Zestaw X  zastosowania pochodnych - BUDOWNICTWO I - 1
Na zajęciach rozwiążemy tylko niektóre z poniższych zadań. Zadania nierozwiązane na tablicy należy rozwiązać
samemu w domu.
(I) Styczna i normalna do wykresu
Zadanie 1. Znajdz
równania stycznych i normalnych do wykresów dla danego x0:
1 ln x
a) f(x) = x3, x0 = 2, b) f(x) = , x0 = 0, c) f(x) = , x0 = e, d) f(x) = (ln x)x + 1, x0 = e.
1+x2 x
Zadanie 2. Na wykresie funkcji y = ex znajdz
taki punkt, w którym styczna jest równoległa do prostej
x - y + 7 = 0. Napisz równanie tej stycznej.
Zadanie 3. Oblicz kÄ…t, pod jakim przecinajÄ… siÄ™ krzywe y = sin x oraz y = cos x.
x-8
Zadanie 4. Znajdz
punkt, w którym styczna do krzywej y = tworzy z osią OX kąt 45 stopni.
x+1
(II) Różniczka zupełna
Zadanie 5. Oblicz wartości przybliżone oraz oba rodzaje błędów:
" " "
3 3 3
a) 8.03, (a1) 8.06, (a2) 8.12, (b) ln(1.02), (c) e-0.05, (d) ln(9 - (1.99)3).
(III) Reguła de l Hospitala
Zadanie 6. Oblicz granice:
1
ln(ln x)
x+1 x2-1+ln x
x
(a) lim (b) lim (c) lim (d) lim xe
ln x ex-e x
x" x1 x"
x0+
" 1
Ä„ 1 1
x2
(e) lim x ln x (f) lim tg e (g) lim (x - )tg x (h) lim ( - )
2
Ä„ +
x0+ x0- x x0+ x ex-1
2
2 1
1
x
(i) lim xx (j) lim (1 + )x (k) lim x
x"
x0+ x0+ x
(IV) Twierdzenia Rolle a i Lagrange a
Zadanie 7. Sprawdz
, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle a na podanych przedziałach:
Ä„ 5Ä„
a) f(x) = x3 + 4x2 - 7x - 10, x " [-1, 2], b) f(x) = ln(sin x), x " [ , ],
6 6
Ä„
c) f(x) = - arctg | - 1|, x " [-1, 1]
4
Zadanie 8. Nie znajdując pochodnej funkcji f(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) oblocz ilość pierwiastków
równania f (x) = 0 i wskaż przedziały, w których się one znajdują.
Zadanie 9. Sprawdz
, czy podane funkcje spełniają założenia tw. Lagrange a na podanych przedziałach:
a) f(x) = x - x2, x " [-2, 1], b) f(x) = arctg x, x " [0, 1].
Zestaw X  zastosowania pochodnych - BUDOWNICTWO I - 2
"
Zadanie 10. Zastosuj twierdzenie Lagrange a dla funkcji y = arctg x dla x " [-1, 3]. Znajdz
odpowiedniÄ…
stałą.
(V) Wzory Taylora i Maclaurina
Zadanie 11. Rozwiń funkcje w szeregi Maclaurina:
a) f(x) = ex, b) f(x) = sin x, c) f(x) = cos x, d) f(x) = ln(1 + x).
"
Zadanie 12. Oszacuj z dokładnością do 0.0001: a) e, b) ln(1.2).
(VI) Monotoniczność i ekstrema
Zadanie 13. Wykaż, że dana funkcja nie zmienia swej monotnoniczności:
"
x2+4x
a) f(x) = -x3 - 3x + 9, b) f(x) = , x " (-6, -4).
x
Zadanie 14. Wykaż, że funkcje są stałe:
x Ä„ Ä„
"
a) f(x) = arctg x - arcsin , b) f(x) = cos2 x + cos2(x + ) - cos x cos(x + ).
3 3
x2+1
Zadanie 15. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:
"
2 x2
2
3
a) f(x) = 1 + 60x - 46x2 + 12x3 - x4, b) f(x) = - x2, c) f(x) = x ln x, d) f(x) = x e- 3
.
x
Zadanie 16. Znajdz
ekstrema funkcji i przedziały monotoniczności:
x2+1
a) f(x) = , b) f(x) = 3x4 - 4x3 - 6x2 + 12x + 4, c) f(x) = arctg x - ln(1 + x2),
x
2
d) f(x) = ln2 x + ln x, e) f(x) = .
1+cos2 x
Zadanie 17. Znajdz
wartość największą i najmniejszą funkcji na danym przedziale:
2
a) f(x) = x + - 2, x " [1, 4], b) f(x) = x2 ln x, x " [1 , e], c) f(x) = ln2 x - ln x, x " [1, 7],
x e
Ä„ Ä„
d) f(x) = x - tg x, x " [- , ].
4 4
Zadanie 18. Sprawdz
, czy poniższe funkcje mają ekstrema:
Å„Å‚
òÅ‚
x2 + 1 x e" 0
a) f(x) = , b) f(x) = 3|x| - x2.
ół
-2x + 1 x < 0
(VI) Wklęsłość, wypukłość i punkt przegięcia
Zadanie 19. Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji:
2
a) f(x) = xe-x, b) f(x) = ln2 x + ln x, c) f(x) = xarctg x, d) f(x) = x2 + .
x
Zadanie 20. Znajdz
współrzędne punktów przegięcia:
ln 2x
a) f(x) = , b) f(x) = ln(1 + x2), c) f(x) = x sin(ln x).
x
Zestaw X  zastosowania pochodnych - BUDOWNICTWO I - 3
Zadanie 21. Zbadaj monotoniczność, wklęsłość i wypukłość; znajdz
ekstrema, punkty przegięcia i narysuj
bardzo dokładnie wykresy funkcji:
a) f(x) = -x4 + 12x3 - 46x2 + 60x + 1, b) f(x) = x3 + 3x2 - 9x - 2.
(VIII) Asymptoty
Zadanie 22. Zbadaj istnienie asymptot:
x3 3x4+3x x2 2x
a) f(x) = , b) f(x) = , c) f(x) = , d) f(x) = x ln , e) f(x) = 2x - sin x.
3(x2-x-2) 5x2-5x 2(x-3) x-2
(IX) Badanie funkcji
Zadanie 23. Zbadaj przebieg funkcji i sporzÄ…dz
wykres:
(1+x)2
x2
a) f(x) = , b) f(x) = x3 - 3x2 + 2, c) f(x) = , d) f(x) = x2 ln x,
2(x-3) 1+x2
e) f(x) = xe-x, f) f(x) = earctg x.
Część zadań pochodzi ze skryptu  Matematyka  podstawy z elementami matematyki wyższej", Wydawnictwo
PG, 2009.
Część zadań pochodzi z list zadań dr Jolanty Dymkowskiej.