ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRI
ANALITYCZN

Ewa A
azuka
Wykład VII
Geometria analityczna w przestrzeni
Wektory, proste, płaszczyzny
Przestrzeń R3
 DEFINICJA
Przestrzenią R3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych, tzn.
def
R3 = {(x, y, z): x, y, z " R}.
 Przestrzeń R3 można interpretować geometrycznie na trzy sposoby, tzn. jako:
 zbiór wszystkich punktów P = (x, y, z) w przestrzeni;
liczby x, y, z nazywamy wtedy współrzędnymi punktu P = (x, y, z);
punkty oznaczamy dużymi literami A, B, C, P, Q, R;
Przestrzeń R3
 oraz jako:

 zbiór wszystkich wektorów zaczepionych = OP w przestrzeni; wektory te mają wspólny początek O = (0, 0, 0),
a

a końce w punktach P = (x, y, z); wektor OP nazywamy wektorem wodzącym punktu P ; wektory wodzące

punktów oznaczamy przez b, liczby x, y, z nazywamy współrzędnymi wektora = (x, y, z); dodatkowo
a, u, v; a
def
def(0,
przyjmujemy oznaczenia 0 = 0, 0) oraz - = (-x, -y, -z); wektor 0 nazywamy wektorem zerowym, a wek-
u
tor - wektorem przeciwnym do wektora
u u;
 zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni; przez wektor swobodny rozumiemy zbiór wszystkich
u
wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek, zwrot oraz długość co wektor
u.
Punkty oraz wektory współliniowe i współpłaszczyznowe
 Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R3 są współliniowe, jeżeli istnieje prosta, do której należą te punkty.
 Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni R3 są współpłaszczyznowe, jeżeli istnieje płaszczyzna, do której należą
te punkty.

 Mówimy, że wektory b przestrzeni R3 są współliniowe, jeżeli istnieje prosta, w której zawarte są te wektory.
a,

Wektory współliniowe nazywamy także wektorami równoległymi i piszemy b. Oczywiście wektor 0 jest
a
równoległy do dowolnego wektora.
 Mówimy, że wektory w przestrzeni R3 są współpłaszczyznowe, jeżeli istnieje płaszczyzna, w której zawarte są
u, v,

te wektory. Oczywiście wektor 0 i dwa dowolne wektory są współpłaszczyznowe.
Działania na wektorach
 Niech = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) oraz niech Ä… " R.
u v
def
 Sumę wektorów i określamy wzorem + = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
u v u v
def
 Iloczyn wektora przez liczbę rzeczywistą ą określamy wzorem ą = (ąx1, ąy1, ąz1).
u u
 Przestrzeń R3 z tymi działaniami tworzy rzeczywistą przestrzeń liniową, a zatem spełnia wszystkie warunki
wymienione w definicji przestrzeni liniowej.
Warunki równoległości i współpłaszczyznowości wektorów

 Wektory b są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo zależne w przestrzeni R3, tzn.
a,

istniejÄ… liczby rzeczywiste Ä…, ², nie wszystkie równe 0, dla których zachodzi Ä… + ² = 0.
a b
1

 Wektory b, są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo zależne w przestrzeni R3, tzn.
a, c

istniejÄ… liczby rzeczywiste Ä…, ², Å‚, nie wszystkie równe 0, dla których zachodzi Ä… + ² + Å‚ = 0.
a b c
Układ współrzędnych w przestrzeni
 Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone, wzajemnie prostopadłe proste x, y, z przecinające
się w jednym punkcie 0. Taki układ współrzędnych oznaczamy symbolem Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy
osiami, a płaszczyzny xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu współrzędnych.
 Orientacja układu współrzędnych.
W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz wyróżniamy dwie orientacje układu współrzędnych Oxyz:
układ prawoskrętny i układ lewoskrętny.

 Wektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.
Długość wektora
 Długość wektora = (x, y, z) jest określona wzorem
u

def
| = x2 + y2 + z2.
u|
 Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.
 Własności długości wektora
Niech będą wektorami w R3 oraz niech ą " R. Wtedy:
u, v

 | 0, przy czym | = 0 Ð!Ò! = 0,
u| u| u
 |Ä… = |Ä…| · |
u| u|,
 | + | + |
u v| u| v|,
 || - | | -
u| v|| u v|.
Iloczyn skalarny
 Niech będą wektorami w R3.
u, v
Iloczyn skalarny wektorów i określamy wzorem:
u v
def
ć% = | · | · cos (
u v u| v| u, v).
 Niech = (x1, y1, z1) oraz = (x2, y2, z2) będą wektorami w R3. Wtedy:
u v
ć% = x1x2 + y1y2 + z1z2.
u v
 Własności iloczynu skalarnego
Niech w będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech ą " R. Wtedy:
u, v,
 ć% = ć%  (ą ć% = ą( ć%
u v v u, u) v u v),
 ć% = |  ( + ć% w = ć% w + ć% w,
u u u|2, u v) u v
 | ć% | · |  Ä„" Ð!Ò! ć% = 0.
u v| u| v|, u v u v
Orientacja trójki wektorów
 Niech = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), w = (x3, y3, z3) będą wektorami w R3. Mówimy, że wektory w tworzą
u v u, v,


x1 y1 z1


układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli x2 y2 z2 > 0.


x3 y3 z3
 W przypadku, gdy wyznacznik jest ujemny mówimy, że orientacja układu wektorów w jest przeciwna do
u, v,
orientacji układu współrzędnych.
 Układ w nazywamy prawoskrętnym, jeżeli jest on zgodny z prawoskrętnym układem współrzędnych.
u, v,
 Układ w nazywamy lewoskrętnym, jeżeli jest on zgodny z lewoskrętnym układem współrzędnych.
u, v,
Iloczyn wektorowy
2
Niech i będą niewspółliniowymi wektorami w R3.
u v
Iloczynem wektorowym uporzÄ…dkowanej pary wektorów i nazywamy wektor w = × który speÅ‚nia warunki:
u v u v,
 w jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory i
u v,
 jego dÅ‚ugość jest równa polu równolegÅ‚oboku rozpiÄ™tego na wektorach i tzn. |w| = | · | · sin (
u v, u| v| u, v),
 orientacja trójki wektorów w jest zgodna z orientacją układu współrzędnych Oxyz.
u, v,
Iloczyn wektorowy



i j k


 Niech = (x1, y1, z1) oraz = (x2, y2, z2) bÄ™dÄ… wektorami w R3. Wtedy: × = , gdzie i, j, k
u v u v
x1 y1 z1


x2 y2 z2
oznaczajÄ… wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.
 Własności iloczynu wektorowego
Niech w będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech ą " R. Wtedy:
u, v,
 × = -( ×
u v v u),
 (Ä… × = Ä…( × = × (Ä…
u) v u v) u v),
 ( + × w = × w + × w,
u v) u v
 × ( + w) = × + × w,
u v u v u
 | × | · |
u v| u| v|,

 Ð!Ò! × = 0.
u v u v
1
 Pole S równolegÅ‚oboku o przekÄ…tnych p i wyraża siÄ™ wzorem: S = | × q|.
q p
2
Iloczyn mieszany
 Niech w będą wektorami w R3.
u, v,
Iloczyn mieszany uporządkowanej trójki wektorów w określamy wzorem:
u, v,
def
( w) = ( × Ä‡% w.
u, v, u v)
 Niech = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), w = (x3, y3, z3) będą wektorami w R3. Wtedy
u v


x1 y1 z1


( w) = x2 y2 z2 .
u, v,


x3 y3 z3
Własności iloczynu mieszanego
Niech w, będą wektorami w R3 oraz niech ą " R. Wtedy:
u, v, r
 ( w) = ( w,
u, v, v, u),
 ( w) = -( w),
u, v, v, u,
 ( + w) = ( w) + ( w),
u r, v, u, v, r, v,
 (Ä… w) = Ä…( w),
u, v, u, v,
 wektory w sÄ… współpÅ‚aszczyznowe Ð!Ò! ( w) = 0,
u, v, u, v,
 |( w)| | · | · |w|.
u, v, u| v|
Interpretacja geometryczna
iloczynu mieszanego wektorów
 Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów w jest równa objętości równoległościanu rozpiętego
u, v,
na wektorach w, tzn. V = |( w)|.
u, v, u, v,
1
 Objętość równoległościanu o przekątnych p, q, " R3 wyraża się wzorem V = |(
r p, q, r)|.
2
 Objętość czworościanu o wierzchołkach A1 = (x1, y1, z1), A2 = (x2, y2, z2), A3 = (x3, y3, z3), A4 = (x4, y4, z4)
wyraża się wzorem


x1 y1 z1 1


1
x2 y2 z2 1
.
V =

x3 y3 z3 1
6


x4 y4 z4 1
3
Równania normalne płaszczyzny
 Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez punkt P0 = (x0, y0, z0), o wektorze wodzącym r0, prostopadłej do

wektora = (A, B, C) = (0, 0, 0) ma postać:
n
Ą : ( - r0) ć% = 0,
r n
gdzie = (x, y, z) jest wektorem wodzącym punktów płaszczyzny.
r
 Wektor nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny.
n
 W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny Ą przyjmuje postać:
Ä„ : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
 Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny.
Równanie ogólne płaszczyzny
 Każde równanie postaci:
Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0,
gdzie |A| + |B| + |C| > 0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny = (A, B, C) i przecina
n
oÅ› Oz w punkcie z = -D , o ile C = 0.

C
 Jest to równanie ogólne płaszczyzny.
Równania parametryczne płaszczyzny
 Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez punkt P0 = (x0, y0, z0), o wektorze wodzącym r0 i rozpiętej na

niewspółliniowych wektorach = (a1, b1, c1) oraz = (a2, b2, c2) ma postać:
u v
Ä„ : = r0 + s + t gdzie s, t " R,
r u v,
lub inaczej:
Ä„ : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + s(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2),
gdzie s, t " R.
 W formie rozwiniętej równanie to przyjmuje postać:
Å„Å‚
x = x0 + sa1 + ta2
òÅ‚
Ä„ : y = y0 + sb1 + tb2
ół
z = z0 + sc1 + tc2, gdzie s, t " R.
 Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.
Równanie płaszczyzny
przechodzÄ…cej przez trzy punkty
 Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2),
P3 = (x3, y3, z3) ma postać:


x y z 1


x1 y1 z1 1

Ä„ : = 0.

x2 y2 z2 1


x3 y3 z3 1
Równanie odcinkowe płaszczyzny
 Równanie płaszczyzny Ą odcinającej na osiach Ox, Oy, Oz układu współrzędnych odpowiednio odcinki a, b, c = 0

ma postać:
x y z
Ä„ : + + = 1.
a b c
 Powyższą zależność nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.
4
Równanie parametryczne prostej
 Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 = (x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r0 i wyznaczonej przez

niezerowy wektor kierunku = (a, b, c) ma postać:
v
l : = r0 + t gdzie t " R,
r v,
 lub inaczej:
l : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c), gdzie t " R.
 W formie rozwiniętej równanie to przyjmuje postać:
Å„Å‚
x = x0 + at
òÅ‚
l : y = y0 + bt
ół
z = z0 + ct, gdzie t " R.
 Jest to równanie parametryczne prostej.
Równanie kierunkowe prostej
 Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 = (x0, y0, z0) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku
= (a, b, c) ma postać:
v
x - x0 y - y0 z - z0
l : = = .
a b c
 Jest to równanie kierunkowe prostej.
 UWAGA! W mianownikach mogą pojawiać się zera.
Równanie krawędziowe prostej
 Prostą l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn
Ä„1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
Ä„2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
zapisujemy w postaci:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
l :
A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
 Jest to równanie krawędziowe prostej.

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
 Wektor kierunkowy prostej l : ma postać
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
= (A1, B1, C1) × (A2, B2, C2).
v
Rzut punktu na płaszczyznę i na prostą

 Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę Ą nazywamy punkt P tej płaszczyzny spełniający warunek:

P P Ä„" Ä„.

 Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt P tej prostej spełniający warunek: P P Ą" l.

 Rzutem ukośnym punktu P na płaszczyznę Ą w kierunku ustalonego wektora nazywamy punkt P tej płaszczyzny
v

spełniający warunek: P P
v.

 Rzutem ukośnym punktu P na prostą l w kierunku ustalonego wektora nazywamy punkt P tej prostej spełniający
v

warunek: P P
v.
Odległość punktu od płaszczyzny
Odległość płaszczyzn równoległych
 Odległość punktu P0 = (x0, y0, z0) od płaszczyzny Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem:
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P0, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
5
 Odległość między płaszczyznami Ą1 : Ax + By + Cz + D1 = 0,
Ą2 : Ax + By + Cz + D2 = 0 wyraża się wzorem:
|D1 - D2|
d(Ä„1, Ä„2) = " .
A2 + B2 + C2
KÄ…ty
Ä„
 KÄ…tem nachylenia prostej l do pÅ‚aszczyzny Ä„ nazywamy kÄ…t Õ = - Ä…, gdzie Ä… jest kÄ…tem ostrym miÄ™dzy
2
wektorem normalnym płaszczyzny Ą i wektorem kierunkowym prostej l.
n v
 Jeżeli prosta jest równoległa do płaszczyzny, to przyjmujemy, że kąt jej nachylenia do tej płaszczyzny jest równy 0.
 Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych.
 Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0.
 Kątem między płaszczyznami nazywamy kąt ostry między wektorami normalnymi tych płaszczyzn.
 Przyjmujemy, że kąt między płaszczyznami równoległymi jest równy 0.
6