Dany układ nierówności wyznacza zbiór rozwiązań dopuszczalnych D:
−2x + 3x ≤ 9
1
2
2x +
3x ≤18
1
2
2x − 6x ≤ 4
1
2
x
≥ 1
1
x ≥ 0
2
a) W którym punkcie zbioru D wartość funkcji f(x1, x2) = −x1 + 3x2 jest maksymalna a w którym minimalna, gdy (x1, x2) ∈ D?
b) Przy jakiej wartości α ∈ R maksimum funkcji g(x1, x2) = x1 + αx2 znajduje się w wierzchołku ( 9 9
,
) ∈ D i ma wartość 9.
4 2
c) Przy jakiej wartości β ∈ R maksimum funkcji h(x1, x2) = βx1 + x2 znajduje się w wierzchołku ( 9 9
,
) ∈ D i ma wartość 9.
4 2
Zadanie 2.3.18
Zakład produkuje ramy okien zwykłych o wymiarach 1,6 m x 1,6 m i balkonowych o wymiarach 2,1 m x 1,6 m. Należy wyprodukować co najmniej 100 okien balkonowych i co najmniej 150 okien zwykłych. Odpowiednie kawałki ram odcina się z fabrycznych belek profilowanych o długości 5 m.
W jaki sposób ciąć belki na kawałki ram, aby zminimalizować łączny odpad, przyjmując, że kawałki belki mniejsze niż 1,6 m są bezużyteczne?
Zadanie 2.3.19
Laboratorium badań farmakologicznych prowadzi własną hodowlę królików doświadczalnych.
Hodowla ta musi dostarczać zwierzęta zdrowe i jednolite pod względem wagi, wzrostu i kondycji fizycznej, zatem proces ich żywienia podlega ścisłym rygorom. Na pokarm królików składa się mieszanka zbożowa oraz specjalnie preparowany zestaw warzyw. Łączna masa dziennej porcji pokarmu nie może przekroczyć 300 g na jedno zwierzę. Niezbędnym warunkiem stosowanej diety jest dostarczenie zwierzętom odpowiedniej ilości protein oraz dwóch podstawowych mikroelementów: A zawierającego wszystkie pożądane związki mineralne oraz B o wysokiej zawartości witamin. Zawartość protein i mikroelementów w obu składnikach pokarmu, ceny rynkowe tych składników oraz ograniczenia normy dziennej porcji protein i mikroelementów przypadającej na jedno zwierzę podaje tablica.
Składniki
A (w g)
B (w g)
Proteiny
Cena
na 1 kg
na 1 kg
(w g)
(w zł)
Rodzaj karmy
karmy
karmy
na 1 kg karmy
1 kg karmy
Warzywa
12
15
40
1,1
Mieszanka zbożowa
18
9
200
2,4
Norma
Maks.
4,5
4,5
brak
składników
(w g)
ograniczeń
odżywczych
w dziennej
Min.
3
1,8
20
dawce
(w g)
pokarmu
a) Ustalić dzienną rację pokarmową dla jednego królika, tak aby koszt wyżywienia zwierząt był minimalny.
b) Korzystając z rozwiązania z punktu a ustalić, ile maksymalnie królików można hodować dla potrzeb laboratorium, jeśli na ten cel przeznacza się tygodniowo kwotę 250 zł?
c) Ile maksymalnie królików dałoby się wykarmić za tę kwotę, w przypadku obniżenia dziennej jednostkowej minimalnej normy protein do 16 g?
Zadanie 2.3.20
Przedsiębiorstwo transportowe obsługuje przewóz kruszywa budowlanego z dwóch kamieniołomów K1 i K2 dla trzech budów A, B i C. Tablica podaje koszt przewozu w zł 1 tony ładunku pomiędzy każdym z kamieniołomów a poszczególnymi budowami: Budowa
A
B
C
Kamieniołom
K1
20
22
20
K2
15
18
30
a) Ułożyć model programowania liniowego dla problemu minimalizacji łącznego kosztu transportu, przy którym działalność przedsiębiorstwa transportowego jest rentowna, jeśli wiadomo, że kamieniołom K1 może w ciągu tygodnia dostarczyć każdą ilość kruszywa a kamieniołom K2
maksymalnie tylko 150 ton. Ponadto wiadomo, iż dla podtrzymania frontu robót każda z budów A, B i C potrzebuje w ciągu tygodnia przynajmniej po 50 ton tego surowca. Wiadomo także, że budowa C nie jest w stanie przerobić więcej niż 100 ton kruszywa tygodniowo. Dodatkowo zakładamy, że działalność przedsiębiorstwa transportowego jest rentowna, jeśli wielkość przewozów wynosi przynajmniej 250 ton w ciągu tygodnia. Podać rozwiązanie tego problemu.
b) Ocenić który z następujących planów przewozowych jest najlepszy: PLAN I: przewozi się tylko z kamieniołomu K1 po 100 ton ładunku na każdą budowę PLAN II: przewozi się z kamieniołomu K1 na budowę A 150 ton oraz z kamieniołomu K2
po 50 ton na budowy A, B i C.
PLAN III: przewozi się z kamieniołomu K2 na budowy A i B po 75 ton oraz 150 ton z kamieniołomu K1 na budowę C.
Źródło: W. Marcinkowska-Lewandowska, J. Plebaniak, M. Podgórska „Ekonometria w zadaniach i ćwiczeniach dla studiów ekonomicznych zaocznych i wieczorowych”, SGH 2000