ÿþ
P o c h o d n a c z a s t k o w a o b l i c z a n a j e s t p o t o , b y u z y s k a i n f o r m a c j e o t y m j a k z m i e -
n i a s i e f u n k c j a w k i e r u n k u j e d n e j z o s i u k l a d u w s p ó l r z e d n y c h . R ó |n i c z k e , o i l e i s t -
n i e j e , o b l i c z a m y p o t o , b y d o w i e d z i e s i e j a k z a c h o w u j e s i e f u n k c j a w c a l y m o t o c z e n i u
p u n k t u . P o j e c i e m p o [r e d n i m j e s t p o c h o d n a k i e r u n k o w a .
D e f i n i c j a 1 7 . 1 ( p o c h o d n e j k i e r u n k o w e j )
P o c h o d n a f u n k c j i f : G - ’! I R l w p u n k c i e p , w k i e r u n k u w e k t o r a v n a z y w a m y
g r a n i c e
f ( p + t v ) - f ( p )
l i m ,
t ’!0
t
j e [l i t a g r a n i c a i s t n i e j e . T e p o c h o d n a o z n a c z a m y s y m b o l e m f v ( p ) .
J a s n e j e s t , |e w l a [n i e u o g ó l n i l i [m y p o j e c i e p o c h o d n e j c z a s t k o w e j :
"f
( p ) = f e ( p ) .
i
"x i
P o c h o d n a k i e r u n k o w a w k i e r u n k u w e k t o r a v o b l i c z a n a j e s t p o t o , b y o c e n i t e m p o
z m i a n f u n k c j i w o t o c z e n i u p u n k t u p n a p r o s t e j p r z e c h o d z a c e j p r z e z p u n k t p r ó w -
n o l e g l e j d o w e k t o r a v . W p u n k t a c h r ó |n i c z k o w a l n o [c i f u n k c j i p o c h o d n a k i e r u n k o w a
m o |n a l a t w o z n a l e z p o o b l i c z e n i u r ó |n i c z k i f u n k c j i .
T w i e r d z e n i e 1 7 . 2 ( o i s t n i e n i u p o c h o d n e j k i e r u n k o w e j w p u n k t a c h
r ó |n i c z k o w a l n o [c i f u n k c j i )
J e [l i f u n k c j a f : G - ’! I R l j e s t r ó |n i c z k o w a l n a w p u n k c i e p " G , v " I R k , t o f u n k c j a
f m a w p u n k c i e p p o c h o d n a k i e r u n k o w a w k i e r u n k u w e k t o r a v i z a c h o d z i r ó w n o [:
f v ( p ) = D f ( p ) v .
D o w ó d . M a m y
f ( p + t v ) - f ( p ) f ( p + t v ) - f ( p ) - D f ( p ) ( t v ) t v
l i m = l i m · + D f ( p ) v = D f ( p ) v
t t v t
t ’!0 t ’!0
t v
s k o r z y s t a l i [m y t u z t e g o , |e i l o c z y n w y r a |e n i a , o g r a n i c z o n e g o , i w y r a |e n i a
t
d a |a c e g o d o 0 m a g r a n i c e 0 o r a z z t e g o , |e D f ( p ) ( t v ) = t D f ( p ) v i o c z y w i [c i e z
t e g o , |e f j e s t r ó |n i c z k o w a l n a w p u n k c i e p , z c z e g o w y n i k a o d r a z u , |e
f ( p + t v ) - f ( p ) - D f ( p ) ( t v )
l i m = 0 .
t ’!0
t v
W t e n s p o s ó b z a k o Dc z y l i [m y d o w ó d t e g o t w i e r d z e n i a .
Z t e g o t w i e r d z e n i a w y n i k a w s z c z e g ó l n o [c i , |e p r z y u s t a l o n y m p u n k c i e p p o -
c h o d n a f v ( p ) j e s t l i n i o w a f u n k c j a w e k t o r a v o c z y w i [c i e p o d w a r u n k i e m r ó |n i c z k o -
1
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
w a l n o [c i f u n k c j i f w t y m p u n k c i e . O z n a c z a t o , |e f ±v + ²w ( p ) = ±f v ( p ) + ²f w ( p )
k
d l a d o w o l n y c h l i c z b r z e c z y w i s t y c h ±, ² i d o w o l n y c h w e k t o r ó w v , w " .
0 x x 2 y
C z y t e l n i k z e c h c e s p r a w d z i , |e j e [l i f = 0 i f = , g d y p r z y n a j m n i e j
0 y x 2 + y 2
j e d n a z l i c z b x , y j e s t r ó |n a o d 0 , t o f v ( 0 ) = f ( v ) d l a k a |d e g o w e k t o r a v " I R k .
W t y m p r z y p a d k u p o c h o d n a w k i e r u n k u w e k t o r a v w p u n k c i e 0 n i e j e s t w i e c l i n i o w a
f u n k c j a w e k t o r a v , a c o z a t y m i d z i e f u n k c j a f n i e j e s t r ó |n i c z k o w a l n a w p u n k c i e 0 .
Z a c h e c a m y d o s p r a w d z e n i a , |e f j e s t w t y m p u n k c i e c i a g l a .
P o w t ó r z m y : z r ó |n i c z k o w a l n o [c i f u n k c j i w p u n k c i e w y n i k a i s t n i e n i e p o c h o d n y c h
k i e r u n k o w y c h w t y m p u n k c i e w e w s z y s t k i c h k i e r u n k a c h , w s z c z e g ó l n o [c i i s t n i e n i e
p o c h o d n y c h c z a s t k o w y c h . Z i s t n i e n i a p o c h o d n y c h c z a s t k o w y c h n i e w y n i k a n a w e t
x y
c i a g l o [ f u n k c j i w i d z i e l i [m y t o n a p r z y k l a d z i e f u n k c j i . M o |n a p o d a p r z y k l a d
x 2 + y 2
f u n k c j i k t ó r a w p e w n y m p u n k c i e m a p o c h o d n e k i e r u n k o w e w e w s z y s t k i c h k i e r u n k a c h
i t o r ó w n e 0 i j e d n o c z e [n i e n i e j e s t c i a g l a w t y m p u n k c i e . O z n a c z a t o , |e z b a d a -
n i e z a c h o w a n i a s i e f u n k c j i n a p r o s t y c h p r z e c h o d z a c y c h p r z e z d a n y p u n k t t o j e d y n i e
w s t e p d o z b a d a n i a z a c h o w a n i a s i e t e j f u n k c j i w o t o c z e n i u t e g o p u n k t u . T y c h k w e s t i i
n i e b e d z i e m y j e d n a k d o k l a d n i e a n a l i z o w a , b o t o w y k r a c z a z n a c z n i e p o z a p o t r z e b y
w i e k s z o [c i c h e m i k ó w .
D e f i n i c j a 1 7 . 3 ( g r a d i e n t u f u n k c j i )
W e k t o r g r a d f ( p ) n a z y w a m y g r a d i e n t e m f u n k c j i f r ó |n i c z k o w a l n e j w p u n k c i e p ,
k
j e [l i D f ( p ) v = g r a d f ( p ) · v d l a k a |d e g o w e k t o r a v " .
- "f - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - ’!
"f "f
Z d e f i n i c j i w y n i k a o d r a z u , |e g r a d f ( p ) = ( p ) , ( p ) , . . . , ( p ) r ó |-
"x 1 "x 1 "x k
n i c a m i e d z y g r a d i e n t e m i r ó |n i c z k a j e s t n a t y m e t a p i e c z y s t o f o r m a l n a . R ó |n i c z k a t o
m a c i e r z ( e w e n t u a l n i e p r z e k s z t a l c e n i e l i n i o w e ) , a g r a d i e n t t o w e k t o r .
R o z w a |m y t e r a z f u n k c j e f : G - ’! I R r ó |n i c z k o w a l n a w p u n k c i e p " G . N i e c h v
i w o z n a c z a j a t a k i e w e k t o r y , |e v = g r a d f ( p ) i w = g r a d f ( p ) . M a m y w t e d y
2
f v ( p ) = D f ( p ) v = v · g r a d f ( p ) = v · w d" v · w = w = f w ( p ) .
W y k a z a l i [m y w i e c
T w i e r d z e n i e 1 7 . 4 ( o k i e r u n k u n a j s z y b s z e g o w z r o s t u f u n k c j i )
P o c h o d n a f u n k c j i f w k i e r u n k u g r a d i e n t u f u n k c j i w d a n y m p u n k c i e p j e s t n a j w i e k s z a
s p o [r ó d w s z y s t k i c h p o c h o d n y c h w t y m p u n k c i e w k i e r u n k u w e k t o r ó w o d l u g o [c i
g r a d f ( p ) .
Z w y k l e m ó w i m y , |e g r a d i e n t w s k a z u j e k i e r u n e k n a j s z y b s z e g o w z r o s t u f u n k c j i , b o
p o c h o d n a m i e r z y t e m p o z m i a n f u n k c j i , j e [l i p o c h o d n a j e s t d o d a t n i a t o f u n k c j a r o [n i e .
R o z w a |a n i e j e d y n i e w e k t o r ó w o d a n e j d l u g o [c i j e s t k o n i e c z n e , b o f ±v ( p ) = ±f v ( p )
2
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
d l a d o w o l n e g o p u n k t u p , d o w o l n e g o w e k t o r a v i d o w o l n e j l i c z b y r z e c z y w i s t e j ± ,
a m y c h c e m y p o r ó w n y w a t e m p o w z r o s t u f u n k c j i w z d l u | p r o s t y c h p r z e c h o d z a c y c h
p r z e z p u n k t p o c z y w i [c i e p r z y z a l o |e n i u , |e p o k a |d e j p r o s t e j p o r u s z a m y s i e z t a s a m a
p r e d k o [c i a p o d a n y w t y m z d a n i u w z ó r s t w i e r d z a p o p r o s t u , |e z m i a n a p r e d k o [c i
p o r u s z a n i a s i e p o p r o s t e j p r z e c h o d z a c e j p r z e z p p o w o d u j e w z r o s t p r e d k o [c i z m i a n
f u n k c j i w t a k i m s a m y m s t o s u n k u . W i s t o c i e r z e c z y s l o w o g r a d i e n t n i e j e s t n i e z b e d n e
w t y m w y k l a d z i e , a l e p o n i e w a | j e s t o n o u |y w a n e p o w s z e c h n i e w e w s z y s t k i c h j e z y k a c h ,
w i e c m y t e | g o u n i k a n i e b e d z i e m y .
T w i e r d z e n i e 1 7 . 5 ( o r ó |n i c z c e z l o |e n i a d w u f u n k c j i )
Z a l ó |m y , |e f u n k c j a g j e s t r ó |n i c z k o w a l n a w p u n k c i e p a f u n k c j a f w p u n k c i e g ( p )
o r a z |e z l o |e n i e f æ%g j e s t z d e f i n i o w a n e , t j . d z i e d z i n a f u n k c j i f z a w i e r a z b i ó r w a r t o [c i
f u n k c j i g . W t e d y z l o |e n i e f æ% g j e s t r ó |n i c z k o w a l n e w p u n k c i e p i z a c h o d z i r ó w n o [:
D ( f æ% g ) ( p ) = D f ( g ( p ) ) · D g ( p ) , t u k r o p k a o z n a c z a m n o |e n i e m a c i e r z y .
g ( p + h ) - g ( p ) - D g ( p ) h
D o w ó d . N i e c h r ( h ) = d l a h = 0 i r ( 0 ) = 0 . W o b e c t e g o
h
g ( p + h ) = g ( p ) + D g ( p ) h + r ( h ) · h . R ó |n i c z k o w a l n o [ f u n k c j i g w p u n k c i e p t o
p o p r o s t u c i a g l o [ f u n k c j i r w p u n k c i e 0 .
A n a l o g i c z n i e r ó |n i c z k o w a l n o [ f u n k c j i f w p u n k c i e g ( p ) t o c i a g l o [ f u n k c j i ,
f ( g ( p ) + H ) - g ( p ) - D f ( ( p ) ) H
z d e f i n i o w a n e j z a p o m o c a r ó w n o [c i ( H ) = i ( 0 ) = 0 , w
H
p u n k c i e 0 .
M a m y t e r a z
f ( g ( p + h ) ) = f ( g ( p ) ) + D f ( g ( p ) ) g ( p + h ) - g ( p ) +
+ g ( p + h ) - g ( p ) · g ( p + h ) - g ( p ) =
= f ( g ( p ) ) + D f ( g ( p ) ) D g ( p ) h + r ( h ) h +
+ D g ( p ) h + r ( h ) h · D g ( p ) h + r ( h ) h =
= f ( g ( p ) ) + D f ( g ( p ) ) D g ( p ) h +
+ h · D f ( g ( p ) ) r ( h ) + D g ( p ) h + r ( h ) h · D g ( p ) h + r ( h ) .
h
J a s n e j e s t , |e w y r a |e n i e D g ( p ) h + r ( h ) j e s t o g r a n i c z o n e o r a z |e z a c h o d z i
h
r ó w n o [ l i m D f ( g ( p ) ) r ( h ) + D g ( p ) h + r ( h ) h = 0 , a s t a d j u | l a t w o w y n i k a ,
h ’!0
|e l i m D f ( g ( p ) ) r ( h ) + D g ( p ) h + r ( h ) h · D g ( p ) h + r ( h ) = 0 , c z y l i |e
h
h ’!0
f ( g ( p + h ) ) - f ( g ( p ) ) - D f ( g ( p ) ) D g ( p ) h
l i m = 0 , a t o o z n a c z a , |e
h
h ’!0
D ( f æ% g ) ( p ) = D f ( p ) · D g ( p ) .
D o w ó d z o s t a l z a k o Dc z o n y .
3
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
J e [l i s t u d e n c i z e c h c a , t o m o g a z a u w a |y , |e t e n d o w ó d w i s t o c i e r z e c z y s u g e r u j e ,
|e m o |n a ( i w r z e c z y w i s t o [c i n a l e |y ) m y [l e o w y d z i e l a n i u c z e [c i s t a l e j ( f ( g ( p ) ) ) ,
a n a s t e p n i e l i n i o w e j ( D f ( g ( p ) ) D g ( p ) h ) p r z e k s z t a l c e n i a , g d y u s i l u j e m y z n a l e z j e g o
r ó |n i c z k e w d a n y m p u n k c i e . M o |n a t o p r z e [l e d z i n a j a k i m [ p r z y k l a d z i e , c z e g o w
t y m m i e j s c u n i e z r o b i m y , a l e z a c h e c a m y c z y t e l n i k ó w d o s a m o d z i e l n e g o z n a l e z i e n i a c o
n a j m n i e j j e d n e j p o c h o d n e j w t e n s p o s ó b .
N a s t e p n e t w i e r d z e n i e p o d a m y b e z d o w o d u .
T w i e r d z e n i e 1 7 . 6 ( o r ó |n i c z c e f u n k c j i o d w r o t n e j )
Z a l ó |m y , |e f u n k c j a f : G - ’! I R l j e s t r ó |n i c z k o w a l n a w p u n k c i e p z b i o r u o t w a r t e g o
G ‚" I R k , |e j e j z b i ó r w a r t o [c i j e s t o t w a r t y w I R l , |e r ó |n i c z k a D f ( p ) j e s t m a c i e r z a
- 1
o d w r a c a l n a o r a z |e f u n k c j a f j e s t r ó |n o w a r t o [c i o w a i f u n k c j a o d w r o t n a f j e s t
- 1
c i a g l a w p u n k c i e f ( p ) . W t e d y f u n k c j a f j e s t r ó |n i c z k o w a l n a w p u n k c i e f ( p ) i
- 1
z a c h o d z i r ó w n o [ D ( f ) ( p ) = ( D f ( p ) ) - 1 .
W a r t o j e d y n i e z a z n a c z y , |e g l ó w n y m p r o b l e m e m w t y m t w i e r d z e n i u j e s t i s t n i e -
n i e r ó |n i c z k i p r z e k s z t a l c e n i a o d w r o t n e g o . S a m w z ó r j e s t k o n s e k w e n c j a t w i e r d z e n i a o
- 1
p o c h o d n e j z l o |e n i a d w u f u n k c j i ( f i f ) .
D w a o s t a t n i e t w i e r d z e n i a p o k a z u j a , |e n a l e |y m y [l e o p o c h o d n e j ( r ó |n i c z c e )
f u n k c j i w i e l u z m i e n n y c h j a k o o m a c i e r z y . D o d a n a l e |y , |e t w i e r d z e n i e o r ó |n i c z c e
z l o |e n i a d w u f u n k c j i t o j e d n a z g l ó w n y c h p r z y c z y n , d l a k t ó r y c h m n o |e n i e m a c i e r z y
j e s t z d e f i n i o w a n e w l a [n i e w t a k i s p o s ó b .
k
P o k a |e m y j e d n o z l i c z n y c h z a s t o s o w a D t e g o t w i e r d z e n i a . N i e c h ³: ( - 1 , 1 ) - ’!
b e d z i e f u n k c j a r ó |n i c z k o w a l n a . W t e d y w e k t o r ³ ( t 0 ) j e s t s t y c z n y w p u n k c i e ³( t 0 )
d o o b r a z u f u n k c j i ³ , c z y l i d o k r z y w e j z l o |o n e j z e w s z y s t k i c h p u n k t ó w p o s t a c i ³( t ) ,
t " ( - 1 , 1 ) . N a l e |y m y [l e , |e w c h w i l i t p o r u s z a j a c y s i e p u n k t m a t e r i a l n y z n a j -
d u j e s i e w m i e j s c u ³( t ) . W t a k i e j s y t u a c j i n a t u r a l n y m p o m y s l e m j e s t p r z y j e c i e , |e
w e k t o r ³ ( t ) t o w e k t o r p r e d k o [c i c h w i l o w e j w m o m e n c i e t . O c z y w i [c i e p r e d k o [ j e s t
s t y c z n a d o d r o g i . T e k i l k a z d a D t o o c z y w i [c i e a g i t a c j a , a l e j e d n a z d e f i n i c j i w e k t o r a
s t y c z n e g o d o k r z y w e j t o w l a [n i e o n e ( p o o p u s z c z e n i u t r e [c i f i z y c z n e j , k t ó r a j e s t p r z y -
c z y n a p r z y j e c i a w l a [n i e t a k i e j d e f i n i c j i w e k t o r a s t y c z n e g o ) . W s z c z e g ó l y w c h o d z i
n i e b e d z i e m y z b r a k u c z a s u .
k k
Z a l ó |m y , |e f : - ’! i ³: ( - 1 , 1 ) - ’! s a f u n k c j a m i r ó |n i c z k o w a l n y m i
o r a z |e i s t n i e j e t a k a l i c z b a c , |e f ³( t ) = c d l a t " ( - 1 , 1 ) . W t e d y
0 = ( f æ% ³) ( 0 ) = D f ³( 0 ) · ³ ( 0 ) = g r a d f ³( 0 ) · ³ ( 0 ) .
4
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
W y k a z a l i [m y , |e w e k t o r y g r a d f ³( 0 ) i ³ ( 0 ) s a p r o s t o p a d l e . J e [l i p o p r o w a -
d z i m y p r z e z p u n k t p : = ³( 0 ) w s z y s t k i e m o |l i w e k r z y w e r ó |n i c z k o w a l n e , t o o t r z y -
m a m y w s z y s t k i e w e k t o r y s t y c z n e d o p o w i e r z c h n i f ( x ) = c w p u n k c i e p . K a |d y z
n i c h j e s t p r o s t o p a d l y d o g r a d i e n t u f u n k c j i f w p u n k c i e p . O z n a c z a t o , |e g r a d i e n t j e s t
p r o s t o p a d l y d o p l a s z c z y z n y * J e [l i t e n g r a d i e n t j e s t n i e z e r o w y , t o m o |e m y z n a l e z
r ó w n a n i e p l a s z c z y z n y s t y c z n e j .
P r z y k l a d 1 7 . 1 N i e c h f ( x , y ) = y - s i n x i n i e c h c = 0 . Z b i ó r M z d e f i n i o w a n y
À 1
r ó w n a n i e m 0 = f ( x , y ) t o w y k r e s f u n k c j i s i n u s . N i e c h p = ( , ) . M a m y w i e c
6 2
À 1 1 À
f ( , ) = - s i n = 0 , c z y l i p " M . W e k t o r y s t y c z n e d o z b i o r u M ( c z y l i d o
6 2 2 6
s i n u s o i d y ) w p u n k c i e p s a p r o s t o p a d l e d o w e k t o r a
"
À 1 À 3
g r a d f ( , ) = ( - c o s , 1 ) = ( - , 1 ) .
6 2 6 2
J e [l i p u n k t ( x , y ) l e |y n a s t y c z n e j d o M w p u n k c i e p , t o
" "
3 À 1 3 À 1
0 = ( - , 1 ) · ( x - , y - ) = - ( x - ) + ( y - ) .
2 6 2 2 6 2
C z y t e l n i k b e z t r u d u r o z p o z n a r ó w n a n i e p r o s t e j s t y c z n e j d o s i n u s o i d y w p u n k c i e
À 1
p = ( , ) , k t ó r e p o p r z e d n i o o t r z y m y w a l i [m y n i e c o i n a c z e j . Z a u w a |y t e |, |e w p r z y -
6 2
p a d k u w y k r e s u d o w o l n e j f u n k c j i r ó |n i c z k o w a l n e j o t r z y m a n y n a o p i s a n e j t e r a z d r o d z e
r e z u l t a t b e d z i e i d e n t y c z n y z u z y s k i w a n y m p r z e z s k o r z y s t a n i e z d e f i n i c j i p r o s t e j s t y c z -
n e j d o w y k r e s u f u n k c j i p o d a n e j w p i e r w s z y m s e m e s t r z e .
P r z y k l a d 1 7 . 2 N i e c h f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 i n i e c h c = 1 4 . N i e c h M b e d z i e
z b i o r e m z l o |o n y m z t y c h p u n k t ó w ( x , y , z ) , d l a k t ó r y c h z a c h o d z i r ó w n o [
1 4 = c = f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 .
O c z y w i [c i e p : = ( 1 , - 2 , 3 ) " M . Z b i ó r M j e s t s f e r a , k t ó r e j [r o d k i e m j e s t p u n k t
"
( 0 , 0 , 0 ) i k t ó r e j p r o m i e D j e s t r ó w n y 1 4 . Z n a j d z i e m y p l a s z c z y z n e s t y c z n a d o t e j
s f e r y w p u n k c i e p = ( 1 , - 2 , 3 ) . M a m y g r a d f ( 1 , - 2 , 3 ) = ( 2 , - 4 , 6 ) .
J e [l i ( x , y , z ) " , t o
0 = ( x - 1 , y + 2 , z - 3 ) · ( 2 , - 4 , 6 ) = 2 ( x - 1 ) - 4 ( y + 2 ) + 6 ( z - 3 ) .
O t r z y m a l i [m y r ó w n a n i e p l a s z c z y z n y s t y c z n e j d o s f e r y M w p u n k c i e ( 1 , - 2 , 3 ) .
P r z y k l a d 1 7 . 3 U k l a d r ó w n a D y = 0 i ( x - 7 ) 2 + z 2 = 2 5 o p i s u j e o k r a g o [r o d k u
w p u n k c i e ( 7 , 0 , 0 ) i p r o m i e n i u 5 l e |a c y w p l a s z c z y zn i e w y z n a c z o n e j p r z e z o s i e O X
i O Z . R ó w n a n i e ( x - 7 ) 2 + z 2 = 2 5 m o |e m y p r z e p i s a w p o s t a c i 1 4 x = x 2 + z 2 + 2 4 .
Z t e g o r ó w n a n i a w y n i k a , |e 1 9 6 x 2 = ( x 2 + z 2 + 2 4 ) 2 p r z y c z y m t o o s t a t n i e r ó w n a n i e
r ó w n o w a |n e j e s t p o p r z e d n i e m u p r z y z a l o |e n i u , |e x e" 0 . Z a s t e p u j a c x 2 w r ó w n a n i u
* T o n i e z a w s z e j e s t p l a s z c z y z n a , n p . z w y k l e w y m i a r r ó w n y j e s t k - 1 , w i e c d l a k > 3 m ó w i m y n a o g ó l
o p r z e s t r z e n i s t y c z n e j d o p o w i e r z c h n i f ( x ) = c .
5
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
1 9 6 x 2 = ( x 2 + z 2 + 2 4 ) 2 p r z e z x 2 + y 2 o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e p o w i e r z c h n i p o w s t a l e j
w w y n i k u o b r o t u o k r e g u ( x - 7 ) 2 + z 2 = 2 5 l e |a c e g o w p l a s z c z y zn i e y = 0 w o k ó l o s i
O Z t a p o w i e r z c h n i a w y g l a d a j a k n a p o m p o w a n a d e t k a , n p . r o w e r o w a ; m a t e m a t y c e
z w a j a t o r u s e m . T a k o t r z y m a n e r ó w n a n i e t e j p o w i e r z c h n i m a p o s t a
2
1 9 6 ( x 2 + y 2 ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 4 .
L a t w o m o |n a p r z e k o n a s i e , |e j e d n y m z p u n k t ó w t e j p o w i e r z c h n i j e s t p : = ( 6 , 8 , 4 ) .
2
N i e c h f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 4 - 1 9 6 ( x 2 + y 2 ) . J a s n e j e s t , |e r ó w n a n i e t o r u s a
m o |n a z a p i s a j a k o f ( x , y , z ) = 0 . Z a c h o d z i r ó w n o [
g r a d f ( x , y , z ) = 2 x ( x 2 + y 2 + z 2 ) - 3 9 2 x , 2 y ( x 2 + y 2 + z 2 ) - 3 9 2 y , 2 z ( x 2 + y 2 + z 2 ) . Z
n i e j w y n i k a , |e g r a d f ( 6 , 8 , 4 ) = ( - 9 6 0 , - 1 0 8 0 , 9 2 8 ) . R ó w n a n i e p l a s z c z y z n y s t y c z n e j
m a w i e c p o s t a :
0 = ( x - 6 , y - 8 , z - 4 ) · ( - 9 6 0 , - 1 2 8 0 , 9 2 8 ) = - 9 6 0 ( x - 6 ) - 1 2 8 0 ( y - 8 ) + 9 2 8 ( z - 4 ) .
P o p o d z i e l e n i u p r z e z 3 2 o t r z y m u j e m y - 3 0 ( x - 6 ) - 4 0 ( y - 8 ) + 2 9 ( z - 4 ) , c z y l i
3 0 x + 4 0 y - 2 9 z - 3 8 4 = 0 .
U w a g a 1 7 . 7 ( n a d e s e r ) N a j p r o s t s z e f u n k c j e t o l i n i o w e .
J e [l i f ( x , y ) = A x + B y + C , t o g r a d f ( x , y ) = ( A , B ) . W y n i k a s t a d , |e
w e k t o r ( A , B ) j e s t p r o s t o p a d l y d o p r o s t e j s t y c z n e j z b i o r u o p i s a n e g o r ó w n a n i e m
0 = f ( x , y ) = A x + B y + C , c z y l i d o p r o s t e j A x + B y + C = 0 .
J e [l i f ( x , y , z ) = A x + B y + C z + D , t o g r a d f ( x , y , z ) = ( A , B , C ) , w i e c w e k t o r
( A , B , C ) j e s t p r o s t o p a d l y d o p l a s z c z y z n y s t y c z n e j d o z b i o r u o p i s a n e g o r ó w n a n i e m
0 = f ( x , y , z ) = A x + B y + C z + D , w i e c d o p l a s z c z y z n y A x + B y + C z + D = 0 .
T o a k u r a t w i e m y o d d a w n a . O k a z a l o s i e j e d n a k , |e j e s t t o s z c z e g ó l n y p r z y p a d e k
o g ó l n i e j s z e g o t w i e r d z e n i a .
W t e o r i i r ó |n i c z k o w a n i a f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j r z e c z y w i s t e j k l u c z o w a r o l e o d -
g r y w a l o t w i e r d z e n i e L a g r a n g e a o w a r t o [c i [r e d n i e j . N i e j e s t o n o n i e s t e t y p r a w d z i w e
n a w e t d l a f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j r z e c z y w i s t e j , k t ó r e j w a r t o [c i a m i s a p u n k t y p l a s z -
c z y z n y .
c o s t - s i n t
P r z y k l a d 1 7 . 4 N i e c h f ( t ) = . W t e d y D f ( t ) = . M a m y r ó w n i e |
s i n t c o s t
1
f ( 2 À) = = f ( 0 ) . G d y b y t w i e r d z e n i e L a g r a n g e a b y l o p r a w d z i w e w t a k i e j w e r s j i ,
0
j a k d l a f u n k c j i o w a r t o [c i a c h r z e c z y w i s t y c h , t o i s t n i a l a b y t a k a l i c z b a c " ( 0 , 2 À) ,
0 - s i n c
|e = f ( 2 À) - f ( 0 ) = f ( c ) · ( 2 À - 0 ) = 2 À , a t o j e s t n i e m o |l i w e , b o
0 c o s c
s i n 2 c + c o s 2 c = 1 , w i e c l i c z b y c o s c i s i n c n i e z e r u j a s i e d l a j e d n e g o c .
6
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
T w i e r d z e n i e 1 7 . 8 ( L a g r a n g e a o w a r t o [c i [r e d n i e j )
l k
N i e c h f : G - ’! b e d z i e f u n k c j a o k r e [l o n a n a z b i o r z e o t w a r t y m G †" i n i e c h
p , q " G . Z a l ó |m y , |e c a l y o d c i n e k o k o Dc a c h p , q j e s t z a w a r t y w z b i o r z e G . D l a
p e w n e j l i c z b y t " ( 0 , 1 ) z a c h o d z i w t e d y n i e r ó w n o [
f ( p ) - f ( q ) d" p - q · D f p + t ( q - p ) ;
j e [l i M j e s t m a c i e r z a , k t ó r a m a l w i e r s z y i k k o l u m n , t o M o z n a c z a n a j m n i e j s z a
t a k a l i c z b e n i e u j e m n a , |e n i e r ó w n o [ M · v d" M · v z a c h o d z i d l a k a |d e g o
l k
k
w e k t o r a v " . Z a c h o d z i n i e r ó w n o [ M d" m 2 , g d z i e p r z e z
i = 1 j = 1 i , j
m i , j o z n a c z y l i [m y t e n w y r a z m a c i e r z y M , k t ó r y s t o i n a p r z e c i e c i u i t e g o w i e r s z a z
j t a k o l u m n a .
k
D o w ó d . N i e c h v 1 , v 2 , . . . , v k b e d a k o l e j n y m i w s p ó l r z e d n y m i w e k t o r a v " .
W t e d y z n i e r ó w n o [c i S c h w a r z a w y n i k a , |e
2
l k l k k
2 2
M v = m i , j v j d" m 2 · v j =
i = 1 j = 1 i = 1 j = 1 i , j j = 1
k l k l k
2 2
= v j · m 2 = v · m 2 ,
j = 1 i = 1 j = 1 i , j i = 1 j = 1 i , j
l k
z a t e m M v d" m 2 · v .
i = 1 j = 1 i , j
N i e c h Õ( t ) = f ( q ) - f ( p ) · f ( p + t ( q - p ) ) - f ( p ) . Õ j e s t f u n k c j a r ó |n i c z -
k o w a l n a o k r e [l o n a n a [ 0 , 1 ] , b o f j e s t f u n k c j a r ó |n i c z k o w a l n a o k r e [l o n a n a z b i o r z e
z a w i e r a j a c y m o d c i n e k o k o Dc a c h p , q . M a m y t e |
Õ ( t ) = f ( q ) - f ( p ) · D f ( p + t ( q - p ) ) · ( q - p ) .
Z t w i e r d z e n i a L a g r a n g e a o w a r t o [c i [r e d n i e j w y n i k a , |e i s t n i e j e l i c z b a t " ( 0 , 1 ) , d l a
k t ó r e j z a c h o d z i r ó w n o [
Õ( 1 ) - Õ( 0 ) = Õ ( t ) · ( 1 - 0 ) = f ( q ) - f ( p ) · D f ( p + t ( q - p ) ) · ( q - p ) .
2
P o n i e w a | Õ( 0 ) = 0 i Õ( 1 ) = f ( q ) - f ( p ) · f ( p + ( q - p ) ) - f ( p ) = f ( q ) - f ( p ) ,
w i e c
2
f ( q ) - f ( p ) = f ( q ) - f ( p ) · D f ( p + t ( q - p ) ) · ( q - p ) d"
d" f ( q ) - f ( p ) · D f ( p + t ( q - p ) ) · q - p ,
z a t e m
f ( q ) - f ( p ) d" D f ( p + t ( q - p ) ) · q - p .
Z o t r z y m a n e j n i e r ó w n o [c i t e z a w y n i k a n a t y c h m i a s t .
U d o w o d n i o n e t w i e r d z e n i e n i e d a j e d o k l a d n e g o w z o r u n a f ( q ) - f ( p ) , a l e p o -
z w a l a o s z a c o w a t e r ó |n i c e z a p o m o c a p o c h o d n y c h c z a s t k o w y c h , w i e c s p e l n i a t e r o l e ,
k t ó r a s p e l n i a l o t w i e r d z e n i e L a g r a n g e a o w a r t o [c i [r e d n i e j w p r z y p a d k u f u n k c j i j e d n e j
z m i e n n e j r z e c z y w i s t e j .
Z a j m i e m y s i e t e r a z p o c h o d n y m i w y |s z e g o r z e d u , k o n k r e t n i e d r u g i e g o . N i e c h
7
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
f : G - ’! b e d z i e f u n k c j a , k t ó r a m a p o c h o d n e c z a s t k o w e p i e r w s z e g o r z e d u w c a l y m
z b i o r z e o t w a r t y m G .
O g r a n i c z y m y s i e w i s t o c i e r z e c z y d o p o c h o d n y c h f u n k c j i o w a r t o [c i a c h r z e c z y w i -
s t y c h . N i e m a n a j m n i e j s z e g o k l o p o t u z e z d e f i n i o w a n i e m p o c h o d n y c h c z a s t k o w y c h d r u -
g i e g o r z e d u . J e [l i f u n k c j a f : G - ’! m a w z b i o r z e o t w a r t y m G p o c h o d n e c z a s t k o w e
p i e r w s z e g o r z e d u , t o m o |e m y p y t a o t o , c z y m a j a o n e p o c h o d n e c z a s t k o w e .
D e f i n i c j a 1 7 . 9 ( p o c h o d n y c h c z a s t k o w y c h w y |s z e g o r z e d u )
"f
J e [l i p o c h o d n a c z a s t k o w a m a w p u n k c i e p " G p o c h o d n a c z a s t k o w a w z g l e d e m
"x i
z m i e n n e j x j , t o t e p o c h o d n a n a z y w a m y p o c h o d n a c z a s t k o w a d r u g i e g o r z e d u f u n k c j i
"2 f
f w p u n k c i e p w z g l e d e m z m i e n n y c h x i , x j i o z n a c z a m y s y m b o l e m ( p ) .
"x j "x i
"2 f
J e [l i i = j , t o m ó w i m y o p o c h o d n e j m i e s z a n e j . J e [l i i = j , t o p i s z e m y ( p ) .
"x 2
i
A n a l o g i c z n i e d e f i n i o w a n e s a p o c h o d n e c z a s t k o w e w y |s z y c h r z e d ó w .
x "2 f "2 f "2 f
J e [l i f = x 2 + 1 1 x y + 3 7 y 2 , t o ( p ) = 2 , ( p ) = 7 4 , ( p ) = 1 1 ,
y "x 2 "y 2 "y "x
"2 f "f x "f x
( p ) = 1 1 , b o = 2 x + 1 1 y i = 1 1 x + 7 4 y . P r z y k l a d ó w n a r a z i e n i e
"x "y "x y "y y
b e d z i e m y m n o |y , b o w i s t o c i e r z e c z y n i e m a w n i c h n i c i s t o t n i e n o w e g o , p o p r o s t u
l i c z y m y n a s t e p n e p o c h o d n e .
D e f i n i c j a 1 7 . 1 0 ( m a c i e r z y d r u g i e j r ó |n i c z k i )
M a c i e r z a d r u g i e j r ó |n i c z k i f u n k c j i f : G - ’! w p u n k c i e p n a z y w a m y m a c i e r z
"2 f "2 f
( p ) , j e [l i p o c h o d n e ( p ) i s t n i e j a d l a i , j " { 1 , 2 , . . . , k } .
"x i "x j "x i "x j
Z d e f i n i c j i w y n i k a , |e m a c i e r z d r u g i e j r ó |n i c z k i j e s t m a c i e r z a k w a d r a t o w a . N a
o g ó l j e s t o n a s y m e t r y c z n a , t z n . w r ó |n y c h s y t u a c j a c h s y m e t r i i m o |e n i e b y , a l e j e s t
t a k w p r z y p a d k u f u n k c j i z d e f i n i o w a n y c h w z o r a m i o c z y m m ó w i n a s t e p u j a c e
T w i e r d z e n i e 1 7 . 1 1 ( S c h w a r z a o s y m e t r i i d r u g i e j r ó |n i c z k i )
"2 f "2 f
J e [l i f u n k c j a f : G - ’! m a p o c h o d n e m i e s z a n e ( p ) i ( p ) w k a |d y m
"x i "x j "x j "x i
p u n k c i e p z b i o r u G i o b i e t e p o c h o d n e s a c i a g l e w p u n k c i e q " G , t o s a w t y m
p u n k c i e r ó w n e :
"2 f "2 f
( q ) = ( q ) .
"x i "x j "x j "x i
D o w ó d . P o n i e w a | m o w a j e s t o p o c h o d n y c h w z g l e d e m x i o r a z w z g l e d e m x j , w i e c
m o |n a m y [l e o f u n k c j i d w u z m i e n n y c h , p o z o s t a l e z m i e n n e i t a k t r a k t o w a n e s a j a k o
2
p a r a m e t r y . D a l e j z a k l a d a m y w i e c , |e G ‚" , p i s z e m y x z a m i a s t x i o r a z y z a m i a s t
a u
x j . N i e c h q = i h = . P o n i e w a | z a k l a d a m y , |e z b i ó r G j e s t o t w a r t y , w i e c
b v
d l a d o s t a t e c z n i e m a l y c h h o k r e [l i m o |e m y l i c z b e
8
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
u a + u a + u a a
g = f - f - f + f .
v b + v v b + v b
a + u a + u
T r a k t u j a c f - f j a k o f u n k c j e z m i e n n e j u p r z y u s t a l o n y m v m o |e m y
b + v v
z a s t o s o w a j e d n o w y m i a r o w e t w i e r d z e n i e L a g r a n g e a o w a r t o [c i [r e d n i e j : i s t n i e j e w i e c
u "g a + t u "g a + t u
l i c z b a t " ( 0 , 1 ) , t a k a |e g = u - . T r a k t u j a c t e r a z u i t j a k o
v "x b + v "x b
s t a l e a v j a k o z m i e n n a m o |e m y z n ó w s k o r z y s t a z t w i e r d z e n i a o w a r t o [c i [r e d n i e j :
u "2 f a + t u
i s t n i e j e w i e c l i c z b a s " ( 0 , 1 ) , t a k a |e g = v u . U s t a l a j a c n a j p i e r w v
v "y "x b + s v
a p o t e m u s t w i e r d z i m y w t a k i s a m s p o s ó b , |e i s t n i e j a l i c z b y Ä, Ã " ( 0 , 1 ) , t a k i e |e
u "2 f a + Äu
g = u v . P r z y j m u j a c t e r a z u = v w o b u r ó w n o [c i a c h o t r z y m u j e m y :
v "x "y b + Ãv
u "2 f a + t u "2 f a u "2 f a + Äu "2 f a
1 1
l i m g = l i m = , l i m g = l i m = .
u 2 u "y "x b + s v "y "x b u 2 u "x "y b + Ãv "x "y b
u ’!0 u ’!0 u ’!0 u ’!0
P o n i e w a | l e w e s t r o n y s a r ó w n e , w i e c p r a w e t e |. D o w ó d z o s t a l z a k o Dc z o n y .
O d t e j p o r y n i e m u s i m y w i e c p a m i e t a n a c z y m d o k l a d n i e p o l e g a r ó |n i c a m i e d z y
"2 f "2 f
s y m b o l a m i i . O s t r z e g a m y j e d n a k , |e t o t w i e r d z e n i e , j a k k a |d e i n n e ,
"x i "x j "x j "x i
m a z a l o |e n i a . N a w s z e l k i w y p a d e k p o d a m y s t a n d a r d o w y p r z y k l a d w s k a z u j a c y n a
k o n i e c z n o [ p a m i e t a n i a o t y c h z a l o |e n i a c h .
P r z y k l a d 1 7 . 5 N i e c h
0 , j e [l i x = 0 = y ;
x
f =
x 2 - y 2
y
x y , j e [l i x 2 + y 2 > 0 .
x 2 + y 2
"f x "f 0
K o r z y s t a j a c z d e f i n i c j i p o c h o d n e j s t w i e r d z a m y , |e = x o r a z = - y .
"y 0 "x y
"2 f "2 f
S t a d j u | l a t w o w y n i k a , |e ( 0 ) = 1 = - 1 = ( 0 ) . W i d z i m y w i e c , |e m o |e s i e
"x "y "y "x
z d a r z y , |e p o c h o d n e m i e s z a n e s a r ó |n e , a l e w p r z y p a d k a c h , k t ó r y m i b e d z i e m y s i e
z a j m o w a , b e d a s p e l n i o n e z a l o |e n i a t w i e r d z e n i a o s y m e t r i i d r u g i e j r ó |n i c z k i !
U w a g a 1 7 . 1 2 W d o w o d z i e t w i e r d z e n i a o s y m e t r i i d r u g i e j r ó |n i c z k i p o c h o d n a m i e -
s z a n a z o s t a l a w y r a |o n a j a k o g r a n i c a p o d w ó j n e g o i l o r a z u r ó |n i c o w e g o , w k t ó r y m
n i e w y s t e p u j e |a d n a p o c h o d n a p i e r w s z e g o r z e d u . W l i c z n i k u w y s t e p u j e r ó |n i c a d r u -
g i e g o r z e d u :
a + u a + u a a a + u a + u a a
f - f - f + f = f - f - f - f =
b + v v b + v b b + v v b + v b
a + u a a + u a
= f - f - f - f
b + v b + v v b
P r z y p o m i n a t o o t y m , |e d r u g a p o c h o d n a m i e r z y t e m p o z m i a n t e m p a z m i a n f u n k c j i .
W j e d n y m w y m i a r z e z w i a z a n e t o b y l o w y p u k l o [c i a f u n k c j i , t u s y t u a c j a j e s t n i e c o
b a r d z i e j s k o m p l i k o w a n a , b o m ó w i m y j e d y n i e o p o c h o d n y c h c z a s t k o w y c h . W i d a j e d -
n a k , |e r o z w a |a m y n a j p i e r w z m i a n y w a r t o [c i f u n k c j i o d p o w i a d a j a c e z m i a n i e j e d n e g o
a r g u m e n t u ( n p . y ) o d p o w i a d a j a c e r ó |n y c h w a r t o [c i o m i n n e g o a r g u m e n t u ( w t y m
9
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
p r z y p a d k u x ) , a p o t e m i c h r ó |n i c e . T o w a |n a i n t e r p r e t a c j a .
W r a c h u n k u r ó |n i c z k o w y m n a j w a |n i e j s z a i d e a t o p r z y b l i |a n i e f u n k c j i f u n k c j a
l i n i o w a , w y s t e p u j e o n a j u | w d e f i n i c j i p o c h o d n e j . N a s t e p n y k r o k t o p r z y b l i |a n i e w i e -
l o m i a n a m i o d p o w i e d n i e g o s t o p n i a , g d y p r z y b l i |e n i a l i n i o w e s a n i e w y s t a r c z a j a c e . O d -
p o w i e d n i e t w i e r d z e n i a z a w i e r a j a w z ó r T a y l o r a z r ó |n y m i p o s t a c i a m i r e s z t y . Z a j m i e m y
s i e t e r a z t y m w z o r e m w p r z y p a d k u f u n k c j i w i e l u z m i e n n y c h i w i e l o m i a n ó w d r u g i e g o
s t o p n i a . W a r t o o d r a z u s t w i e r d z i , |e m o |n a u |y w a w i e l o m i a n ó w w y |s z e g o s t o p -
n i a , a l e n i e c h c e m y k o m p l i k o w a w z o r ó w , z r e s z t a , w g . w i e d z y a u t o r a , w i e l o m i a n y
T a y l o r a s t o p n i a w y |s z e g o n i | 2 n i e s a z b y t c z e s t o u |y w a n e . D r u g a p r z y c z y n a t e g o
o g r a n i c z e n i a j e s t w i a r a a u t o r a w t o , |e k t o [ k t o z r o z u m i a l j a k m o |n a s t o s o w a w i e l o -
m i a n y T a y l o r a w y |s z y c h s t o p n i w j e d n y m w y m i a r z e i w i e l o m i a n y s t o p n i a d r u g i e g o w
w i e l u w y m i a r a c h , n i e b e d z i e m i e t r u d n o [c i z u |y c i e m w i e l o m i a n ó w T a y l o r a s t o p n i a
w y |s z e g o n i | 2 w p r z y p a d k u f u n k c j i w i e l u z m i e n n y c h .
D e f i n i c j a 1 7 . 1 3 ( d r u g i e g o w i e l o m i a n u T a y l o r a i d r u g i e j r e s z t y )
Z a l ó |m y , |e f u n k c j a f : G - ’! m a p o c h o d n e c z a s t k o w e d r u g i e g o r z e d u w p u n k c i e
p " G . D r u g i m w i e l o m i a n e m T a y l o r a f u n k c j i f w p u n k c i e p n a z y w a m y w i e l o m i a n
z m i e n n y c h h 1 , h 2 , . . . , h k :
k k
"f 1 "2 f
f ( p ) + ( p ) h i + ( p ) h i h j .
"x i 2 "x i "x j
i = 1 i , j = 1
D r u g a r e s z t a n a z y w a m y r ó |n i c e
ëø öø
k k
"2 f
íøf ( p ) + "f ( p ) h i + 1
r 2 ( h ) = f ( p + h ) - ( p ) h i h j øø .
"x i 2 "x i "x j
i = 1 i , j = 1
"2 f
Z a u w a |m y , |e j e [l i c h o j e d n a z p o c h o d n y c h ( p ) j e s t r ó |n a o d 0 , t o s t o p i e D
"x i "x j
w i e l o m i a n u j e s t r ó w n y 2 .
x "f x "f x
P r z y k l a d 1 7 . 6 N i e c h f = e x + 3 y . W t e d y = e x + 3 y , = 3 e x + 3 y ,
y "x y "y y
2
"f x "2 f x "2 f x
z a t e m = e x + 3 y , = 3 e x + 3 y i = 9 e x + 3 y . W o b e c t e g o d r u g i
"x 2 y "x "y y "y 2 y
w i e l o m i a n T a y l o r a f u n k c j i f w p u n k c i e 0 w y g l a d a t a k :
1
1 + 1 · h 1 + 3 · h 2 + 1 · h 2 + 3 · h 1 h 2 + 3 · h 2 h 1 + 9 · h 2 =
1 2
2
1 9
= 1 + h 1 + 3 h 2 + h 2 + 3 h 1 h 2 + h 2 .
1 2
2 2
N a j w a |n i e j s z e , c h o b a r d z o p r o s t e , t w i e r d z e n i e b r z m i p r a w i e t a k s a m o j a k w
j e d n o w y m i a r o w y m p r z y p a d k u , a l e m y w z m o c n i m y n i e c o z a l o |e n i a , b o k o n s e k w e n t n i e
u n i k a m y p o j e c i a r ó |n i c z k i d r u g i e g o r z e d u .
1 0
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
T w i e r d z e n i e 1 7 . 1 4 ( G . P e a n o )
J e [l i f u n k c j a f : G - ’! m a p o c h o d n e d r u g i e g o r z e d u w z b i o r z e G i s a o n e c i a g l e w
k a |d y m p u n k c i e z b i o r u G , t o d l a k a |d e g o p " G z a c h o d z i r ó w n o [:
r 2 ( h )
l i m = 0 .
h 2
h ’!0
D o w ó d . P o t r a k t u j e m y r 2 j a k o f u n k c j e z m i e n n e j h . Z a c h o d z a w t e d y n a s t e p u j a c e
k
"r 2 "f "f "2 f
r ó w n o [c i r 2 ( 0 ) = 0 , ( h ) = ( p + h ) - ( p ) - ( p ) h j , a s t a d w y -
j = 1
"h i "x i "x i "x i "x j
"2 r 2 "2 f "2 f
n i k a j u | l a t w o , |e ( h ) = ( p + h ) - ( p ) . Z c i a g l o [c i p o c h o d n y c h
"h i "h j "x i "x j "x i "x j
"2 r 2
c z a s t k o w y c h d r u g i e g o r z e d u w y n i k a , |e l i m ( h ) = 0 , o c z y w i [c i e r 2 z a l e |y o d
"h i "h j
h ’!0
p , a l e t e n p u n k t j e s t w c a l y m r o z u m o w a n i u u s t a l o n y . T e r a z t w i e r d z e n i e o w a r t o [c i
[r e d n i e j : r 2 ( h ) = r 2 ( h ) - r 2 ( 0 ) d" h s u p D r 2 ( Äh ) . Z a s t o s u j e m y t o s a m o
0 d"Äd"1
"r 2 "r 2
t w i e r d z e n i e r a z j e s z c z e t y m r a z e m d o f u n k c j i . M a m y ( 0 ) = 0 w y n i k a
"h i "h i
t o n a t y c h m i a s t z w z o r u n a p o c h o d n e c z a s t k o w e f u n k c j i r 2 , z a t e m
"r 2 "r 2 "r 2 "r 2
( Äh ) = ( Äh ) - ( 0 ) d" Äh s u p D ( ÃÄh ) d"
"h i "h i "h i "h i
0 d"Ãd"1
"r 2
d" h s u p D ( ÃÄh )
"h i
0 d"Ãd"1
P o n i e w a | n o r m a m a c i e r z y m o |n a o s z a c o w a p r z e z p i e r w i a s t e k k w a d r a t o w y z s u m y
"2 r 2
k w a d r a t ó w w s p ó l c z y n n i k ó w m a c i e r z y i l i m ( h ) = 0 , w i e c z a c h o d z i r ó w n o [
"h i "h j
h ’!0
"r 2
l i m D ( ÃÄh ) = 0 o r a z
"h i
h ’!0
k
2
r 2 ( h )
1 1 "r 2
d" s u p D r 2 ( Äh ) d" s u p ( Äh ) d"
2
h h h "h i
0 d"Äd"1 0 d"Äd"1
i = 1
k
2
"r 2
d" s u p s u p D ( ÃÄh ) - - - 0
- ’!
"h i
h ’!0
0 d"Äd"1 0 d"Ãd"1
i = 1
T e s z a c o w a n i a k o Dc z a d o w ó d .
D o w ó d t w i e r d z e n i a P e a n o p o d a l i [m y g l ó w n i e p o t o , b y r a z j e s z c z e u [w i a d o m i
c z y t e l n i k o m , |e p o c h o d n a s l u |y d o o s z a c o w a n i a t e m p a z m i a n f u n k c j i .
P r z e j d z i e m y t e r a z d o t w i e r d z e n i a , k t ó r e p o z w a l a w w i e l u p r z y p a d k a c h u s t a l i
c z y w p u n k c i e z e r o w a n i a s i e g r a d i e n t u f u n k c j a m a l o k a l n e e k s t r e m u m c z y t e | n i e .
T w i e r d z e n i e 1 7 . 1 5 ( o l o k a l n y c h e k s t r e m a c h f u n k c j i d w u k r o t n i e
r ó |n i c z k o w a l n e j )
Z a l ó |m y , |e f u n k c j a f : G - ’! m a w z b i o r z e G p o c h o d n e c z a s t k o w e d r u g i e g o r z e d u
"2 f
o r a z |e s a o n e c i a g l e . N i e c h g r a d f ( p ) = 0 . N i e c h D 2 f ( p ) = ( p ) b e d z i e
"x i "x j
1 1
T w i e r d z e n i e o w a r t o [c i [r e d n i e j , l o k a l n e i a b s o l u t n e e k s t r e m a
m a c i e r z a d r u g i e j r ó |n i c z k i f u n k c j i f w p u n k c i e p . W t e j s y t u a c j i
a . j e [l i f o r m a k w a d r a t o w a z d e f i n i o w a n a m a c i e r z a D 2 f ( p ) j e s t d o d a t n i o o k r e [l o n a ,
c z y l i g d y d l a k a |d e g o w e k t o r a v = 0 z a c h o d z i n i e r ó w n o [
k k k
"2 f "2 f
v i · ( p ) v j = ( p ) v i v j > 0
v · D 2 f ( p ) · v =
i = 1 j = 1 "x i "x j i , j = 1 "x i "x j
t o f u n k c j a f m a w p u n k c i e p l o k a l n e m i n i m u m w l a [c i w e ;
b . j e [l i f o r m a k w a d r a t o w a z d e f i n i o w a n a m a c i e r z a D 2 f ( p ) j e s t u j e m n i e o k r e [l o n a * ,
t o f u n k c j a f m a w p u n k c i e p l o k a l n e m a k s i m u m w l a [c i w e ;
k k
c . j e [l i i s t n i e j a t a k i e w e k t o r y v " o r a z w " , |e
v · D 2 f ( p ) v <