Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespół Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

© Prawa autorskie zastrzeżone

PODSTAWOWE TWIERDZENIA TEORII OBWODÓW

aktualizacja 20 październik 2011

Cel ćwiczenia

- zastosowanie superpozycji do pomiarów napięć

- zastosowanie twierdzenia Thevenina do analizy sieci elektrycznych

- zastosowanie twierdzenia o dopasowaniu na maksimum mocy czynnej

Podstawowe wiadomości

Superpozycja, liniowość układu

Superpozycja zwana również zasadą superpozycji jest częścią definicji liniowości opisującą własność addytywności układu. Jeżeli układzie elektrycznym, dowolna reakcja pochodząca od wielu źródeł sygnału (pobudzeń) jest równa sumie reakcji pochodzących od każdego z tych pobudzeń działających osobno, przy wyłączonych pozostałych pobudzeniach (przy czym idealne źródła napięcia zastępuje się zwarciem, a idealne źródła prądu rozwarciem), to wówczas w rozważanym układzie zachodzi superpozycja (i na odwrót).

Teoretycznie układ nieliniowy może spełniać zasadę superpozycji (naruszony jest wówczas tylko warunek jednorodności układu). Odwrotnie, w układzie liniowym superpozycja zawsze jest spełniona. Jednak w praktyce, poza czysto akademickimi rozważaniami, układ nieliniowy nie spełnia zasady superpozycji, dlatego często w literaturze stosuje się zamiennie pojęcia liniowości i superpozycji. Co więcej zdarza się, że zasadę superpozycji formułuje się w formie twierdzenia.

W szczególności superpozycja zachodzi w układach liniowych znajdujących się w stanie ustalonym, pobudzanych sygnałami sinusoidalnymi o jednakowej pulsacji. Można wówczas opisywać prądy i napięcia za pomocą liczb zespolonych (wskazów zespolonych) [1]. W takiej postaci superpozycja jest stosowana w ćwiczeniu, tzn. zastosowanie superpozycji technicznie sprowadzone zostało do wykonania dodawania dwóch liczb zespolonych i przedstawienia wyniku w postaci wykładniczej.

Twierdzenie Thevenina

Podobnie jak zasadę superpozycji, twierdzenie Thevenina można w szczególnym przypadku sformułować dla dwójnika znajdującego się w stanie ustalonym, zawierającego elementy SLS

(Skupione, Liniowe i Stacjonarne) oraz źródła sygnałów sinusoidalnych o jednakowej pulsacji.

Dowolny dwójnik N zawierający elementy SLS oraz idealne źródła autonomiczne prądu lub napięcia, można zastąpić dwójnikiem równoważnym, złożonym z idealnego źródła napięcia o wartości skutecznej zespolonej E T, równej wartości skutecznej zespolonej napięcia na rozwartych zaciskach dwójnika N /rys. lc/ i szeregowej impedancji Z T. Impedancja Z T jest równa impedancji wejściowej dwójnika N obliczanej przy wyłączonych źródłach autonomicznych prądu i napięcia

/rys. 1d/.

Strona 1 z 7

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

a)

b)

Z

I

T

I 0

0

SLS

U

Z

Z

0

U

0

E

0

0

E, I

T

z

c)

d)

I

x

SLS

SLS

def . Ex

Z

=

U= E

E=0

E

T

x

T

E, I

I

Ix

=0

z

z

Z

T

Rys. 1 Ilustracja Twierdzenia Thevenina

Twierdzenie o dopasowaniu na maksimum mocy czynnej

Moc czynna P wydzielona w odbiorniku o impedancji Z 0 = R 0 + j X 0 dołączonym do źródła napięcia E T o impedancji wewnętrznej Z T = R g + j X g /rys. lb/ wynosi [1]

2

R E

0

T

P = (

.

(1)

R + R

+ X + X

g )2

(

g )2

0

0

Jeżeli spełniony jest warunek dopasowania energetycznego

*

Z = Z , Z = Z

0

d

d

T (sprzężenie zespolone),

(2)

wówczas

R = R oraz X = − X .

(3)

d

g

d

g

Ponadto jeżeli

−1

1

X = ω L , to X =

, gdzie C =

.

(4)

g

0

g

d

d

ω C

ω X

0

d

0

g

W warunkach dopasowania energetycznego moc czynna P wydzielana w obciążeniu Z d osiąga maksimum, co oznacza, że jest ona równa mocy dysponowanej źródła sygnału

2

ET

P

= P =

.

(3)

max

d

4 Rg

Z mocą dysponowaną ściśle związane jest skuteczne wzmocnienie mocy G

2

def .

P

R U

4 R R

g

0

0

G =

, G = 4

g

=

.

(4)

2

P

R E

+

+

+

T

( R R

X

X

g )2

(

g )2

max

0

0

0

Maksimum skutecznego wzmocnienia mocy G przy zmianach R lub X zawsze wynosi 0

0

jeden, niezależnie od wartości mocy czynnej wydzielanej w obciążeniu. Z tego powodu w ćwiczeniu wykonuje się wykresy skutecznego wzmocnienia mocy zamiast wykresów mocy czynnej.

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 2 z 7

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Część laboratoryjna

Opis panelu laboratoryjnego

Uwaga: fazy początkowe wszystkich napięć w układzie proszę mierzyć względem napięcia generatora sinusoidalnego; faza początkowa napięcia generatora jest równa zero.

Panel laboratoryjny jest zbudowany z elementów RLC oraz z transformatora o dzielonym uzwojeniu wtórnym, o przekładni obniżającej napięcie (n ≈ 3.5 lub n ≈ 4) /rys.2/.

Rys. 2 Schemat panelu laboratoryjnego

Zastosowanie transformatora o przekładni obniżającej powoduje, że transformowana rezystancja wewnętrzna generatora dołączonego do wejścia układu (We) jest do pominięcia w

porównaniu z wielokrotnie większymi rezystancjami R g1 i R g2. Tym samym rezystancje R g1 i R g2

reprezentują całkowite rezystancje wewnętrzne źródeł napięcia, zatem źródła napięcia można traktować w niniejszym ćwiczeniu jako źródła idealne. Wyłącznie źródeł napięciowych (zastąpienie źródeł napięciowych zwarciem) jest realizowane w ćwiczeniu przez odłączanie źródeł E 1, E 2 od obwodu elektrycznego /rys. 2/ i dołączanie rezystorów R g1, R g2 do masy /rys.3/.

a

P1

b

R

Obwód

g1

E 1

elektryczny

b

E

R

2

g2

P2

a

Rys. 3 Uproszczony schemat zastępczy panelu laboratoryjnego

Wykonanie ćwiczenia

1 Superpozycja

Dołączyć do panelu dwójnik szeregowy o impedancji

1

Z = R − j ω .

C

Ustawić częstotliwość z zakresu ( 0, 5 ÷ 2,5 ) kHz, przy której przeprowadzane będą pomiary w trakcie całego ćwiczenia oraz dobrać poziom napięcia z generatora G tak, aby na rozwartych zaciskach panelu (A – B) było zadane napięcie U 0 (0,5 – 0,8V) przy włączonym źródle E 1. Zapisać w protokole numer badanego panelu.

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 3 z 7

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

n:1

K

R

1

g1

A

a

b

C

E 1

A

B

V

G

ϕ

R

E 2

a

b

R g2

B

K2

Panel

Rys. 4

1.1. Na zaciskach dołączonego dwójnika zmierzyć napięcie

jϕ1

U = U e

, gdy włączone jest

1

1

źródło E 1 i wyłączone źródło E 2 (K1 w pozycji a, K2 w pozycji b).

1.2. Na zaciskach dołączonego dwójnika zmierzyć napięcia

jϕ2

U = U e

, gdy włączone jest

2

2

źródło E 2 i wyłączone źródło E 1 (K2 w pozycji a, K1 w pozycji b).

1.3. Na zaciskach dołączonego dwójnika zmierzyć napięcie

j

U

Ue ϕ

=

, gdy włączone są

obydwa źródła E1 i E2 (K1 i K2 w pozycji a).

Sprawdzić, czy prawidłowo zastosowano zasadę superpozycji

(używając Matlaba lub kalkulatora porównać odpowiednie moduły i argumenty)!

2 Twierdzenie Thevenina

2.1 Włączyć źródło E 1, a rezystor Rg 2 dołączyć jednym zaciskiem do masy. Zmierzyć napięcie j 0

U

U e ϕ

=

pomiędzy rozwartymi zaciskami wyjściowymi.

0

0

Dołączyć do układu (rys. 5) rezystor R p o rezystancji wybranej z przedziału (100 ÷ 1000) Ω i 1

zmierzyć napięcie na tym rezystorze

jϕ R

U = U e

(zaleca się dobierać R

U ≈ U ).

R

R

p tak, aby

R

0

2

n:1

K

R

1

g1

a

b

E 1

A

B

R

G

ϕ

p

V

E 2

a

b

R g2

K2

Panel

Rys. 5

Obliczyć w trakcie ćwiczenia impedancję zastępczą układu ze wzoru

 U



0

Z = 

−1 R .

Z

p

 U



R

2.2. Powtórzyć pomiary i obliczenia z p. 2.1 dla włączonego źródła E 2 oraz E 1 i E 2.

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 4 z 7

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2.3. Odłączyć generator i inne przyrządy pomiarowe, a obydwa rezystory R g1 i R g2 dołączyć do masy. Zmierzyć impedancję Zz dwójnika za pomocą miernika impedancji dla wybranej w ćwiczeniu częstotliwości. Porównać rezultat z wynikami uzyskanymi w p. 2.1 i 2.2.

2.4. Zbudować, wykorzystując odpowiedni panel na stanowisku, układ jak na rys.6, przy 1

czym Z = R + jX = R + jω L , jak w punkcie 2.3, natomiast impedancję Z = R − j Z

Z

Z

Z

Z

ω C

ustaloną w p.1.1. Wartość skuteczną napięcia E z uczynić równą wartości skutecznej napięcia U o zmierzonej w punkcie 2.1, a następnie zmierzyć napięcie

j

U

Ue ϕ

=

mierząc fazę ϕ względem

napięcia Ez.

R z

L z

C

E z

Z z

U

R

Z

Rys. 6

Porównać zmierzone napięcie U z napięciem U 1 zmierzonym w punkcie 1.1 pamiętając, że przy porównaniu argumentów należy uwzględnić fazę początkową napięcia U 0 zmierzonego w punkcie 2.1.

3. Dopasowanie na maksimum mocy czynnej

3.1. Zmierzyć ponownie napięcia wyjściowe bez obciążenia w przypadku, kiedy działają odpowiednio źródła E , E , E i E .

1

2

1

2

Wyznaczyć elementy dwójnika RoCo, które zapewnią dopasowanie na maksimum mocy 1

czynnej

*

Z = Z = R − j

. Dołączyć do panelu dwójnik RC (rys.7) o rezystancji R = R .

0

T

0

ω C

0

0

n:1

K

R

1

g1

2

U R

a

P =

b

E

C

R

1

G

R

V

E 2

U R

a

b

R g2

K2

Panel

Rys. 7

Zmieniając pojemność C dołączonego dwójnika w szerokim zakresie (np. w sekwencji C = 10µ F (pierwsza wartość) oraz następne wartości zgodnie ze wzorem: C = 10 C

k ,

p

k = 1, 2, 4, 6,8,10,12,15, 20, 25,30,35, 40 , gdzie C jest zaokrągloną do 100 nF wartością C ), P

0

mierzyć napięcie U R na rezystorze R, gdy włączone jest źródło E 1, a rezystor R g2 jest jednym zaciskiem dołączony do masy.

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 5 z 7

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Wyniki pomiaru przedstawić w formie wykresu G = f ( X

, gdzie X = −1 (ω C) .

C )

C

Z wykresu określić wartość pojemności C max, dla której skuteczne wzmocnienie mocy osiąga maksimum. Porównać wartości C max i C 0.

3.2. Obciążyć układ dwójnikiem jak w punkcie 3.1. Zmieniając rezystancję R tego dwójnika przy C = C 0, mierzyć napięcie U R na rezystorze oraz obliczyć skuteczne wzmocnienie mocy, gdy: a) jest włączone źródło E 1, a rezystor R g2 jest jednym zaciskiem dołączony do masy, b) jest włączone źródło E 2, a rezystor R g1 jest jednym zaciskiem dołączony do masy, c) są włączone obydwa źródła.

Wyniki pomiarów napięć zamieścić w tabeli.

E1

E2

E1 i E2

R[Ω] UR[mV] G[W/W] UR[mV] G[W/W] UR[mV] G[W/W]

0

0

0

0

0

0

0

R0

50

100

150

200

300

…

1000

1200

…

2200

2400

Sporządzić na jednym rysunku wykresy G = f ( R) dla trzech przypadków (a, b, c).

Z wykresów wyznaczyć maksymalne skuteczne wzmocnienie mocy oraz odpowiadające im rezystancje dopasowania R T.

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 6 z 7

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Pytania kontrolne

1.

Opisać sposoby wyznaczania układów zastępczych wynikających z tw. Thevenina

i Nortona.

2.

Podać i uzasadnić twierdzenie Thevenina (Nortona).

3.

Stosując metodę symboliczną zapisać wyrażenie:

π

π

f ( t) = 2 2 sin(100 t − ) − 2 cos(100 t + )

4

4

w postaci jednej funkcji trygonometrycznej.

4.

Omówić metodę analizy obwodów elektrycznych SLS, e, i z w stanie ustalonym przy działaniu pobudzeń sinusoidalnych o różnych pulsacjach.

5.

Na dwójniku o impedancji Z = (3 – j4) Ω występuje napięcie U = (4 – 5j) V. Obliczyć moce: czynną, bierną i pozorną, wydzielone w tym dwójniku. Wynik przedstawić graficznie.

6.

Podać definicje w metodzie symbolicznej następujących pojęć: impedancja, admitancja, reaktancja, susceptancja oraz immitancja.

U

U

 U



−

7.

Wyprowadzić zależność z pkt.2.1, tzn.

0

R

0

Z =

= 

−1 R .

Z

p

U R

 U



R

Rp

8.

Podać definicję wartości średniej i skutecznej sygnału okresowego. Ile wynosi wartość średnia i skuteczna sygnału okresowego, opisanego w okresie funkcją

 t,

0 ≤ t ≤ 1,

f ( t) = 

0,

1 < t ≤ 3.

9.

Zdefiniować moc dysponowaną źródła rzeczywistego. Podać twierdzenie o dopasowaniu obciążenia na maksymalną moc czynną.

10. Podać warunki stosowalności zasady superpozycji.

Literatura

[1] J. Osiowski, J. Szabatin, Podstawy teorii obwodów, tom II, Podręczniki akademickie, NT, Warszawa 1995,

[2] W. Wolski, Teoretyczne podstawy techniki analogowej, PWr., Wrocław 2007

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 7 z 7