MMF 1  Egzamin pisemny FM + FT  22.02.2010
1. (6 pkt) Znajdz
wszystkie pierwiastki równania
" "
1 10
- 3 + i z3 - " 1 - i 3 = 0
64 2
Każdy z perwiastków przedstaw" postaci wykladniczej. Nastepnie korzystajac
w
Ä… Ä…
" " "
Ä„ 1 Ä„ 1
z informacji, że sin = ( 6 - 2), cos = ( 6 + 2) oraz z podstawowych
12 4 12 4
wlasności funkcji trygonometrycznych zapisz każdy z pierwiastków w postaci
algebraicznej.
2. (6 pkt) Znajdz
macierz odwrotna do macierzy:
Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 i
ïÅ‚ śł
A = 1 2 1 ûÅ‚
ðÅ‚
-i 1 1
a) korzystajac z metody dopelnień algebraicznych,
Ä…
b) korzystajac z metody Gaussa.
Ä…
c) Widać, że kolumny macierzy A = {v1, v2, v3} można wybrać jako baze w
Ä…
przestrzeni C3. Zortonormalizuj te baze tak aby jeden z wektorów nowej
Ä… Ä…
bazy byl równolegly do wektora v1.
3. (6 pkt) Podaj liczbe rozwiazań ukladu równań w zależności od wartości rzeczy-
Ä… Ä…
wistego parametru a:
x + 2y - 3z = a
3x - y + 5z = 2
ax + y + (a2 - 14)z = a + 2
W przypadkach kiedy rozwiazania istnieja znajdz
je.
Ä… Ä…
4. (7 pkt) Prosze znalez
ć wartości wlasne i wektory wlasne macierzy
Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
2 -1 1 2
ïÅ‚ śł
-1 2 -1 1
ïÅ‚ śł
B = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1 2 -1
2 1 -1 2
Nastepnie prosze wybrać cztery ortonormalne wektory wlasne oraz zbudować z
Ä… Ä…
nich ortogonalna macierz O diagonalizujaca macierz B poprzez transformacje
Ä… Ä… Ä… Ä…
podobieÅ„stwa OT BO = › i podaj macierz ›.