MMF 1  Egzamin pisemny FM + FT  28.02.2010
1. (6 pkt) Znajdz
wszystkie pierwiastki równania
"
3/4 1
2 + i 12 - (1 - i)z3 = 0
4
Każdy z pierwiastków przedstaw w postaci wykladniczej i algebraicznej.
2. (6 pkt) Wyznacz rzad macierzy
Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
a 1 -1 a
ïÅ‚ śł
1 a 1 -a
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -1 -a a -1
ûÅ‚
-a -1 -a 1
w zależności od wartości rzeczywistego parametru a.
3. (6 pkt) Znajdz
wszystkie rozwiazania ukladu równań lub wykaż, że uklad jest
Ä…
sprzeczny:
x1 + 2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 0
2x1 - x2 - 3x3 + 2x4 + 5x5 = 3
-x1 + x2 + 2x3 - x4 + x5 = 5
3x1 + 3x2 + x3 - 2x4 + x5 = 0
4. (7 pkt) Prosze znalez
ć wartości wlasne i wektory wlasne macierzy
Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
2 i 1
ïÅ‚ śł
B = -i 2 -i ûÅ‚
ðÅ‚
1 i 2
Nastepnie prosze wybrać trzy ortonormalne wektory wlasne oraz zbudować z
Ä… Ä…
nich unitarna macierz U diagonalizujaca macierz B poprzez transformacje po-
Ä… Ä… Ä… Ä…
dobieÅ„stwa U BU = › i zapisać macierz ›.