EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech X  przestrzeń topologiczna,
f : X �� R,
x0 �� X .
z def .
* *
x0
1� f ma w silne minimum lokalne
: �� $� V ��Top *(x0) : f (x0) <� f (x) dla x ��V
��
istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x
0
z def .
* *
x0
2� f ma w silne maksimum lokalne : �� $� V �� Top *(x0) : f (x0) >� f (x) dla x ��V
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
* *
x0
1� f ma w słabe minimum lokalne
: �� $� V ��Top*(x0) : f (x0) Ł� f (x) dla x ��V
* *
x0 : �� $� V ��Top*(x0) : f (x0) ł� f (x) dla x ��V
2� f ma w słabe maksimum lokalne
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
��
U ��TopRn
*�� f :U �� R
��
��x ��U
0
��
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
f �� D(x0)
x0
, tzn. f jest różniczkowalna w
i
f ma ekstremum lokalne w x .
0
Teza:
dx f =� 0
0
(pierwsza różniczka funkcji f w punkcie x jest równa 0).
0
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
ś�f
dx f =� 0 �� =� 0 "� j =� 1,..., n
0
ś�xj
Definicja
Punktem stacjonarnym funkcji różniczkowalnej f nazywamy taki punkt x , w którym różniczka jest
0
dx f =� 0
równa 0; czyli
0
1
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
(�X , �� )�
Niech - przestrzeń unormowana nad ciałem K
g : X �� K.
Wtedy g jest formą kwadratową, jeśli$� G ��L (X , K),G -� symetryczne i takie, że
2
g(h) =� G(h,h) "� h �� X.
Definicja
�� g(h) >� 0 "� h �� X \{�0}�
g  określona dodatnio
�� g(h) <� 0 "� h �� X \{�0}�
g  określona ujemnie
�� g(h) ł� 0 "� h �� X
g  półokreślona dodatnio
g  półokreślona ujemnie �� g(h) Ł� 0 "� h �� X
Twierdzenie Sylwestera (o określoności formy kwadratowej)
Zał: A  macierz formy kwadratowej g
A =� [�aij]� , gdzie aij �� R dla i, j =� 1,..., n
i, j=�1,...,n
dk =� det[�aij]� dla k =� 1,..., n
i, j=�1,...,k
�� ��
minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1� forma g  jest określona dodatnio
�� "� k =� 1,..., n: dk >� 0.
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
2� forma g jest określona ujemnie �� "� k =�1,..., n : (-�1)k dk >� 0.
Twierdzenie (o półokreśloności formy kwadratowej)
Zał: A  macierz formy kwadratowej
A =� [�aij]� , gdzie aij �� R dla i, j =� 1,..., n
i, j=�1,...,n
dk =� det[�aij]� dla k =�1,..., n
i, j=�1,...,k
Teza: 1� g  półokreślona dodatnio
�� "� k =�1,..., n : dk ł� 0
2� g  półokreślona ujemnie �� "� k =� 1,..., n : (-�1)k dk ł� 0
Koniec dygresji
2
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi * oraz
f �� D2(x0)
tzn. funkcja f jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie x
0.
2
dx f =� 0 Ł� dx f -� ��
Teza: 1� Jeśli określona dodatnio f ma w x minimum lokalne.
0
0 0
2
dx f =� 0 Ł� dx f -� ��
2� Jeśli określona ujemnie f ma w x maximum lokalne.
0
0 0
Dowód (szkic):
Ad. 1�,
1 2
2
f (x0 +� h) =� f (x0) +� dx f (h) +� dx f (h) +� o(�h )�
0 0
1�2�3�
4� 4�
2
z zał.=0
1 2
2
f (x0 +� h) -� f (x0) =� dx f (h) +� o(�2� )�>� 0
h
0
24�2�4� 1� 3�
1� 3�
jest określona dowodzi się
dodatnio >0 że jest >0
x0
więc w punkcie jest ekstremum (minimum) lokalne.
Ą%
Wniosek (warunek wystarczjący istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi* oraz
f ��C2m(�U )�,
"� j =�1,...,2m -�1: dxj f =� 0.
0
2m
Teza: 1� Jeśli dx f jest określona dodatnio, to f ma w punkcie x minimum lokalne.
0
0
2m
2� Jeśli dx f jest określona ujemnie, to f ma w punkcie x maksimum lokalne.
0
0
Twierdzenie (silny warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Zał: Zachodzi *oraz
f �� D2(x0).
2 2
x0 �� dx f =� 0 Ł� dx f ł� 0 (tzn. dx f -�
Teza: 1� f ma minimum w półokreślona dodatnio)
0 0 0
2 2
x0 �� dx f =� 0 Ł� dx f Ł� 0 (dx f -�
2� f ma maksimum w półokreślona ujemnie)
0 0 0
Wniosek
2
dx f x0 x0
Jeśli jest nieokreślona w punkcie stacjonarnym , to wtedy w nie istnieje ekstremum
0
lokalne funkcji f.
Uwaga
2
dx f nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w x0.
Z półokreśloności formy
0
3
Przykład
Zbadać określoność drugiej różniczki funkcji f (x, y) =� x3 +� xy +� 2y2 -� 7x +� 5y -� 3
w punkcie P(3,1).
ś�f
=� 3x2 +� y -� 7
ś�x
ś�f
=� x +� 4y +� 5
ś�y
ś�2 f ś� ś�f
ć� ��
=� =� 6x
�� ��
ś�x2 ś�x ś�x
Ł� ł�
ć� ��
ś�2 f ś� ś�f
=� �� �� =� 4
�� ��
ś�y2 ś�y ś�y
Ł� ł�
ć� ��
ś�2 f ś� ś�f ś� ś�f ś�2 f
ć� ��
=� �� �� =� 1 =� =�
�� ��
�� ��
ś�xś�y ś�x ś�y ś�y ś�x ś�yś�x
Ł� ł�
Ł� ł�
Niech h =� (�h1, h2)�, h ą� (�0,0)�. Wtedy
ś�2 f ś�2 f ś�2 f
2
dP f (h) =� (P)h12 +� 2 (P)h1h2 +� (P)h22 =� 18h12 +� 2h1h2 +� 4h22 =�
ś�x2 ś�xś�y ś�y2
2
=� 17h12 +�(�h12 +� 2h1h2 +� h22)�+� 3h22 =� 17h122�4�3� +� (�h1 +� h23� >� 0 h ą� (�0,0)�.
+� 3h22 1� )�
bo zakładaliśmy, że
1�4� 4�2�4�
>�0 ł�0
2
Z powyższych rozważań wynika że, jest formą określoną dodatnio.
dP f
Przykład
Zbadać ekstrema funkcji:
1) f (�x, y)�=� x4 +� y4
Pierwsza różniczka funkcji f musi być równa 0 (szukamy punktów stacjonarnych):
ś�f
=� 4x3
ś�x
ś�f
=� 4y3
ś�y
��
4x3 =� 0
�� (x, y) =� (0,0) �� P0(�0,0)�-� punkt stacjonarny
��
3
��4y =� 0
Obliczamy drugie pochode cząstkowe
ś�2 f
=� 12x2
ś�x2
ś�2 f
=� 12y2
ś�y2
ś�2 f ś�2 f
=� 0 =�
ś�xś�y ś�yś�x
4
Stąd
�� ł�
12x2 0
2
dP f =�
ę� ś�
0 12y2 ��
��
oraz
0 0
�� ł�
2
forma kwadratowa drugiej różniczki jest półokreślona w punkcie P , więc
0
dP f =�
ę�0 0ś� ��
0
może tam istnieć ekstremum. Aby je znalez
ć sprawdzamy czy:
�� ��
?
f (x, y) >� f (0,0) "�(x, y) ą� (0,0).
x4 +� y4 >� 0 "�(x, y) ą� (0,0)
Ponieważ
��
zatem w P istnieje minimum lokalne funkcji f.
0
2)
f (x, y) =� x3 +� y3
Postępujemy tak jak w przykł 1).
ś�f
=� 3x2
ś�x
ś�f
=� 3y2
ś�y
��
3x2 =� 0
�� (x, y) =� (0,0) �� P0(�0,0)�-� punkt stacjonarny
��
2
��3y =� 0
ś�2 f
=� 6x
ś�x2
ś�2 f
=� 6y
ś�y2
ś�2 f ś�2 f
=� 0 =�
ś�xś�y ś�yś�x
6x 0
�� ł�
dP 2 f =�
ę�
0 6yś�
�� ��
0 0
�� ł�
dP 2 f =�
0
ę�0 0ś� �� forma kwadratowa jest półokreślona w punkcie P ��
0
�� ��
��
w P może istnieć ekstremum, więc wracamy do badania funkcji z definicji
0
5
f(0,0)=0
?
y
y=x
x3 +� y3 >� 0
Jednak dla prostej y=x funkcja f przyjmuje wartość
f (x, x) =� 2x3
P0
V*
x
czyli nie jest stałego znaku w okolicy punktu (0,0).
Mianowicie
x <� 0 �� f (x, x) <� 0
x >� 0 �� f (x, x) >� 0.
Stąd wnioskujemy, że funkcja nie ma ekstremów lokalnych, ponieważ P był jedynym punktem
0
 podejrzanym o istnienie ekstremum.
opracował Marcin Uszko
6