Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji (wykład XIV, 04.06.2007 r.)
Zastosowania geometryczne całek podwójnych
1. Pole figury.
Niech D będzie dowolną figurą ograniczoną na płaszczyz
nie. Wówczas pole figury D można obliczyć przy użyciu
całki podwójnej w następujący sposób:

|D| = dP
D
2. ObjÄ™tość bryÅ‚y. Niech funkcje f oraz g bÄ™dÄ… ciÄ…gÅ‚e na zbiorze D ‚" R2 oraz niech f(x, y) g(x, y) dla każdego
(x, y) " D. Wtedy objętość bryły B ograniczonej wykresami funkcji f i g dla (x, y) " D wyraża się wzorem:

|B| = [g(x, y) - f(x, y)]dP.
D
Twierdzenie o wartości średniej
TWIERDZENIE Niech D ‚" R2 i niech funkcja f(x, y) bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a na D. Wówczas istnieje punkt (x0, y0) " D
taki, że

f(x, y)dP = f(x0, y0)|D|,
D
gdzie |D| oznacza pole obszaru D.
Liczbę f(x0, y0) nazywamy wartością średnią funkcji f na zbiorze D.
Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej

x = x(s, t)
TWIERDZENIE Niech D ‚" R2 i niech Åš = bÄ™dzie przeksztaÅ‚ceniem takim, że Åš(R) = D, funkcje
y = y(s, t)

"x "x
"s "t
x(s, t) i y(s, t) są ciągłe na R oraz takimi, że JŚ = det = 0.

"y "y
"s "t
Wówczas

f(x, y)dP = f(x(s, t), y(s, t))|JÅš|dP.
D R
Liczbę JŚ nazywamy jakobianem przekształcenia Ś.
Współrzędne biegunowe
Współrzędnych biegunowych używamy, gdy obliczamy całkę podwójną po kole K = K((x0, y0), R) lub jego części.
Przekształcenie

x - x0 = r cos Ä…
Åš =
y - y0 = r sin Ä…
jest przeksztaÅ‚ceniem odwzorowujacym prostokÄ…t R = 0, R × 0, 2Ä„ na koÅ‚o K.

"x "x
cos Ä… -r sin Ä…
"r "Ä…
Jakobian tego przekształcenia wynosi JŚ = det = = r cos2 ą + r sin2 ą = r = 0.

"y "y
sin Ä… r cos Ä…
"r "Ä…
Zatem

f(x, y)dP = f(x(r, Ä…), y(r, Ä…))rdP.
K R
1