Wrażliwość układu na zmiany parametrów
WRA LIWO!"# stosunek#wzgl$dnej#zmiany#funkcji#przenoszenia#do#
wzgl$dnej#zmiany#parametru#tej#funkcji
"G(s)
"G(s) b
G(s)
S = = Å"
"b
G(s) "b
b
Wra%liwo&'#definiujemy#jako#granic$#dla
"b 0
"G(s) b "G(s) b
G
Sb = lim Å" = Å"
"b0
"b G(s) "b G(s)
Oczywi&cie#tak#chcemy#projektowa'#uk(ad,#aby#by(#jak#najmniej#wra%liwy#na#
zmiany#parametrów)
158
Inżynieria systemów dynamicznych
Wrażliwość układu na zmiany parametrów
Rozwa%my#standardow*#struktur$#uk(adu#regulacji
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
H(s)
Transmitancja#uk(adu#zamkni$tego:
C(s)G(s)
T (s) =
1+ C(s)H (s)G(s)
159
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
Wrażliwość układu na zmiany parametrów
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
H(s)
Wra liwo!"#uk$adu#ze#wzgl%du#na#parametry#obiektu:
"T (s) G(s) 1
T
SG = Å" =
"G(s) T (s) 1+ C(s)H (s)G(s)
160
Inżynieria systemów dynamicznych
Wrażliwość układu na zmiany parametrów
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
H(s)
Wra liwo!"#uk$adu#ze#wzgl%du#na#parametry#czujnika:
"T (s) H (s) C(s)G(s)H (s)
T
SH = Å" = -
"H (s) T (s) 1+ C(s)H (s)G(s)
161
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
Wrażliwość układu na zmiany parametrów
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
H(s)
Wp yw!zmiany!parametrów!na!odpowied"!uk adu:
"Ä…
T
"YÄ… (s) = SÄ… T (s) R(s)
Ä…
162
Inżynieria systemów dynamicznych
Wrażliwość układu na zmiany parametrów
Przyk ad
Okre#l!wra$liwo#%!transmitancji!uk adu!na!zmiany!parametrów!k!oraz!h.!
Zak adaj&c,!$e!nominalne!warto#ci!parametrów!wynosz&!k=2!i!h!=!1!okre#l!
jakie ustalone zmiany w stanie ustalonym (r(t)=1(t)) spowoduje
dziesi'cioprocentowa!zmiana!wzmocnienia!k!oraz!jednoprocentowa!zmiana!
wzmocnienia czujnika h
1
R(s) Y(s)
k
s(s + 2)
_
h
163
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
Wrażliwość układu na zmiany parametrów
1
R(s) Y(s)
k
s(s + 2)
_
h
Odpowiedzi:
Wnioski?
k 2
T (s) = =
s2 + 2s + kh s2 + 2s + 2
s2 + 2s
T
Sk =
s2 + 2s + 2
- 2
T
Sh =
s2 + 2s + 2
yk (t ") = 0
yh (t ") = -0,01
164
Inżynieria systemów dynamicznych
Wpływ zakłóceń na wyjście układu
D1(s)
U(s)
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
D2(s)
H(s)
Y (s) C(s)G(s)
T (s) = =
R(s) 1+ C(s)G(s)H (s)
Y (s) G(s)
Gd y (s) = =
1
D1(s) 1+ C(s)G(s)H (s)
Y (s) H (s)C(s)G(s)
Gd y (s) = = -
2
D2 (s) 1+ C(s)G(s)H (s)
165
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
Ustalona odpowiedz
układu na pobudzenie
D1(s)
U(s)
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
D2(s)
H(s)
yr (t ") = lsi0 sR(s)T (s)
m
yd (t ") = lsi0 sGd y (s)D1(s)
m
1 1
yd (t ") = lsi0 sGd y (s)D2 (s)
m
2 2
166
Inżynieria systemów dynamicznych
Wpływ zakłóceń na wyjście układu
Przyk ad:
w!poni"szym!uk adzie!okre#li$!wp yw!skokowych!zak óce%!na!wyj#cie!w!
stanie ustalonym
D1(s)
U(s)
W(s) 1
R(s) k Y(s)
s(s + 2)
_
D2(s)
1
Y (s) 1 1
Gd y (s) = = d1(t) = 1(t) Ò! y(t ") =
1
D1(s) s2 + 2s + k k
Y (s) k
Gd y (s) = = -
d2 (t) = 1(t) Ò! y(t ") = 1
2
D2 (s) s2 + 2s + k
Wnioski?
167
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
Wpływ zakłóceń na wyjście układu
Uchyb po!o"eniowy  uchyb uk!adu w odpowiedzi na pobudzenie skokowe
E(s)
R(s) C(s) G(s)
Y(s)
_
E(s) 1 1
Gre(s) = = =
R(s) 1+ C(s)G(s) 1+ G0(s)
1
r(t) = 1(t) Ò! R(s) =
s
G0(s) = C(s)G(s)
transmitancja uk!adu otwartego
statyczne wzmocnienie uk!adu otwartego
kp = lsi0 G0(s)
m
k `" 0, kp `" "
Je"eli s# spe!nione jednocze$nie warunki , to mówimy, "e uk!ad jest o
p
zerowym astatyzmie
168
Inżynieria systemów dynamicznych
Wpływ zakłóceń na wyjście układu
Uchyb pr%dko$ciowy  uchyb uk!adu w odpowiedzi na pobudzenie ramp#
E(s)
R(s) C(s) G(s)
Y(s)
_
E(s) 1 1
Gre(s) = = =
R(s) 1+ C(s)G(s) 1+ G0(s)
1
r(t) = t1(t) Ò! R(s) =
s2
G0(s) = C(s)G(s)
transmitancja uk!adu otwartego
pr%dko$ciowe wzmocnienie uk!adu otwartego
kv = lsi0 sG0(s)
m
kv `" 0, kv `" "
Je"eli s# spe!nione jednocze$nie warunki , oraz uk!ad jest stabilny, to mówimy,
"e uk!ad jest o astatyzmie stopnia pierwszego.
169
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
Wpływ zakłóceń na wyjście układu
Uchyb przy pieszeniowy  uchyb!uk"adu!w!odpowiedzi!na!pobudzenie!
parabol#
E(s)
R(s) C(s) G(s)
Y(s)
_
E(s) 1 1
Gre(s) = = =
R(s) 1+ C(s)G(s) 1+ G0(s)
1 1
r(t) = t2 Å"1(t) Ò! R(s) =
2 s3
G0(s) = C(s)G(s)
transmitancja!uk"adu!otwartego
przy pieszeniowe wzmocnienie!uk"adu!otwartego
ka = lsi0 s2G0(s)
m
ka `" 0, ka `" "
Je$eli!s#!spe"nione!jednocze nie!warunki!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,!oraz!uk"ad!jest!stabilny,!to!mówimy,!
$e!uk"ad!jest!o!astatyzmie stopnia drugiego.
170
Inżynieria systemów dynamicznych
Wpływ zakłóceń na wyjście układu
Przykład:
w poniższym układzie określić wartość uchybu w stanie ustalonym w
odpowiedzi na pobudzenie skokiem jednostkowym, rampą i sygnałem
parabolicznym
E(s) 1
R(s) k
Y(s)
(s + 2)
_
E(s) 1
Gre(s) = =
R(s) s + 2 + k
1
uchyb położeniowy
r(t) = 1(t) Ò! e(t ") =
2 + k
uchyb pr!dkościowy
r(t) = t1(t) Ò! e(t ") = "
1
2
r(t) = t 1(t) Ò! e(t ") = "
uchyb przyśpieszeniowy
2
Wnioski?
171
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
Wpływ zakłóceń na wyjście układu
Przykład:
w poniższym układzie określić wartość uchybu w stanie ustalonym w
odpowiedzi na pobudzenie skokiem jednostkowym, rampą i sygnałem
parabolicznym
E(s) 1
k
R(s)
Y(s)
(s + 2)
s
_
E(s) s(s + 2)
Gre(s) = =
R(s) s2 + 2s + k
r(t) = 1(t) Ò! e(t ") = 0 uchyb poÅ‚ożeniowy
2
uchyb pr!dkościowy
r(t) = t1(t) Ò! e(t ") =
k
1
2
uchyb przyśpieszeniowy
r(t) = t 1(t) Ò! e(t ") = "
2
Wnioski?
172
Inżynieria systemów dynamicznych
Wpływ zakłóceń na wyjście układu
Przykład:
w poniższym układzie określić wartość uchybu w stanie ustalonym w
odpowiedzi na pobudzenie skokiem jednostkowym, rampą i sygnałem
parabolicznym
E(s) 1
k
R(s)
Y(s)
(s + 2)
s2
_
uchyb położeniowy
uchyb pr!dkościowy
?
uchyb przyśpieszeniowy
Czy możemy bez konsekwencji podnosić stopie" astatyzmu układu?
173
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI
Wpływ doboru regulator całkującego na zakłócenia w stanie ustalonym
Przykład:
w poniższym układzie określić wpływ skokowych zakłóceń na wyjście układu
w stanie ustalonym
D1(s)
U(s)
1
k
R(s)=0 Y(s)
(s + 2)
s
_
D2(s)
s
Gd y (s) = d1(t) = 1(t) Ò! y(t ") = 0
1
s2 + 2s + k
k
Gd y (s) = -
d2 (t) = 1(t) Ò! y(t ") = -1
2
s2 + 2s + k
174
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKA
ADOM
REGULACJI