Zadanie 1. Obliczyć pochodne następujących funkcji:
a) 3 7 2 1 , gdzie
b) 2 gdzie 0
c) 3 " 15 " 2 1 , gdzie 0, "
" "
d) , gdzie 0, "
"
"
1 2 5x2 + x - 2 1+ x
y = x3 + 33 x + y = y = ln
3
x2 + 7 1- x
x3
6
5 10x +1 4
ëÅ‚7t
y = + y = - + 6öÅ‚ y = 2x2 + 2x -1
ìÅ‚ ÷Å‚
7
t
x x2 + 2x -1 íÅ‚ Å‚Å‚
1- x
2 - x 1
y = y = y =
1+ x
x2 - 2 v - 9 + v2
x
y = ln(ln x) y = lnëÅ‚ x + 1 + x2 öÅ‚ y = y-y
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
x3 + 3
2
x Å" ex x sin x
3
y = sin (x2 + 3x) y = y =
3x2
2x
Zadanie 2. Znajdz
przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji:
1. f (x ) = x3 + 3x2 - 9x + 3
2. f (x ) = x3 +5x
3. f (x ) = 2x3- 9x2 - 24x - 12
4. f (x ) = xex
5. f (x ) = ex - x
6. f (x ) = ln x  x
Odpowiedzi:
1. Dla xÎ(-Ä„, -3) f(x) roÅ›nie, dla xÎ(-3, 1) f(x) maleje, dla xÎ(1, Ä„) f(x) roÅ›nie;
maksimum lokalne w punkcie x = -3, f(-3) = 30; minimum lokalne dla x = 1, f(1) = -2.
2. Funkcja jest rosnÄ…ca dla xÎR.
3. Dla xÎ(-Ä„, -1) f(x) roÅ›nie, dla xÎ(-1, 4) f(x) maleje, dla xÎ(4, Ä„) f(x) roÅ›nie;
maksimum lokalne w punkcie x = -1, f(-1) = 1, minimum lokalne dla x = 4, f(1) = -124.
4. Dla xÎ(-Ä„, -1) f(x) maleje, dla xÎ(-1, Ä„) f(x) roÅ›nie; minimum lokalne dla x = -1,
f(-1) = -e-1.
5. Dla xÎ(-Ä„, 0) f(x) maleje, dla xÎ(0, Ä„) f(x) roÅ›nie; minimum lokalne dla x = 0, f(0) = 1.
6. Dla xÎ(0, 1) f(x) roÅ›nie, dla xÎ(1,Ä„) f(x) maleje; maksimum lokalne w punkcie x = 1,
f(1) = -1.
Zadanie 3. Znajdz
przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji:
x x3
f (x) = x 1- x2 f (x) = x - ln(1+ x) , f (x) = ,..... f (x) =
,
x2 + x +1 3 - x2
Zadanie 4. Roczna stopa procentowa wynosi 5%, a kapitał początkowy 1000 zł. Jaka
będzie wartość kapitału po czterech latach, jeśli odsetki kapitalizowane są: a) kwartalnie, b)
miesięcznie, c) rocznie?
Odp:
a) 12199
b) 12209
c) 12155
Zadanie 5. Interesuje nas wartość, jaką po upływie 18 miesięcy będzie mieć kwota 150 zł,
wpłaconych do banku na lokatę 3-miesięczną, o stałym oprocentowaniu 14% rocznie, z
kapitalizacjÄ… odsetek co 3 miesiÄ…ce.
Odp. 184,39
Zadanie 6. Jaką kwotę wypłacimy z banku po 5 latach , jeżeli ulokujemy w nim
10000 zł?
Oprocentowanie roczne w tym banku wynosi 15% i następuje roczna kapitalizacja odsetek.
Zadanie 7. Pan Kowalski potrzebuje 35000 zł na zakup samochodu.
Uzbierał już 25000 zł , a pozostałą sumę zamierza uskładać przez ulokowanie pieniędzy
banku z roczną kapitalizacją odsetek , w którym oprocentowanie wynosi 16%.
Jak długo Kowalski będzie musiał czekać , aby uzbierać brakującą sumę?
Zadanie 8. Państwo Kowalscy zamierzają przeprowadzić remont mieszkania , na który
potrzebują 15000 zł. Wymienioną kwotę Kowalscy zamierzają uzyskać przez ulokowanie w
banku na 5 lat oszczędności. Oprocentowanie roczne wynosi w tym banku 14% i następuje
roczna kapitalizacja odsetek. Jaką sumę muszą ulokować
w banku Kowalscy?
Zadanie 9. Przedsiębiorca ma 50000 zł i pragnie tę sumę ulokować w banku z roczna
kapitalizacją odsetek. Przedsiębiorca zamierza uzbierać sumę 90000 zł po 5 latach. Jakie
powinno być oprocentowanie roczne w tym banku?
Zadanie 10..Bank oferuje oprocentowanie roczne 12% oraz kwartalnÄ… kapitalizacjÄ™ odsetek.
Ile wyniesie zdeponowany w tym banku kapitał 10000 zł po:
a) jednym roku ,
b) dwóch latach ,
c) trzech i pół roku?
Zadanie 11. Fundusz powierniczy oferuje oprocentowanie 9% i półroczną kapitalizacj
Fundusz powierniczy oferuje oprocentowanie 9% i Ä… kapitalizacjÄ™
odsetek , odsetek bank 11% z roczna kapitalizacj odsetek. Które warunki są bardziej
odsetek , odsetek bank 11% z roczna kapitalizacją odsetek. Które warunki są
korzystne?
Zadanie 12. Pan Adam ulokował 5000 zł w banku w którym oprocentowanie wynosi 12% i
Pan Adam ulokował 5000 zł w banku w którym oprocentowanie wynosi 12% i
Pan Adam ulokował 5000 zł w banku w którym oprocentowanie wynosi 12% i
następuje kwartalna kapitalizacja odsetek. Jak dzie mógł wypłacić po trzech
puje kwartalna kapitalizacja odsetek. Jaką sumę będzie mógł wypłacić
latach?
Zadanie 13. Obliczyć pochodne cz ędu następujących
pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu nast
funkcji:
,
1
f (x, y) = x2 y - xy2 + y3 - 9y
9
3
f (x, y) = 2x3 + y3 - 6x -12y
f (x, y) = 2xy - 6x2 - y2 +10
f (x, y) = 4x4 y2 -12x2 y - 4xy3 +15x2 y4
xy
f (x, y) = 2xy2 - 2x2 y - 5xy3 +120
f (x, y) = 12xy - 8x4 y - 5xy3
f (x, y) = 2x3 y + y2 + 3x2
1
f (x, y) = x2 y - xy2 + y3 - 9y
9
3
f (x, y) = x3 + y3 - 6xy + 9x + 5y + 2
+