60
Ekstrema lokalne funkcji dwu zmiennych
Ekstremami lokalnymi funkcji nazywamy minimum lokalne i maksimum lokalne.
Definicja maksimum lokalnego
Funkcja f : R2 ƒ" D R ma w punkcie P0 (x0 , y0 ) " D maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie U (P0 , r) ‚" D
punktu P0 , że wartość f (P0 ) jest nie mniejsza od wartości f przyjmowanych w innych punktach tego otoczenia, tzn.,
gdy f (P0 ) e" f (P) dla P "U (P0 , r) .
Definicja minimum lokalnego
Funkcja f : R2 ƒ" D R ma w punkcie P0 (x0 , y0 ) " D minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie U (P0 , r) ‚" D
punktu P0 , że wartość f (P0 ) jest nie większa od wartości f przyjmowanych w innych punktach tego otoczenia, tzn.,
gdy f (P0 ) d" f (P) dla P "U (P0 , r) .
Badanie ekstremów lokalnych funkcji dwu zmiennych polega na wykonywaniu następujących operacji:
2
1. Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i rozwiązujemy równanie f (P) = 0 (warunek konieczny
istnienia ekstremum lokalnego).
2. Punkty, będące rozwiązaniami tego układu są jedynymi, w których ekstremum może, ale nie musi, się znajdować.
2
3. W punktach, w których f (P) = 0 obliczamy wyznacznik macierzy Hessego (hesjan)
2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
" f " f "2 f " f
ïÅ‚ śł
2
" f
xx yx
"x2 "y"x "2 = "x2 "y"x = f f
ïÅ‚ śł
Hf = , , "1 = = f .
2 2 2 xx
ïÅ‚ śł
f f
" f " f "2 f " f
xy yy "x2
ïÅ‚ śł
2
"y"x
"y "y
ïÅ‚"y"x 2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
4. Jeśli "2 > 0 , "1 > 0 , to w punkcie stacjonarnym funkcja f ma minimum lokalne.
5. Jeśli "2 > 0 , "1 < 0 , to w punkcie stacjonarnym funkcja f ma maksimum lokalne.
6. Jeśli "2 < 0 , to w punkcie stacjonarnym funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.
7. Jeśli "2 = 0 , to nic nie wiadomo o ekstremum lokalnym funkcji f.
Zadanie 1.
2
1
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = 2x2 + 3xy + y - 2x - y + 1 .
2
2
Funkcja jest różniczkowalna dla każdego (x, y) " R2 . Ekstremów należy szukać tam, gdzie f (P) = 0 .
2
f (x, y) = [ f (x, y) f (x, y)] = [4x + 3y - 2 3x + y - 1]
x y
4x + 3y
Å„Å‚ - 2 = 0
2
2
f (P) = 0 Ô! Ô! P = (1 , )
òÅ‚
5 5
3x + y -1 = 0
ół
Obliczymy macierz Hessego (macierz drugiej pochodnej)
îÅ‚ f (P) f (P)
Å‚Å‚ 4 3
îÅ‚ Å‚Å‚
xx yx
Hf (P) = = .
ïÅ‚
f (P) f (P)śł ïÅ‚3 ûÅ‚
1śł
ïÅ‚ xy yy śł
ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
4 3
" Ponieważ "1 = 4 > 0 , "2 = = 4 - 9 = -5 < 0 , więc funkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnym
3 1
2
P = (1 , ) .
5 5
130
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcje dwu zmiennych  wykład 13.
Zadanie 2.
1 1
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = x5 + xy4 + 2x + 1.
5 4
Funkcja jest różniczkowalna dla każdego (x, y) " R2 . Różniczkując otrzymujemy:
1
2
f (x, y) = [ f (x, y) f (x, y)] = [x4 + y4 + 2 xy3 ]
x y
4
2
Ekstremów należy szukać tam, gdzie f (P) = 0 .
Å„Å‚x4 + 1 y4 + 2 = 0
ôÅ‚
4
2
f (P) = 0 Ô!
òÅ‚
ôÅ‚ xy3 = 0
ół
Ponieważ pierwsze równanie rozpatrywanego układu równań nie ma rozwiązania, więc warunek konieczny na istnienie
ekstremum nie jest spełniony w żadnym punkcie i w konsekwencji funkcja f nie ma ekstremów.
Zadanie 3.
2
Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 3x2 - 6x + 4y + 16y + 10 .
RozwiÄ…zanie
Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe funkcji i przyrównujemy je do zera, aby wyznaczyć punkty, w których mogą
być ekstrema, tzw. punkty stacjonarne:
f = 6x - 6 , f = 8y + 16
x y
Å„Å‚ f = 0 - 6 = 0 x = 1
6x
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ x
2
f = 0 Ô! Ô!
òÅ‚ òÅ‚8y + 16 = 0 Ô! òÅ‚
f = 0
ôÅ‚
y
ół óły = -2
ół
Jedynym punktem, w którym może istnieć ekstremum jest punkt P = (1,-2) .
îÅ‚ f (P) f (P)
Å‚Å‚ 6 0
îÅ‚ Å‚Å‚
xx yx
Obliczamy macierz Hessego Hf (P) = = .
ïÅ‚
f (P) f (P)śł ïÅ‚0 ûÅ‚
8śł
ïÅ‚ xy yy śł
ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
6 0
Ponieważ "2 = = 6 Å"8 - 0 = 48 > 0 i "1 = 6 > 0 , wiÄ™c funkcja posiada minimum lokalne w punkcie
0 8
P = (1,-2) . Minimum to wynosi fmin = f (1,-2) = 3 Å"12 - 6 Å"1 + 4(-2)2 + 16 Å" (-2) + 10 = -9 .
Zadanie 4.
Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y x - y2 - x + 6y + 3 .
RozwiÄ…zanie
2
Funkcja jest różniczkowalna dla każdego (x, y) " R2 . Ekstremów należy szukać tam, gdzie f (x, y) = 0 .
y
f (x, y) = -1 , f (x, y) = x - 2y + 6 .
x y
2 x
-y 1
f (x, y) = , f (x, y) = f (x, y) = , f (x, y) = -2 .
xx xy yx yy
43 x 2 x
Å„Å‚ y Å„Å‚ y
- 1 = 0 = 2 Å„Å‚
Å„Å‚ f (x, y) = 0
y = 2 x x = 4
ôÅ‚ x ôÅ‚ ôÅ‚ Å„Å‚
ôÅ‚
'
f (x, y) = 0 Ô! Ô! 2 x Ô! x Ô! Ò!
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
f (x, y) = 0
y = 4
ôÅ‚
y
ôÅ‚ x - 4 x = -6 ół
ół ôÅ‚ ôÅ‚
ół
x - 2 y + 6 = 0 x - 2 y = -6
ół ół
Sprawdzamy, czy w punkcie P = (4,4) istniejÄ… ekstrema lokalne podanej funkcji. Obliczamy macierz Hessego:
" "
îÅ‚
îÅ‚- Å‚Å‚
f (P) f (P)Å‚Å‚ 1 1
xx xy
8 4
Hf (P) = ïÅ‚ śł =
ïÅ‚ śł
" "
f (P) f (P)śł ïÅ‚ 1 - 2śł
ïÅ‚
yx yy
4
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
131
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcje dwu zmiennych  wykład 13.
1 1 1 3
Stąd wynika, że "1 = - < 0 i "2 = - = > 0 , więc funkcja ma w punkcie P = (4,4) maksimum lokalne, które
8 4 16 16
wynosi fmax = f (4,4) = 4 4 -16 - 4 + 24 + 3 =15 .
Zadanie 5.
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = x3 + y3 - 3xy .
2
Funkcja jest różniczkowalna dla każdego (x, y) " R2 . Ekstremów należy szukać tam, gdzie f (P) = 0 .
2
2
f (x, y) = [ fx(x, y) f (x, y)] = [3x2 - 3y 3y - 3x]
y
Å„Å‚3x2 - 3y = 0 Å„Å‚x2 = y
ôÅ‚ ôÅ‚
2
f (P) = 0 Ô! Ô! Ô! P "{(0,0),(1,1)}
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚3y2 - 3x = 0 ôÅ‚y2 = x
ół ół
Obliczymy macierz Hessego (macierz drugiej pochodnej)
îÅ‚ fxx(P) fyx(P)
Å‚Å‚ -3
6x
îÅ‚ Å‚Å‚
Hf (P) = = .
ïÅ‚
fxy(P) f (P)śł ïÅ‚- 3 6yśł
ïÅ‚ yy śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0 Å‚Å‚
îÅ‚ -3 0 -3
" Ponieważ Hf (0, 0) = , "2 = = -9 < 0 , więc funkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnym
ïÅ‚- 3 0 śł
- 3 0
ðÅ‚ ûÅ‚
P = (0,0) .
6 Å‚Å‚
îÅ‚ -3 6 -3
" Ponieważ Hf (1,1) = , "2 = = 27 > 0 , "1 = 6 > 0 , więc funkcja ma minimum lokalne w
ïÅ‚- 3 6 śł
- 3 6
ðÅ‚ ûÅ‚
punkcie stacjonarnym P = (1,1) . Minimum to wynosi: fmin = f (1,1) = 1 +1 - 3 = -1 .
Zadanie 6.
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = x3 + 3xy2 - 51x - 24y .
2
Funkcja jest różniczkowalna dla każdego (x, y) " R2 . Ekstremów należy szukać tam, gdzie f (P) = 0 .
2
f (x, y) = [ fx(x, y) f (x, y)] = [3x2 + 3y2 - 51 6xy - 24]
y
Å„Å‚3x2 + 3y2 - 51 = 0 Å„Å‚x2 + y2 = 51
ôÅ‚ ôÅ‚
2
f (P) = 0 Ô! Ô! Ô! P "{(-4,-1),(-1, - 4),(1,4),(4,1)}
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ 6xy - 24 = 0 ôÅ‚ xy = 4
ół ół
Obliczymy macierz Hessego (macierz drugiej pochodnej)
îÅ‚ fxx(P) f (P)
Å‚Å‚ 6x 6y
îÅ‚ Å‚Å‚
yx
Hf (P) = = .
ïÅ‚
fxy (P) f (P)śł ïÅ‚6y ûÅ‚
6xśł
ïÅ‚ yy śł
ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚-24 -6 Å‚Å‚ -24 -6
" Ponieważ Hf (-4, - 1) = , "2 = = 540 > 0 , "1 = -24 < 0 , więc funkcja ma maksimum
ïÅ‚
- 6 - 24śł - 6 - 24
ðÅ‚ ûÅ‚
lokalne w punkcie stacjonarnym P = (-4,-1) : fmax = 152 .
îÅ‚ -6 -24
Å‚Å‚ -6 -24
" Ponieważ Hf (-1,- 4) = , "2 = = -540 < 0 , więc funkcja nie ma ekstremum w punkcie
ïÅ‚- 24 - 6 śł
- 24 - 6
ðÅ‚ ûÅ‚
stacjonarnym P = (-1, - 4) .
6 24
îÅ‚ Å‚Å‚ 6 24
" Ponieważ Hf (1, 4) = , "2 = = -540 < 0 , więc funkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonar-
ïÅ‚24 6 śł
24 6
ðÅ‚ ûÅ‚
nym P = (1,4) : fmin = -152 .
24 6
îÅ‚ Å‚Å‚ 24 6
" Ponieważ Hf (4,1) = , "2 = = 540 > 0 , "1 = 24 > 0 , więc funkcja ma minimum lokalne w punk-
ïÅ‚
6 24śł 6 24
ðÅ‚ ûÅ‚
cie stacjonarnym P = (4,1) .
Zadanie 7.
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = 3Å" | x | +5Å" | y | .
132
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcje dwu zmiennych  wykład 13.
Mamy
Å„Å‚ 3 dla x > 0, Å„Å‚ 5 dla y > 0,
ôÅ‚ ôÅ‚
f (x, y) = istnieje dla x = 0, f (x, y) = istnieje dla y = 0,
òÅ‚nie òÅ‚nie
x y
ôÅ‚ ôÅ‚
- 3 dla x < 0, - 5 dla y < 0.
ół ół
Jedynym punktem, w którym funkcja f może mieć ekstremum jest punkt (0,0) . Rzeczywiście w punkcie tym
funkcja f ma minimum lokalne, gdyż dla wszystkich punktów (x, y) `" (0,0) mamy
f (x, y) = 3 | x | +5 | y | > 0 = f (0,0) .
Zadanie 8.
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = 4 - 3x2 + 5y2 .
Mamy
Å„Å‚ 3x
dla (x, y) `" (0,0),
ôÅ‚-
fx(x, y) =
òÅ‚
3x2 + 5y2
ôÅ‚
nie istnieje dla (x, y) = (0,0),
ół
Å„Å‚ 5y
dla (x, y) `" (0,0),
ôÅ‚-
f (x, y) =
òÅ‚
y
3x2 + 5y2
ôÅ‚
nie istnieje dla (x, y) = (0,0),
ół
Jedynym punktem, w którym funkcja f może mieć ekstremum jest punkt (0,0) . Rzeczywiście w punkcie tym funkcja f
ma maksimum lokalne, gdyż dla wszystkich punktów (x, y) `" (0,0) mamy
f (x, y) = 4 - 3x2 + 5y2 < 4 = f (0,0) .
Zadanie 9.
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = x4 + y4 - 2x2 + 4xy - 2y2 .
2
Funkcja jest różniczkowalna dla każdego (x, y) " R2 . Ekstremów należy szukać tam, gdzie f (P) = 0 .
2
f (x, y) = [ fx(x, y) f (x, y)] = [4x3 - 4x + 4y 4y3 + 4x - 4y]
y
Å„Å‚4x3 - 4x + 4y = 0 Å„Å‚x3 - x + y = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
2
f (P) = 0 Ô! Ô! Ô! P "{(0,0), (- 2, 2), ( 2,- 2)}
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚4y3 + 4x - 4y = 0 ôÅ‚y3 + x - y = 0
ół ół
Obliczymy macierz Hessego (macierz drugiej pochodnej)
îÅ‚ fxx(P) fyx(P) îÅ‚12x2 - 4 4 Å‚Å‚
Å‚Å‚
Hf (P) = = .
ïÅ‚ śł
fxy(P) fyy (P)śł ïÅ‚ 4 12y2 - 4ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
20 4
îÅ‚ Å‚Å‚ 20 4
" Ponieważ Hf ( 2, - 2) = , "2 = = 384 > 0 , "1 = 20 > 0 , więc funkcja ma minimum lokalne w
ïÅ‚
4 20śł 4 20
ðÅ‚ ûÅ‚
punkcie stacjonarnym P = ( 2, - 2) : fmin = -8 .
20 4
îÅ‚ Å‚Å‚ 20 4
" Ponieważ Hf (- 2, 2) = , "2 = = 384 > 0 , "1 = 20 > 0 , więc funkcja ma minimum lokalne w
ïÅ‚
4 20śł 4 20
ðÅ‚ ûÅ‚
punkcie stacjonarnym P = (- 2, 2) : fmin = -8 .
îÅ‚-4 4 Å‚Å‚ -4 4
" Ponieważ Hf (0, 0) = , "2 = = 0 , więc nie wiadomo, czy funkcja f ma ekstremum w punkcie
ïÅ‚
4 - 4śł 4 - 4
ðÅ‚ ûÅ‚
stacjonarnym P = (0,0) .
Rozpatrzmy przekrój powierzchni będącej wykresem funkcji f płaszczyzną
y = 0 :
f (x,0) = x4 - 2x2 = x2 (x2 - 2)
W sąsiedztwie początku układu funkcja ma wartości ujemne.
133
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcje dwu zmiennych  wykład 13.
Rozpatrzmy teraz przekrój powierzchni będącej wykresem funkcji f płaszczyzną y = x :
f (x, x) = x4 + x4 - 2x2 + 4x2 - 2x2 = 2x4
W sąsiedztwie początku układu funkcja ma wartości dodatnie.
Dlatego funkcja nie ma ekstremum w punkcie stacjonarnym P = (0,0) .
Zadanie 10.
2 2
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y, z) = -x2 - y - z + yz + x + y .
Funkcja jest różniczkowalna dla każdego (x, y, z) " R3 . Różniczkując otrzymujemy:
2
f (x, y, z) = [ fx(x, y, z) fy (x, y, z) fz (x, y, z)] = [- 2x + 1 - 2y + z + 1 - 2z + y]
Å„Å‚ - 2x +1 = 0
ôÅ‚
1 2 1
2
f (P) = 0 Ô! 2y + z +1 = 0 Ô! P = ( , , )
òÅ‚-
2 3 3
ôÅ‚
- 2z + y = 0
ół
Dalej
îÅ‚ Å‚Å‚
f (P) f (P) f (P) 2 0 0 Å‚Å‚
îÅ‚-
xx xy xz
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Hf (P) = f (P) f (P) f (P)śł = 0 - 2 1 .
ïÅ‚ yx yy yz
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
f (P) f (P) f (P)śł ïÅ‚ 0 1 - 2śł
zx zy zz ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
- 2 0 0
-2 0
Ponieważ "1 = -2 < 0 , "2 = = 4 > 0 , "3 = 0 - 2 1 = -6 < 0 , więc funkcja ma w punkcie
0 - 2
0 1 - 2
1 2 1
P = ( , , ) maksimum lokalne.
2 3 3
Zadanie 11.
3 3
3
Wyznaczyć ekstrema funkcji f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 .
RozwiÄ…zanie
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
2 2 2
f (x, y, z) = , f (x, y, z) = , f (x, y, z)= .
x y z
3 3
3
3 x 3 y 3 z
Pochodne te nie istnieją w punkcie P = (0,0,0) . Punkt ten należy do wnętrza określoności funkcji. Rozpatrując różnicę
3
3 2 2
3
f (x, y, z) - w(0, 0, 0) = x2 + y + z w otoczeniu punktu P stwierdzimy, że jest ona nieujemna. W punkcie P
istnieje minimum lokalne funkcji równe fmin = f (P) = 0 .
Zadanie 12.
2
Zbadać istnienie ekstremów funkcji f (x, y, z) = x2 - 2x - y3 + 3y + 5z .
RozwiÄ…zanie
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego
fx(x, y, z) = 2x - 2 , f (x, y, z) = -3y2 + 3 , fz (x, y, z) = 10z .
y
Pochodne te zerują się tylko w dwóch punktach: P1 = (1,-1,0) i P2 = (1,1,0) . Następnie wyznaczamy pochodne cząstko-
we rzędu drugiego i tworzymy macierz Hessego:
fxx(x, y, z) = 2 , fxy(x, y, z) = 0 , fxz (x, y, z) = 0 , f (x, y, z) = -6y , fzz (x, y, z) = 10 , f (x, y, z) = 0 ;
yy yz
îÅ‚
fxx(P) fxy (P) fxz (P)Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Hf (P) = f (P) f (P) f (P)śł
ïÅ‚ yx yy yz
ïÅ‚
2 2
fzx(P) fzy (P) fzz (P)śł
ðÅ‚ ûÅ‚
134
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcje dwu zmiennych  wykład 13.
2 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 śł
" Ponieważ Hf (1,-1,0) = 6 0 , "1 = 2 > 0 , "2 = 12 > 0 , "3 = 120 > 0 , więc funkcja posiada minimum lokal-
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 0 10śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ne w punkcie stacjonarnym P1 = (1,-1,0) .
2 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 śł
" Ponieważ Hf (1,1,0) = - 6 0 , "1 = 2 > 0 , "2 = -12 < 0 , "3 = -120 < 0 , więc funkcja nie posiada ekstre-
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 0 10śł
ðÅ‚ ûÅ‚
mum w punkcie P2 = (1,1,0)  ciąg wyznaczników nie jest ciągiem o dodatnich wyrazach, ani ciągiem znakozmiennym
(pierwszy wyraz ujemny, drugi  dodatni, trzeci  ujemny, itd.).
Zadanie 13.
Zbadać ekstrema absolutne funkcji f (x, y) = x2 + y2 -12x +16y +1 w kole K = {(x, y) : x2 + y2 d" 16} .
Zaczniemy od znalezienia punktów, w których funkcja f ma ekstrema lokalne. Różniczkując otrzymujemy
2
f (x, y) = [fx(x, y) f (x, y)] = [2x -12 2y +16]
y
2x
Å„Å‚ -12 = 0
2
f (P) = 0 Ô! Ô! P = (6,- 8)
òÅ‚
ół2y +16 = 0
Punkt P nie należy do rozważanego koła K. Stąd wynika, że przyjmuje ona swoją wartość największą i najmniejszą na
brzegu obszaru, tzn. na okręgu "K = {(x, y) : x2 + y2 = 16} . Okrąg ten zapiszemy następująco
"K = {(x, y) : x = 4cost, y = 4sin t, 0 d" t d" 2Ä„} .
Rozważamy funkcję
F(t) = (4cost)2 + (4sin t)2 -12 Å" 4cost +16Å" 4sin t +1 = 17 - 48cost + 64sin t , 0 d" t d" 2Ä„ .
Wyznaczamy jej ekstrema:
3 4 4 3
Fmin = 17 - 48Å" + 64 Å" (- ) = -63 , dla sin t = - , cost =
5 5 5 5
3 4 4 3
Fmax = 17 - 48 Å" (- ) + 64 Å" = 97 , dla sin t = , cost = - .
5 5 5 5
12 16
Stąd wynika, że funkcja f przyjmuje wartość największą w rozważanym kole na jego brzegu w punkcie (- , ) a
5 5
16
najmniejszÄ… w punkcie (12 , - ) .
5 5
Uwaga. Do wyznaczenia ekstremum warunkowego możemy stosować metodę Lagrange a.
Wprowadzamy funkcjÄ™ pomocniczÄ…
F(x, y) = x2 + y2 -12x +16y +1+ (x2 + y2 -16) ,
a następnie obliczamy
2 2
Fx (x, y) = 2x -12 + 2x , Fy (x, y) = 2y +16 + 2y .
Z układu równań
2x
Å„Å‚ -12 + 2x = 0
òÅ‚
ół2y +16 + 2y = 0
eliminujemy czynnik  uzyskujÄ…c
4
y = - x .
3
Z kolei, z układu równań
4
Å„Å‚ - x
y =
ôÅ‚
3
òÅ‚
ôÅ‚x2 + y2 = 16
ół
wyznaczamy wszystkie możliwe punkty ekstremalne funkcji:
135
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcje dwu zmiennych  wykład 13.
16 12 16
A = (12 , - ) , B = (- , ) .
5 5 5 5
Badamy, w których z podanych punktów funkcja f przy warunku x2 + y2 = 16 rzeczywiście przyjmuje ekstrema. W
otoczeniu punktu A równanie x2 + y2 = 16 określa funkcję uwikłaną y = - 16 - x2 , czyli w otoczeniu tego punktu
funkcja f przy warunku x2 + y2 = 16 zachowuje siÄ™ identycznie jak funkcja
G(x) = f (x, y) = x2 + (- 16 - x2 )2 -12x +16(- 16 - x2 ) +1 = 17 -12x -16 16 - x2 ,
12
2 2 2
a ta funkcja w punkcie x = ma minimum lokalne (wystarczy stwierdzić, że G (12) = 0 , G (12) > 0 ). W ten sposób
5 5 5
16
wykazaliśmy, że funkcja f przy warunku x2 + y2 = 16 w punkcie A = (12 , - ) ma minimum.
5 5
W otoczeniu punktu B równanie x2 + y2 = 16 określa funkcję uwikłaną y = 16 - x2 , czyli w otoczeniu tego punktu
funkcja f przy warunku x2 + y2 = 16 zachowuje siÄ™ identycznie jak funkcja
H (x) = f (x, y) = x2 + ( 16 - x2 )2 -12x +16 16 - x2 +1 = 17 -12x +16 16 - x2 ,
12
a ta funkcja w punkcie x = - ma maksimum lokalne. W ten sposób wykazaliśmy, że funkcja f przy warunku
5
12 16
x2 + y2 = 16 w punkcie B = (- , ) ma maksimum.
5 5
Zadania.
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = 2x2 + 3xy + y2 - 2x - y +1 .
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = x2 - xy + 2y2 - x + 4y - 5 .
Wyznacz ekstrema funkcji f (x, y) = x2 + y3 - 9xy .
Wyznacz ekstrema funkcji f (x, y) = x3 + y2 - 9xy .
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x3 + y3 - 9xy .
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y x - y2 - x + 6y + 3 .
Wyznaczyć ekstrema funkcji określonej za pomocą wzoru f (x, y) = x2 + xy + y2 - 2x - y .
2 2
Wyznaczyć ekstrema funkcji określonej za pomocą wzoru f (x, y) = 1+ 6x - x - xy - y .
2
Wyznaczyć ekstrema funkcji określonej za pomocą wzoru f (x, y) = 5x2 + 5y - 8xy + 6x - 2y + 2 .
2 2
Wyznaczyć ekstrema funkcji określonej za pomocą wzoru f (x, y, z) = 2x2 + y + z + 2xy - 4y + z
Określić wymiary otwartego zbiornika prostopadłościennego o objętości 32 m3 tak, aby jego pole powierzchni było
minimalne.
Znalez
ć rozmiary prostokątnej wanny, która przy danej objętości V = 2 m3 ma najmniejszą powierzchnię.
1. f (x, y) = x2 + 2y2 - 2xy - 4x ,
2. f (x, y) = x3 + y3 + 3xy ,
1
3. f (x, y) = x + + y2 ,
x
4. f (x, y) = x4 + 8x2 + y2 - 4y ,
5. f (x, y) = ln(y + 2x) - 3x - 2y3 .
6. z(x, y) = x4 + y4 - 2x2 + 4xy - 2y2,
7. z(x, y) = 6xy - x3 - y3 ,
1
8. f (x, y) = xy + ,
2(x + y)
9. f (x, y) = x2 - 2xy + 2y2 + 2x ,
10. f (x, y) = x3 + y3 - x2 - 2xy - y2 ,
136
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcje dwu zmiennych  wykład 13.
11. f (x, y) = x3 - 2y3 - 3x + 6y ,
x 1
12. f (x, y) = + + y ,
y x
13. f (x, y) = 1- x2 + y2 .
Odpowiedzi
1. W (4, 2) minimum lokalne;
2. W (-1,-1) maksimum lokalne;
3. W (1, 0) minimum lokalne;
4. W (0, 2) minimum lokalne;
5 7
5. W punktach (- ,1) oraz ( ,-1) sÄ… maksima lokalne.
3 3
6. zmin = z( 2, - 2) = -8 = z(- 2, 2) ;
7. zmax = z(2, 2) = 8 ;
8. Ekstremów lokalnych brak;
9. fmin = f (-2,-1) = -2 ;
4 4 64
10. fmin = f ( , ) = - ;
3 3 27
11. fmin = f (1,-1) = -6 ;
12. fmin = f (1,1) = 3 ;
13. fmax = f (0,0) = 1 .
137
Stanisław Kowalski, Wykłady z matematyki  Funkcje dwu zmiennych  wykład 13.