Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
Układy z dyskretnym czasem (03)
SÅ‚awomir Kulesza
Wykład dla studentów
III r. spec. Inżynieria systemów informatycznych
I r. spec. Techniki multimedialne
Rok akademicki 2013/2014
Układy z dyskretnym czasem
(filtry cyfrowe)
Pobudzenie Odpowiedz

y[n]=x[n]"h[n]
Y ( z)= X (z)Å"H ( z)
Układy z dyskretnym czasem

Akumulator:
n
y [n]= x[k ]= y[n-1]+ x[n]
"
k=-"
n
y [n]= y[-1]+ x[k ]
"
k=0
Warunek poczÄ…tkowy
Układy z dyskretnym czasem

Filtr uśredniający (moving-average filter):
M -1
1
y [n]= x[n-k ]
"
M
k=0

Odchylenie standardowe uśrednienia:
M -1
1
Ã[n]= x[k ]- y[n]
( )
"
M
"
k=0
Filtr uśredniający (5-punktowy)
Układy z dyskretnym czasem

Interpolator liniowy:
1
y [n]=xu[n]+ xu[n-1]+ xu[n+1]
( )
2

xu[n]  sygnał nadpróbkowany, nowe próbki
równe 0

xu[n-1], xu[n+1]  próbki oryginalnego sygnału
Układy z dyskretnym czasem

Filtr medianowy:
y [n]=med x [n-K ] ,... x[n+K ]
( )

Filtr medianowy dobrze usuwa impulsy
zakłócające, nie zniekształcając jednocześnie
naturalnych nieciągłości sygnału
Filtr medianowy
Oryginalny sygnał
Oryginalny sygnał Filtr uśredniający Filtr medianowy
Klasyfikacja układów z nieciągłym
czasem

Układy liniowe (linear systems): odpowiedz

układu na kombinację pobudzeń jest
kombinacją odpowiedzi na każde z pobudzeń
z osobna:
x [n]=Ä… x1[n]+² x2[n]
y [n]=Ä… y1[n]+² y2[n]
Układy liniowe

Akumulator:
n
y[n]= x [n]
"
k =-"
n
y[n]= Ä… x1[n]+² x2[n] =...
" ( )
k=-"
n n
...Ä… x1[n]+² x2[n]=Ä… y1[n]+² y2[n]
" "
k=-" k=-"
Układy nieliniowe

Układ potęgujący:
y[n]=x2[n]
2
y[n]= Ä… x1[n]+² x2[n] =...
( )
2 2
... Ä… x1[n] +2 Ä…² x1[n] x2[n]+ ² x2[n] =...
( ) ( )
...= y1[n]+2 y1[n] y2[n]+ y2[n]
"
Klasyfikacja układów z nieciągłym
czasem

Układy niezmiennicze w czasie (time-
invariant systems): na przesunięte w czasie
pobudzenie układ odpowiada tak samo
przesuniętą odpowiedzią:
y [n]=h( x[n])Ò! y[n-k ]=h( x[n-k ])
Układ niezmienniczy w czasie

Układ różniczkujący
y[n]=x[n]-x[n-1]
y ' [n]=x[n-k ]-x[n-k-1]= y[n-k ]
Układ zmienniczy w czasie:

Układ zawijający:
y[n]=x[-n]
y ' [n]=x[-(n-k )]=x[-n+k ]
y [n-k ]=x [-n-k ]`" y ' [n]
Klasyfikacja układów z nieciągłym
czasem

Układy przyczynowe (causal systems):
odpowiedz
układu zależy tylko od pobudzenia
bieżącego oraz przeszłych:
y [n]=h( x[n] , x[n-1] , x[n-2] ,...)
Klasyfikacja układów z nieciągłym
czasem

Układy stabilne (stable systems):
ograniczone w sensie amplitudy pobudzenie
generuje ograniczonÄ… odpowiedz
(BIBO 
Bounded Input  Bounded Output):
#"x[n]#"Klasyfikacja układów z nieciągłym
czasem

Układy pasywne (passive systems):
odpowiedz
na pobudzenie będące
skończonym sygnałem energii jest sygnałem o
co najwyżej takiej samej energii:
" "
#"y[n]#"2d" #"x [n]#"2<"
" "
k=-" k=-"

Układ bezstratny (lossless system):
zachowuje energię sygnału:
" "
#"y[n]#"2= #"x [n]#"2<"
" "
k=-" k =-"
Odpowiedz
impulsowa układu

Odpowiedz
impulsowa (impulse response)
jest odpowiedzią układu na pobudzenie
impulsem jednostkowym:
y [n]= f ( x[n])
h[n]= f (´[n])
Wyznaczanie odpowiedzi
impulsowej

Odpowiedz
układu różniczkującego:
y [n]=x[n]-x[n-1]= f ( x[n], x[n-1])
h[n]=´[n]-´[n-1]={...0,1 ,-1,0,...}
Ä™!

Odpowiedz
układu uśredniającego:
y[n]=1 x[n]+ x[n-1]+ x[n-2]
( )
3
1 1 1
h[n]=1 ´[n]+´[n-1]+´[n-2] ={...0, , 0,...}
( )
3 3 3, 3,
Ä™!
Odpowiedz
skokowa układu

Odpowiedz
skokowa (step response) jest
odpowiedzią układu na pobudzenie skokiem
jednostkowym:
y [n]= f ( x[n])
s[n]= f (ź [n])
Opis układów LTI
w dziedzinie czasu

Układy LTI (Linear, Time-Invariant): układy
jednocześnie spełniające warunki liniowości
oraz niezmienniczości w czasie odpowiedzi

Układy LTI można budować z bloków (układów
elementarnych), łącząc je w większe całości

Układy LTI stanowią olbrzymią i ciągle
rozbudowywaną grupę filtrów cyfrowych
Odpowiedz
układu LTI

Odpowiedz
układu LTI na dowolne pobudzenie
jest w pełni zdeterminowana znajomością jego
odpowiedzi impulsowej h[n] lub skokowej s[n]:
y [n]= f ( x[n]) ,h[n]= f (´[n])
"
x[n]= xk ´[n-k ]
"
k =-"
" "
L
y [n]= f xk ´[n-k ] = xk f ´[n-k ] =...
( )
" "
( )
k =-" k=-"
"
TI
...= xk h[n-k ]
"
k=-"
Splot sygnałów (convolution sum)

Odpowiedz
układu LTI jest splotem
pobudzenia i jego odpowiedzi impulsowej:
"
y[n]= xk h[n-k ]=x[n]"h[n]
"
k=-"
Obliczanie splotu

Metoda słupkowa:
Własności splotu

Przemienność (commutative):
x [n]"h[n]=h[n]"x[n]
Własności splotu

A
aczność (associative):
x1[n]"x2[n] "x3[n]=x1[n]" x2[n]"x3[n]
( ) ( )
Własności splotu

Rozdzielność (distributive):
x1[n]+ x2[n] "x3[n]=x1[n]"x2[n]+ x2[n]"x3[n]
( )
Stabilność układów LTI

Układ LTI jest stabilny w sensie BIBO:
"
Sh= #"h[n]#"<"
"
k=-"

Warunek ten jest spełniony, gdy odpowiedz

impulsowa zanika z czasem do zera:
lim h[n]=0
n"
Stabilność układów LTI

Każde skończone w czasie pobudzenie
stabilnego układu LTI generuje niestacjonarną
(zanikajÄ…cÄ… w czasie) odpowiedz
:
Stabilność układów LTI

Odpowiedz
impulsowa układu dana jest
wzorem:
h[n]=anÅ"u[n]
" " "
#"h[n]#"= #"ak#"= #"a#"k=1+#"a#"+#"a#"2+...
" " "
k=-" k =0 k=0
"
1
#"a#"k= Ô!#"Ä…#"<1
"
1-#"a#"
k=0
Przyczynowość układów LTI

Układ LTI jest przyczynowy, gdy jego
odpowiedz
impulsowa jest równa zero dla
ujemnych indeksów czasowych:
h[n]=0Ô! n<0
Połączenia bloków układów

Połączenie szeregowe (cascade):
h[n]=h1[n]"h2[n]
x[n] y[n]
h *h
1 2
x[n] h h y[n]
1 2
y[n]
x[n] h h
2 1
Układy odwrotne

Jeśli odpowiedz
impulsowa układów jest
impulsem jednostkowym:
h1[n]"h2[n]=´[n]

To układ 1 jest odwrotnością układu 2 i vice
versa. Można to wykorzystać np. do
odzyskiwania sygnału zakłóconego przez linię
przesyłową (jeśli znamy charakterystykę linii)
Połączenia bloków układów

Połączenie równoległe:
h[n]=h1[n]+h2[n]
h
1
x[n] y[n] x[n] h +h y[n]
+
1 2
h
2
Równania różnicowe

Ważną grupę układów LTI stanowią układy
opisywane równaniami różnicowymi o stałych
współczynnikach (Linear Constant Coefficient
Difference Equation  LCCDE) postaci:
N M
ak y[n-k ]= bk x [n-k ]
" "
k=0 k=0

Rząd równania jest określony przez liczbę
max(N,M)
Wyznaczanie odpowiedzi z LCCDE

Odpowiedz
układu opisywanego LCCDE może
być wyznaczona rekursywnie, dzięki temu, że:
M N
bk ak
y [n]= x[n-k ]- y[n-k ] , a0`"0
" "
a0 a0
k=0 k=1

Do wyznaczenia odpowiedzi w chwili n>n0
wymaga jest znajomość x[n] oraz warunków
poczÄ…tkowych: y[n0-1], & , y[n0-N]
RozwiÄ…zanie LCCDE

Całkowita odpowiedz
układu y[n] może być
wyznaczona przez niezależne obliczenie
dwóch podrozwiązań:
y [n]= yc[n]+ y [n]
p

yc[n]  rozwiązanie jednorodne (ogólne)

yp[n]  rozwiązanie szczególne
RozwiÄ…zanie jednorodne

RozwiÄ…zanie jednorodne jest rozwiÄ…zaniem
LCDDE dla zerowego pobudzenia:
N
ak y[n-k ]=0
"
k=0

Zakłada się, że rozwiązanie jednorodne jest
wielomianem:
yc[n]=n
RozwiÄ…zanie jednorodne

PodstawiajÄ…c:
N N
ak y[n-k ]= ak n-k=...
" "
k=0 k=0
n-N a0 N +a1 N -1+...+aN -1+aN =0
( )

Wielomian charakterystyczny:
a0 N +a1 N -1+...+aN -1 +aN
Pierwiastki pojedyncze wielomianu
charakterystycznego

Zakładając, że wszystkie pierwiastki
wielomianu charakterystycznego sÄ…
pojedyncze, rozwiÄ…zanie jednorodne ma
postać:
n
yc[n]=Ä…1 1+Ä…2 n+...+Ä…N n
2 N

1, 2,..., N - pierwiastki wielomianu
charakterystycznego
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
charakterystycznego

Zakładając, że istnieją pierwiastki wielokrotne
wielomianu charakterystycznego, rozwiÄ…zanie
jednorodne ma postać:
n n
yc[n]=Ä…1 1+Ä…2 n 1+Ä…L nL-1n+Ä…L+1 n+...+Ä…N n
1 2 N -L

1  pierwiastek L-krotny wielomianu
charakterystycznego
Rozwiązanie szczególne LCCDE

Zakładamy, że rozwiązanie szczególne wynika
z postaci pobudzenia: jeśli x[n] jest stałe, yp[n]
jest stałe, x[n]  sinusoidalne, yp[n] 
sinusoidalne itd.
Przykład 1

Układ LTI opisywany jest równaniem:
y [n]+ y[n-1]-6y [n-2]=x[n]

Warunki poczÄ…tkowe:
y[-1]=1
y [-2]=-1
x [n]=8ź[n]
RozwiÄ…zania

RozwiÄ…zanie jednorodne:
yc[n]=c1(-3)n+c2(2)n

Rozwiązanie szczególne:
y [n]=-2
p

Po uwzględnieniu warunków początkowych
rozwiązanie końcowe przyjmuje postać:
y [n]=-1.8(-3)n+4.8(2)n-2
Przykład 2

Układ LTI opisywany jest równaniem:
y [n]+ y[n-1]-6y [n-2]=x[n]

Warunki poczÄ…tkowe:
y[-1]=1
y[-2]=-1
x [n]=2nź[n]
RozwiÄ…zania

RozwiÄ…zanie jednorodne:
yc[n]=c1(-3)n+c2(2)n

Rozwiązanie szczególne:
y [n]=0.4Å"nÅ"2n
p

Po uwzględnieniu warunków początkowych
rozwiązanie końcowe przyjmuje postać:
y [n]=-5.04(-3)n-0.96(2)n+0.4 n 2n
Odpowiedz
niewymuszona
i odpowiedz
zerowa

Innym sposobem obliczenia odpowiedzi
układu LTI jest wyznaczenie jego odpowiedzi
swobodnej yzi (zero-input) oraz zerowej yzs
(zero-state)

Odpowiedz
całkowita układu jest sumą obu
odpowiedzi:
y [n]= yzi[n]+ yzs[n]
Odpowiedz
niewymuszona

Odpowiedz
niewymuszona jest odpowiedziÄ…
układu na zerowe pobudzenie:
yzi[n]Ô! x [n]=0
Odpowiedz
zerowa

Odpowiedz
zerowa jest odpowiedzią układu
na zadane pobudzenie, zakładając brak
historii działania (tj. wyzerowane wszystkie
warunki poczÄ…tkowe):
yzs[n]Ô! y [-1]= y[-2]=...=0
Przykład 3

Układ LTI opisywany jest równaniem:
y [n]+ y[n-1]-6y [n-2]=x[n]

Warunki poczÄ…tkowe:
y[-1]=1
y[-2]=-1
{
x[n]=8ź[n]
Odpowiedz
niewymuszona

Odpowiedz
niewymuszona ma ogólną postać
zgodnÄ… z rozwiÄ…zaniem jednorodnym:
yzi[n]=c1(-3)n+c2(2)n

Stałe c1 oraz c2 wyznaczamy uwzględniając
warunki poczÄ…tkowe:
yzi[0]=c1+c2=6y [-2]- y[-1]=-7
{
yzi[1]=-3c1+2 c2=6y [-1]- y[0]=13

Odpowiedz
niewymuszona:
yzi[n]=-5.4(-3)n-1.6(2)n
Odpowiedz
zerowa

Odpowiedz
zerowa jest odpowiedziÄ… na
zadane pobudzenie przy braku historii, więc:
yzs[n]=d1(-3)n+d (2)n-2
2

Stałe d1 oraz d2 wyznaczamy tak, aby
zapewnić zerowe warunki początkowe:
yzs[0]=x[0]=d1+d -2=8
2
{
yzs[1]=x[1]- y [0]=-3 d +2 d =0
1 2

Odpowiedz
zerowa:
yzs[n]=3.6(-3)n+6.4(2)n-2
Odpowiedz
układu

Odpowiedz
całkowita układu jest sumą
odpowiedzi niewymuszonej i zerowej:
y [n]=-1.8(-3)n+4.8(2)n-2
Wyznaczanie odpowiedzi
impulsowej

Odpowiedz
impulsowa h[n] układu jest
odpowiedziÄ… na pobudzenie impulsem
jednostkowym.

Oblicza siÄ™ jÄ… jako rozwiÄ…zanie jednorodne
przy pobudzeniu x[n] = ´[n], zakÅ‚adajÄ…c, że
warunki początkowe są równe zero.

Układ, którego historia wynosi zero nazywa się
układem zrelaksowanym.
Przykład 4

Układ LTI opisywany jest równaniem:
y [n]+ y[n-1]-6y [n-2]=x[n]

Odpowiedz
impulsowa h[n] wyznaczana jest
dla następujących warunków początkowych:
y[-1]=0
y[-2]=0
{
x[n]=´[n]
Wyznaczanie odpowiedzi
impulsowej

RozwiÄ…zanie jednorodne:
h[n]=c1(-3)n+c2(2)n

Stałe c1 oraz c2 wyznaczamy korzystając z
warunków początkowych:
h[0]=x[0]=c1+c2=1
{
h[1]=x [1]-h[0]=-3 d1+2 d =-1
2

Odpowiedz
impulsowa:
h[n]=0.6(-3)n+0.4(2)n
Stabilność układów LTI

Układ LTI opisany LCCDE jest stabilny w
sensie BIBO:
"
Sh= #"h[n]#"<"
"
k=-"

Oznacza to, że znając jego pierwiastki
charakterystyczne:
N
h[n]= ąk nź[n]
"
k
k=1
N N
" "
Sh= #"Ä…k n#"= #"Ä…k#" #"k#"n<"
" " " "
k
n=0 k=1 k=1 n=0
Stabilność układów LTI

Układ LTI jest stabilny tylko wtedy, gdy
wszystkie pierwiastki jego wielomianu
charakterystycznego są mniejsze niż 1 w
sensie wartości bezwzględnej
Podział układów LTI

Jeśli odpowiedz
impulsowa jest skończona w
sensie czasu trwania, układ nazywamy FIR 
Finite Impulse Response

Jeśli odpowiedz
impulsowa jest nieskończona
w sensie czasu trwania, układ nazywamy IIR 
Infinite Impulse Response
Podział układów LTI

Jeśli odpowiedz
układu zależy tylko od
bieżących i ew. przeszłych wartości
pobudzenia, układ nazywamy nierekursywnym
(nonrecursive, moving-average, MA)

Jeśli odpowiedz
układu zależy nie tylko od
pobudzenia, ale także od wcześniejszych
wartości odpowiedzi, układ nazywamy
rekursywnym (recursive, autoregressive,
AR)
Układy MA vs. AR

Układy MA opisywane są LCCDE postaci:
M
y [n]= bk x [n-k ]
"
k=0

Układy AR opisywane są LCCDE postaci:
N
y [n]=x[n]- ak y[n-k ]
"
k=1

Układy ARMA opisywane są LCCDE postaci:
M N
y [n]= bk x [n-k ]- ak y[n-k ]
" "
k=0 k=1
Korelacja wzajemna sygnałów

Korelacja wzajemna (cross-correlation): miara
podobieństwa pary sygnałów energii x[n] oraz
y[n]:
"
r [n]= x [n] y[n-k ]
"
xy
k=-"

Zamiana kolejności sygnałów oznacza, że:
r [n]=rxy [-n]
yx
Korelacja własna sygnałów

Korelacja własna (autocorrelation)
zdefiniowana jest jako:
"
r [n]= x[n] x[n-k ]
"
xx
k =-"

Korelacja własna jest funkcją parzystą:
r [n]=rxx[-n]
xx

Zauważmy także, że:
"
r [0]= x2[n]=Ex
"
xx
k=-"
Korelacja a splot

Zauważmy, że:
"
r [n]= x [n] y[-(k-n)]=x[n]"y[-n]
"
xy
k=-"

Daje to możliwość obliczenia korelacji (własnej
i wzajemnej) jako odpowiedzi filtra h[n] = y[-n]
Własności korelacji

Korelacja wzajemna jest nie większa niż
iloczyn korelacji własnych sygnałów:
r [n]r [n]e"r2 [n]
xx yy xy

Korelacja własna osiąga maksimum w punkcie
zero:
r [0]e"r [n]
xx xx
Zastosowania korelacji

Pomiar okresowości aktywności słonecznej
Liczba plam a autokorelacja