plik


ÿþFunkcje wielu zmiennych IV Twierdzenie (Równo[ci Schwarza) n Dla odwzorowaD f : top " A ’! , które maj drug ró|niczk w punkcie P " A, " ’! " " ’! " " ’! " zachodz równo[ci: "2 f "2 f " " " " " " ( P ) = ( P ), i , j = 1,2,...,n, i `" j = = `" = = `" = = `" "xi"xj "xj"xi " " " " " " " " " " " " n Odwzorowanie f : top " A ’! " " ’! jest klasy Cm ,m " " ’! " w zbiorze A, gdy jest cigBe " ’! " wraz ze wszystkimi swoimi pochodnymi czstkowymi a| do rzdu m wBcznie w A. Twierdzenie (Taylora) n n " " " + " + ‚" + Niech A" top , h" , P " A, P + h" A, P ,P + h ‚" A , (tzn. odcinek P , P + h " " " + " + ‚" + " " " + " + ‚" + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m-1 - - - Bczcy punkty P , P + h zawiera si w A ). Je|eli f : A ’! jest klasy C w A + ’! + ’! + ’! m oraz dla ka|dego x nale|cego do odcinka P ,P + h istnieje dx f , to istnieje ± " 0,1 + " ( + ) " ( ) ( + ) " ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) takie, |e 1 1 1 2 ( - ( - - f ( P + h ) = f ( P ) + dP f ( h )+ dP f ( h )+ ...+ dPm-1 ) f ( h ) + dPm ) f ( h ) + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + +±h + + + 2! ( m -1)! m ! - - - Twierdzenie (Taylora z reszt Paeano) n n Niech A" top , h" , P " A, P + h" A, P ,P + h ‚" A . Je|eli f : A ’! " " " + " + ‚" ’! jest klasy " " " + " + ‚" ’! " " " + " + ‚" ’! [ ] [ ] [ ] [ ] m-1 m - - - C w A oraz istnieje dP f , to 1 1 1 2 ( - ( - - f ( P + h ) = f ( P ) + dP f ( h ) + dP f ( h ) + ...+ dPm-1 ) f ( h )+ dPm ) f ( h ) + É( P ,h )|| h ||m + = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + 2! ( m -1)! m ! - - - gdzie É( P ,h ) ’!0 ’! ’! ’! ||h||’!0 ’! ’! ’! Uwaga (o ekstremach lokalnych) Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych definiuje si analogicznie jak ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej, tzn. n f : top " A ’! " " ’! ma w punkcie P " A maksimum (minimum) lokalne, gdy " ’! " " ’! " "´ > 0 "Q " S( P ,´ ) )" A f ( P ) - f ( Q ) > 0 ( f ( P ) - f ( Q ) < 0 ) " > " " )" - > - < " > " " )" - > - < " > " " )" - > - < Twierdzenie (WK istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych) n Je|eli f : top " A ’! " " ’! jest ró|niczkowalna w punkcie P " A i ma w tym punkcie " ’! " " ’! " ekstremum lokalne, to dla ka|dego i = 1,& ,n "f " " " ( P ) = 0 = = = "xi " " " Definicja (formy kwadratowej) n Funkcj g : ’! ’! okre[lon wzorem ’! ’! n g h = aijhihj , aij " , aij = aji , i , j = 1,2,...,n = " = = ( ) = " = = ( ) = " = = ( ) ( ) " " " " i , j=1 = = = nazywa si form kwadratow. Forma kwadratowa g jest (i) dodatnio okre[lona, gdy g(h) > 0 dla h `" 0 `" `" `" (ii) ujemnie okre[lona, gdy g(h) < 0 dla h `" 0 `" `" `" (iii) nieokre[lona, gdy g przyjmuje warto[ci dodatnie i ujemne Uwaga n Je|eli f : top " A ’! " " ’! jest dwukrotnie ró|niczkowalna w P " A,to " ’! " " ’! " n "2 f " " " 2 n g h = dP f h = P hihj , h" = = = " = ( ) ( ) = ( ) " ( ) ( ) = ( ) " ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " " " " "xi"xj " " " " " " i , j=1 = = = jest form kwadratow. Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych) n Niech f : top " A ’! " " ’! " " ’! bdzie dwukrotnie ró|niczkowalna w P " A oraz dla ka|dego " ’! " "f " " " i = 1,& ,n ( P ) = 0 . = = = "xi " " " 2 (i) Je|eli dP f ( h ) < 0, h `" 0, to f ma w punkcie P maksimum lokalne < `" < `" < `" 2 (ii) Je|eli dP f ( h ) > 0, h `" 0, to f ma w punkcie P minimum lokalne > `" > `" > `" 2 (iii) Je|eli dP f jest form kwadratow nieokre[lon, to f nie ma w punkcie P ekstremum lokalnego Twierdzenie (Sylvestera) Niech a11 ... a1k îø ùø îø ùø îø ùø îø ùø ïø úø ïø úø ïø úø ïø Ak = det .... ... ....úø , k = 1,2,...,n = = = = = = ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ... akk ûø ðøak1 ûø ðø ûø ðø ûø ðø (i) Forma g jest dodatnio okre[lona wtedy i tylko wtedy, gdy "k = 1,2,...,n Ak > 0 . " = > " = > " = > k (ii) Forma g jest ujemnie okre[lona wtedy i tylko wtedy, gdy "k = 1,2,...,n Ak > 0 . " = > " = (-1 > " = (- ) (- ) > (- ) ) (iii) Forma g jest nieokre[lona, gdy nie zachodzi (i) ani (ii). Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji dwóch zmiennych) 2 Niech f : top " A ’! " ’! ma cigBe pochodne czstkowe drugiego rzdu w otoczeniu " ’! " ’! "f "f " " " " " " punktu P = ( x0 , y0 ). Niech ( x0 , y0 ) = 0 i ( x0 , y0 ) = 0 oraz = = = = = = = = = "x "y " " " " " " îø ùø îø ùø îø "2 f "2 f ùø îø " " " " ùø " " ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 )úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø " " " " " " "x2 "x"y " " " ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø W ( x0 , y0 ) := det = = = ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø "2 f " " " ïø"2 f úø ïø" úø ïø" úø ïø" úø ïø" " úø ïø"x"y ( x0 , y0 ) "y2 ( x0 , y0 ) úø ïø" " úø ïø" " úø " " " ðø ûø ðø ûø ðø ûø ðø ûø "2 f " " " (i) Je|eli W ( x0 , y0 ) > 0 i ( x0 , y0 ) < 0, to f ma w P maksimum lokalne. > < > < > < "x2 " " " "2 f " " " (ii) Je|eli W ( x0 , y0 ) > 0 i ( x0 , y0 ) > 0, to f ma w P minimum lokalne. > > > > > > "x2 " " " (iii) Je|eli W ( x0 , y0 ) < 0, to f nie ma w P ekstremum lokalnego. < < < (iv) Je|eli W ( x0 , y0 ) = 0, to ekstremum badamy z definicji. = = = Twierdzenie (WW istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji trzech zmiennych) 3 Niech f : top " A ’! " ’! ma cigBe pochodne czstkowe drugiego rzdu w otoczeniu " ’! " ’! punktu P = ( x0 , y0,z0 ). Niech = = = " " " " " " "f "f "f " " " ( x0 , y0 ,z0 ) = 0, ( x0 , y0 ,z0 ) = 0, ( x0 , y0 ,z0 ) = 0 = = = = = = = = = "x "y "z " " " " " " " " " oraz "2 f " " " A1( x0 , y0 ,z0 ) := ( x0 , y0 ,z0 ) = = = "x2 " " " îø ùø îø ùø îø "2 f "2 f ùø îø " " " " ùø " " ( x0 , y0 ,z0 ) ( x0 , y0 ,z0 )úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø "x2 "x"y " " " " " " " " " ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø A2( x0 , y0 ,z0 ) := det = = = ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø "2 f " " " ïø"2 f úø ïø" úø ïø" úø ïø" úø ïø"x"y ( x0 , y0 ,z0 ) "y2 ( x0 , y0 ,z0 ) úø ïø" " úø ïø" " úø ïø" " úø " " " ðø ûø ðø ûø ðø ûø ðø ûø îø ùø îø ùø îø "2 f "2 f "2 f ùø îø " " " " " " ùø " " " ( x0 , y0 ,z0 ) ( x0 , y0 ,z0 ) ( x0 , y0 ,z0 )úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø "x2 "x"y "x"z " " " " " " " " " " " " " " " ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø"2 f úø ïø" úø ïø" úø ïø" úø "2 f "2 f " " " " " " A3( x0 , y0 ,z0 ) := det ( x0 , y0 ,z0 ) ( x0 , y0 ,z0 ) ( x0 , y0 ,z0 )úø = = = ïø úø ïø úø ïø úø ïø "y2 "y"z " " " " " " " " " ïø" " úø ïø"x"y úø ïø" " úø ïø" " úø ïø"2 f úø ïø" úø ïø" úø ïø úø "2 f "2 f " " " " " " ïø" úø ïø úø ïø ( x0 , y0 ,z0 ) ( x0 , y0 ,z0 ) ( x0 , y0 ,z0 ) úø ïø úø "y"z "z2 " " " " " " " " " ïø úø ïø úø ïø"x"z úø ïø úø ðø" " ûø ðø" " ûø ðø" " ûø ðø ûø (i) Je|eli Ai ( x0 , y0 ,z0 ) > 0,i = 1,2,3, to f ma min lokalne w P. > = > = > = (ii) Je|eli A1( x0 , y0 ,z0 ) < 0, A2( x0 , y0 ,z0 ) > 0, A3( x0 , y0 ,z0 ) < 0, to f ma maksimum < > < < > < < > < lokalne w P.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ekstrema lokalne i monotoniczność funkcji
13 Ekstrema lokalne
7 Ekstrema lokalne
Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
Twierdzenie o wartości średniej, lokalne i absolutne ekstrema
Twierdzenie o wartości średniej, lokalne i absolutne ekstrema
Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczności
ustawa o podatkach i opłatach lokalnych
MALI EKSTREMISCI
Rewitalizacja przestrzeni publicznej drogÄ… do integracji lokalnej
Finanse lokalne wykład 1, 2

więcej podobnych podstron