öÅ‚ (6.4.a)
ìÅ‚ ÷Å‚ i ìÅ‚ ÷Å‚ i j
i=1 i=1 j=i+1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
v
Sx x
gdzie jest estymatorem kowariancji mierzonych wielkości Xi i Xj.
i j
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 5
Przykład 6.2
Celem wyznaczenia gęstości powietrza wykonano serię pomiarów ciśnie-
nia i temperatury uzyskujÄ…c skorygowane wyniki:
p = 0,105MPa; u (p)= Sp = 0,005MPa;
T = 293,5 K; u (T)= ST = 0,5K;
RozwiÄ…zanie
p
Á=
; R = 287,1 J/kg K
R Å" T
p 0105Å"106 kg
,
,
Åšrednia gÄ™stość powietrza: Á= = = 1246 ;
R Å" T 287,1Å" 293,5
m3
Przyjmując, że wyniki pomiarów ciśnienia i temperatury są wzajemnie
niezależne zÅ‚ożona niepewność standardowa uc(Á) wynosi (6.4)
2
2 2
ëÅ‚ "Á öÅ‚ "Á "Á
2 ëÅ‚ öÅ‚ 2 ëÅ‚ öÅ‚ 2
uc(Á)= SÁ = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" S + Å" ST + Å" SR =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
p
ìÅ‚ ÷Å‚
"p "T "R
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
1 p Á
ëÅ‚ öÅ‚ 2 ëÅ‚ öÅ‚ 2 ëÅ‚ öÅ‚ 2
= Å" S + - Å" ST + - Å" SR
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
p
2
RT RT R2T
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
2
1 2 ëÅ‚ öÅ‚
0,105Å"106 kg
ëÅ‚ öÅ‚
uc(Á)= Å"(5Å"103) + ìÅ‚- ÷Å‚ Å" 0,52 + 0 = 0,0593= 0,06
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
287,1Å" 293,5Å‚Å‚ 287,1Å" 293,52 ÷Å‚ m3
íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(przyjęto SR = 0)
2
2 2
2 2
uc(Á) ëÅ‚ u(p)öÅ‚ u(T )÷Å‚ + ìÅ‚ u(R)÷Å‚ = ìÅ‚ 0,005 0,5
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
lub (6.5)
= ìÅ‚ ÷Å‚ + + + 0 = 0,0476
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Á p T R 0,105 293,5
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przyjmując, że składowe niepewności wyznaczane metodą typu B są po-
mijalnie małe możemy zapisać
Wynik pomiaru: Á = 1,25(6) kg/m3
Á
Á
Á
lub Á = 1,25 kg/m3 z uc(Á
Á Á
Á Á) = 0,06 kg/m3
Á Á
wzglÄ™dna zÅ‚ożona niepewność standardowa uc(Á Á = 4,8 %
Á) / Á
Á Á
Á Á
Wniosek: osiągnięto małą dokładność !
przyczyna: o rząd większa niepewność pomiaru p niż T
(´p = 0,005 / 0,105 = 4,8 %; ´T = 0,5 / 293,5 = 0,17 %)
Zwiększyć dokładność pomiaru ciśnienia !
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 6
B. Niepewność typu B
B.1. Pomiar bezpośredni
y
ródłem niepewności typu B jest najczęściej niedoskonałość aparatury
pomiarowej. Niepewności tej nie można ocenić metodami statystyki ma-
tematycznej (brak serii wyników charakteryzującej się rozrzutem)  ocena
ta musi opierać się na innych metodach, jakich ? - decyzję o tym zostawia
się eksperymentatorowi (jego wiedzy, doświadczeniu, intuicji, ...).
Jeśli wartościom jakiejś wielkości można przyporządkować określony
rozkład prawdopodobieństwa, to należy przyjąć jako niepewność standar-
dową typu B odpowiadające temu rozkładowi odchylenie standardowe.
Określenie niepewności standardowej oparte jest na:
- ogólnej znajomości zjawisk występujących w pomiarach,
- właściwościach użytych przyrządów i metod pomiarowych,
- informacjach podanych przez producenta,
- danych uzyskanych w czasie wzorcowania,
- danych uzyskanych z wcześniejszych pomiarów.
W praktyce najczęściej występuje potrzeba określenia niepewności
standardowej wynikającej z błędów aparatury (klasa przyrządu)  poda-
nych w postaci tzw. błędu granicznego "xg. Jeśli założymy jednostajny
rozkład gęstości prawdopodobieństwa to odpowiadająca mu niepewność
standardowa wynosi
" xg
u(x)= Sx =
(6.6)
3
f(x)
N (x, Sx)
0.6
0.4
0.2
x
x - 3 Sx x - 2 Sx
x + 2 Sx x + 3 Sx
x - Sx x + Sx
x
x + "xg
x - "xg
W przypadku pomiarów bezpośrednich, mając tylko jedną niepewność standar-
dową u(x) (typu B), poprzestajemy na ogół na ocenie niepewności granicznej, równej
błędowi granicznemu "xg wnoszonemu przez przyrząd.
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 7
B.2. Pomiar pośredni
Złożona niepewność standardowa wyniku musi uwzględniać wszystkie
niepewności standardowe typu B, wyznaczamy ją z zależności (przy założe-
niu, że że funkcja Y = f (Xi) jest liniowa a zmienne Xi są zmiennymi niezależnymi)
2
n n
" Y
2
2
uc(y)= Sy = ìÅ‚ ÷Å‚ Å"u (xi) =
(6.7)
"ëÅ‚ " xi öÅ‚ "[c Å"u (xi)]
i
ìÅ‚ ÷Å‚
i=1 i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
Przy okreÅ›laniu niepewnoÅ›ci rozszerzonej U = kÄ…·uc(y) okreÅ›lenie war-
tości wskaz
nika rozszerzenia ką wymaga znajomości rozkładu prawdopo-
dobieństwa charakteryzującego wynik pomiaru. Jest on funkcją rozkładów
prawdopodobieństwa wielkości wejściowych i wyznaczenie go jest czyn-
nością złożoną. Przyjmuje się, że jeśli liczba składowych niepewności ty-
pu B jest większa od dwóch to, z wystarczająco dobrym przybliżeniem,
wartość wskaz
nika ką można przyjąć z rozkładu normalnego bez względu
na rodzaj rozkładów prawdopodobieństwa wielkości wejściowych Xi.
W przypadku dwóch wielkości wejściowych o prostokątnym rozkładzie prawdo-
podobieństwa wynik pomiaru ma trapezowy rozkład prawdopodobieństwa (w szcze-
gólnym przypadku trójkątny, gdy niepewności obu mierzonych wielkości są równe). Przypadek
ten został rozpatrzony w załączniku (str. 11)
C. Niepewność typu AB
C.1. Pomiar bezpośredni
W pomiarach bezpośrednich liczba składowych niepewności jest ogra-
niczona. W praktyce najczęściej spotykamy się z niepewnością wynikającą
z efektów losowych (o rozkładzie normalnym) i niepewnością wynikającą
z niedoskonałości aparatury (o rozkładzie najczęściej jednostajnym) 
przykład: kilkakrotny pomiar miernikiem o określonej klasie dokładności
wykazujący rozrzut wyników pomiarów.
Niepewność rozszerzona wyniku może być określona z zależności:
U = kÄ… Å" uc(y)= kÄ… Å" Sy A2 + SyB2
(6.8)
Do określenia wartości wskaz
nika ką niezbędna jest znajomość rozkła-
du prawdopodobieństwa wyniku pomiaru  dla przypadku rozkład nor-
malny + jednostajny możemy skorzystać z zależnoÅ›ci kÄ… = f(Ä…, ÃA/ÃB).
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 8
kÄ…
ÃA / ÃB = ~
2.4
ÃA / ÃB = 1
ÃA / ÃB = 0.5
ÃA / ÃB = 0.33
2.2
ÃA / ÃB = 0
2.0
1.8
1.6
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98
1 - Ä…
Przykład 6.3
Wykonano 10 pomiarów ciśnienia p gazu w zbiorniku uzyskując wyniki:
=0,583 MPa ; u(p)A =0,005 MPa;
p
Pomiary wykonano manometrem klasy 0,5 o zakresie 1 MPa. Podać końcowy wynik
pomiaru.
RozwiÄ…zanie
Z klasy użytego przyrządu wynika:
niepewność graniczna: "pg = 0,5 Å" 10-2 Å" 1 MPa = 0,005 MPa
"pg 0,005
odchyl. standardowe: u(p) = = = 0,003 MPa
B
3 3
Złożona niepewność standardowa
uc(p)= 0,0052 + 0,0032 = 0,0058 MPa = 5,8 kPa
Wynik pomiaru: p = 0,583(6) MPa
C.2. Pomiar pośredni
Do oceny niepewności całkowitej w pomiarach pośrednich wykorzy-
stujemy wszystkie zasady oceny niepewności całkowitej przedstawione
powyżej.
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 9
Przykład 6.4
Celem wyznaczenia gęstości powietrza wykonano serię pomiarów ciśnienia i tempe-
ratury uzyskujÄ…c skorygowane wyniki:
p = 0,105MPa; u (p)= Sp = 0,005MPa;
T = 293,5 K; u (T)= ST = 0,5 K;
Pomiar ciśnienia wykonywano manometrem o zakresie z = 0,16 MPa klasy kl = 0,5,
zaś temperatury termometrem cieczowym o granicznej niepewności "Tg = 0,5 K.
RozwiÄ…zanie
Średnia gęstość powietrza wynosi (patrz przykład 6.2)
kg
Á = 1,246
m3
Niepewność caÅ‚kowita gÄ™stoÅ›ci powietrza uc(Á) (przy zaÅ‚ożeniu pomijalnie ma-
łej niepewności stałej gazowej R - SR H" 0) wynosi (6.4)
2 2
1 p
ëÅ‚ öÅ‚ 2 ëÅ‚ öÅ‚ 2
uc(Á)= Å" u(p) + - ÷Å‚
Å" u(T)
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
RT RT2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Niepewności ciśnienia u(p) i temperatury u(T) mają składowe wyznaczane
metodÄ… typu A i typu B.
Składowe niepewności typu A wynoszą (zgodnie z treścią zadania):
u(p)A = 0,005 MPa; u(T)A = 0,5 K,
zaś typu B (patrz przykład 6.5):
u(p)B = 462 Pa; u(T)B = 0,29 K.
Złożona niepewność standardowa (6.2):
2 2
ciśnienia uc(p)= u(p) + u(p) = 52 + 0,4622 = 5,02 kPa
A B
2 2
temperatury uc(T)= u(T) + u(T) = 0,52 + 0,292 = 0,58 K
A B
Wstawiając powyższe wartości do wzoru na niepewność gęstości gazu
otrzymujemy
2 2
1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ 105000 öÅ‚ kg kg
uc(Á)= Å" 50202 + - Å" 0,582 = 0,0596 = 0,06
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
287,1Å" 293,5 287,1Å" 293,52 Å‚Å‚ m3 m3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
Wynik pomiaru (z niepewnością standardową)
Á = 1,25(6) kg/m3
Á
Á
Á
Porównując ten wynik z wynikiem przykładu 6.2 stwierdzamy, że składowe lo-
sowe pomiaru ciÅ›nienia majÄ… decydujÄ…cy wpÅ‚yw na niepewność gÄ™stoÅ›ci gazu uc(Á)
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 10
ZAA

CZNIK
Niepewność typu B  pomiar pośredni (2 składowe niepewności)
"xgi
Przyjmując ważone odchylenia standardowe
2
u (xi)= ci Å"u(xi)= ci
3
2
u (x2)
i oznaczajÄ…c ² > 1 u2 (x2) > u2 (x1)
² =
2
u (x1)
rozkład gęstości prawdopodobieństwa rozkładu trapezowego możemy przedstawić na
rysunku
f(y)
2Å"(1-1/²)Å"u (x)
u2 (x)= u2 (x2);
1 /Å"2Å"u (x)
1/² u2 (x) = u2 (x1)
Ä…/2 Ä…/2
y
µ
2Å"(1+1/²)Å"u (x)
Odchylenie standardowe rozkładu trapezowego wynosi (6.7)
1
2 2
2 2 2
à = u (x1) + u (x2) = u (x) 1+
2
²
Wskaz
nik rozszerzenia ką obliczamy z zależności
1+ ² - 2 2 Å" Ä… Å" ²
kÄ… =
1+ ²2
Poziom ufności 1-ą odpowiadający u2 (x)=1 możemy wyznaczyć z wzoru
2
² Å"[1+ 1/ ² - 1+ 1/ ²2]
1- Ä… = 1-
4
kÄ…
1-Ä…
Ä…=0,01
Ä…=0,02
1.2
0.96
Ä…=0,05
1.1 Ä…=0,10
0.94
1
0.92
0.9
0.8
0.9
2 4 6 8
² 2 4 6 8
²
Wartości wskaz
nika ką Poziom ufności 1 ą dla u(y)=1
dla trapezowego rozkładu prawdopodobieństwa
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 11
Przykład 6.5
W trakcie pomiaru gęstości gazu w zbiorniku nie stwierdzono losowego rozrzutu
wyników pomiaru ciśnienia i temperatury. Wyniki pomiarów: p = 0,105 MPa,
T = 293,5 K. Pomiar ciśnienia wykonano manometrem klasy kl = 0,5 o zakresie
z = 0,16 MPa, zaś temperatury termometrem cieczowym o granicznej niepewności
"Tg = 0,5 K.
RozwiÄ…zanie
p
Á =
; R = 287,1 J/kg K
R Å" T
p 0,105 Å"106 kg
Średnia gęstość powietrza:
Á = = = 1,246
287,1Å" 293,5
R Å" T m3
Niepewność pomiaru gÄ™stoÅ›ci Á obliczamy metodÄ… typu B (6.7)
2 2
ëÅ‚ " Á öÅ‚ ëÅ‚ " Á öÅ‚
2 2
uc(Á)= ìÅ‚ ÷Å‚ Å"u(p) + ìÅ‚ ÷Å‚ Å"u(T)
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" p " T
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zakładamy prostokątny rozkład prawdopodobieństwa dla pomiaru ciśnienia i
temperatury.
Niepewność graniczna pomiaru ciśnienia
kl Å" z 0,5 Å" 0,16
"pg = = MPa = 8 Å"10-4 MPa
100 100
Niepewności standardowe ciśnienia i temperatury:
"pg "Tg
u(p)= = 462 Pa; u(T)= = 0,29 K
3 3
Złożona niepewność standardowa gęstości
2 2
u(p) u(T)Å" p kg kg
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
uc(Á)= + = 10-3 5,482 + 1,232 = 5,62 Å"10-3 = 0,006
ïÅ‚R Å" T śł ïÅ‚ śł
R Å" T2 m3 m3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Wynik pomiaru: Á = 1,246(6) kg/m3
Á
Á
Á
z zÅ‚ożonÄ… niepewnoÅ›ciÄ… standardowÄ… uc(Á)= 0,006 kg/m3 wyznaczonÄ… dla rozkÅ‚adu trapezowego.
Niepewności tej odpowiada poziom ufności 1-ą =0,9556
Celem wyznaczenia niepewności rozszerzonej dla poziomu ufności 95 % wartość
wskaz
nika rozszerzenia k0,05 określamy dla trapezowego rozkładu niepewności o war-
toÅ›ci ² =5,48/1,23=4,46. Jego wartość wynosi k0,05 =0,902
Niepewność rozszerzona
U = 0,902 Å" 5,62 Å" 10-3 kg/m3 = 5,07 Å" 10-3 kg/m3 = 0,005 kg/m3
Wynik pomiaru z niepewnością rozszerzoną
Á = (1,246 Ä… 0,005) kg/m3
niepewność rozszerzona wyznaczona dla standardowej niepewności uc = 0,006 kg/m3 i współczyn-
nika rozszerzenia k0,05 = 0,902 wyznaczonego z rozkładu trapezowego dla poziomu ufności 95 % i
² = 4,46.
J. Ciepłucha. Podstawy Metrologii  materiały do wykładu; W6 12