Charakterystyki czasowe
Charakterystyk !(odpowiedzi )!czasow !nazywamy!przebieg!w!czasie!
odpowiedzi!uk"adu!(sygna"u!wej#ciowego)!na!okre#lone,!standardowe!
pobudzenie!u(t)!podane!na!wej#cie!uk"adu!b$d cego!w!stanie!równowagi.
Najpopularniejsze charakterystyki:
1. Odpowied%!na!skok!jednostkowy!(odpowied%!skokowa)
0 dla t < 0
�
u(t) = a �1(t) =
�
�1 dla t ł 0
a
h(t) = L-1� G(s)ł
ę ś
s
� �
2. Odpowied%!na!impuls!jednostkowy!(odpowied%!impulsowa)
Ą
0 dla t ą 0
�
u(t) = d (t) = , (t) =1
�
�d
�Ą dla t = 0 -Ą
g(t) = L-1[G(s)]
UWAGA: pobudzenie impulsowe nie jest realizowane fizycznie!
92
Inżynieria systemów dynamicznych
Charakterystyki czasowe
Najpopularniejsze charakterystyki:
3.!Odpowied%!na!pobudzenie!ramp
0 dla t < 0
�
u(t) = b�t �1(t) =
�
�b�t dla t ł 0
b
v(t) = L-1� G(s)ł
2
ęs ś
� �
4.!Odpowied%!na!sygna"!sinusoidalny
u(t) = Asin(wt)
w
y(t) = L-1�
ęs +w2 G(s)ł
ś
� �
93
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  człon bezinercyjny
1. Cz on!bezinercyjny!(wzmacniaj"cy)
G(s) = k
y(t)
y(t) = ku(t)
y(t) k
u(t)
G(s)
t
f2(t)
f1(t)
R1
L2
L1
u1(t)
R2 u2(t)
F2(s) L1
U2(s) R2 G(s) = = -
G(s) = =
F1(s) L2
U1(s) R1 + R2
94
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  człon bezinercyjny, przykład
R2
R1
_
u1(t)
+
u2(t)
U2(s) R2
G(s) = = -
U1(s) R1
95
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  człon całkujący
2. Cz!on ca!kuj"cy
t
y(t)
Y(s) kI
u(t)
G(s) = = G(s)
y(t) = kI � )dt
�u(t
U (s) s
0
Odpowied# skokowa
u(t) = 1(t) � y(t) = kI �t �1(t)
y(t)
kI
1 t
96
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  człon całkujący
Y(s) kI
G(s) = =
U (s) s
q(t)-nat$%enie przep!ywu [m3/s]
A  powierzchnia dna zbiornika [m2]
C
q(t)
R
_
h(t)
u1(t)
+
u2(t)
H (s) 1
G(s) = =
U2(s) 1
Q(s) As
G(s) = = -
U1(s) RCs
97
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  człon inercyjny I rzędu
3. Cz!on inercyjny I rz"du
y(t)
Y(s) k
u(t)
G(s) = =
G(s)
U(s) Ts +1
Odpowiedzi skokowe dla ró#nych parametrów transmitancji
t
� - ł
T
u(t) = 1(t) � y(t) = kę1- e �1(t)
ś
� �
k1y(t)
y(t)
T1k3
k
k2
T3
T2
k1
T1
t T t
98
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  człon inercyjny I rzędu, parametry odpowiedzi skokowej
t
� - ł
T
u(t) = 1(t) � y(t) = kę1- e �1(t)
ś
� �
y(t)
k
0,95k
0,63k
T 3T t
99
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  człon inercyjny I rzędu, parametry odpowiedzi na rampę
t
� - ł
T
u(t) = t �1(t) � y(t) = kęt -T +Te �1(t)
ś
� �
y(t)
kt
k(t-T)
T t
100
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  człon inercyjny I rzędu, przykłady
Y(s) k
G(s) = =
U(s) Ts +1
R2
R
C
R1
_
C
u2(t)
u1(t)
u1(t)
+
u2(t)
U2(s) R2 / R1 U2(s) 1
G(s) = = - G(s) = =
U1(s) R2Cs +1 U1(s) RCs +1
101
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  człon inercyjny I rzędu
q(t)-nat"#enie przep!ywu [m3/s]
q(t)
A  powierzchnia dna zbiornika [m2]
p(t)  ci$nienie przy odp!ywie [Pa]
g  przy$pieszenie ziemskie [m/s2]
� -g"sto$% cieczy [kg/m3]
h(t)
q2(t)
Uwaga: wyp!yw ze zbiornika laminarny (nat"#enie przep!ywu zale#y liniowo
od ci$nienia na dnie zbiornika ze wspó!czynnikiem ą).
q2(t)=ąp(t)= ą�gh(t)
H (s) k 1 A
gdzie:
G(s) = = k = , T =
Q(s) Ts +1 arg arg
Uwaga 2: w przypadku, gdyby w rurze na wylocie zbiornika znajdowa!a si"
kryza (gwa!towne przew"#enie) lub zawór, to charakterystyka wyp!ywu
mia!aby charakter pierwiastkowy (patrz zbiór zada&)
102
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  człon inercyjny I rzędu
4. Cz!on ca!kuj'cy z inercj'
y(t)
Y(s) k
u(t)
G(s) = = G(s)
U (s) s(Ts +1)
Odpowied* skokowa:
t
� - ł
T
u(t) = 1(t) � y(t) = kęt -T +Te �1(t)
ś
� �
Typowy uk!ad: silnik pr'du sta!ego,
y(t)
gdzie wej$ciem jest podane napi"cia
a wyj$ciem k't o jaki obróci! si" wa!
silnika
kt
k(t-T)
T t
103
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  człon inercyjny I rzędu
5. Cz!on II rz"du
2
y(t)
u(t)
Y (s) kwn
G(s)
G(s) = =
2
U (s) s2 + 2zwns +wn
gdzie:
z ł 0 - wspó!czynnik t!umienia
- pulsacja drga& naturalnych
wn > 0
Jak pami"tamy, posta# odpowiedzi uk!adu zale$y od miejsc zerowych wielomianu
mianownika transmitancji, które w omawianym przypadku wynosz%:
2 2 2 2 2 2 2
D = 4z wn - 4wn = 4wn(z -1) � D = 2wn z -1 � s12 = -zwn ąwn z -1
104
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  układ dwuinercyjny
2
Y(s) kwn
G(s) = =
2
U (s) s2 + 2zwns +wn
Przypadek pierwszy: wielomian mianownika ma dwa pierwiastki rzeczywiste ujemne
2
z ł1 � s12 = -zwn ąwn z -1
Y(s) k 1
G(s) = = , gdzie T12 =
U(s) (T1s +1)(T2s +1) s12
t t
�
T2 -T2 T1 -T1 ł
u(t) = 1(t) � y(t) = k 1+ e - e �1(t)
ę ś
T1 -T2 T1 -T2 ś
ę
� �
y(t)
Uwaga: Dla ś=1 odpowiedz

1=z1aperiodyczna krytyczna, najszybsza
1
mo!liwa odpowiedz
bez
przeregulowa"
z3
z2
z1
105
t
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  układ oscylacyjny
Przypadek drugi: wielomian mianownika ma dwa pierwiastki zespolone sprz!"one
2
0 < z <1 � s12 = -zwn ą jwn 1-z
� ł
1
2
n
u(t) = 1(t) � y(t) = k � 1- sin(t �wn 1-z +j)�e-zw t �1(t)
ę ś
2
ę 1-z ś
� �
gdzie:
j = arccos(z )
y(t)
y(t)
w1z1 0k k
z2
w3
z3
w2
w1
t
t
106
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  układ oscylacyjny  parametry odpowiedzi skokowej
Tn  czas narastania odpowiedzi
Td  czas ustalania (d  najcz !ciej"w"procentach)
TP  czas maksymalnego przeregulowania
MP  maksymalne przeregulowanie
y(t)
MP
2dk
k
0.9k
0.1k
t
TP
Td
Tn
107
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  układ oscylacyjny  parametry odpowiedzi skokowej
Tn  czas narastania odpowiedzi
1,8
Tn =
wn
Td  czas ustalania (d  najcz !ciej"w"procentach)
4 3
T2% = , T5% =
zwn zwn
TP  czas maksymalnego przeregulowania
p
TP =
2
wn 1-z
MP  maksymalne przeregulowanie
-zp
ć �
2
1-z �
M = k�1+ e
P
� �
Ł ł
lub w procentach:
-zp
2
MP - k
1-z
M = �100% = e �100%
P%
k
108
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  układ oscylacyjny
Przypadek"trzeci:"wielomian"mianownika"ma"dwa"pierwiastki"urojone"sprz #one
z = 0 � s12 = ą jwn
u(t) = 1(t) � y(t) = k �[1- cos(wnt)]�1(t)
y(t)
k
t
109
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  układ II rzędu, przykłady, układy RLC
Uk ad!RLC
L
iL(t)
u2(t)
u1(t) C R
U2(s) 1/(LC)
G(s) = =
U1(s) s2 +1/(RC)s +1/(LC)
110
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  układ II rzędu, przykłady, układy RLC
Układ LC
L
iL(t)
u2(t)
u1(t) C
U2(s) 1/(LC)
G(s) = =
U1(s) s2 +1/(LC)
111
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  układ II rzędu, przykłady, układy hydrauliczne
Dwa zbiorniki
q1(t)
qi(t)= ą�ghi-1(t)
h1(t)
q2(t)
H2(s)
h2(t)
q3(t)
G(s) = = ?
Q1(s)
Uwaga: wyp!yw ze zbiornika laminarny (patrz przyk!ad dla cz!onu inercyjnego
I rz"du). Za!o#y$, #e g"sto%$ cieczy, powierzchnie den zbiorników oraz
wspó!czynniki ąi s& znane.
112
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  układ II rzędu, przykłady, układy hydrauliczne
Dwa zbiorniki
q1(t)
h1(t)
qi(t)= ą�ghi-1(t)
h2(t)
q2(t)
q3(t)
H2(s)
G(s) = = ?
Q1(s)
Uwaga: wyp!yw ze zbiornika laminarny (patrz przyk!ad dla cz!onu inercyjnego
I rz"du). Za!o#y$, #e g"sto%$ cieczy, powierzchnie den zbiorników oraz
wspó!czynniki ąi s& znane.
113
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  układ II rzędu, przykłady, układy mechaniczne
Uk ad!mechaniczny
b k
x1(t)
m1
X1(s) 1/ m
G(s) = =
f(t)
b k
F(s)
s2 + s +
m m
114
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  układ II rzędu - podsumowanie
Odpowiedzi układu II rzędu
ś=0  sinusoida (bieguny urojone sprzę!one)
0<ś<1  tłumiona sinusoida (bieguny zespolone sprzę!one)  odpowied" niedotłumiona
ś =1  odpowied" aperiodyczna krytyczna (podwójny biegun rzeczywisty)
ś >1  odpowied" aperiodyczna (dwa ró!ne bieguny rzeczywiste)  odpowied"
przetłumiona
ś <0  układ niestabilny  narastaj#ce oscylacje
y(t)
z=0
0k
z>1
z=1
t
115
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  rzeczywisty człon różniczkujący
6. Rzeczywisty cz!on ró"niczkuj#cy
y(t)
Y(s) k � s
u(t)
G(s) = = G(s)
U (s) (Ts +1)
Odpowied$ skokowa:
t
-
k
T
u(t) = 1(t) � y(t) = e �1(t)
T
y(t)
k/T
t
T
116
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  rzeczywisty człon różniczkujący, przykład RC
Przyk!ad: uk!ad RC
U2(s) RC � s
G(s) = =
U1(s) RCs +1
C
u2(t)
u1(t) R
117
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Człony układów regulacji  człon opóz
niający
7. Cz!on opó"niaj#cy
y(t)
Y(s)
u(t)
G(s) = = k �e-ts G(s)
U(s)
y(t) = k �u(t -t )
Odpowied" skokowa:
u(t) = 1(t) � y(t) = k �1(t -t )
y(t)
k
t t
118
Inżynieria systemów dynamicznych
Człony układów regulacji  człon opóz
niający
Przyk!ad
u(t) v
�=l/v
y(t)=u(t-�)
l
Inne przyk!ady: ruroci#g ciep!ej wody, linia d!uga, kana! wentylacyjny (czyli
wsz$dzie tam, gdzie transportowane jest medium) st#d � bywa te%
nazywane opó"nieniem transportowym
119
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW