Wykład XII
Temat: Funkcje wielu zmiennych
Funkcją wielu zmiennych nazywamy funkcję zależną od
więcej niż jednej zmiennej. Funkcję taką zapisujemy:
z = f (x1,x2 ,L,xn)
Rn = R× R×L× R
DziedzinÄ… funkcji z jest obszar w przestrzeni
14243
n
Wśród funkcji wielu zmiennych na szczególną uwagę
zasługują funkcje dwóch zmiennych:
2
z = f (x, y) , Df ‚" R
2
z =3x3 +3x2y- y3 -15x+5
z = 2xe-(x-2) -(y-3)2
Rys. 4. Przykładowe wykresy funkcji dwóch zmiennych z = f(x,y)
2
Pochodne czÄ…stkowe funkcji: z=f(x,y)
"z f (x + "x, y)- f (x, y)
2 2
= zx = fx(x, y)= lim
"x0
"x "x
"z f (x, y + "y)- f (x, y)
2 2
= zy = fy(x, y)= lim
"y0
"y "y
Uwaga: Wzory i własności pochodnej funkcji jednej
zmiennej przenoszÄ… siÄ™ na pochodne czÄ…stkowe funkcji
dwóch zmiennych.
LiczÄ…c pochodnÄ… funkcji po jednej zmiennej ustalamy
drugą zmienną (traktujemy ją jak stałą).
3
Przykłady:
Obliczyć pierwsze pochodne funkcji:
= - - +
z 5x2 y2 4x2 y 3xy2 5
( )
*
2 = - -
zx 10xy2 8xy 3y2
2 = - -
zy 10x2y 4x2 6xy
= +
( )
** z sin x2 y2
( )
pochodne
2 = + Å"
zx cos x2 y2 2x
( )
funkcji
2 = + Å"
zy cos x2 y2 2y
( ) wewnętrznej
4
Różniczki cząstkowe:
Ustalając wartości zmiennej y, funkcja z=f(x,y) jest funkcją
zależną od x. Możemy dla niej zdefiniować różniczkę jako:
"z
dx="x
2
dzx = dx.
"x
Analogicznie, ustalając x definiujemy różniczkę zmiennej y
"z
2
dzy = dy.
"y
Różniczka zupełna:
"z "z
2 2
dz = dx + dy = zx Å" dx + zy Å"dy
"x "y
5
Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej określamy przyrost
funkcji dwóch zmiennych:
"z = f (x + "x, y + "y)- f (x, y)
Można udowodnić, że
"z "z
"z E" dx + dy
"x "y
Uwaga. Różniczkę zupełną funkcji wielu zmiennych
wykorzystuje się między innymi do obliczania błędów
pomiaru dowolnych funkcji.
6
Przykład
Wysokość stożka wynosi h=30 cm a promień podstawy
r=10 cm. O ile zmieni się objętość stożka, jeżeli wysokość
stożka zwiększymy o 3 mm zaś promień podstawy
zmniejszymy o 1 mm ?
1 1
V = Ä„r2 Å" h = Ä„ Å"100Å"30 = 1000Ä„
3 3
2 1
"V = Vr2 Å" "r + Vh2 Å" "h = Ä„rh Å" "r + Ä„r2"h
3 3
2 1
= Ä„ Å"10Å"30Å" - 0,1 + Ä„ Å"100Å"0,3 =
( )
3 3
= - 10Ä„
Odp. Objętość stożka zmniejszy się o
10 Ä„ i wyniesie 990 Ä„ (1000Ä„-10Ä„)
7
Temat:
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Uwagi wstępne:
Pochodnymi drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych
z=f(x,y) nazywamy pochodne obliczane z pierwszych
pochodnych cząstkowych. Można obliczać następujące
pochodne drugiego rzędu:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )2
zxx = (zx )2 , zyy = zy , zxy = zyx = (zx )2
y y y
pochodne mieszane
Jeżeli dana jest funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), która
P(x0 , y0 )
posiada w pewnym otoczeniu punktu ciągłe pierwsze
i drugie pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y oraz
jeżeli spełnione są następujące warunki:
2
zx(x0,y0)=0
Å„Å‚
(1)
òÅ‚z2
(x0,y0)=0
y
ół
2 2 2 2
zxx zxy
2
2 2 2 2 2 2
(2) W(x0,y0)= )
2 2 2 2
zyx zyy =zxxÅ"zyy-(zxy >0
P(x0 , y0 )
wówczas funkcja z=f(x,y) posiada w punkcie
ekstremum.
Ponadto, jeżeli
z2 2 P > 0 Ô! funkcja posiada minimum w punkcie P x0,y0
( ) ( )
xx
z2 2 P < 0 Ô! funkcja posiada maksimum w punkcie P x0,y0
( ) ( )
xx
Uwagi:
" Jeżeli warunek (1) jest spełniony natomiast wyznacznik z
drugich pochodnych czÄ…stkowych funkcji z=f(x,y) w
warunku (2) jest ujemny, wówczas funkcja nie posiada
P(x0, y0)
ekstremum w punkcie .
" Jeżeli warunek (1) jest spełniony natomiast wyznacznik z
drugich pochodnych czÄ…stkowych funkcji z=f(x,y) w
warunku (2) jest równy zeru, wówczas nie możemy
stwierdzić za pomocą tej metody czy funkcja posiada w
P(x0, y0)
punkcie ekstremum czy też nie.
10
Przykład: Wyznaczyć ekstrema funkcji
z = 3x3 + 3x2y - y3 - 15x + 5
Po pierwsze, obliczamy pochodne czÄ…stkowe funkcji po
zmiennej x i po zmiennej y.
z2 = 9x2 + 6xy -15
x
z2 = 3x2 - 3y2
y
Następnie, przyrównujemy pierwsze pochodne cząstkowe do
zera, rozwiązujemy układ równań i otrzymujemy punkty
podejrzane o ekstremum.
Å„Å‚
9x2 + 6xy - 15 = 0 :3
òÅ‚
3x2 - 3y2 = 0 :3
ół
11
Å„Å‚
3x2 + 2xy - 5 = 0
òÅ‚
x2 - y2 = 0
ół
Å„Å‚
3x2 + 2xy - 5 = 0
òÅ‚
x - y x + y = 0 Ô! y = x (" y = -x
( )( )
ół
Wstawiamy rozwiązania do pierwszego równania
y = x
y = -x
3x2 + 2x2 - 5 = 0
3x2 - 2x2 - 5 = 0
5x2 = 5
x2 = 5 Ò! x = 5 (" x = - 5
x2 = 1 Ò! x = 1(" x = -1
P3 5,- 5 , P4 - 5, 5
( ) ( )
P1 1,1 , P2 - 1,-1
( ) ( )
12
Liczymy teraz wszystkie drugie pochodne czÄ…stkowe:
z2 = 9x2 + 6xy -15
x
z2 = 3x2 - 3y2
y
2 2
zxx =18x+6y
2
(2)
2 2
zxy = 6x W(x,y)=(18x+6y)Å"(-6y)-(6x)
2 2
zyy = -6y
18x + 6y, 6x
W(x, y)=
6x, - 6y
Badamy znak wyznacznika we wszystkich punktach oraz
znak drugiej pochodnej po zmiennej x.
13
W(1, = 24 Å"(- 6)- 62 = -144 - 36 < 0 Ô! brak ekstremum
1)
2
W(-1,-1) = (- 24)Å" 6 - (- 6) = -144 - 36 < 0 Ô! brak ekstremum
2
istnieje
W( 5,- 5)= 12 5 Å" 6 5 -(6 5) = 12 Å" 6 Å" 5 - 36 Å" 5 > 0 Ô!
ekstremum
istnieje
2 2
jakie? zxx ( 5,- 5)= 12 5 > 0 Ô!
minimum
2
istnieje
W(- 5, 5)= -12 5 Å"(- 6 5)-(- 6 5) =12Å"6Å"5-36Å"5 > 0 Ô!
ekstremum
istnieje
2 2
jakie? zxx (- 5, 5)= -12 5 < 0 Ô!
maksimum
14
Zadania na ćwiczenia
1. Obliczyć pierwsze pochodne funkcji:
z = f (x, y)= (3x2 - 3xy + 2y2)ex-2 y
z = f (x, y)= (2x + y)sin(x2 + 2xy + y2)
x3 -12xy
z = f (x, y)=
4y2 - 48x + 5
2. Obliczyć różniczkę zupełną funkcji:
.
z = f (x, y)= xey
z = ln(x2 + y2)
3. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia:
2,982 - 2,012
1,992
3,02
15
3. Obliczyć pierwsze i drugie pochodne funkcji:
z = f (x, y)= x4 - 5x3y4 + y2 + 3xy + 6y + 4
4. Wyznaczyć ekstrema funkcji:
z = f (x,y) = x2 - 6xy + y3 + 3x + 6y - 2
z = f (x, y) = x3 -12xy + 4y2 - 48x + 5
z = f (x, y) = 3x2 - 3xy + 2y2 - x - 2y + 3
z = f (x, y)= -x2 - 4y2 + 2xy + 2x - 2y + 3
16