EKSTREMA LOKALNE
Ć(x0) = (x0 - ´ , x0 + ´ )'" ´ > 0
Ć
´
- /fi/; - /delta/
Ć(x0)
- otoczenie punktu x0
Ć *(x0)= Ć(x0)\{x0}
Ć *(x0)
- sÄ…siedztwo punktu x0
f : X R
x0 " X
f "Ć(x0): f (x0)e" f (x) x "Ć(x0)
ma w x0 maksimum lokalne, jeśli: dla
f "Ć(x0): f (x0)d" f (x) x "Ć(x0)
ma w x0 minimum lokalne, jeśli: dla
Ekstremum lokalne to minimum lub maksimum lokalne.
Silne ekstremum
f x "Ć *(x0)
"Ć *(x0): f (x0) > f (x)
Funkcja ma w x0 silne maksimum lokalne, jeśli: dla
f x "Ć *(x0)
"Ć *(x0): f (x0) < f (x)
Funkcja ma w x0 silne minimum lokalne, jeśli: dla
Twierdzenie (WK istnienia ekstremum lokalnego)
f :(a,b) R
x0 "(a,b) 2 2 2
Ò!~ "f (x0)(" ("f (x0)'" f (x0)= 0)
f - ma ekstremum lokalne w x0
Dowód:
Bez straty ogólności możemy założyć, że f ma w x0 maksimum lokalne.
"Ć(x0): f (x0)e" f (x) x "Ć(x0)
dla
1
f (x)- f (x0) f (x)- f (x0)
" lim = lim d" 0üÅ‚
+ + ôÅ‚
xx0 xx0
x - x0 x - x0
ôÅ‚
x"Ć(x0 )
2 2
"f (x0)Ò! Ò! f (x0) = 0
żł
f (x)- f (x0) f (x)- f (x0)
ôÅ‚
" lim = lim e" 0
- -
xx0 xx0
x - x0 x - x0
ôÅ‚
x"Ć(x0 )
þÅ‚
Twierdzenie
f " C2((a,b))
x0 " (a,b)
f
Ò! ma silne minimum lokalne w x0
2
f (x0) = 0
2 2
f (x0) > 0
Dowód:
2 2
f "C
2 2 2 2
f (x0) > 0 Ò! "Ć(x0 ): f (x) > 0 x "Ć(x0)
Niech dla
Ze wzroru Taylor a (n=2):
2 2
f (c)(x - x0 )
2
2
f (x) = f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )+
c "(x0 , x)(" c "(x, x0 )
, gdzie
2
2
2 2 2
Zatem f (x) > f (x0 ) f (x0 ) = 0 '" f (c) > 0 '" (x - x0 ) > 0
ponieważ: ,
co dowodzi, że f ma w xo silne minimum lokalne.
Twierdzenie
f " C2((a,b))
x0 "(a,b)
f
Ò! ma silne maksimum lokalne w x0
2
f (x0) = 0
2 2
f (x0) < 0
Dowód:
2 2
f "C
2 2 2 2
f (x0) < 0 Ò! "Ć(x0 ): f (x) < 0 x "Ć(x0)
Niech dla
Ze wzroru Taylor a (n=2):
2
2 2
f (c)(x - x0 )
2
2
f (x) = f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )+
c "(x0 , x)(" c "(x, x0 )
, gdzie
2
2
2 2 2
f (x)< f (x0) f (x0)= 0 '" f (c)< 0 '"(x - x0) > 0
Zatem ponieważ: ,
co dowodzi, że f ma w xo silne maksimum lokalne.
Twierdzenie
2k
f " C ((a,b))
x0 "(a,b)
Ò! f
ma silne minimum lokalne w x0
(2k -1)
2 2 2 2 2 2
f (x0 ) = f (x0 ) = f (x0 ) = & = f (x0 ) = 0
(2k )
f (x0 ) > 0
Dowód:
(2k )
f (c)(x - x0 )
2k
f (x) = f (x0 )+
(2k)! Ò! f (x) > f (x0)
, co z kolei świadczy o istnieniu
2k
(2k )
silnego minimum lokalnego w x0 .
f (c) > 0 '" (x - x0 ) > 0
Analogicznie:
Twierdzenie:
2k
f " C ((a,b))
x0 "(a, b)
(2k-1)
Ò! f
ma silne maksimum lokalne w x0
2 2 2 2 2 2
f (x0 ) = f (x0) = f (x0) = & = f (x0) = 0
(2k )
f (x0 ) < 0
3
opracował Paweł Sztur
4