MMF 1  Egzamin pisemny FM + FT  5.02.2010
1. (5 pkt) Znajdz
wszystkie pierwiastki równania
z6 + (1 + i)z3 + i = 0
Każdy z pierwiastków przedstaw w każdej z trzech postaci liczby zespolonej:
algebraicznej, trygonometrycznej i wykladniczej. Nastepnie wykorzystujac naj-
Ä… Ä…
6 6
dogodniejsza postać oblicz zk oraz zk gdzie zk to znalezione wcześniej
Ä…
k=1 k=1
pierwiastki. Ostatnie dwa wyniki przedstaw w postaci algebraicznej.
2. (5 pkt) Dana jest macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
2i i 1 - i
ïÅ‚ śł
A = i -i 0 ûÅ‚
ðÅ‚
3 0 1 + i
a) Oblicz wyznacznik det A,
b) Znajdz
macierz odwrotna A-1 korzystajac z metody wyznacznikowej.
Ä… Ä…
c) Znajdz
macierz odwrotna A-1 korzystajac z metody Gaussa.
Ä… Ä…
Wszystkie zespolone elementy macierzy A-1 prosze przedstawić w postaci alge-
Ä…
braicznej.
3. (7 pkt) Podaj liczbe rozwiazań ukladu równań w zależności od wartości rzeczy-
Ä… Ä…
wistego parametru a. W przypadkach kiedy istnieja rozwiazania znajdz
je.
Ä… Ä…
(a - 2)x + 2ay + 2(a - 1)z = a
2ax + ay + z = a
-x + 2ay + (a - 1)z = a
4. (8 pkt) Prosze znalez
ć wartości wlasne i wektory wlasne macierzy
Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
1 i 1 -i
ïÅ‚ śł
-i 1 i 1
ïÅ‚ śł
B = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 -i 1 i
i 1 -i 1
Nastepnie prosze wybrać cztery ortonormalne wektory wlasne (jeśli trzeba to za-
Ä… Ä…
stosuj do wybranych wektorów metode ortonormalizacji Grama-Schmidta) oraz
Ä…
zbudować z nich unitarna macierz U diagonalizujaca macierz B poprzez trans-
Ä… Ä… Ä…
formacje podobieÅ„stwa U BU = › i podaj macierz ›.
Ä…