Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
Dana jest belka wspornikowa jak na rysunku:
1. Wymodelować belkę za pomocą układu o jednym stopniu swobody (układ bez
tłumienia), wyznaczyć wartości liczbowe masy m oraz sztywności k.
2. Obliczyć częstotliwość drgań własnych nietłumionych oraz porównać ją
z częstotliwością uzyskaną dla modelu ciągłego.
3. Obliczyć częstotliwość drgań własnych tłumionych.
4. Napisać w środowisku MATLAB program rysujący wykres przemieszczenia u(t)
w funkcji czasu dla drgań nietłumionych i tłumionych. Wykreślić wykresy dla
3 różnych zestawów warunków początkowych. Warunki początkowe dobrać
samodzielnie.
Dane: b, h, d, L, E, rð, xð, u0, v0
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 1
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
RozwiÄ…zanie:
Układ ciągły można zamienić na układ dyskretny o jednym stopniu swobody poprzez
skupienie masy m
3.516 EI
a
CzÄ™stość koÅ‚owa drgaÅ„ nietÅ‚umionych dla modelu ciÄ…gÅ‚ego: wðn =ð
L2 mð
Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu
k
swobody: wðn =ð
m
Częstość kołowa drgań tłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu swobody:
2
wðd =ð wðn 1-ðxð
wðn - czÄ™stość koÅ‚owa drgaÅ„ wÅ‚asnych nietÅ‚umionych [rad/s]
wðd - czÄ™stość koÅ‚owa drgaÅ„ wÅ‚asnych tÅ‚umionych [rad/s]
mð - masa na jednostkÄ™ dÅ‚ugoÅ›ci [kg/m]
m - masa skupiona [kg]
xð - bezwymiarowa liczba tÅ‚umienia
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 2
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
Drgania swobodne zapoczątkowane są poprzez wytrącenie układu z pozycji równowagi, to
znaczy przez przyÅ‚ożenie w czasie t = 0 przemieszczenia poczÄ…tkowego u(0) =ð u0 i/lub
prÄ™dkoÅ›ci poczÄ…tkowej u(0) =ð u0.
Drgania nietÅ‚umione opisane sÄ… równaniem: u(t) =ð Acoswðnt +ð Bsinwðnt ,
u(0)
A =ð u(0), B =ð
wðn
n
Drgania tÅ‚umione opisane sÄ… równaniem: u(t) =ð e-ðxðwð t Acoswðdt +ð Bsinwðdt ,
(ð )ð
u0 +ð xðwðnu0
A =ð u0, B =ð .
wðd
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 3
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
Kolejność obliczeń:
a) Zadeklarować zmienne b, h, d, L, E, rð, xð, u0, v0
b=30/100; % szerokosc [m]
h=50/100; % wysokosc [m]
d=2/100; % grubosc [m]
L=12.5; % dlugosc [m]
E=200e+9; % modul sprezystosci [Pa]
ro=7900; % gestosc [kg/m3]
u_0=0.1; % przemieszczenie poczatkowe [m]
v_0=5; % predkosc poczatkowa [m/s]
ksi=0.05; % liczba tłumienia
b) Obliczyć moment bezwładności przekroju Ix.
% moment statyczny przekroju wzgledem gornej krawędzi [m3]
Sx=2*h*d*h/2;
% pole przekroju [m2]
A=b*d+2*h*d;
% odleglosc [m] srodka ciezkosci przekroju od gornej krawedzi
yc=Sx/A;
% glowny centralny moment bezwladnosci przekroju [m4]
Ix=2*d*h^3/12+b*d*yc^2+2*d*h*(yc-h/2)^2;
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 4
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
c) Obliczyć masę skupioną m (z ź długości belki).
m=1/4*A*L*ro; % [kg]
L3
d) Obliczyć podatność belki wspornikowej dð11 =ð
(wykresy momentów zginających +
3EIx
całkowanie graficzne).
dw=L^3/(3*E*Ix);
1
e) Obliczyć sztywność belki k =ð .
dð11
k=1/dw;
k
f) Obliczyć czÄ™stość koÅ‚owÄ… drgaÅ„ wÅ‚asnych nietÅ‚umionych wðn =ð
(układ o 1 stopniu
m
swobody).
wn=sqrt(k/m)
wðn
g) Obliczyć czÄ™stotliwość drgaÅ„ fn =ð .
2pð
fn=wn/2/pi
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 5
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
h) Obliczyć częstość kołową i częstotliwość drgań własnych nietłumionych modelu
3.516 EI
ciÄ…gÅ‚ego: wðn =ð .
L2 mð
mi=ro*A;
wna=3.516/L^2*sqrt(E*Ix/mi);
fna=wna/2/pi
2
i) Obliczyć czÄ™stość koÅ‚owÄ… i czÄ™stotliwość drgaÅ„ wÅ‚asnych tÅ‚umionych wðd =ð wðn 1-ðxð
(układ o 1 stopniu swobody).
wd=wn*sqrt(1-ksi^2)
fd=wd/2/pi
j) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne
u(0)
nietÅ‚umione u(t) =ð Acoswðnt +ð Bsinwðnt , A =ð u(0), B =ð .
wðn
t=[0:0.001:5]; % definicja wektora czasu
A=u_0;
B=(v_0)/wn;
un=A*cos(wn*t)+B*sin(wn*t);
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 6
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
k) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne
u0 +ðxðwðnu0
n
tÅ‚umione u(t) =ð e-ðxðwð t Acoswðdt +ð Bsinwðdt , A =ð u0, B =ð .
(ð )ð
wðd
A=u_0; B=(v_0+ksi*wn*u_0)/wd;
ut=[A*cos(wd*t)+B*sin(wd*t)].*exp(-ksi*wn*t);
figure(1);
plot(t,un,'k');grid on;hold on
plot(t,ut,'r')
xlabel('t [s]');ylabel('u [m]')
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t [s]
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 7
u [m]
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
l) Skomentować wpływ różnych warunków początkowych na wykresy drgań.
u_0= 0.1;
v_0= -5;
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t [s]
u_0= 0.2;
v_0= 0;
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t [s]
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 8
u [m]
u [m]
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
u_0= 0;
v_0= -5;
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t [s]
u_0= -0.5;
v_0= 0;
0.5
0
-0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
t [s]
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 9
u [m]
u [m]
Dynamika Budowli  laboratorium Ćwiczenie 2 Magdalena Rucka
Zadanie do samodzielnego rozwiÄ…zania:
2
pð EI
a
wðn =ð
L2 mð
Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów 10