EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI
Mówimy, że funkcja y=f(x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne (minimum lokalne),
jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x0, że dla wszystkich punktów tego otoczenia
zachodzi nierówność
f (x) < f (x0) ( f (x) > f (x0) )
x0-´ x0 x0+´
WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM
Twierdzenie. Jeżeli funkcja różniczkowalna w przedziale osiąga w pewnym punkcie
wewnętrznym x=x0 tego przedziału ekstremum lokalne (minimum lub maksimum), to
pochodna w tym punkcie f (x0) równa się zeru.
Punkt x0 , w którym f (x0)=0 nazywamy punktem stacjonarnym.
I WARUNEK WYSTARCZAJ
CY ISTNIENIA EKSTREMUM
Jeżeli pierwsza pochodna f (x) dla xa dla x>x0 jest dodatnia (ujemna),czyli pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt x0
zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego na ujemny),to funkcja y=f(x) osiÄ…ga
ekstremum (minimum w pierwszym i maksimum w drugim przypadku).
Arkadiusz Lisak 1
II WARUNEK WYSTARCZAJ
CY ISTNIENIA EKSTREMUM
Jeżeli dla funkcji f w punkcie stacjonarnym istnieje pochodna drugiego rzędu, która jest
różna od zera w tym punkcie, to funkcja przyjmuje w tym punkcie ekstremum. Jeśli
" "
f (x0 ) > 0 , to f ma w x0 minimum lokalne, zaś jeśli f (x0 ) < 0 , to f ma w x0 maksimum
lokalne.
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
Jeżeli pochodna jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale
rosnÄ…ca.
Jeżeli pochodna jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale
malejÄ…ca.
Przykład: y = x2 + 2x -1
y'= 2x + 2 = 2(x +1)
y'= 0 Ô!2(x +1) = 0 , x+1=0, x=-1
y'> 0 Ô! 2(x +1) > 0, x+1>0, x>-1 - funkcja roÅ›nie
y'< 0 Ô! 2(x +1)< 0 , x+1<0, x<-1 - funkcja maleje
Funkcja posiada minimum w punkcie x=-1, fmin(-1) = (-1)2 + 2Å"(-1)-1 = -2
Arkadiusz Lisak 2