plik


ÿþ Pochodna cza stkowa obliczana jest po to, by uzyska informacje o tym jak zmie- nia sie funkcja w kierunku jednej z osi ukladu wspólrze dnych. Ró|niczke , o ile ist- nieje, obliczamy po to, by dowiedzie sie jak zachowuje sie funkcja w calym otoczeniu punktu. Poje ciem po[rednim jest pochodna kierunkowa. Definicja 17.1 (pochodnej kierunkowej) Pochodna funkcji f: G -’! IRl w punkcie p , w kierunku wektora v nazywamy granice f(p + tv) - f(p) lim , t’!0 t je[li ta granica istnieje. Te pochodna oznaczamy symbolem fv(p) . Jasne jest, |e wla[nie uogólnili[my poje cie pochodnej cza stkowej: "f (p) = fe (p) . i "xi Pochodna kierunkowa w kierunku wektora v obliczana jest po to, by oceni tempo zmian funkcji w otoczeniu punktu p na prostej przechodza cej przez punkt p rów- noleglej do wektora v . W punktach ró|niczkowalno[ci funkcji pochodna kierunkowa mo|na latwo znalez po obliczeniu ró|niczki funkcji. Twierdzenie 17.2 (o istnieniu pochodnej kierunkowej w punktach ró|niczkowalno[ci funkcji) Je[li funkcja f: G -’! IRl jest ró|niczkowalna w punkcie p " G , v " IRk , to funkcja f ma w punkcie p pochodna kierunkowa w kierunku wektora v i zachodzi równo[: fv(p) = Df(p)v . Dowód. Mamy f(p+tv)-f(p) f(p+tv)-f(p)-Df (p)(tv) tv lim = lim · + Df(p)v = Df(p)v t tv t t’!0 t’!0 tv  skorzystali[my tu z tego, |e iloczyn wyra|enia , ograniczonego, i wyra|enia t da |a cego do 0 ma granice 0 oraz z tego, |e Df(p)(tv) = tDf(p)v i oczywi[cie z tego, |e f jest ró|niczkowalna w punkcie p , z czego wynika od razu, |e f(p + tv) - f(p) - Df(p)(tv) lim = 0 . t’!0 tv W ten sposób zakoDczyli[my dowód tego twierdzenia. Z tego twierdzenia wynika w szczególno[ci, |e przy ustalonym punkcie p po- chodna fv(p) jest liniowa funkcja wektora v oczywi[cie pod warunkiem ró|niczko- 1 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema walno[ci funkcji f w tym punkcie. Oznacza to, |e f±v+²w(p) = ±fv(p) + ²fw(p) k dla dowolnych liczb rzeczywistych ±, ² i dowolnych wektorów v, w " . 0 x x2y Czytelnik zechce sprawdzi, |e je[li f = 0 i f = , gdy przynajmniej 0 y x2+y2 jedna z liczb x , y jest ró|na od 0, to fv(0) = f(v) dla ka|dego wektora v " IRk . W tym przypadku pochodna w kierunku wektora v w punkcie 0 nie jest wie c liniowa funkcja wektora v , a co za tym idzie funkcja f nie jest ró|niczkowalna w punkcie 0 . Zache camy do sprawdzenia, |e f jest w tym punkcie cia gla. Powtórzmy: z ró|niczkowalno[ci funkcji w punkcie wynika istnienie pochodnych kierunkowych w tym punkcie we wszystkich kierunkach, w szczególno[ci istnienie pochodnych cza stkowych. Z istnienia pochodnych cza stkowych nie wynika nawet xy cia glo[ funkcji  widzieli[my to na przykladzie funkcji . Mo|na poda przyklad x2+y2 funkcji która w pewnym punkcie ma pochodne kierunkowe we wszystkich kierunkach i to równe 0 i jednocze[nie nie jest cia gla w tym punkcie. Oznacza to, |e zbada- nie zachowania sie funkcji na prostych przechodza cych przez dany punkt to jedynie wste p do zbadania zachowania sie tej funkcji w otoczeniu tego punktu. Tych kwestii nie be dziemy jednak dokladnie analizowa, bo to wykracza znacznie poza potrzeby wie kszo[ci chemików. Definicja 17.3 (gradientu funkcji) Wektor grad f(p) nazywamy gradientem funkcji f ró|niczkowalnej w punkcie p , k je[li Df(p)v = grad f(p) · v dla ka|dego wektora v " . -"f------------------ -- ’! "f "f Z definicji wynika od razu, |e grad f(p) = (p), (p), . . . , (p)  ró|- "x1 "x1 "xk nica mie dzy gradientem i ró|niczka jest na tym etapie czysto formalna. Ró|niczka to macierz (ewentualnie przeksztalcenie liniowe), a gradient to wektor. Rozwa|my teraz funkcje f: G -’! IR ró|niczkowalna w punkcie p " G . Niech v i w oznaczaja takie wektory, |e v = grad f(p) i w = grad f(p) . Mamy wtedy 2 fv(p) = Df(p)v = v · grad f(p) = v · w d" v · w = w = fw(p) . Wykazali[my wie c Twierdzenie 17.4 (o kierunku najszybszego wzrostu funkcji) Pochodna funkcji f w kierunku gradientu funkcji w danym punkcie p jest najwie ksza spo[ród wszystkich pochodnych w tym punkcie w kierunku wektorów o dlugo[ci grad f(p) . Zwykle mówimy, |e gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji, bo pochodna mierzy tempo zmian funkcji, je[li pochodna jest dodatnia to funkcja ro[nie. Rozwa|anie jedynie wektorów o danej dlugo[ci jest konieczne, bo f±v(p) = ±fv(p) 2 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema dla dowolnego punktu p , dowolnego wektora v i dowolnej liczby rzeczywistej ± , a my chcemy porównywa tempo wzrostu funkcji wzdlu| prostych przechodza cych przez punkt p oczywi[cie przy zalo|eniu, |e po ka|dej prostej poruszamy sie z ta sama pre dko[cia  podany w tym zdaniu wzór stwierdza po prostu, |e zmiana pre dko[ci poruszania sie po prostej przechodza cej przez p powoduje wzrost pre dko[ci zmian funkcji w takim samym stosunku. W istocie rzeczy slowo gradient nie jest niezbe dne w tym wykladzie, ale poniewa| jest ono u|ywane powszechnie we wszystkich je zykach, wie c my te| go unika nie be dziemy. Twierdzenie 17.5 (o ró|niczce zlo|enia dwu funkcji) Zaló|my, |e funkcja g jest ró|niczkowalna w punkcie p a funkcja f w punkcie g(p) oraz |e zlo|enie f æ%g jest zdefiniowane, tj. dziedzina funkcji f zawiera zbiór warto[ci funkcji g . Wtedy zlo|enie f æ% g jest ró|niczkowalne w punkcie p i zachodzi równo[: D(f æ% g)(p) = Df(g(p)) · Dg(p) , tu kropka oznacza mno|enie macierzy. g(p+h)-g(p)-Dg(p)h Dowód. Niech r(h) = dla h = 0 i r(0) = 0 . Wobec tego h g(p + h) = g(p) + Dg(p)h + r(h) · h . Ró|niczkowalno[ funkcji g w punkcie p to po prostu cia glo[ funkcji r w punkcie 0 . Analogicznie ró|niczkowalno[ funkcji f w punkcie g(p) to cia glo[ funkcji , f(g(p)+H)-g(p)-Df((p))H zdefiniowanej za pomoca równo[ci (H) = i (0) = 0 , w H punkcie 0 . Mamy teraz f(g(p + h)) = f(g(p)) + Df(g(p)) g(p + h) - g(p) + + g(p + h) - g(p) · g(p + h) - g(p) = = f(g(p)) + Df(g(p)) Dg(p)h + r(h) h + + Dg(p)h + r(h) h · Dg(p)h + r(h) h = = f(g(p)) + Df(g(p))Dg(p)h + + h · Df(g(p))r(h) + Dg(p)h + r(h) h · Dg(p) h + r(h) . h Jasne jest, |e wyra|enie Dg(p) h + r(h) jest ograniczone oraz |e zachodzi h równo[ lim Df(g(p))r(h) + Dg(p)h + r(h) h = 0 , a sta d ju| latwo wynika, h’!0 |e lim Df(g(p))r(h) + Dg(p)h + r(h) h · Dg(p) h + r(h) = 0 , czyli |e h h’!0 f(g(p+h))-f(g(p))-Df (g(p))Dg(p)h lim = 0 , a to oznacza, |e h h’!0 D(f æ% g)(p) = Df(p) · Dg(p) . Dowód zostal zakoDczony. 3 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema Je[li studenci zechca , to moga zauwa|y, |e ten dowód w istocie rzeczy sugeruje, |e mo|na (i w rzeczywisto[ci nale|y) my[le o wydzielaniu cze [ci stalej ( f(g(p)) ), a naste pnie liniowej ( Df(g(p))Dg(p)h ) przeksztalcenia, gdy usilujemy znalez jego ró|niczke w danym punkcie. Mo|na to prze[ledzi na jakim[ przykladzie, czego w tym miejscu nie zrobimy, ale zache camy czytelników do samodzielnego znalezienia co najmniej jednej pochodnej w ten sposób. Naste pne twierdzenie podamy bez dowodu. Twierdzenie 17.6 (o ró|niczce funkcji odwrotnej) Zaló|my, |e funkcja f: G -’! IRl jest ró|niczkowalna w punkcie p zbioru otwartego G ‚" IRk , |e jej zbiór warto[ci jest otwarty w IRl , |e ró|niczka Df(p) jest macierza -1 odwracalna oraz |e funkcja f jest ró|nowarto[ciowa i funkcja odwrotna f jest -1 cia gla w punkcie f(p) . Wtedy funkcja f jest ró|niczkowalna w punkcie f(p) i -1 zachodzi równo[ D(f )(p) = (Df(p))-1 . Warto jedynie zaznaczy, |e glównym problemem w tym twierdzeniu jest istnie- nie ró|niczki przeksztalcenia odwrotnego. Sam wzór jest konsekwencja twierdzenia o -1 pochodnej zlo|enia dwu funkcji ( f i f ). Dwa ostatnie twierdzenia pokazuja , |e nale|y my[le o pochodnej (ró|niczce) funkcji wielu zmiennych jako o macierzy. Doda nale|y, |e twierdzenie o ró|niczce zlo|enia dwu funkcji to jedna z glównych przyczyn, dla których mno|enie macierzy jest zdefiniowane wla[nie w taki sposób. k Poka|emy jedno z licznych zastosowaD tego twierdzenia. Niech ³: (-1, 1) -’! be dzie funkcja ró|niczkowalna . Wtedy wektor ³ (t0) jest styczny w punkcie ³(t0) do obrazu funkcji ³ , czyli do krzywej zlo|onej ze wszystkich punktów postaci ³(t) , t " (-1, 1) . Nale|y my[le, |e w chwili t poruszaja cy sie punkt materialny znaj- duje sie w miejscu ³(t) . W takiej sytuacji naturalnym pomyslem jest przyje cie, |e wektor ³ (t) to wektor pre dko[ci chwilowej w momencie t . Oczywi[cie pre dko[ jest styczna do drogi. Te kilka zdaD to oczywi[cie agitacja, ale jedna z definicji wektora stycznego do krzywej to wla[nie one (po opuszczeniu tre[ci fizycznej, która jest przy- czyna przyje cia wla[nie takiej definicji wektora stycznego) . W szczególy wchodzi nie be dziemy z braku czasu. k k Zaló|my, |e f: -’! i ³: (-1, 1) -’! sa funkcjami ró|niczkowalnymi oraz |e istnieje taka liczba c , |e f ³(t) = c dla t " (-1, 1) . Wtedy 0 = (f æ% ³) (0) = Df ³(0) · ³ (0) = grad f ³(0) · ³ (0) . 4 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema Wykazali[my, |e wektory grad f ³(0) i ³ (0) sa prostopadle. Je[li poprowa- dzimy przez punkt p := ³(0) wszystkie mo|liwe krzywe ró|niczkowalne, to otrzy- mamy wszystkie wektory styczne do  powierzchni f(x) = c w punkcie p . Ka|dy z nich jest prostopadly do gradientu funkcji f w punkcie p . Oznacza to, |e gradient jest prostopadly do  plaszczyzny * Je[li ten gradient jest niezerowy, to mo|emy znalez równanie  plaszczyzny stycznej . Przyklad 17.1 Niech f(x, y) = y - sin x i niech c = 0 . Zbiór M zdefiniowany À 1 równaniem 0 = f(x, y) to wykres funkcji sinus. Niech p = ( , ) . Mamy wie c 6 2 À 1 1 À f( , ) = - sin = 0 , czyli p " M . Wektory styczne do zbioru M (czyli do 6 2 2 6 sinusoidy) w punkcie p sa prostopadle do wektora " À 1 À 3 grad f( , ) = (- cos , 1) = (- , 1) . 6 2 6 2 Je[li punkt (x, y) le|y na stycznej do M w punkcie p , to " " 3 À 1 3 À 1 0 = (- , 1) · (x - , y - ) = - (x - ) + (y - ) . 2 6 2 2 6 2 Czytelnik bez trudu rozpozna równanie prostej stycznej do sinusoidy w punkcie À 1 p = ( , ) , które poprzednio otrzymywali[my nieco inaczej. Zauwa|y te|, |e w przy- 6 2 padku wykresu dowolnej funkcji ró|niczkowalnej otrzymany na opisanej teraz drodze rezultat be dzie identyczny z uzyskiwanym przez skorzystanie z definicji prostej stycz- nej do wykresu funkcji podanej w pierwszym semestrze. Przyklad 17.2 Niech f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 i niech c = 14 . Niech M be dzie zbiorem zlo|onym z tych punktów (x, y, z) , dla których zachodzi równo[ 14 = c = f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 . Oczywi[cie p := (1, -2, 3) " M . Zbiór M jest sfera , której [rodkiem jest punkt " (0, 0, 0) i której promieD jest równy 14 . Znajdziemy plaszczyzne   styczna do tej sfery w punkcie p = (1, -2, 3) . Mamy grad f(1, -2, 3) = (2, -4, 6) . Je[li (x, y, z) "   , to 0 = (x - 1, y + 2, z - 3) · (2, -4, 6) = 2(x - 1) - 4(y + 2) + 6(z - 3) . Otrzymali[my równanie plaszczyzny stycznej do sfery M w punkcie (1, -2, 3) . Przyklad 17.3 Uklad równaD y = 0 i (x - 7)2 + z2 = 25 opisuje okra g o [rodku w punkcie (7, 0, 0) i promieniu 5 le|a cy w plaszczyznie wyznaczonej przez osie OX i OZ . Równanie (x- 7)2 +z2 = 25 mo|emy przepisa w postaci 14x = x2 + z2 + 24 . Z tego równania wynika, |e 196x2 = (x2 + z2 + 24)2 przy czym to ostatnie równanie równowa|ne jest poprzedniemu przy zalo|eniu, |e x e" 0 . Zaste puja c x2 w równaniu *To nie zawsze jest plaszczyzna, np. zwykle wymiar równy jest k-1 , wiec dla k>3 mówimy na ogól o przestrzeni stycznej do powierzchni f (x)=c . 5 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema 196x2 = (x2 + z2 + 24)2 przez x2 + y2 otrzymujemy równanie powierzchni powstalej w wyniku obrotu okre gu (x - 7)2 + z2 = 25 le|a cego w plaszczyznie y = 0 wokól osi OZ  ta powierzchnia wygla da jak napompowana de tka, np. rowerowa; matematyce zwa ja torusem. Tak otrzymane równanie tej powierzchni ma posta 2 196(x2 + y2) = x2 + y2 + z2 + 24 . Latwo mo|na przekona sie , |e jednym z punktów tej powierzchni jest p := (6, 8, 4) . 2 Niech f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 24 - 196(x2 + y2) . Jasne jest, |e równanie torusa mo|na zapisa jako f(x, y, z) = 0 . Zachodzi równo[ grad f(x, y, z) = 2x(x2 +y2 +z2)-392x, 2y(x2 +y2 +z2)-392y, 2z(x2 +y2 +z2) . Z niej wynika, |e grad f(6, 8, 4) = (-960, -1080, 928) . Równanie plaszczyzny stycznej ma wie c posta: 0 = (x-6, y -8, z -4)·(-960, -1280, 928) = -960(x-6)-1280(y -8)+928(z -4) . Po podzieleniu przez 32 otrzymujemy -30(x - 6) - 40(y - 8) + 29(z - 4) , czyli 30x + 40y - 29z - 384 = 0 . Uwaga 17.7 (na deser) Najprostsze funkcje to liniowe. Je[li f(x, y) = Ax + By + C , to grad f(x, y) = (A, B) . Wynika sta d, |e wektor (A, B) jest prostopadly do prostej stycznej zbioru opisanego równaniem 0 = f(x, y) = Ax + By + C , czyli do prostej Ax + By + C = 0 . Je[li f(x, y, z) = Ax+ By + Cz + D , to grad f(x, y, z) = (A, B, C) , wie c wektor (A, B, C) jest prostopadly do plaszczyzny stycznej do zbioru opisanego równaniem 0 = f(x, y, z) = Ax + By + Cz + D , wie c do plaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 . To akurat wiemy od dawna. Okazalo sie jednak, |e jest to szczególny przypadek ogólniejszego twierdzenia. W teorii ró|niczkowania funkcji jednej zmiennej rzeczywistej kluczowa role od- grywalo twierdzenie Lagrange a o warto[ci [redniej. Nie jest ono niestety prawdziwe nawet dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, której warto[ciami sa punkty plasz- czyzny. cos t - sin t Przyklad 17.4 Niech f(t) = . Wtedy Df(t) = . Mamy równie| sin t cos t 1 f(2À) = = f(0) . Gdyby twierdzenie Lagrange a bylo prawdziwe w takiej wersji, 0 jak dla funkcji o warto[ciach rzeczywistych, to istnialaby taka liczba c " (0, 2À) , 0 - sin c |e = f(2À) - f(0) = f (c) · (2À - 0) = 2À , a to jest niemo|liwe, bo 0 cos c sin2 c + cos2 c = 1 , wie c liczby cos c i sin c nie zeruja sie dla jednego c . 6 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema Twierdzenie 17.8 (Lagrange a o warto[ci [redniej) l k Niech f: G -’! be dzie funkcja okre[lona na zbiorze otwartym G †" i niech p, q " G . Zaló|my, |e caly odcinek o koDcach p, q jest zawarty w zbiorze G . Dla pewnej liczby t " (0, 1) zachodzi wtedy nierówno[ f(p) - f(q) d" p - q · Df p + t(q - p) ; je[li M jest macierza , która ma l wierszy i k kolumn, to M oznacza najmniejsza taka liczbe nieujemna , |e nierówno[ M · v d" M · v zachodzi dla ka|dego l k k wektora v " . Zachodzi nierówno[ M d" m2 , gdzie przez i=1 j=1 i,j mi,j oznaczyli[my ten wyraz macierzy M , który stoi na przecie ciu i  tego wiersza z j  ta kolumna . k Dowód. Niech v1, v2, . . . , vk be da kolejnymi wspólrze dnymi wektora v " . Wtedy z nierówno[ci Schwarza wynika, |e 2 l k l k k 2 2 M v = mi,jvj d" m2 · vj = i=1 j=1 i=1 j=1 i,j j=1 k l k l k 2 2 = vj · m2 = v · m2 , j=1 i=1 j=1 i,j i=1 j=1 i,j l k zatem M v d" m2 · v . i=1 j=1 i,j Niech Õ(t) = f(q) - f(p) · f(p + t(q - p)) - f(p) . Õ jest funkcja ró|nicz- kowalna okre[lona na [0, 1] , bo f jest funkcja ró|niczkowalna okre[lona na zbiorze zawieraja cym odcinek o koDcach p, q . Mamy te| Õ (t) = f(q) - f(p) · Df(p + t(q - p)) · (q - p) . Z twierdzenia Lagrange a o warto[ci [redniej wynika, |e istnieje liczba t " (0, 1) , dla której zachodzi równo[ Õ(1) - Õ(0) = Õ (t) · (1 - 0) = f(q) - f(p) · Df(p + t(q - p)) · (q - p) . 2 Poniewa| Õ(0) = 0 i Õ(1) = f(q)-f(p) · f(p+(q-p))-f(p) = f(q)-f(p) , wie c 2 f(q) - f(p) = f(q) - f(p) · Df(p + t(q - p)) · (q - p) d" d" f(q) - f(p) · Df(p + t(q - p)) · q - p , zatem f(q) - f(p) d" Df(p + t(q - p)) · q - p . Z otrzymanej nierówno[ci teza wynika natychmiast. Udowodnione twierdzenie nie daje dokladnego wzoru na f(q) - f(p) , ale po- zwala oszacowa te ró|nice za pomoca pochodnych cza stkowych, wie c spelnia te role , która spelnialo twierdzenie Lagrange a o warto[ci [redniej w przypadku funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Zajmiemy sie teraz pochodnymi wy|szego rze du, konkretnie drugiego. Niech 7 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema f: G -’! be dzie funkcja , która ma pochodne cza stkowe pierwszego rze du w calym zbiorze otwartym G . Ograniczymy sie w istocie rzeczy do pochodnych funkcji o warto[ciach rzeczywi- stych. Nie ma najmniejszego klopotu ze zdefiniowaniem pochodnych cza stkowych dru- giego rze du. Je[li funkcja f: G -’! ma w zbiorze otwartym G pochodne cza stkowe pierwszego rze du, to mo|emy pyta o to, czy maja one pochodne cza stkowe. Definicja 17.9 (pochodnych cza stkowych wy|szego rze du) "f Je[li pochodna cza stkowa ma w punkcie p " G pochodna cza stkowa wzgle dem "xi zmiennej xj , to te pochodna nazywamy pochodna cza stkowa drugiego rze du funkcji "2f f w punkcie p wzgle dem zmiennych xi , xj i oznaczamy symbolem (p) . "xj"xi "2f Je[li i = j , to mówimy o pochodnej mieszanej. Je[li i = j , to piszemy (p) . "x2 i Analogicznie definiowane sa pochodne cza stkowe wy|szych rze dów. x "2f "2f "2f Je[li f = x2 + 11xy + 37y2 , to (p) = 2 , (p) = 74 , (p) = 11 , y "x2 "y2 "y"x "2f "f x "f x (p) = 11 , bo = 2x + 11y i = 11x + 74y . Przykladów na razie nie "x"y "x y "y y be dziemy mno|y, bo w istocie rzeczy nie ma w nich nic istotnie nowego, po prostu liczymy naste pne pochodne. Definicja 17.10 (macierzy drugiej ró|niczki) Macierza drugiej ró|niczki funkcji f: G -’! w punkcie p nazywamy macierz "2f "2f (p) , je[li pochodne (p) istnieja dla i, j " {1, 2, . . . , k} . "xi"xj "xi"xj Z definicji wynika, |e macierz drugiej ró|niczki jest macierza kwadratowa .  Na ogól jest ona symetryczna, tzn. w ró|nych sytuacjach symetrii mo|e nie by, ale jest tak w przypadku funkcji  zdefiniowanych wzorami o czym mówi naste puja ce Twierdzenie 17.11 (Schwarza o symetrii drugiej ró|niczki) "2f "2f Je[li funkcja f: G -’! ma pochodne mieszane (p) i (p) w ka|dym "xi"xj "xj"xi punkcie p zbioru G i obie te pochodne sa cia gle w punkcie q " G , to sa w tym punkcie równe: "2f "2f (q) = (q) . "xi"xj "xj"xi Dowód. Poniewa| mowa jest o pochodnych wzgle dem xi oraz wzgle dem xj , wie c mo|na my[le o funkcji dwu zmiennych, pozostale zmienne i tak traktowane sa jako 2 parametry. Dalej zakladamy wie c, |e G ‚" , piszemy x zamiast xi oraz y zamiast a u xj . Niech q = i h = . Poniewa| zakladamy, |e zbiór G jest otwarty, wie c b v dla dostatecznie malych h okre[li mo|emy liczbe 8 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema u a+u a+u a a g = f - f - f + f . v b+v v b+v b a+u a+u Traktuja c f - f jako funkcje zmiennej u przy ustalonym v mo|emy b+v v zastosowa jednowymiarowe twierdzenie Lagrange a o warto[ci [redniej: istnieje wie c u "g a+tu "g a+tu liczba t " (0, 1) , taka |e g = u - . Traktuja c teraz u i t jako v "x b+v "x b stale a v jako zmienna mo|emy znów skorzysta z twierdzenia o warto[ci [redniej: u "2f a+tu istnieje wie c liczba s " (0, 1) , taka |e g = vu . Ustalaja c najpierw v v "y"x b+sv a potem u stwierdzimy w taki sam sposób, |e istnieja liczby Ä, Ã " (0, 1) , takie |e u "2f a+Äu g = uv . Przyjmuja c teraz u = v w obu równo[ciach otrzymujemy: v "x"y b+Ãv u "2f a+tu "2f a u "2f a+Äu "2f a 1 1 lim g = lim = , lim g = lim = . u2 u "y"x b+sv "y"x b u2 u "x"y b+Ãv "x"y b u’!0 u’!0 u’!0 u’!0 Poniewa| lewe strony sa równe, wie c prawe te|. Dowód zostal zakoDczony. Od tej pory nie musimy wie c pamie ta na czym dokladnie polega ró|nica mie dzy "2f "2f symbolami i . Ostrzegamy jednak, |e to twierdzenie, jak ka|de inne, "xi"xj "xj"xi ma zalo|enia. Na wszelki wypadek podamy standardowy przyklad wskazuja cy na konieczno[ pamie tania o tych zalo|eniach. Przyklad 17.5 Niech 0, je[li x = 0 = y; x f = x2-y2 y xy , je[li x2 + y2 > 0. x2+y2 "f x "f 0 Korzystaja c z definicji pochodnej stwierdzamy, |e = x oraz = -y . "y 0 "x y "2f "2f Sta d ju| latwo wynika, |e (0) = 1 = -1 = (0) . Widzimy wie c, |e mo|e sie "x"y "y"x zdarzy, |e pochodne mieszane sa ró|ne, ale w przypadkach, którymi be dziemy sie zajmowa, be da spelnione zalo|enia twierdzenia o symetrii drugiej ró|niczki! Uwaga 17.12 W dowodzie twierdzenia o symetrii drugiej ró|niczki pochodna mie- szana zostala wyra|ona jako granica  podwójnego ilorazu ró|nicowego , w którym nie wyste puje |adna pochodna pierwszego rze du. W liczniku wyste puje  ró|nica dru- giego rze du : a+u a+u a a a+u a+u a a f - f - f + f = f - f - f - f = b+v v b+v b b+v v b+v b a+u a a+u a = f - f - f - f b+v b+v v b Przypomina to o tym, |e druga pochodna mierzy tempo zmian tempa zmian funkcji. W jednym wymiarze zwia zane to bylo wypuklo[cia funkcji, tu sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana, bo mówimy jedynie o pochodnych cza stkowych. Wida jed- nak, |e rozwa|amy najpierw zmiany warto[ci funkcji odpowiadaja ce zmianie jednego argumentu (np. y ) odpowiadaja ce ró|nych warto[ciom innego argumentu (w tym 9 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema przypadku x ), a potem ich ró|nice . To wa|na interpretacja. W rachunku ró|niczkowym najwa|niejsza idea to przybli|anie funkcji funkcja liniowa , wyste puje ona ju| w definicji pochodnej. Naste pny krok to przybli|anie wie- lomianami odpowiedniego stopnia, gdy przybli|enia liniowe sa niewystarczaja ce. Od- powiednie twierdzenia zawieraja wzór Taylora z ró|nymi postaciami reszty. Zajmiemy sie teraz tym wzorem w przypadku funkcji wielu zmiennych i wielomianów drugiego stopnia. Warto od razu stwierdzi, |e mo|na u|ywa wielomianów wy|szego stop- nia, ale nie chcemy komplikowa wzorów, zreszta , wg. wiedzy autora, wielomiany Taylora stopnia wy|szego ni| 2 nie sa zbyt cze sto u|ywane. Druga przyczyna tego ograniczenia jest wiara autora w to, |e kto[ kto zrozumial jak mo|na stosowa wielo- miany Taylora wy|szych stopni w jednym wymiarze i wielomiany stopnia drugiego w wielu wymiarach, nie be dzie mie trudno[ci z u|yciem wielomianów Taylora stopnia wy|szego ni| 2 w przypadku funkcji wielu zmiennych. Definicja 17.13 (drugiego wielomianu Taylora i drugiej reszty) Zaló|my, |e funkcja f: G -’! ma pochodne cza stkowe drugiego rze du w punkcie p " G . Drugim wielomianem Taylora funkcji f w punkcie p nazywamy wielomian zmiennych h1 , h2 ,. . . , hk : k k "f 1 "2f f(p) + (p)hi + (p)hihj . "xi 2 "xi"xj i=1 i,j=1 Druga reszta nazywamy ró|nice ëø öø k k "2f íøf(p) + "f (p)hi + 1 r2(h) = f(p + h) - (p)hihjøø . "xi 2 "xi"xj i=1 i,j=1 "2f Zauwa|my, |e je[li cho jedna z pochodnych (p) jest ró|na od 0, to stopieD "xi"xj wielomianu jest równy 2. x "f x "f x Przyklad 17.6 Niech f = ex+3y . Wtedy = ex+3y , = 3ex+3y , y "x y "y y 2 "f x "2f x "2f x zatem = ex+3y , = 3ex+3y i = 9ex+3y . Wobec tego drugi "x2 y "x"y y "y2 y wielomian Taylora funkcji f w punkcie 0 wygla da tak: 1 1 + 1 · h1 + 3 · h2 + 1 · h2 + 3 · h1h2 + 3 · h2h1 + 9 · h2 = 1 2 2 1 9 = 1 + h1 + 3h2 + h2 + 3h1h2 + h2 . 1 2 2 2 Najwa|niejsze, cho bardzo proste, twierdzenie brzmi prawie tak samo jak w jednowymiarowym przypadku, ale my wzmocnimy nieco zalo|enia, bo konsekwentnie unikamy poje cia ró|niczki drugiego rze du. 10 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema Twierdzenie 17.14 (G.Peano) Je[li funkcja f: G -’! ma pochodne drugiego rze du w zbiorze G i sa one cia gle w ka|dym punkcie zbioru G , to dla ka|dego p " G zachodzi równo[: r2(h) lim = 0 . h 2 h’!0 Dowód. Potraktujemy r2 jako funkcje zmiennej h . Zachodza wtedy naste puja ce k "r2 "f "f "2f równo[ci r2(0) = 0 , (h) = (p + h) - (p) - (p)hj , a sta d wy- j=1 "hi "xi "xi "xi"xj "2r2 "2f "2f nika ju| latwo, |e (h) = (p + h) - (p) . Z cia glo[ci pochodnych "hi"hj "xi"xj "xi"xj "2r2 cza stkowych drugiego rze du wynika, |e lim (h) = 0 , oczywi[cie r2 zale|y od "hi"hj h’!0 p , ale ten punkt jest w calym rozumowaniu ustalony. Teraz twierdzenie o warto[ci [redniej: r2(h) = r2(h) - r2(0) d" h sup Dr2(Äh) . Zastosujemy to samo 0d"Äd"1 "r2 "r2 twierdzenie raz jeszcze tym razem do funkcji . Mamy (0) = 0  wynika "hi "hi to natychmiast z wzoru na pochodne cza stkowe funkcji r2 , zatem "r2 "r2 "r2 "r2 (Äh) = (Äh) - (0) d" Äh sup D (ÃÄh) d" "hi "hi "hi "hi 0d"Ãd"1 "r2 d" h sup D (ÃÄh) "hi 0d"Ãd"1 Poniewa| norma macierzy mo|na oszacowa przez pierwiastek kwadratowy z sumy "2r2 kwadratów wspólczynników macierzy i lim (h) = 0 , wie c zachodzi równo[ "hi"hj h’!0 "r2 lim D (ÃÄh) = 0 oraz "hi h’!0 k 2 r2(h) 1 1 "r2 d" sup Dr2(Äh) d" sup (Äh) d" 2 h h h "hi 0d"Äd"1 0d"Äd"1 i=1 k 2 "r2 d" sup sup D (ÃÄh) --- 0 - ’! "hi h’!0 0d"Äd"1 0d"Ãd"1 i=1 Te szacowania koDcza dowód. Dowód twierdzenia Peano podali[my glównie po to, by raz jeszcze u[wiadomi czytelnikom, |e pochodna slu|y do oszacowania tempa zmian funkcji. Przejdziemy teraz do twierdzenia, które pozwala w wielu przypadkach ustali czy w punkcie zerowania sie gradientu funkcja ma lokalne ekstremum czy te| nie. Twierdzenie 17.15 (o lokalnych ekstremach funkcji dwukrotnie ró|niczkowalnej) Zaló|my, |e funkcja f: G -’! ma w zbiorze G pochodne cza stkowe drugiego rze du "2f oraz |e sa one cia gle. Niech grad f(p) = 0 . Niech D2f(p) = (p) be dzie "xi"xj 11 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema macierza drugiej ró|niczki funkcji f w punkcie p . W tej sytuacji a. je[li forma kwadratowa zdefiniowana macierza D2f(p) jest dodatnio okre[lona, czyli gdy dla ka|dego wektora v = 0 zachodzi nierówno[ k k k "2f "2f vi · (p)vj = (p)vivj > 0 v · D2f(p) · v = i=1 j=1 "xi"xj i,j=1 "xi"xj to funkcja f ma w punkcie p lokalne minimum wla[ciwe; b. je[li forma kwadratowa zdefiniowana macierza D2f(p) jest ujemnie okre[lona*, to funkcja f ma w punkcie p lokalne maksimum wla[ciwe; k k c. je[li istnieja takie wektory v " oraz w " , |e v · D2f(p)v < 0 < w · D2f(p)w , to w punkcie p funkcja f nie ma lokalnego ekstremum: w dowolnym otoczeniu tego punktu znajduja sie punkty x , takie |e f(p) > f(x) oraz punkty y , takie |e f(y) > f(p) . Dowód. a. Zbiór zlo|ony z wektorów o dlugo[ci 1 jest ograniczony (to sfera!) i domknie ty, wie c funkcja (cia gla) przypisuja ca wektorowi v liczbe v · D2f(p)v przyjmuje w jakim[ jego punkcie swa najmniejsza warto[. Niech µ be dzie ta naj- x mniejsza warto[cia . Je[li x = 0 i v = , to v = 1 , zatem x 1 x µ d" v · D2f(p)v = · D2f(p) x = x · D2f(p) x , x x 2 x 2 k a sta d wynika, |e µ · x d" x · D2f(p) x dla ka|dego wektora x " . Oczywi[cie µ > 0 . Z twierdzenia Peano wynika, |e istnieje liczba ´ > 0 , taka |e je[li h < ´ , µ 2 to |r2( h)| < h . Wobec tego 2 k k "f "2f 1 f(p + h) = f(p) + (p)hi + (p)hihj + r2( h) = "xi 2 "xi"xj i=1 i,j=1 k "2f 1 = f(p) + (p)hihj + r2( h) = f(p) + D2f(p) h · h + r2( h) . 2 "xi"xj i,j=1 Je[li 0 < h < ´ , to warto[ bezwzgle dna trzeciego skladnika jest mniejsza ni| skladnik drugi, wie c ich suma jest dodatnia niezale|nie od znaku r2( h) . To koDczy dowód tego, |e w kuli B(p, ´) najmniejsza warto[ funkcja f przyjmuje w punkcie p i w |adnym innym, wie c ma ona w punkcie p lokalne minimum wla[ciwe. b. Stosujemy udowodniona ju| cze [ twierdzenia do funkcji -f . c. Niech g(t) = f(p + tv) . Poniewa| G jest zbiorem otwartym, wie c tym wzorem *tzn. forma kwadratowa zdefiniowana macierza przeciwna , -D2f(p) , jest dodatnio okre[lona 12 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema funkcje g mo|emy zdefiniowa na pewnym przedziale otwartym zawieraja cym liczbe 0. Funkcja g jest dwukrotnie ró|niczkowalna, bo f ma pochodne drugiego rze du. k "f Z twierdzenia o pochodnej zlo|enia wynika latwo, |e g (t) = (p + t v)vi , i=1 "xi wobec tego |e grad f(p) = 0 , zachodzi równo[ g (0) = 0 . Mamy te| ëø öø k k k "f2 "f2 íø g (t) = (p + t v)vjøø vi = (p + t v)vivj , "xj"xi "xj"xi i=1 j=1 i,j=1 zatem g (0) = D2f(p) v · v < 0 . Poniewa| g (0) = 0 > g (0) , wie c funkcja g ma w punkcie 0 lokalne maksimum wla[ciwe, zatem w dowolnym otoczeniu punktu p znajduja sie punkty, w których warto[ci funkcji f sa mniejsze ni| f(p) . Wynika sta d, |e funkcja f nie ma w punkcie (p) lokalnego minimum. Mo|emy rozwa|y teraz funkcje g zdefiniowana wzorem g(t) = f(p + tw) . Rozumuja c dokladnie tak, Ü Ü jak przed chwila przekonujemy sie , |e ma ona w punkcie 0 lokalne minimum wla[ciwe, wie c w dowolnym otoczeniu punktu p znajduja sie punkty, w których warto[ci sa wie ksze ni| f(p) , zatem funkcja f nie ma w punkcie p maksimum lokalnego. Mamy wie c do czynienia z siodlem a nie z lokalnym ekstremum. Wniosek 17.16 (z dowodu twierdzenia o lokalnych ekstremach.) Je[li g(t) = f(p+t v) i funkcja f ma pochodne cza stkowe drugiego rze du w otoczeniu k "f2 punktu p i sa one cia gle w punkcie p , to g (0) = (p)vivj . "xj"xi i,j=1 Wniosek ten mówi, |e warto[ drugiej ró|niczki w punkcie p na wektorze v jest druga pochodna badanej funkcji ograniczonej do prostej przechodza cej przez punkt p , równoleglej do wektora v . Czytelnik zwróci uwage na to, |e dowód cze [ci a. twierdzenia w istocie rzeczy polega na tym, |e sprawdzamy i| zachodzi ono dla wielomianów stopnia 2 lub mniej- szego, a naste pnie stwierdzeniu, |e przy dostatecznie dobrych zalo|eniach o wielomia- nie kwadratowym reszta nie ma wplywu na teze , bo po prostu jest za mala. Oczywi[cie twierdzenie ma charakter lokalny o czym bardzo dobrze [wiadczy przyklad 24, który zreszta za chwile przypomnimy  funkcja tam wyste puja ca ma dwa lokalne minima, ale |adne z nich nie jest minimum globalnym, którego zreszta nie ma, bo funkcja nie jest ograniczona z dolu. W cze [ci c. okazalo sie , |e z zalo|eD wynika istnienie prostej przechodza cej przez p , po ograniczeniu do której funkcja ma lokalne mini- mum wla[ciwe i drugiej prostej przechodza cej przez p , po ograniczeniu do której funkcja ma maksimum wla[ciwe. Takie zjawisko nie moglo oczywi[cie wysta pi w przypadku funkcji jednej zmiennej. Mo|e sie te| zdarzy, |e forma drugiej ró|niczki 13 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema jest pólokre[lona, np. dodatnio. Oznacza to, |e D2f(p) v · v e" 0  zamiast ostrej nierówno[ci mamy tylko nieostra Wtedy nic sie nie da wywnioskowa bez dalszego ba- dania funkcji: funkcja x4 + y4 ma w punkcie 0 minimum wla[ciwe, zreszta globalne, funkcja -x4 -y4 ma w punkcie 0 maksimum wla[ciwe, globalne, funkcja x4 -y4 ma w punkcie 0  siodlo - w dowolnym otoczeniu punktu 0 przyjmuje zarówno warto[ci mniejsze ni| f(0) jak i warto[ci wie ksze ni| f(0) . W ka|dym z tych trzech przy- "f "f "f2 "f2 padków zachodza równo[ci 0 = f(0) = (0) = (0) = (0) = (0) = "x "y "x2 "x"y "f2 (0) , wie c z punktu widzenia twierdzenia o lokalnych ekstremach te funkcje sa "y2 nierozró|nialne. Autor spotykal sie wielokrotnie ze studentami, którzy chcieli bez gle bszego zastanowienia sie rozszerza zakres twierdzenia o lokalnych ekstremach, ale wypisywane tezy byly nieprawdziwe. Oczywi[cie twierdzenie to mo|na uogólni, ale nie jest to zbyt proste i co gorsza efekty uogólnienia nie sa warte zachodu, bo otrzy- mywane warunki sa zbyt skomplikowane, by je pamie ta. Wa|niejsze jest zrozumienie podanej wersji i jej dowodu, bo wtedy w konkretnych sytuacjach, nawet nie obje tych twierdzeniem, mo|na zastosowa jego dowód! x y Przyklad 17.7 Niech f = x2+2y2+3z2 -4x+8y-12z . Jasne jest, |e funkcja z x 0 nie jest ograniczona z góry: lim f = +" . Nie jest jasne czemu równy jest kres x’!+" 0 dolny funkcji i czy jest on jej warto[cia . Je[li kres jest warto[cia funkcji okre[lonej na calej przestrzeni, to gradient tej funkcji w punkcie, w którym jest on przyjmowany jest 2x-4 x y 4y+8 wektorem zerowym. Mamy grad f = . Jasne jest, |e ten wektor równy z 6z-12 2 -2 jest 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2 , y = -2 i z = 2 . Mamy f = -24 . Je[li 2 wie c kres dolny jest warto[cia funkcji, to musi by równy -24 . Wyka|emy, |e tak jest x y w rzeczywisto[ci. f + 24 = (x- 2)2 + 2(y + 2)2 + 3(z - 2)2 e" 0 , co koDczy dowód. z W istocie rzeczy do znalezienia kresów rachunek ró|niczkowy w tym zadaniu nie byl potrzebny, w rzeczywisto[ci funkcja f w ostatnim kroku zostala potraktowana jako suma 3 wielomianów kwadratowych, ka|dy innej zmiennej, które zostaly sprowadzone do postaci kanonicznych! Rachunek ró|niczkowy pomaga tu jedynie ustali, jaki punkt jest podejrzany o to, |e w nim kres jest osia gany, ale oczywi[cie te hipoteze mo|na sformulowa nie licza c |adnych pochodnych. x Przyklad 17.8 Niech f = 2x2 - 4xy + 10y2 - 20x + 68y . Podobnie jak w y x przykladzie poprzednim wida, |e lim = +" , zatem funkcja nie jest ograni- 0 x’!+" 14 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema czona z góry, czyli jej kresem górnym jest +" . Je[li kres dolny tej funkcji jest jej warto[cia , to w punkcie, w którym jest przyjmowany, gradient funkcji f jest wekto- x 4x- 4y-20 rem zerowym. Mamy grad f = . Ma wie c by y -4x+20y+68 4x - 4y - 20 = 0 = -4x + 20y + 68 . Rozwia zuja c ten uklad dwóch równaD liniowych z dwiema niewiadomymi otrzymu- jemy x = 2 , y = -3 . Jedynym kandydatem na punkt, w którym móglby by 2 osia gnie ty kres dolny tej funkcji, jest wie c punkt . Niech u = x - 2 , v = y + 3 . -3 Mamy wie c x u+2 f = f = 2(u + 2)2 - 4(u + 2)(v - 3) + 10(v - 3)2 - 20(u + 2) + 68(v - 3) = y v-3 = 2u2 - 4uv + 10v2 - 122 = 2(u - v)2 + 8v2 - 122  ostatnie przeksztalcenie to po prostu sprowadzenie wielomianu kwadratowego zmiennej u , którego wspólczynniki zale|a od parametru v , do postaci kanonicz- nej. Jasne jest, |e najmniejsza warto[cia otrzymanego wyra|enia jest liczba -122 i |e warto[ ta jest przyjmowana jedynie wtedy, gdy u = v i v = 0 , tzn. u = 0 = v . Podobnie jak w poprzednim przykladzie mo|na bylo nie liczy pochodnych, lecz po- traktowa od razu funkcje jako wielomian zmiennej u z parametrem v , sprowadzi go do postaci kanonicznej i rzecz cala zakoDczy. x Przyklad 17.9 Niech f = 2x2 - 4xy + y2 - 20x + 14y . y x Poniewa| lim = +" , wie c sup f = +" . Poste puja c tak jak w poprzednim 0 x’!+" x 4x-4y-20 0 przykladzie znajdujemy grad f = . Ten wektor równy jest wtedy y -4x+2y+14 0 i tylko wtedy, gdy x = 2 i y = -3 . Podstawmy x = u + 2 , y = v - 3 . Wtedy x f = 2(u+2)2-4(u+2)(v-3)+(v-3)2-20(u+2)+14(v-3) = 2u2-4uv+v2-41 = y = 2(u - v)2 - v2 - 41 . W odró|nieniu od przykladów poprzednich wyra|enie 2(u - v)2 - v2 bywa ujemne, wie c liczba -41 nie jest kresem dolnym funkcji f . Mamy v f = -v2 - 41 - ’! -" , --- v v’!" zatem kresem dolnym funkcji f jest -" , co oznacza, |e funkcja f nie jest ogra- niczona równie| z dolu. Oczywi[cie równie| w tym przykladzie u|ycie pochodnych nie jest konieczne, mo|na od razu potraktowa funkcje jako wielomian zmiennej x zale|ny od parametru y . Przyklad 17.10 Teraz uogólnimy rezultaty trzech ostatnich przykladów. Mielismy w ka|dym z nich do czynienia z konkretnym wielomianem drugiego stopnia dwu zmiennych, czyli z funkcja f , która mo|na zdefiniowa wzorem 15 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema x f = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F , y przy zalo|eniu, |e co najmniej jedna z liczb A , B , C jest ró|na od 0; dwójki we wspólczynnikach pojawiaja sie ze wzgle du na wygode oraz tradycje . Wyra|enia x2 , xy , y2 nazywamy jednomianami drugiego stopnia zmiennych x i y (dla ustalenia stopnia iloczynu dodajemy stopnie czynników, nawet je[li jeden jest zmiennej x a drugi  zmiennej y ). Rozwa|ymy kolejno trzy przypadki: AC-B2 > 0 , AC-B2 = 0 i AC - B2 < 0 . Pierwszy z nich nazywany jest eliptycznym, drugi  parabolicznym, a trzeci  hiperbo- x Ax+By+D licznym. Mamy grad f = 2 . W przypadku eliptycznym i w przypadku y Bx+Cy+E hiperbolicznym istnieje dokladnie jeden punkt, w którym grad f jest wektorem ze- rowym, w przypadku parabolicznym takiego punktu mo|e nie by albo jest ich nie- ± 0 skoDczenie wiele. Je[li grad f = , to po zastosowaniu podstawienia x = u+± , ² 0 y = v + ² otrzymujemy wielomian kwadratowy zmiennych u , v , w którym cze [ kwadratowa ma te same wspólczynniki A , B , C , natomiast cze [ liniowa znika, o wyrazie wolnym nic powiedzie nie mo|na. Po dokonaniu tego podstawienia otrzy- mujemy funkcje zmiennych u i v , której gradient jest wektorem zerowym w punkcie 0 0 = , a wie c funkcje postaci Au2 + 2Buv + Cv2 + F . 0 Przypadek eliptyczny. Poniewa| AC - B2 > 0 , wie c AC > 0 , zatem A = 0 = C . Mo|emy wobec tego napisa: 2 B B2 Au2 + 2Buv + Cv2 + F = A u + v - v2 + Cv2 + F = A A 2 B AC-B2 = A u + v + v2 + F .* A A2 Je[li A > 0 , to funkcja f przyjmuje w punkcie 0 warto[ F , a w pozostalych punk- tach warto[ci wie ksze ni| F  wynika to sta d, |e kwadrat liczby rzeczywistej = 0 jest dodatni, za[ 02 = 0 . Najmniejsza warto[cia funkcji f w tym przypadku jest liczba F , jest ona przyjmowana w jednym tylko punkcie (zerowania sie gradientu), funkcja jest oczywi[cie nieograniczona z góry. Przypadek A < 0 jest w pelni analo- giczny, nierówno[ci zmieniaja kierunki, wie c w tym przypadku funkcja ma warto[ najwie ksza , a z dolu nie jest ograniczona. Przypadek hiperboliczny. Teraz mo|e zdarzy sie , |e A = 0 = C . Je[li tak jest, to wprowadzamy nowe zmienne x+y x-y x = x + y oraz y = x - y , czyli x = oraz y = . Po podstawieniu cze [ 2 2 *Wyró|nik wielomianu Au2+2Buv+Cv2 zmiennej u równy jest 4v2 B2-AC , wiec gdy v =0 , to ( ) wielomian ten nie ma pierwiastków! 16 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema B B B B kwadratowa wygla da tak: x2 - y2 . Przyjmuja c A = , B = 0 oraz C = 2 2 2 2 otrzymujemy znów wielomian kwadratowy, dla którego AC - B2 < 0 , przy czym A = 0 . Mo|emy wie c od razu zalo|y, |e A = 0 , co uchroni nas przed zmiana oznaczeD nie zmniejszaja c przy tym ogólno[ci rozwa|aD. Przyjmujemy wie c dalej, |e A > 0 . Przeksztalcaja c tak jak w przypadku eliptycznym otrzymujemy 2 u B B2 f = Au2 + 2Buv + Cv2 + F = A u + v - v2 + Cv2 + F = v A A 2 B AC-B2 = A u + v + v2 + F . A A2 u Oczywi[cie lim f = +" , zatem funkcja f nie jest ograniczona z góry. Mamy te| 0 u’!" -vB/A lim f = -" , wie c równie| z dolu ta funkcja nie jest ograniczona. Kresem v v’!" dolnym tej funkcji jest wie c -" , a górnym +" . Wykres tej funkcji jest dwuwymia- rowa powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej przypominaja ca wygla dem przele cz w górach, co milo[nikom jazdy konnej kojarzy mo|e sie z siodlem. Omówmy to nieco dokladniej. Je[li v = 0 , to rozwa|amy funkcje Au2 + F , której wykresem jest pa- rabola skierowana ramionami ku górze. Je[li ograniczymy nasza uwage do prostej o B AC-B2 równaniu u + v = 0 , to otrzymamy funkcje v2 + F , której wykresem jest A A parabola skierowana ramionami ku dolowi. Ta druga ma punkt wspólny z pierwsza , po prostu jest podwieszona na pierwszej, ale znajduje sie w innej plaszczyznie piono- B B wej*, mianowicie zawieraja cej prosta u+ v = 0 . Zmiana wielko[ci u+ v powoduje A A przesunie cie zwisaja cej paraboli do góry wzdlu| paraboli Au2 . Wykres naszej funkcji sklada sie wie c z parabol zwisaja cych z paraboli Au2 + F w dól, równoleglych do B prostej u + v = 0 , umieszczonych w plaszczyznach pionowych. A Jasne jest, |e w tym przypadku funkcja w punkcie zerowania sie gradientu nie ma ani lokalnego maksimum ani lokalnego minimum: we druja c z punktu 0 w kierunku B prostej v = 0 zwie kszamy warto[ funkcji, za[ we druja c w kierunku prostej u+ v = A 0 zmniejszamy warto[ funkcji. Przypadek paraboliczny Podobnie jak w przypadku eliptycznym co najmniej jedna z liczba A , C musi by ró|na od 0, bo gdyby obie byly zerami, to z równo[ci AC - B2 = 0 wynikaloby, |e równie| B = 0 , co nie jest mo|liwe w [wietle naszego zalo|enia. Bez straty ogólno[ci mo|emy przyja , |e A = 0 , a nawet A > 0 . Przypadek A < 0 pozostawiamy czytelnikowi. Mamy wie c Au2 + 2Buv + Cv2 + 2Du + 2Ev + F = * Je[li B=0 , to te pionowe plaszczyzny sa prostopadle, pierwsza ma równanie v=0 , a druga  u=0 17 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema 2 B D B2 BD D2 = A u + v + + C - v2 + 2 E - v + F - = A A A A A 2 B D BD D2 = A u + v + + 2 E - v + F - . A A A A BD BD Mamy wie c dwa przypadki E - = 0 i E - = 0 . A A D2 W pierwszym przypadku funkcja przyjmuje najmniejsza warto[ F - w A ka|dym punkcie prostej Au + By + D = 0 i oczywi[cie jest nieograniczona z góry. u W drugim przypadku funkcja jest nieograniczona z góry: lim f = +" . Jest 0 u’!" te| nieograniczona z dolu, bowiem jedna z granic -(Bv+D)/A -(Bv+D)/A lim f , lim f v v v’!" v’!-" równa jest -" , a druga jest +" . W tych przypadkach wykres funkcji mo|na wy- BD obrazi sobie jako doline : w przypadku E - = 0 dno doliny jest poziome, a w A BD przypadku E - = 0  nie. A Komentarz W przypadku funkcji jednej zmiennej podali[my kryterium pozwalaja ce na stwierdze- nie, czy funkcja ma w punkcie zerowania sie pochodnej lokalne ekstremu czy te| nie. Podobne twierdzenia mo|na formulowa dla funkcji dwu i wie kszej liczby zmiennych. Szczególnie wa|ny jest przypadek najprostszy, gdy problem mo|na wyja[ni badaja c pochodne drugiego rze du. Zajmiemy sie tym nieco pózniej. Wypada jednak stwier- dzi, |e twierdzenia omówione w przykladzie 4. stanowia podstawe do sformulowania odpowiednich tez w przypadku funkcji dwu zmiennych. Przyklad 17.10 zawiera dowód twierdzenia Sylvestera (zob. naste pne twierdzenie) w przypadku funkcji dwu zmiennych. Udowodnimy zreszta to twierdzenie za chwile , by przekona czytelnika, |e nic tajemniczego w nim nie ma, cho oczywi[cie jego dowód nie jest konieczny do zdania egzaminu z analizy przez studenta chemii. Twierdzenie 17.17 ( Sylvestera o formach kwadratowych dodatnio okre[lonych) Niech f be dzie forma kwadratowa okre[lona przez macierz symetryczna A = (ai,j) wymiaru k , tzn. dla dowolnych i, j " {1, 2, . . . , k} zachodzi równo[ ai,j = aj,i , zatem k f(x) = (Ax) · x = ai,jxixj , i,j=1 kropka oznacza tu iloczyn skalarny. Niech Ml = det(ai,j)i,jd"l . Wtedy f(x) > 0 dla x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Ml > 0 dla l = 1, 2, . . . , k . Mówimy wtedy, |e forma f jest dodatnio okre[lona. 18 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema Dowód. (J.Musielak)* Zastosujemy indukcje wzgle dem k . Dla k = 1 mamy f(x) = a1,1x2 , zatem forma jest dodatnio okre[lona wtedy i tylko wtedy, gdy a1,1 > 0 . Dla k = 2 mamy f(x) = a1,1x2 + a1,2x1x2 + a2,1x2x1 + a2,2x2 = a1,1x2 + 2a1,2x1x2 + a2,2x2 . 1 2 1 2 Oczywi[cie musi by a1,1 = f(e1) > 0 , czyli musi by M1 > 0 . Funkcje f mo|emy potraktowa jako wielomian kwadratowy zmiennej x1 zale|ny od parametru x2 . Ma on przyjmowa jedynie warto[ci dodatnie dla x2 = 0 . Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to jest, jak wiadomo z nauki w liceum, " 0 < - = a1,1a2,2x2 - a2 x2 = (a1,1a2,2 - a2 )x2 , 2 1,2 2 1,2 2 4 czyli M2 > 0 . Zaló|my teraz, |e teza zachodzi dla wszystkich form kwadratowych okre[lonych na przestrzeni wymiaru mniejszego ni| k + 1 . Wyka|emy, |e zachodzi równie| dla form okre[lonych na przestrzeni wymiaru k . Mamy ëø öø k+1 k+1 f(x) = a1,1x2 + 2x1 íø a1,jxjøø + ai,jxixj . 1 j=2 i,j=2 Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by f(x) > 0 dla x = 0 jest a1,1 > 0 oraz ëø öø ëø öø2 k+1 k+1 " íø 0 < - = a1,1 íø ai,jxixjøø - a1,jxjøø = 4 i,j=2 j=2 k+1 k+1 k+1 = a1,1ai,jxixj - a1,ia1,jxixj = bi,jxixj , i,j=2 j=2 i,j=2 gdzie bi,j = a1,1ai,j - a1,ia1,j . Ostatnie wyra|enie jest forma kwadratowa k zmien- nych, wie c na mocy zalo|enia indukcyjnego warunkiem koniecznym i dostatecznym jego dodatniej okre[lono[ci jest b2,2 b2,3 . . . b2,k+1 b3,2 b3,3 . . . b3,k+1 b2,2 b2,3 | b2,2 | > 0 , > 0 , . . . , > 0 . . . . .. . . . b3,2 b3,3 . . . . bk+1,2 bk+1,3 . . . bk+1,k+1 Dla l " {2, . . . , k + 1} mamy *Wg. ksia |ki Mostowskiego i Starka, Elementy Algebry Wy|szej, Warszawa, PWN 1963, wyd 5. Poda- jemy ten wla[nie dowód, bo jest on chyba najbardziej elementarny z tych, które autor widzial, wymaga jedynie podstawowych wiadomo[ci o wielomianach kwadratowych jednej zmiennej i wyznacznikach. 19 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema b2,2 b2,3 . . . b2,l b3,2 b3,3 . . . b3,l 0 < . . . .. . = . . . . . . bl,2 bl,3 . . . bl,l a1,1a2,2 - a2 a1,1a2,3 - a1,2a1,3 . . . a1,1a2,l - a1,2a1,l 1,2 a1,1a3,2 - a1,2a1,3 a1,1a3,3 - a2 . . . a1,1a3,l - a1,3a1,l 1,3 = = . . . .. . . . . . . . a1,1al,2 - a1,2a1,l a1,1a3,l - a1,3a1,l . . . a1,1al,l - a2 1,l 1 a1,2 a1,3 . . . a1,l 0 a1,1a2,2 - a2 a1,1a2,3 - a1,2a1,3 . . . a1,1a2,l - a1,2a1,l 1,2 0 a1,1a3,2 - a1,2a1,3 a1,1a3,3 - a2 . . . a1,1a3,l - a1,3a1,l . 1,3 = . . . . .. . . . . . . . . . 0 a1,1al,2 - a1,2a1,l a1,1a3,l - a1,3a1,l . . . a1,1al,l - a2 1,l Ostatnia równo[ wynika z tego, |e wyznacznik mo|na oblicza rozwijaja c go wzgle - dem pierwszej kolumny. Teraz pomno|ymy pierwszy wiersz przez a1,2 i dodamy do drugiego, potem pierwszy wiersz przez a1,3 i dodamy do trzeciego, itd. Poniewa| te operacje nie zmieniaja warto[ci wyznacznika, wie c otrzymamy 1 a1,2 a1,3 . . . a1,l a1,2 a1,1a2,2 a1,1a2,3 . . . a1,1a2,l a1,3 a1,1a3,2 a1,1a3,3 . . . a1,1a3,l . 0 < . . . . .. . . . . . . . . . a1,l a1,1al,2 a1,1al,3 . . . a1,1al,l Pomno|ymy teraz pierwszy wiersz przez liczbe a1,1 > 0 , nie zmienia to znaku wy- znacznika, bo mno|enie wiersza przez liczbe to to samo, co mno|enie wyznacznika przez te liczbe . W otrzymanym wyznaczniku wszystkie wyrazy w kolumnach drugiej, trzeciej itd. zawieraja czynnik a1,1 , wie c z tych kolumn mo|na go wyla czy, co ozna- cza podzielenie wyznacznika przez liczbe al-1 > 0 . Znak pozostaje niezmieniony, a 1,1 a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,l a1,2 a2,2 a2,3 . . . a2,l a1,3 a3,2 a3,3 . . . a3,l . Tym samym zakoDczyli[my otrzymany wyznacznik to . . . . .. . . . . . . . . . a1,l al,2 al,3 . . . al,l dowód. Przyklad 17.11 Rozwa|ymy trzy funkcje 2 1 f(x, y) = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + -e2x + (y + 1)2(y - 2)2 , 4 2 1 g(x, y) = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + -e2x + y2(y + 3)2 , 4 2 1 h(x, y) = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + -e2x + (y + 1)2(y + 3)2 . 4 20 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema Znajdziemy ich lokalne ekstrema oraz kresy. Zachodza równo[ci "f (x, y) = -e2x -e2x + (y + 1)2(y - 2)2 , "x "f (x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y - 2) + (y + 1)(y + 2)(2y - 1) -e2x + (y + 1)2(y - 2)2 "y "g (x, y) = -e2x -e2x + y2(y + 3)2 , "x "g (x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y - 2) + (y + 1)(y + 2)(2y + 3) -e2x + y2(y + 3)2 , "y "h (x, y) = -e2x -e2x + (y + 1)2(y + 3)2 , "x "h (x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y - 2) + 2(y + 1)(y + 2)(y + 3) -e2x + (y + 1)2(y + 3)2 . "y Znajdziemy punkty krytyczne funkcji f, g, h , czyli punkty, w których ich gra- dienty sa wektorami zerowymi. "f Z równo[ci = 0 wynika, |e -e2x + (y + 1)2(y - 2)2 = 0 , a z niej i z równo[ci "x "f = 0 wynika, |e y(y+3)(y+1)(y-2) = 0 . Musi wie c by spelniona jedna z czterech "y równo[ci y = 2 , y = 0 , y = -1 , y = -3 . Trzeba znalez odpowiadaja ce tym warto[ciom zmiennej y warto[ci zmiennej x . Prowadzi to do równo[ci e2x = 32 · 02 , e2x = 12 · (-2)2 , e2x = 02 · (-3)2 i e2x = (-2)2 · (-5)2 . Ani pierwsze ani trzecie równanie nie ma rozwia zaD. Z drugiego wynika, |e x = ln 2 . Z czwartego z kolei wnioskujemy, |e x = ln 10 . Znalezli[my wie c wszystkie punkty krytyczne funkcji f . Sa dwa takie punkty: (ln 2, 0) i (ln 10, -3) . W |adnym innym punkcie funkcja f lokalnego ekstremum nie ma. Znajdziemy pochodne cza stkowe drugiego rze du, a raczej drugie wielomiany Tay- lora tych funkcji. Niech x = ln 2 + u . Mamy f(x, y) = f(ln 2 + u, y) = 2 1 = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + -e2(ln 2+u) + (y + 1)2(y - 2)2 = 4 2 1 = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + -4e2u + (y2 - y - 2)2 = 4 = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + 2 1 4u2 8u3 + -4(1 + 2u + + + · · ·) + 4 + 4y - 3y3 - 2y3 + y4 = 4 2! 3! 1 = -90y2 - 50y3 + 15y4 + 6y5 + (-8u + 4y + · · ·)2 = 4 = -90y2 + 16u2 - 16uy + 4y2 + · · · = 16u2 - 16uy - 86y2 + · · · . Opu[cili[my wszystkie czlony, które nie maja wplywu na wspólczynniki przy jedno- mianach stopnia 2 , tzn przy u2, uy, y2 . Twierdzenie o lokalnych ekstremach pozwala na stwierdzenie, |e poniewa| wyra- |enie (forma kwadratowa) 16u2 - 16uy - 86y2 przyjmuje czasem warto[ci dodatnie, np. dla u = 1 i y = 0 , a czasem ujemne, np. dla u = 0 i y = 1 , wie c funkcja w punkcie (ln 2, 0) nie ma ani lokalnego maksimum, ani lokalnego minimum. Mówimy 21 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema w tym przypadku o siodle. Teraz zajmiemy sie okolica punktu (ln 10, -3) . Przyjmiemy, |e x = ln 10 + u i y = -3 + v . Wtedy f(x, y) = f(ln 10+u, -3+v) = 6(-3+v)5 +15(-3+v)4 -50(-3+v)3 -90(-3+v)2 + 2 1 + -e2(ln 10+u) + (-3 + v + 1)2(-3 + v - 2)2 = 4 = 6(-3)5 + 15(-3)4 - 50(-3)3 - 90(-3)2 + + 6 · 5 · (-3)4v + 15 · 4 · (-3)3v - 50 · 3 · (-3)2v - 90 · 2 · (-3)v + 5 4 3 + 6 · · (-3)3v2 + 15 · · (-3)2v2 - 50 · · (-3)v2 - 90v2 + · · · + 2 2 2 2 1 4u2 + -100(1 + 2u + + · · ·) + (4 - 4v + v2)(25 - 10v + v2) = 4 2! 1 = 297 - 450v2 + · · · (-200u + · · · - 140v + · · ·)2 = 4 1 = 297 - 450v2 + (-200u - 140v)2 + · · · = 4 = 297 + 10000u2 + 14000uv + 4450v2 + · · · . Jasne jest, |e wyra|enie 10000u2 + 14000uv + 4450v2 bywa dodatnie, np. gdy przyj- miemy u = 1, v = 0 . Bywa równie| ujemne np. dla u = 14, v = -20 . Wobec w punkcie (ln 10, -3) funkcja f ma siodlo. Kres górny funkcji f równy jest +" , bo 1 lim f ln (y + 1)(y - 2) , y = lim (6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2) = +" . 2 y’!" y’!" Kres górny funkcji f równy jest -" , bo 1 lim f ln (y + 1)(y - 2) , y = lim (6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2) = -" . 2 y’!-" y’!-" Teraz zajmiemy sie funkcja g . Oczywi[cie obliczenia sa bardzo podobne, wie c podamy tylko wyniki i wycia gniemy wnioski. Gradient funkcji g zeruje sie w dwóch punktach: (ln 2, -1) i (ln 10, 2) . Podstawiaja c x = u + ln 2 i y = v - 1 otrzymujemy g(x, y) = g(u + ln 2, v - 1) = -31 + 16u2 + uv + 94v2 + · · · . Wyra|enie 16u2+uv+94v2 jest dodatnie dla dowolnie wybranych liczb u, v z wyja t- kiem u = 0 = v . Je[li bowiem potraktujemy je jako wielomian kwadratowy zmiennej u z parametrem v , to jego wyró|nik równy be dzie " = v2 - 4 · 16 · 94v2 , wie c wyró|nik ten jest ujemny dla v = 0 ; jasne jest, |e gdy v = 0 , to jedynym u , dla którego 16u2 + uv + 94v2 = 0 jest liczba 0 . Wobec tego funkcja g ma lokalne minimum w punkcie (ln 2, -1) . Podstawiaja c x = u + ln 10 i y = v + 2 otrzymujemy g(x, y) = g(u + ln 10, v + 2) = 328 + 10000u2 - 14000uv + 5350v2 + · · · . Wyra|enie 10000u2 - 14000uv + 5350v2 jest dodatnie dla dowolnie wybranych liczb 22 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema u, v z wyja tkiem u = 0 = v , bo (-14000v)2 -4·10000·5350v2 = (196 000 000-214 000 000)v2 = -18 000 000v2 < 0 . Wobec tego funkcja g ma lokalne minimum w punkcie (ln 10, 2) . Podobnie jak w przypadku funkcji f wykazujemy, |e kresem górnym funkcji g jest +" , a kresem dolnym  -" . Innych punktów krytycznych ta funkcja nie ma. Prosze spróbowa wyobrazi sobie wykres funkcji g . Jest to niezle wiczenie na zrozumienie sytuacji. Gradient funkcji h zeruje sie w dwóch punktach: (ln 3, 0) i (ln 15, 2) . Podstawimy najpierw x = u + ln 3 . Mamy wtedy h(x, y) = h(u + ln 3, y) = 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 + 2 1 + -e2(u+ln 3) + (y + 1)2(y + 3)2 = 4 = 81u2 - 216uy + 54y2 + · · · . Wyra|anie 81u2-216uy+54y2 bywa dodatnie, np. gdy y = 0 = u ; bywa te| ujemne, np. gdy u = y = 0 . Wobec tego w punkcie (ln 3, 0) funkcja h ma siodlo. Teraz kolej na punkt (ln 15, 2) . Podstawimy x = u + ln 15 , y = 2 + v . Po pewnych rachunkach otrzymujemy h(x, y) = h(u + ln 3, 2 + v) = 6(2 + v)5 + 15(2 + v)4 - 50(2 + v)3 - 90(2 + v)2 + 2 1 + -e2(u+ln 3) + (2 + v + 1)2(2 + v + 3)2 = 4 = -328 + 50625u2 - 54000uv + 14850v2 + · · · . Poniewa| 540002 - 4 · 50625 · 14850 = -91125000 < 0 , wie c wyra|enie 50625u2 - 54000uv+14850v2 traktowane jako wielomian kwadratowy zmiennej u z parametrem v nie ma pierwiastków rzeczywistych, wie c przyjmuje jedynie warto[ci dodatnie z wyja tkiem przypadku v = 0 , w którym ma jeden pierwiastek podwójny u = 0 . W tej sytuacji funkcja ma lokalne minimum w punkcie (ln 15, 2) . Tak jak w przypadku funkcji f z latwo[cia stwierdzamy, |e kres górny funkcji h równy jest +" , a dolny -" . Podsumowanie: w przypadku funkcji jednej zmiennej ekstrem wyste powaly na zmiane ; w przypadku funkcji dwu zmiennych, tym bardziej w przypadku funkcji wie kszej ich liczby mo|e by zupelnie inaczej. Wynika to z tego, |e struktura geo- metryczna plaszczyzny jest bardziej zlo|ona ni| struktura prostej, a w wy|szych wy- miarach te efekty sa jeszcze silniejsze. Nie be dziemy w te kwestie wchodzi gle biej. Jednak wypada podkre[li, |e nie wolno zbyt szybko wycia ga wniosków i zbytnio wierzy swej intuicji, bo ona mo|e zawie[. Trzeba korzysta z twierdzeD, które sa prawdziwe zwracaja c uwage na to, czy zalo|enia sa spelnione. 23 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema Uwaga 17.18 Rozumowania z przykladu 17.11 (bezpo[rednio przed ta uwaga ) mo|na skróci bardzo istotnie traktuja c ka|da z trzech rozwa|anych tam funkcji jako sume wielomianu 6y5 + 15y4 - 50y3 - 90y2 zmiennej y i kwadratu pewnej funkcji dwu zmiennych. Bez trudu stwierdzamy, |e w punktach -3 i 0 wielomian 6y5+15y4-50y3-90y2 ma lokalne maksima, a w punktach -1 i 2  lokalne minima. Kwadrat funkcji jakiejkolwiek w punkcie, w którym przyjmuje warto[ 0 ma swoje minimum i to nie tylko lokalne. Sta d od razu wynika, |e funkcja g ma w punktach (ln 2, -1) i (ln 10, 2) lokalne minima  oba skladniki maja tam lokalne minima! Minima te sa wla[ciwe, bo w |adnym innym punkcie funkcja g lokalne minimum nie ma, bo jej jedynymi punktami krytycznymi sa te dwa punkty. Zache camy do zastosowania tej metody w przypadku funkcji f i funkcji h . Zadania 17. 01 Niech f(x, y) = x2y5(8 - x - y) . Znalez wszystkie punkty zerowania sie gra- dientu funkcji f i wyja[ni, w których z nich funkcja f ma lokalne ekstrema i jakiego typu, a w których lokalnych ekstremów ta funkcja nie ma. Znalez sup{f(x, y): 0 d" x, 0 d" y, x + y d" 10} . 17. 02 Niech f(x, y) = x6y5(12 - x - y) . Znalez wszystkie punkty zerowania sie gra- dientu funkcji f i wyja[ni, w których z nich funkcja f ma lokalne ekstrema i jakiego typu, a w których lokalnych ekstremów ta funkcja nie ma. Znalez sup{f(x, y): 0 d" x, 0 d" y, x + y d" 10} i sup{f(x, y): 0 d" x, 0 d" y, x + y d" 12} . 17. 03 Niech f(x, y) = x4y2(7 - 4x - 2y) . Znalez wszystkie punkty zerowania sie gradientu funkcji f i wyja[ni, w których z nich funkcja f ma lokalne ekstrema i jakiego typu, a w których lokalnych ekstremów ta funkcja nie ma. Znalez sup{f(x, y): 0 d" x, 0 d" y, x + y d" 1} , inf{f(x, y): 0 d" x, 0 d" y, x + y d" 1} i sup{f(x, y): 0 d" x, 0 d" y, x + y d" 2} . 17. 04 Niech f(x, y) = x3y2(6 - x - 6y) . Znalez wszystkie punkty zerowania sie gra- dientu funkcji f i wyja[ni, w których z nich funkcja f ma lokalne ekstrema i jakiego typu, a w których lokalnych ekstremów ta funkcja nie ma. Znalez sup{f(x, y): 0 d" x d" 10, 0 d" y d" 2} . 17. 05 Znalez punkty zerowania sie gradientu funkcji x5y7(13 - x - y) i wyja[ni, w których z nich ma ona lokalne minima, w których  lokalne maksima, a w których nie ma lokalnego ekstremum. Znalez kresy funkcji f na zbiorze {(x, y): |x|, |y| d" 10} . 24 Twierdzenie o warto[ci [redniej, lokalne i absolutne ekstrema 17. 06 Znalez kres dolny i kres górny funkcji xy - x - y + 3 , na zbiorze E , je[li E jest trójka tem domknie tym o wierzcholkach (0, 0) , (2, 0) , (0, 4) . 17. 07 Znalez kres dolny i kres górny funkcji x2 + y2 - xy , na zbiorze E = {(x, y): |x| + |y| d" 1} . 17. 08 Znalez kres dolny i kres górny funkcji xy2 , na zbiorze E = {(x, y): x2 + y2 d" 3} . 2 2 17. 09 Znalez kres dolny i kres górny funkcji (1 + x2)e-x -y2 , na plaszczyznie . 17. 10 Niech f(x, y, x) = 3x + 2y - z , g(x, y, x) = 3x + 2y + z , T niech ozna- cza czworo[cian o wierzcholkach A = (1, 1, 0) , B = (1, 2, 2) , C = (2, 1, 3) , D = (3, 2, 4) . Znalez najwie ksza i najmniejsza warto[ ka|dej z funkcji f, g na czworo[cianie T . W ilu punktach funkcje f, g przyjmuja warto[ci ekstremalne na czworo[cianie T . 17. 11 Niech f(x, y, z) = x4 + y5 + z6 , g(x, y, z) = 6x6 + 4y4 + 2z2 . Mamy grad f(0, 0, 0) = (0, 0, 0) = grad g(0, 0, 0) . Która z funkcji f, g ma w punkcie (0, 0, 0) lokalne ekstremum i dlaczego? 17. 12 Niech h(x, y) = ay(ex - 1) + x sin x - cos y . Dla jakich a " funkcja h ma lokalne ekstremum w punkcie (0, 0) , a dla jakich lokalnego ekstremum w tym punkcie nie ma? Wskazówka: Dla pewnego a badanie drugiej ró|niczki mo|e nie pozwoli na stwierdzenie, czy w punkcie (0, 0) funkcja ma lokalne ekstremum, czy te| nie; w tym przypadku warto zainteresowa sie prosta przechodza ca przez (0, 0) , zlo|ona z takich punktów (u, v) , |e "2h "2h "2h (0, 0)u2 + 2 (0, 0)uv + (0, 0)v2 = 0 . "x2 "x"y "y2 25

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Twierdznie o Wartości Średniej
TWIERDZENIE CAUCHYEGO O WARTOÅšCI ÅšREDNIEJ
TWIERDZENIE LAGRANGEA O WARTOÅšCI ÅšREDNIEJ
5 Twierdzenie Rolle a i tw o wartości średniej
05 TESTOWANIE WARTOSCI SREDNICH
wartość średnia wariancja dystryduanta rozkład normalny
Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczności
ekstrema lokalne i monotoniczność funkcji
ekstrema lokalne
13 Ekstrema lokalne
POMIAR PRĘDKOÅšCI LOKALNEJ I ÅšREDNIEJ PÅYNU

więcej podobnych podstron