MMF 1  Egzamin pisemny FM + FT  5.02.2010
1. (5 pkt) Znajdz
wszystkie pierwiastki równania
z6 + (1 + i)z3 + i = 0
Każdy z pierwiastków przedstaw w każdej z trzech postaci liczby zespolonej:
algebraicznej, trygonometrycznej i wykladniczej. Nastepnie wykorzystujac naj-
ą ą
6 6
dogodniejsza postać oblicz zk oraz zk gdzie zk to znalezione wcześniej
ą
k=1 k=1
pierwiastki. Ostatnie dwa wyniki przedstaw w postaci algebraicznej.
2. (5 pkt) Dana jest macierz
�ł łł
2i i 1 - i
�ł śł
A = i -i 0 �ł
�ł
3 0 1 + i
a) Oblicz wyznacznik det A,
b) Znajdz
macierz odwrotna A-1 korzystajac z metody wyznacznikowej.
ą ą
c) Znajdz
macierz odwrotna A-1 korzystajac z metody Gaussa.
ą ą
Wszystkie zespolone elementy macierzy A-1 prosze przedstawić w postaci alge-
ą
braicznej.
3. (7 pkt) Podaj liczbe rozwiazań ukladu równań w zależności od wartości rzeczy-
ą ą
wistego parametru a. W przypadkach kiedy istnieja rozwiazania znajdz
je.
ą ą
(a - 2)x + 2ay + 2(a - 1)z = a
2ax + ay + z = a
-x + 2ay + (a - 1)z = a
4. (8 pkt) Prosze znalez
ć wartości wlasne i wektory wlasne macierzy
ą
�ł łł
1 i 1 -i
�ł śł
-i 1 i 1
�ł śł
B = �ł śł
�ł �ł
1 -i 1 i
i 1 -i 1
Nastepnie prosze wybrać cztery ortonormalne wektory wlasne (jeśli trzeba to za-
ą ą
stosuj do wybranych wektorów metode ortonormalizacji Grama-Schmidta) oraz
ą
zbudować z nich unitarna macierz U diagonalizujaca macierz B poprzez trans-
ą ą ą
formacje podobieństwa U BU = � i podaj macierz �.
ą