IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwiązania zadań 1
autor: mgr inż.Agnieszka Herczak
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY cz.2.
BADANIE FUNKCJI
1 TROCH
TEORII
1.1 Monotoniczność
Niech funkcja f(x) będzie różniczkowalna (ma pochodną) w przedziale (a, b). Jeżeli dla
każdego x " (a, b) zachodzi
f (x) = 0, to funkcja jest w tym przedziale stała
f (x) > 0, to funkcja jest w tym przedziale rosnÄ…ca.
f (x) < 0, to funkcja jest w tym przedziale malejÄ…ca.
1.2 Wypukłość
Niech funkcja f(x) posiada drugą pochodną w przedziale (a, b). Jeżeli dla każdego x " (a, b)
zachodzi
f (x) > 0, to funkcja jest w tym przedziale wypukła.
f (x) < 0, to funkcja jest w tym przedziale wklęsła.
1.3 Punkty przegięcia
Niech funkcja f(x) posiada drugą pochodną w przedziale (a, b). Funkcja ma punkt przegięcia
w punkcie x0 gdy spełnia podane niżej warunki
1. f (x0) = 0
2. zmienia w punkcie x0 wypukłość czyli
albo f (x) < 0 dla otoczenia x < x0 i f (x) > 0 dla otoczenia x > x0. (rys.1)
albo f (x) > 0 dla otoczenia x < x0 i f (x) < 0 dla otoczenia x > x0.
Rysunek 1: funkcja f(x) = 3x3, x0 = 0 jest punktem przegięcia
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwiązania zadań 2
1.4 Ekstrema lokalne
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach w których jej pochodna równa się zero albo w
punktach, w których jej pochodna nie istnieje.
Do badania istnienia ekstremów wykorzystujemy jeden z podanych niżej warunków
wystarczajÄ…cych.
Pierwszy warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum
Niech funkcja f(x) będzie określona na przedziale (a, b). Wówczas jeżeli
a)
1. f (x0) = 0
2. f (x) > 0 dla otoczenia x < x0 i f (x) < 0 dla otoczenia x > x0
to funkcja f(x) osiÄ…ga w punkcie x0 maksimum lokalne.
Rysunek 2: funkcja z maksimum lokalnym w punkcie x = 0
b)
1. f (x0) = 0
2. f (x) < 0 dla otoczenia x < x0 i f (x) > 0 dla otoczenia x > x0
to funkcja f(x) osiÄ…ga w punkcie x0 minimum lokalne.
Drugi warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum
Niech funkcja f(x) będzie określona na przedziale (a, b). Wówczas jeżeli
a)
1. f (x0) = 0
2. f (x0) < 0
to funkcja f(x) osiÄ…ga w punkcie x0 maksimum lokalne.
b)
1. f (x0) = 0
2. f (x0) > 0
to funkcja f(x) osiÄ…ga w punkcie x0 minimum lokalne.
2 TROCH
PRZYKA
ADÓW
2.1 Przykład - monotoniczność
Zbadaj monotoniczność funkcji
2x2
f(x) =
x + 1
RozwiÄ…zanie.
Krok.1.
Wyznaczam dziedzinÄ™ funkcji f(x)
x + 1 = 0, czyli x = -1.

IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwiązania zadań 3
Krok.2.
Obliczam pochodnÄ… funkcji f(x)
4x(x + 1) - 2x2 · 1 2x2 + 4x 2x(x + 2)
f (x) = = =
(x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2
Krok.3.
Badam kiedy funkcja jest rosnÄ…ca
2x(x + 2)
f (x) > 0 Ð!Ò! > 0
(x + 1)2
mianownik jest dodatni (bo mamy (x + 1)2), więc mianownik nie ma wpływu na znak
pochodnej, zatem nasza nierówność przybiera postać
2x(x + 2) > 0
rysuję wykres paraboli y = 2x(x + 2) by rozwiązać nierowność
Rysunek 3: parabola 2x(x + 2) ma miejsca zerowe x = 0 oraz x = -2
Zatem f (x) > 0 dla x " (-"; -2) (" x " (0; +"), czyli w tych przedziałach funkcja jest
rosnÄ…ca.
Krok.4.
Badam kiedy funkcja jest malejąca korzystając z powyższego rysunku
f (x) < 0 dla x " (-2, 0) , ale uwaga !!! musimy spojrzeć na dziedzinę i wyłączyć z tego
przedziału punkt x = -1, który nie należy do dziedziny.
Zatem f (x) < 0 dla x " (-2, -1) (" (-1, 0) czyli w tych przedziałach funkcja jest malejąca.
2.2 Przykład - wypukłość
Zbadaj wypukłość i znajdz
punkty przegięcia funkcji
2x2
f(x) =
x + 1
RozwiÄ…zanie.
Krok.1.
Wyznaczam dziedzinÄ™ funkcji f(x)
x + 1 = 0, czyli x = -1.

Krok.2.
Obliczam pochodnÄ… funkcji f(x)
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwiązania zadań 4
4x(x + 1) - 2x2 · 1 2x2 + 4x 2x(x + 2)
f (x) = = =
(x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2
Krok.3.
Obliczam drugÄ… pochodnÄ… funkcji f(x) - druga pochodna funkcji f(x) to pochodna pierwszej
pochodnej (f (x))

2x2 + 4x (4x + 4) · (x + 1)2 - (2x2 + 4x) · 2(x + 1)
f (x) = (f (x)) = = =
(x + 1)2 (x + 1)4
przekształcam licznik do najprostszej postaci, mianownik zostawiam bez zmian ponieważ
odpowiada nam to, że jest on dodatni i nie będzie miał wpływu na znak drugiej pochodnej
(x + 1)(4(x + 1)2 - 4x(x + 2)) 4(x + 1)
f (x) = =
(x + 1)4 (x + 1)4
Krok.4.
Badam kiedy funkcja jest wypukła tzn. kiedy f (x) > 0
4(x + 1)
f (x) > 0 Ð!Ò! > 0
(x + 1)4
jak wcześniej zauważyliśmy mianownik jest dodatni, zatem
f (x) > 0 Ð!Ò! 4(x + 1) > 0
x + 1 > 0
x > -1
zatem dla x > -1 funkcja jest wypukła.
Krok.5.
Badam kiedy funkcja jest wklęsła tzn. kiedy f (x) < 0 - korzystam z powyższych rachunków
4(x + 1)
f (x) < 0 Ð!Ò! < 0
(x + 1)4
f (x) < 0 Ð!Ò! 4(x + 1) < 0 Ð!Ò! x < -1
zatem dla x < -1 funkcja jest wklęsła.
Krok.6. Szukam punktów przegięcia tzn. rozwiązuję równanie f (x) = 0
Z powyższych rachunków widać, że
f (x) = 0 Ð!Ò! 4(x + 1) = 0 Ð!Ò! x = -1
ale punkt x=-1 nie należy do dziedziny, więc nie funkcja nie ma punktu przegięcia.
2.3 Przykład - punkty przegięcia
Znajdz
punkty przegięcia funkcji
f(x) = 3x3
RozwiÄ…zanie.
Krok.1.Wyznaczam dziedzine i obliczam potrzebne pochodne
D = R, f (x) = 9x2
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwiązania zadań 5
f (x) = 18x
Krok.2.Wyliczam punkt  podejrzany o bycie punktem przegięcia
f (x) = 0 Ð!Ò! 18x = 0 Ð!Ò! x = 0
krok.3. Sprawdzam co się dzieje z wypukłością w otoczeniu znalezionego punktu x0 = 0.
f (x) < 0 Ð!Ò! 18x < 0 Ð!Ò! x < 0 funkcja wklesla dla x < 0
f (x) > 0 Ð!Ò! 18x > 0 Ð!Ò! x > 0 funkcja wypukla dla x > 0
Zatem widać iż funkcja zmienia wypukłość w punkcie x0 = 0, stąd jest on punktem przegięcia.
2.4 Przykład - ekstrema z Pierwszego warunku
x
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x) =
x2+4
RozwiÄ…zanie.
Krok.1.
Wyznaczam dziedzinÄ™ funkcji f(x)
x2 + 4 = 0 ponieważ x2 + 4 > 0 dla każdego x " R, zatem dziedzina D = R.

Krok.2.
Obliczam pochodnÄ… funkcji f(x)
x2 + 4 - 2x2 4 - x2
f (x) = =
(x2 + 4)2 (x2 + 4)2
Krok.3.
Szukam punktów  podejrzanych o ekstremum
4 - x2
f (x) = 0 Ð!Ò! = 0 Ð!Ò! 4 - x2 = 0 Ð!Ò! (x1 = 2 (" x2 = -2)
(x2 + 4)2
Krok.4.
Badam znak pochodnej
f (x) < 0 Ð!Ò! 4 - x2 < 0 mianownik nie ma wplywu bo jest dodatni
Rysuje wykres paraboli y = 4 - x2 by rozwiazac nierowność
Rysunek 4: badamy znak pochodnej
Miejsca zerowe x = -2,x = 2, wyznaczają nam przedziały. Zaznaczam przedziały w których
pochodna f (x) jest dodatnia (rysuję strzałkę w góre na znak że funkcja f(x) wtedy rośnie),
IS, IMed, ZiP - I rok - semestr letni - przykładowe rozwiązania zadań 6
oraz przedziały w których pochodna f (x) jest ujemna (rysuję strzałkę w dół na znak że
funkcja f(x) wtedy maleje).
Strzałki pokazują gdzie jest maksimum (tworzy sie /\) - w punkcie x = 2, oraz gdzie jest
minimum (tworzy sie \/) - w punkcie x = -2.
Krok.5.
Obliczam jakie wartości przyjmuje funkcja w znalezionych punktach.
a) dla x = -2 funkcja osiÄ…ga minimum lokalne
-2 -2 1
fmin = f(-2) = = = -
(-2)2 + 4 8 4
b) dla x = 2 funkcja osiÄ…ga maksimum lokalne
2 2 1
fmax = f(2) = = =
(2)2 + 4 8 4
2.5 Przykład - ekstrema z Drugiego warunku
x3 5
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x) = + x2 + 6x
3 2
RozwiÄ…zanie.
Krok.1.
Wyznaczam dziedzinÄ™ funkcji f(x)
D = R
Krok.2.
Obliczam pochodna f (x)
f (x) = x2 - 5x6
Krok.3.
Przyrównuje pierwszą pochodną do zera
f (x) = 0 Ð!Ò! x2 - 5x + 6 = 0 Ð!Ò! (x1 = 2 (" x2 = 3)
i tak znalezliśmy punkty  podejrzane o ekstremum.
Krok.4.
Obliczam drugÄ… pochodnÄ… f (x)
f (x) = 2x - 5
Krok.5.
Sprawdzam znak drugiej pochodnej w znalezionych punktach
a) dla x1 = 2
f (2) = 2 · 2 - 5 = -1 < 0
8 20 14
zatem w punkcie x1 = 2 funkcja osiaga maksimum lokalne fmax = f(2) = - + 12 =
3 2 3
b)dla x2 = 3
f (3) = 2 · 3 - 5 = 1 > 0
27 45
zatem w punkcie x2 = 3 funkcja osiaga minimum lokalne fmin = f(3) = - + 18 = 4, 5
3 2