Grawitacja
przyciÄ…ganie grawitacyjne 
jedno z 4 podstawowych oddziaływań fizycznych
Prawo powszechnego ciążenia
I. Newton (1687)
m1
m2
F12 F21
m1m2
F = G
r
r2
r12
2
Nm
G = 6,672 Å"10-11
2
kg
Ciała materialne przyciągają się siłą
proporcjonalnÄ… do iloczynu ich mas
m1m2
F12 = -F21 = G r12
i odwrotnie proporcjonalną do Ć
2
kwadratu odległości
r12
Pomiar stałej grawitacji
" doświadczenie Cavendisha (1797 r.)
" kulki Pb na włóknie kwarcowym
" duże kule Pb
mM
F = G
r2
Fr2
m
G =
M
Mm
- F
m
M
F
Obliczenie masy i gęstości
Ziemi
MZmg
F = mbg = G
na powierzchni Ziemi:
2
RZ
przyjmujemy m = m
b g
2
MZ gR2 9.81Å"(6.38Å"106)
Z
g = G MZ = = E" 6.0Å"1024kg
G
R2 6.672Å"10-11
Z
MZ gR2 3 3g 3Å"9.81
Z
ÁZ = = = =
VZ G 4Ä„GRZ
4Ä„R3 4Å"3.14Å"6.672Å"10-11 Å"6.38Å"106
Z
ÁZ = 5.5Å"103 kg m3
Zależność przyśpieszenia grawitacyjnego od położenia
przyśpieszenie g=g(h)
(r > Rz )
F(h)
h
F(h)
g(h) =
m
2
RZ
mMZ RZ
öÅ‚
F(h) = G Å"ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ r
F(r)
RZ Å‚Å‚
( RZ +h)2 íÅ‚
2
" r < Rz
RZ
g(h) = g(0 )
3
( RZ +h)2
F(r) mMZ r MZ r
öÅ‚
2
g(r) = = G Å"ëÅ‚ = G Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
h
öÅ‚
m RZ Å‚Å‚ RZ
mr2 íÅ‚
RZ2
g(h) = g0 ëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
RZ Å‚Å‚
íÅ‚
r
g(r) = g(0)
RZ
Prędkości kosmiczne
" I Prędkość kosmiczna
v1
mv2
Fn
Fn =mg r H"RZ Fn =
r
RZ
v2
g= Ò! vI = gRZ H"8km/s
RZ
Energia potencjalna grawitacyjna
" pole grawitacyjne - zachowawcze
M
m
F
r
dr '
F Å" dr ' = Fdr 'cos180°
r r
GMm
E = - F Å" dr ' = - Å" dr 'cos180° =
+" +"
p
r'2
" "
r
r
dr ' 1 GMm
ëÅ‚ öÅ‚
= GMm = GMm - = -
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
r' r
r'2 íÅ‚ Å‚Å‚"
"
Energia potencjalna grawitacyjna cd.
(przy powierzchni Ziemi)
2
h << Rz
GMm GMm
öÅ‚
h
1
"Ep = Ep2 - Ep1 = -ëÅ‚ - h << Rz
ìÅ‚ ÷Å‚
RZ
Rz + h Rz Å‚Å‚
íÅ‚
Rz - Rz - h h
"Ep = -GMm = GMm
( Rz + h )Rz ( Rz + h )Rz
h GM
"Ep H" GMm = m h = mgh
Rz 2 Rz 2
Energia całkowita
w polu sił centralnych
(planety lub satelity) :
E = E + E =
k p 800
E
2
mv GMm
ëÅ‚ öÅ‚
= + -
ìÅ‚ ÷Å‚
r
2 r
íÅ‚ Å‚Å‚
-200
2
GMm mv
ale : =
-600
2
r
r
-800
-1000
2
En. kin.
mv GMm
-1200
=
En. pot.
2 2 r
-1600
En. cał.
GMm
E = -
2r
Prędkości kosmiczne cd.
" II Prędkość kosmiczna
Ep RZ
mv2 GMZm
r
Ek = "Ep Ek = "Ep = -
2 RZ
mv2 GMZm GMZ
= g = Ò! GMZ = gR2
Z
2 RZ
R2
Z
v2 gR2
Z
= Ò! vII = 2gRZ Ò! H"11.2km / s
2 RZ
Prawa Keplera
wstęp
" na podstawie pomiarów Tycho Brahe (Dania, 1546-1601)
Mikołaj Kopernik
1473 - 1543
Słońce
Ä…
R
Prawa Keplera
I. Orbity planet są elipsami - Słońce w ognisku
II. Stała prędkość polowa
Johannes Kepler
2
T
1571 - 1630
III. dla wszystkich planet
= const.
R3
dA Rvdt 1
Ad II.
= const.= = Rv
dt 2dt 2
dA
ds=vdt
dÕ
m
v
RvÅ" = const.
m
mvR = b = const.
ognisko
db
siła
= 0 Ò! M = 0
centralna
dt
Prawa Keplera cd.
" Ad. III: Mp - masa planety
R - promień orbity
T - okres obiegu wokół Słońca
v2
F = ma; a =
R
M M
v2 R
S p
G = M ; v = 2Ä„
Ä„
Ä„
Ä„
p
R T
R2
2 2 2
M 4Ä„ R2 T 4Ä„
Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
S
G = = = const.
2
R2 RT R3 GM
S
Obliczenie masy Słońca
dane:
R =1,5Å"1011m, T =1 rok, G
2
M 4Ä„ R
S
G M = M
Z Z
2 2
R T
4Ä„2R3
MS =
GT2
4Å"3.142(1.5Å"1011)3
MS = = 2Å"1030kg
6.672Å"10-11(365.22Å"24Å"3600)2
Nieważkość
" swobodnie spadajÄ…ca winda
z
układ inercjalny z
F = ma = mg
a = g
z'
układ nieinercjalny z
g
F + Fb = ma'
+ =
+ =
+ =
mg
O'
mg - ma0 = ma'
- =
- =
- =
O
a0 = g
=
=
=
mg - mg = ma'; a' = 0
- = =
- = =
- = =
F + Fb = 0
+ =
+ =
+ =
(nieważkość)
statek na orbicie