Budownictwo
Lista nr 9– matematyka
Zadanie 1. Obliczy (A+B)T, AT+BT,8A-12B, je eli 1
1
1
3
3
7
−
A = 2
4
8 ,
B = 2
4
8
1
−
0 1
0
1
2
1 − 2 0
Zadanie 2. Obliczy (2A-C)B oraz 2DTCT-DTE, gdy C =
, natomiast macierze A, B, D i E nale y 3
0 1
dobra dowolnie , lecz nadaj c im takie wymiary, aby podane działania były wykonalne.
Zadanie 3. Dane s macierze: 1 −1 0 2
2
−
0 1 3
1 3 0
A = 5
3 2 0 , B =
0 2 1 0 , C =
1
−
2 3 .
−1 0 1 0
2 3 1 3
5 4 1
Wykona działania lub uzasadni , e nie jest ono wykonalne: a) A+BT ,
b) 3A-2B,
c) ATC2,
d) BTCT,
e) CA.
Zadanie 4. Uzupełni puste “okienka” warto ciami elementów macierzy tak, aby prawdziwe były nast puj ce równo ci:
1
1
0 −1
1 4 0
3 2
3 2
7
a)
• 1
−
1 3 =
, b)
•
=
.
3 1
5 7
−1
7
−
14
1 0 2
3
1 0
Zadanie 5. Dana jest macierz: A = −1
0 2 . Obliczy ATA i AAT. Sprawdzi , czy otrzymane macierze s 1
1
−
1
symetryczne.
Zadanie 6. Dane s macierze: 1
2
0
1 − 4
2
6
1 −1
3 7 − 2
A =
, B =
, C =
, D = −1 5 −1 , E = 0 1
− 4 0
3 − 2
0 1 2
3
0
1
1 2
0
3
0 5
3
3 3 − 3
1 5 2 0
2 − 2 0 4
− 2 1 2
5
F =
, G =
, H = − 2 0 2 0
3
1
0 6
2
1 4
1
2 3 0 5
0 − 2 5 0
0
2 0 − 2
Obliczy :
1
A + ;
B A − ;
B 2 ;
A −
;
A A − C; AT ; CT ; D + DT ; 3 A + ; B AC; DE; CE + 5 ; A ( DT ) H; HF;
4
ET − 3 C; ( FG)( F − G); AET ; ET ; A Ad ; Dd ; Gd ; ( A A) 1
1
=
− +
;
1
−
D ; ( CE) 1−
1
; −
F .
Zadanie 7. Obliczy wyznaczniki z macierzy: 5 6 0 0 0 1 3 2 1 4
2 3 − 3
4
1 −1 0
0
3 1 2
1 5 6 0 0
2
1
5
1
2
2 1 −1
2
0 1
0
−1
a) −1 5 1 ; b)
; c) 0 1 5 6 0 ; d) 3
4 1
0
1 e)
6 2
1
0
0
0
−1 1
6 1 2
0 0 0 1 5
2
1
1
5
2
2 3
0
− 5
0 1
1
1
6 0 0 1 5
3 −1 1 −1 1
Zadanie 8. Sprawdzi , czy nast puj ce macierze s osobliwe:
1 2 3 4 5 6
1 −1 2
3
0 1 2 3 4 5
3 1 2
1
− 2 3
−1 2
−1 2
0
5
7
9
0 0 1 2 3 4
;
; −1 5 1 ; 2
0
1 ;
;
.
3
5
− 2 4
2 − 3 4
7
0 0 0 1 2 3
6
2 4
−1 1
2
3
1 13 19
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 1
Zadanie 9. Sprawdzi to samo ci: cosϕ
sinϕ
0
sinψ cosϕ
sinψ sinϕ
cosψ
a) − r sinϕ r cosϕ 0 = r; b) r cosψ cosϕ
r cosψ sinϕ − r sin 2
ψ = r sinψ;
0
0
1
− r sinψ sinϕ r sinψ cosϕ
0
Zadanie 10. Znale macierz X, gdy 1
1 −
1 0
3 −2
1 0
a)
2 • X =
b) X •
=
.
0 1
0
1
0 1
2
3
Zadanie 11. Wyznaczy macierze odwrotne do danych: 1 1
1
1
1
2
2
1 2
a b
cosα − sinα
1 1
−1 −1
a)
; b)
( ad − bc ≠ 0); c)
; d) 2
1
− 2 ; e)
;
3 4
c d
sinα
cosα
1 −1 1
−1
2 − 2
1
1 −1 −1 1
1 2
3
1
1 4 − 3 0
1 2 0
2 5
5
2
0 1
2
5
f) 1 3 1 ; g)
; h)
.
0 0
1
− 2
0 0
1
−1
0 2 3
0 0 −1
1
0 0
0
1
Zadanie 12 Rozwi za równanie macierzowe: 1 2 3
1 4 6
4
2
− 2 0
1
3
5 6
a)
X = 4 X +
; b) X 0 2 3 = 0 2 6 ; c) 3 X +
=
X .
−1 4
0
−1
− 2 1
7 8
0 0 3
0 0 3
Zadanie 13. Znale rz d ka dej z nast puj cych macierzy 3 −1
2
1
2
4
1
1
−
0
1
0
1
1
−
1
4
5
2
1
1
−
0 2
1 0 2
1
−
0
1
1
1
−1 2
− 2
A =
, B = 1
0
, C = −1
2
−
0 1 1 , D =
. E=
0 3 1
3
0
1
1
1
−
2
2
7
0
3
−
1
−
2 4
5
1
1
1
−
0
0
2
4
2 −1
8
−1 − 4
4
Zadanie 14. Dla jakich warto ci x rz d macierzy 2 1 1 2
1 1 x
3 x 2 1
a)
2 3 2
jest równy 3, b) jest mniejszy od 4.
2 1 1 1
3 4 2
5 2 3 2