Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 4 Magdalena Rucka
A. Obliczyć przemieszczenie u(t), prędkość v(t) i przyspieszenie a(t) układu o jednym
stopniu swobody obciążonego siłą p(t). Do całkowania równania ruchu w środowisku
MATLAB zastosować metodę różnic centralnych (funkcja mrc). Obliczyć krytyczny krok
całkowania. Dobrać krok całkowania.
Dane: E, r�,� L, b, h, x�, u0, v0, po, td
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 1
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 4 Magdalena Rucka
Rozwiązanie:
a) Otworzyć nowy plik m-file, zadeklarować wszystkie dane materiałowe i geometryczne.
b=10/100; % szerokosc [m]
h=20/100; % wysokosc [m]
L=5; % dlugosc [m]
E=200e+9; % modul sprezystosci [Pa]
ro=7850; % gestosc [kg/m3]
u0= 0 ; % przemieszczenie poczatkowe [m]
v0= 0; % predkosc poczatkowa [m/s]
ksi=0.03; % liczba tłumienia
td=0.01 % czas trwania impulsu [s]
po=2000; % amplituda impulsu [N]
b) Obliczyć moment bezwładności przekroju Ix.
c) Obliczyć sztywność k układu wymodelowanego za pomocą jednego stopnia swobody.
d) Obliczyć masę m poprzez skupienie masy z � długości belki.
k
e) Obliczyć częstość kołową drgań własnych w�n =� .
m
f) Obliczyć tłumienie c =� ckrx� , ckr =� 2mw�n.
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 2
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 4 Magdalena Rucka
g) Dobrać krok całkowania dt z warunku stabilności metody różnic centralnych
2
dt Ł� dtkr =� .
w�n
dt_mrc=2/(wn)
Dla powyższych danych dt_mrc = 0.0175. Przyjęto krok czasowy jako: dt=0.001
h) Utworzyć wektor czasu
t=[0:dt:tk]
Czas końcowy tk dobrać tak, by zaobserwować przejście układu do spoczynku
(ewentualnie skorygować go po przeprowadzeniu pierwszej próby całkowania).
Aby określić długość wektora czasu t użyć funkcji length
nt = length(t)
i) Utworzyć wektor obciążenia p(t) na podstawie zadanego wykresu. Uwaga: wektor
obciążenia musi mieć taką samą długość jak wektor czasu.
j) Wykonać numeryczne całkowanie równania ruchu.
Do całkowania w programie MATLAB zastosować funkcję mrc. Funkcja mrc wykonuje
całkowanie równania ruchu metodą różnic centralnych. W wyniku całkowania otrzymuje
się wektor przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.
Uwaga: funkcję mrc ściągnąć na dysk i umieścić w katalogu bieżącym. W niniejszym
przykładzie liczba stopni swobody wynosi n = 1.
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 3
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 4 Magdalena Rucka
[u,v,a]=mrc(m,c,k,p,t,u0,v0);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% funkcja calkowania rownan ruchu metoda roznic centralnych
% [u,v,a]=mrc(M,C,K,P,t,u0,v0)
%---------------------------------------------------------
% WEJSCIE:
% M - macierz mas (n x n)
% C - macierz tlumienia (n x n)
% K - macierz sztywnosci (n x n)
% P - wektor obciazen zewnetrznych (n x nt)
% t - wektor czasu (1 x nt)
% u0 - wektor przemieszczen poczatkowych (1 x n)
% v0 - wektor predkosci poczatkowych (1 x n)
%----------------------------------------------------------
% WYJSCIE:
% u - wektor przemieszczen (n x nt)
% v - wektor predkosci (n x nt)
% a - wektor przyspieszen (n x nt)
%----------------------------------------------------------
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 4
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 4 Magdalena Rucka
k) Wykreślić przebieg przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w czasie, opisać osie
wykresów
figure(1);
subplot(311); plot(t,u); xlabel('t');ylabel('u [m]')
subplot(312); plot(t,v); xlabel('t');ylabel('v [m/s]')
subplot(313); plot(t,a); xlabel('t');ylabel('a [m/s^2]')
-4
x 10
2
0
-2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t [s]
0.02
0
-0.02
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t
5
0
-5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t [s]
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 5
u [m]
v [m/s]
2
a [m/s ]
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 4 Magdalena Rucka
B. Obliczyć przemieszczenie u(t) stosując przybliżone rozwiązanie dla  impulsu
krótkiego .
Rozwiązanie:
a) Obliczyć wartość impulsu: J=0.5*td*po;
b) Sprawdzić, czy impuls spełnia warunek krótkiego impulsu td / Tn <� 0.5
c) Obliczyć przemieszczenie układu
1
n
u(t) =� J sin(w�dt)e-�x�w� t
mw�d
-4
x 10
metoda różnic centralnych
2
rozwiązanie przybliżone dla impulsu "krótkiego"
1
0
-1
-2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t [s]
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 6
u [m]
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 4 Magdalena Rucka
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
Wykonać obliczenia dla różnych wartości td:
td = 0.001 s; td = 0.01 s; td = 0.05 s; td = 0.1 s.
Porównać wyniki u(t) dla różnych szerokości impulsu.
Porównać wyniki u(t) dla rozwiązania metodą różnic centralnych oraz przybliżonego
rozwiązania dla  impulsu krótkiego .
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 7