Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Systemy termiczne to takie, które zwi!zane s! z przep"ywem ciep"a pomi#dzy
substancjami. Przep"yw ciep"a mo$e odbywa% si# na trzy sposoby:
przewodzenie ciep!a - polega na przekazywaniu energii przez bez"adny ruch
cz!steczek i ich zderzenia
konwekcja  proces przekazywania ciep"a zwi!zany z makroskopowym
ruchem materii w gazie lub cieczy
promieniowanie - polega na przenoszeniu energii przez promieniowanie
elektromagnetyczne emitowane w wyniku cieplnego ruchu cz!steczek  ma
znaczenie szczególnie tam, gdzie ró$nica temperatur pomi#dzy cia"ami jest
bardzo du$a
Problematyka przewodzenia ciep"a jest &ci&le zwi!zana z projektowaniem
urz!dze' elektronicznych (dobór systemów ch"odzenia uk"adów mocy) oraz
energoelektronicznych!
63
Inżynieria systemów dynamicznych
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Wnikanie ciep"a pomi#dzy powierzchni! &cianki a gazem lub p"ynem mo$emy
opisa% równaniem
q = Ä…S(TS -TG)
gdzie:
q  nat#$enie przep"ywu ciep"a [W]
ą  wspó"czynnik wnikania ciep"a [W/(m2K)]
TS  temperatura powierzchni &cianki [K]
TG  temperatura gazu lub p"ynu [K]
S  powierzchnia &cianki [m2]
UWAGA!
Opisywane zjawisko tylko z pozoru wygl!da prosto. G"ównym problemem jest
okre&lenie wspó"czynnika wnikania ciep"a który zale$y od bardzo wielu
czynników. Tymi problemami nie b#dziemy si# zajmowali, w ramach
przedmiotu b#dziemy chcieli tylko zamodelowa% ma"o z"o$one obiekty.
64
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Pojemno !"cieplna" ilo !"ciep#a"jak$"nale%y"doprowadzi!"do"cia#a,"aby"
ogrza!"je"o"jednostk&"temperatury
"Q
C = = CPVÁ
"T
gdzie:
C  pojemno !"cieplna"[J/K]
"T  zmiana temperatury [K]
"Q  doprowadzona"do"cia#a"ilo !"ciep#a"[J]
CP  ciep#o"w#a ciwe"cia#a"[J/(kg"K)]
V  obj&to !"cia#a"[m3]
Á  g&sto !"cia#a"[kg/m3]
65
Inżynieria systemów dynamicznych
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Przyk ad: Zak#adamy,"%e"dysponujemy"idealnie"zaizolowanym"zbiornikiem"
cieczy"o"obj&to ci"V"[m3],"w"którym"zanurzona"jest"grza#ka"z"mieszad#em"
(ciecz"jest"tak"mieszana,"%e"w"ca#ej"obj&to ci"zbiornika"ma"t&"sam$"
temperatur&"T [K])."Do"zbiornika"dostarczany"jest"sta#a"ilo !"cieczy"M"[kg/s]"o"
temperaturze TIN [K],"która"po"ogrzaniu"wydostaje"si&"ze"zbiornika"(ciecz"
wyp#ywaj$ca"ze"zbiornika"ma"ze"wzgl&du"na"mieszanie"temperatur&"T [K]).
Zbada!,"jak"zale%y"temperatura"na"wylocie"ze"zbiornika"od"temperatury"na"
jego wlocie (TIN[K])"oraz"od"mocy"grza#ki"(P"[W])."Za#o%y!,"%e"g&sto !"cieczy"
(Á [kg/m3])"oraz"jej"ciep#o"w#a ciwe"(Cp [J/(kg"K)])"s$"znane"i"nie"zale%$"od"
temperatury.
P
gorÄ…ca
ciecz
T
TIN T
zimna
ciecz
66
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Pojemno !"cieplna"cieczy"w"zbiorniku:
C =VÁCp
Ilo !"ciep#a"dostarczana"z"ciecz$"dop#ywaj$c$"w"czasie"dt
QIN (t) = MCpTIN (t)dt
Ilo !"ciep#a"odbierana"przez"ciecz"na"wylocie"zbiornika"w"czasie"dt
QOUT (t) = MCpT(t)dt
Ilo !"ciep#a"dostarczona"przez"grza#k%"w"czasie"dt
QG(t) = P(t)dt
st$d"mo&emy"okre li!"bilans"ciep#a"energii"cieczy"w"zbiorniku
CdT = QG(t) + QIN (t) -QOUT (t) ={P(t) + MCP(TIN (t) -T(t)}dt
co"pozwoli"nam"na"napisanie"równania"ró&niczkowego"opisuj$cego"
analizowany proces
dT MCP 1 MCP
= - T(t) + P(t) + TIN (t)
dt C C C
oraz"okre lenie"transmitancji:
T(s) b T(s) a
MCP 1
G1(s) = = G2(s) = =
a = b =
gdzie
P(s) s + a TIN (s) s + a
C C
67
Inżynieria systemów dynamicznych
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Za#ó&my,"&e"rozwa&amy"system"przep#ywowego"ogrzewacza"ciep#ej"wody"o"
nast%puj$cych"parametrach":
M=0,1kg/s (=6l/min); V=0,15*10-3m3 (=150ml); Cp=4190J/(kg*K),TIN = 288K
(15oC), T(0)= 288K (150C),"w"którym"grza#k%"o"mocy"P=15kW"za#$czono"w"
chwili t=0.
dT
= -aT(t) + bP(t) + aTIN (t)
dt
Rozwi$zanie"powy&szego"równania"dla"przedstawionych"warunków"jest"
nast%puj$ce
b
îÅ‚T(0)e-at +TIN (1- e-at) + P(1- e-at)Å‚Å‚1(t)
T(t) =
ïÅ‚ śł
a
ðÅ‚ ûÅ‚
68
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
b
îÅ‚T(0)e-at +TIN (1- e-at) + P(1- e-at)Å‚Å‚1(t)
T(t) =
ïÅ‚ śł
a
ðÅ‚ ûÅ‚
55
50
45
40
35
30
25
20
15
0 2 4 6 8 10 12
t [s]
69
Inżynieria systemów dynamicznych
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Zauwa my,! e!konstruktor!urz"dzenia!znaj"c!jego!model!matematyczny!mo e!
okre#li$!na!podstawie!wymaga%!u ytkownika!parametry!techniczne!
urz"dzenia!np.!szybko#$!z!jak"!ma!nast"pi$!ogrzanie!wody.!W!przyk&adzie!
poni ej!mamy!wykresy!dla!trzech!ró nych!obj'to#ci!komór!zawieraj"cych!
grza&k'!(zak&adamy!sta&"!moc!(15kW)!i!sta&y!pobór!wody!(6l/min))
55
50
45
V=250ml
40
V=150ml
35
V=100ml
30
25
20
15
0 2 4 6 8 10 12
t [s]
70
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
T(t) [°C]
T(t) [°C]
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Można również sprawdzić jak zmieni się zachowanie ogrzewacza w
zależności od poboru wody
90
80
3l/min
70
6l/min
60
50
40
9l/min
30
20
10
0 2 4 6 8 10 12
t [s]
71
Inżynieria systemów dynamicznych
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Można również sprawdzić jak zmieni się zachowanie ogrzewacza w
zależności od mocy grza!ki
55
50
15kW
45
40
35
10kW
30
25
5kW
20
15
0 2 4 6 8 10 12
t [s]
72
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
T(t) [°C]
T(t) [°C]
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Z przyk!adu mo"emy wysnu# kilka wniosków:
-zmiana pojemno$ci komory grza!ki powoduje zmian% wspó!czynników
równania ró"niczkowego, jednak dla okre$lonej konstrukcji pojemno$# komory
jest sta!a
-zmiana nat%"enia przep!ywu powoduje zmian% wspó!czynników równania
ró"niczkowego i mo"e by# traktowana jako zak!ócenie zmieniaj&ce model
obiektu
-zmiana temperatury cieczy na wlocie do ogrzewacza nie wp!ywa na
wspó!czynniki równania ale stanowi zak!ócenie
-moc grza!ki jest zwykle wielko$ci& wej$ciow& i zmieniaj&c j& mo"emy wp!yn&#
na temperatur% na wyj$ciu ogrzewacza
Jak widzimy, mimo "e model jest stosunkowo prosty, je$li chcemy uzyska#
stabiln& temperatur% na wylocie ogrzewacza b%dziemy musieli wzi&# pod
uwag% wiele czynników. Ale o tym za kilka tygodni...
73
Inżynieria systemów dynamicznych
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Przyk!ad:
Dany jest budynek o kubaturze V, sumie powierzchni przegród ($cian i sufitu)
S oraz idealnie zaizolowanej pod!odze. Znaj&c pojemno$# ciepln& przegród
CPRZ , ich powierzchni% S oraz wspó!czynnik wnikania ą wyznaczy# przebieg
temperatury powietrza wewn&trz budynku w odpowiedzi na dobowe zmiany
temperatury zewn%trznej zamodelowane jako sygna! sinusoidalny o warto$ci
$redniej 15°C oraz amplitudzie 5°C. W rozwa"aniach pomin&# wp!yw
nas!onecznienia oraz wymiany ciep!a przez system wentylacji. Za!o"y#, "e
temperatura jest sta!a w ca!ej obj%to$ci przegrody. Pojemno$# cieplna
powietrza zawartego w pomieszczeniu wynosi C.
CPRZ dTP = Ä…S(TZ (t) -TP(t))dt
TZ(t)
CdT = Ä…S(TP(t) -T(t))dt
TP(t)
T(t)
74
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
Równania stanu:
dTP
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł a 0 TP (t) a
îÅ‚-
Å‚Å‚îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
dt
= +
ïÅ‚ śł Z
ïÅ‚ śł ïÅ‚0śłT (t)
dT
b - bśłïÅ‚T (t)
ðÅ‚ ûÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
dt
ðÅ‚ ûÅ‚
TZ(t)
TP(t)
T(t)
75
Inżynieria systemów dynamicznych
Modelowanie układów nieelektrycznych  układy systemy termiczne
clear all; close all; clc;
aa =10; % m - szerokoS
ć
Przyk!adowe przebiegi (parametry w kodzie
bb = 10; % m - długoS
ć
"ród!owym)
hh= 3; % m  wysokoS
ć
S=2*(aa+bb)*hh+aa*bb % powierzchnia S
cian
alfa= 2.5; % W/(m2K) współczynnik wnikania
ro_c = 1700; % kg/m3 - gęstoS
ć przegrody
Cwl_prz = 900; % J/(kg*K) - ciepło właS
ciwe
przegrody
d = 0.15; % m - przekrój przegrody
Cp=(2*(aa+bb)*hh +aa*bb) *d * ro_c *Cwl_prz;
%pojemnoS
ć cieplna S
ciany
ro_p = 1.3; % kg/m3 - gęstoS
ć powietrza
Cwl_pow = 1005 % J/(kg*K) - ciepło właS
ciwe
Tz powietrza
20
CC=aa*bb*hh*1300; %pojemnoS
ć cieplna
powietrza w pomieszczeniu
a=alfa*S/Cp; b=alfa*S/CC
18
A=[-a 0; b -b];B=[a;0];C=[0 1];D=0;
T
t=0:10:5*24*60*60; % obserwacje co 10s przez
5 dni
Tz=15+5*sin(2*pi*t/okres); % temp.
16
zewnętrzna
T=lsim(ss(A,B,C,D),Tz,t,[15;15]);
14
plot(t/3600,Tz);
hold on;
plot(t/3600,T,'k:');
12 axis([48,120, 9,21]); % interesuje nas stan
ustalony więc 'obcinamy wyniki
ylabel('temperatura [°C]');
xlabel('Czas [h]');
10
50 60 70 80 90 100 110 120
Czas [h]
76
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
temperatura [°C]
Schematy blokowe
W przypadku modelowania z!o"onych uk!adów wygodnie jest podzieli# je na
pewne prostsze elementy funkcjonalne.
Aby stworzy# schemat blokowy nale"y:
" podzieli# system na elementy funkcjonalne
" zrozumie# i opisa# poszczególne elementy funkcjonalne
" zrozumie# i opisa# powi$zania pomi%dzy elementami funkcjonalnymi
systemu
Przyk!ad (bardzo uproszczony): tempomat w samochodzie
z(t)
vR(t) e(t) u(t) f(t) v(t)
masa
regulator silnik
pojazdu
_
v(t)
-pr%dko&# pojazdu
vR(t)-pr%dko&# zadana
f(t) -si!a nap%dzaj$ca pojazd (wynika z momentu na wale silnika)
u(t) -wychylenie przepustnicy
e(t) -uchyb sterowania
z(t) -zak!ócenia (np. wynikaj$ce ze zmiany nachylenia drogi)
77
Inżynieria systemów dynamicznych
Schematy blokowe
W przypadku, gdy poszczególne elementy funkcjonalne mog$ by# opisane
transmitancjami, mo"emy poszukiwa# transmitancji ca!ego uk!adu korzystaj$c
z zasad przekszta!cania schematów blokowych
G1(s) G2(s) G1(s) G2(s)
=
G1(s)
G1(s) +G2(s)
=
G2(s)
G1(s) G(s)
=
1/G(s)
78
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Schematy blokowe
G(s) G(s)
=
G(s)
G(s)
G(s)
=
G(s)
G(s) G(s)
=
1/G(s)
79
Inżynieria systemów dynamicznych
Schematy blokowe
G(s)
G(s)
-
=
+ 1Ä… G(s)H(s)
H(s)
80
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Schematy blokowe - przykład
Przyk ad:
Wyznaczy!"transmitancj#"Y/R"w"poni$szym"uk adzie"regulacji"kaskadowej"(dla"
poprawienia"czytelno%ci"rezygnujemy"z"pokazywania"zale$no%ci"od" s )
Y
G1 G2
_ _
R
H2 H1
Rozwi&zanie:
Y
G1G2
_
R
H2 H1
_
G1
81
Inżynieria systemów dynamicznych
Schematy blokowe - przykład
Y
G1G2
_
H1H2
R
1+ G1H2
G1G2H1H2
R
Y
1+ G1H2 + G1G2H1H2
Uwaga:"Wypadkow&"transmitancj#"mo$na"równie$"wyznaczy!"stosuj&c"
regu #"Masona
82
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Układy nieliniowe
Niestety !wiat jest liniowy tylko w ograniczonym zakresie...
Przyczyny nieliniowo!ci(I)
-zjawiska fizyczne zwi"zane z konstrukcj" elementów (np. zale#no!$
indukcyjno!ci cewki z rdzeniem od pr"du, charakterystyki elementów
pó%przewodnikowych, tarcie lub luzy w uk%adach mechanicznych, opory
przep%ywu dla przep%ywów burzliwych w hydraulice)
charakterystyka zaworu
Q = k "p
"p
83
Inżynieria systemów dynamicznych
Układy nieliniowe
Przyczyny nieliniowo!ci (II)
-ograniczenia zwi"zane z dostarczaniem energii do uk%adów
10V
4R
R
_
U1
U2
+
U2
10V
-10V
-2,5V U1
2,5V
-10V
84
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Układy nieliniowe
Przyczyny nieliniowo!ci:
-specyfika regulatora (np. termostat)
U
Y
Grzejnik
f(e)
_
e
R
U=f(e)
e
85
Inżynieria systemów dynamicznych
Układy nieliniowe
Wszystkie rzeczywiste uk"ady s# w istocie nieliniowe, tak wi$c mówi#c o
uk"adzie liniowym mamy na my!li model przybli%aj#cy dzia"anie uk"adu
fizycznego po linearyzacji. W wielu przypadkach linearyzacja taka jest
dozwolona pod warunkiem, %e poruszamy si$ w pewnym obszarze pracy.
tu mo%emy pos"u%y& si$ metod# linearyzacji... ... a tu nie mo%emy
y y
u u
86
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Układy nieliniowe
Za ó!my,"!e"dzia anie"pewnego"obszaru"mo!emy"opisa#"funkcj$"f(x)"oraz"
za ó!my,"!e"sygna "wej%ciowy"uk adu"ulega"zaburzeniu,"takiemu"!e"
x=x0+"x, gdzie x0 to"punkt"pracy"uk adu."Zaburzeniu"temu"towarzyszy"
zmiana"warto%ci"sygna u"wyj%ciowego"f(x)
f (x) - f (x0) = "f (x)
"f (x) df (x)
H"
f(x)
"x dx
df (x)
f(x0)
"f (x) H" "x
dx
x=x0
x0
x
87
Inżynieria systemów dynamicznych
Układy nieliniowe
&ci%lejszym"uzasadnieniem"metody"jest"rozwini'cie"funkcji"f(x)"w"szereg"
Taylora
2
df (x) d f (x) "x2
f (x) = f (x0) + "x + +
dx dx2 2!
x=x0
x=x0
Modelem"liniowym"jest"pierwszy"cz on"rozwini'cia"funkcji"w"szereg"Taylora
df (x)
"f (x) = f (x) - f (x0) H" "x
dx
x=x0
Dok adno%#"przybli!enia"zale!y"od"pozosta ych"cz onów"tzn."od"g adko%ci"
funkcji oraz "x.
88
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Układy nieliniowe
Przykład:
Załóżmy, że dana jest dioda półprzewodnikowa, przez którą w punkcie pracy
określonym przez napięcie na diodzie UD, płynie prąd ID. Należy znale!"
jaka będzie w tym punkcie pracy odpowied! (zmiana prądu "i) na niewielkie
odchylenie napięcia ("i) od punktu pracy
PrÄ…d diody dany jest wzorem:
ëÅ‚
öÅ‚
uD öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
iD = IS ìÅ‚expëÅ‚ ÷Å‚ -1÷Å‚ gdzie -prÄ…d nasycenia, -potencjaÅ‚ termiczny
IS UT
ìÅ‚U
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ T Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
w punkcie pracy prÄ…d wynosi
ëÅ‚ öÅ‚ uD =UD + "u
öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
uD
ìÅ‚ ÷Å‚
ID = IS ìÅ‚expëÅ‚UD ÷Å‚ -1÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
IS expìÅ‚ ÷Å‚ = ID + IS
ìÅ‚ iD = ID + "i
ìÅ‚
UT ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚UT Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
diD IS ìÅ‚ uD ÷Å‚
= expìÅ‚
duD UT íÅ‚UT ÷Å‚
Å‚Å‚
ID + IS
"i = Ä…"u = "u
diD ID + IS
UT
Ä… = =
duD UT
89
Inżynieria systemów dynamicznych
Układy nieliniowe
w rezultacie otrzymaliśmy tzw. model małosygnałowy diody
diD ID + IS 1
Ä… = =
duD UT Ä…
"u
"i
Wi!cej na temat wykorzystania omawianej metody do tworzenia modeli
małosygnałowych mo"na znale#$ w skrypcie:
W. Stepowicz Elementy półprzewodnikowe i układy scalone, Skrypt PG
90
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW
Układy nieliniowe
Inne metody analizy uk!adów nieliniowych (poza programem przedmiotu):
-metoda p!aszczyzny fazowej
-metoda funkcji opisuj"cej
Literatura
J. Nowakowski Podstawy Automatyki tom 2, Skrypt PG
91
M
ETODY OPISU
UKA
ADÓW