IX Dolnośląski Konkurs Matematyczny
ETAP FINAA
OWY
 zDolny ÅšlÄ…zak Gimnazjalista 2008/2009
Schemat punktowania
1.. Zakładamy, \
e x `" 0, y `" 0 i x `" y. Mno\
ąc obie strony równania przez xy(x  y)
1.
1
otrzymujemy: y(x  y)  x(x  y) = xy, czyli xy  y2  x2 + xy = xy czyli x2 + y2 = xy.
Mno\
Ä…c obie strony przez 2 otrzymujemy:
2x2 + 2y2 = 2xy
x2 + y2 + x2  2xy + y2 = 0
x2 + y2 + (x  y)2 = 0
Ostatnia równość jest spełniona jedynie wówczas, gdy x = y = x  y = 0, ale to jest
sprzeczne z wcześniej sformułowanymi zało\
eniami. Nie istnieje para liczb spełniająca to
równanie.
Punktacja
" (1 pkt) Zapisanie zało\
eń: x `" 0, y `" 0 i x `" y
" (1 pkt) Pomno\
enie obu stron równania przez xy(x  y) i doprowadzenie do postaci :
y(x  y)  x(x  y) = xy
" (1 pkt) Doprowadzenie do postaci x2 + y2 = xy
" (1 pkt) Przekształcenie do postaci x2 + y2 + (x  y)2 = 0
" (1 pkt) Analiza otrzymanej równości (jest spełniona jedynie wówczas, gdy x = y = x
 y = 0)
" (1 pkt) Porównanie z zało\
eniami i wniosek, \
e nie istnieje para liczb spełniająca to
równanie.
2.. RozwiÄ…zanie przeprowadz
my w kilku krokach:
2.
2
> n30 jest liczbą 29-cyfrową, więc n < 10.
> suma cyfr liczby n30 jest równa 99, więc n = 3 lub n = 6 lub n = 9
> odrzucamy n = 6, bo n30 jest nieparzysta
> 330 ma w rozwinięciu dziesiętnym cyfrę jedności równą 9
> n = 9.
Punktacja
" (1 pkt) Ustalenie, \
e n < 10.
" (1 pkt) Obliczenie sumy cyfr liczby n30
" (1 pkt) Ustalenie, \
e n = 3 lub n = 6 lub n = 9
" (1 pkt) Odrzucenie n = 6
" (1 pkt) Obliczenie, \
e 330 ma w rozwinięciu dziesiętnym cyfrę jedności równą 9
" (1 pkt) Odpowiedz
: n = 9.
3.. Szukana liczba ma postać: 100M + 10x + y. Zachodzi równość
3.
3
100M + 10y + x = 0,9(100M + 10x + y)
100M + 10y + x = 90M + 9x + 0,9y
10M + 9,1y  8x = 0
80x  100M = 91y
Lewa strona dzieli się przez 10, więc prawa te\
, a to znaczy, \
e y = 0
80x  100M = 0
4x = 5M
Prawa strona dzieli się przez 5, więc lewa te\
, a to oznacza, \
e x = 5
5M = 20
M = 4
Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest 450.
Punktacja
" (1 pkt) Zapisanie szukanej liczby w postaci 100M + 10x + y.
" (1 pkt) Zapisanie równości 100M + 10y + x = 0,9(100M + 10x + y)
" (1 pkt) Doprowadzenie do postaci 80x  100M = 91y
" (1 pkt) Analiza otrzymanej równości i stwierdzenie, \
e 4x = 5M
" (1 pkt) Ustalenie, \
e x = 5 i M = 4
" (1 pkt) Odpowiedz
(Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest 450).
T
4.. Przedłu\
my odcinek XP do przecięcia się z okręgiem w
4.
4
punkcie T oraz odcinek YP do przecięcia się z okręgiem
w punkcie W. A
uki, na których opierają się kąty wpisane
W
AXT i WYB wypełniają cały półokrąg i jeszcze po części
na siebie nachodzą. Mamy więc "AXP + "PYB = P
A
B
"AXT + "WYB, ale "AXT = 0,5 · "AOT,
O
a "WYB = 0,5 · "WOB, wiÄ™c "AXP + "PYB =
= 0,5( "AOT + "WOB) = 0,5( "AOW + "WOT +
+ "WOB) = 0,5(180º + "WOT) = 90º + 0,5 · "WOT >
X
> 90º
Y
Punktacja
" (1 pkt) SporzÄ…dzenie rysunku z oznaczeniami.
" (1 pkt) Uzupełnienie półokręgu do pełnego okręgu i poprowadzenie przedłu\
eń
odcinków XP i YP
" (1 pkt) Zapisanie zwiÄ…zków: "AXT = 0,5 · "AOT i "WYB = 0,5 · "WOB
" (1 pkt) Przekształcenie do postaci: "AXP + "PYB = 0,5( "AOW + "WOT + "WOB)
" (1 pkt) Wykorzystanie faktu, \
e "AOW + "WOB = 180º
" (1 pkt) Wniosek, \
e "AXP + "PYB > 90º
D Y C
5.. W trójkącie prostokątnym o
5.
5
przyprostokÄ…tnych a i b i
przeciwprostokÄ…tnej c mamy:
(a  b)2 e" 0, czyli a2  2ab + b2 e" 0, a
Z
X
poniewa\
a2 + b2 = c2, więc mamy c2 e"
B
A W
2ab. WykorzystujÄ…c ponownie a2 + b2 = c2 otrzymujemy c2 + c2 e" a2 + b2 + 2ab, czyli 2c2
e" (a + b)2, a stÄ…d a + b d" c 2 .
AB + BC + CD + DA AW + WB + BX + XC + CY + YD + DZ + ZA
Mamy więc = =
WX + XY + YZ + ZW WX + XY + YZ + ZW
(WB + BX )+ (XC + CY )+ (YD + DZ)+ (ZA + AW )
= d"
WX + XY + YZ + ZW
WX Å" 2 + XY Å" 2 + YZ Å" 2 + ZW Å" 2 (WX + XY + YZ + ZW )Å" 2
d" = = 2
WX + XY + YZ + ZW WX + XY + YZ + ZW
Punktacja
" (1 pkt) Zapisanie nierówności (a  b)2 e" 0.
" (1 pkt) Doprowadzenie do nierówności c2 e" 2ab.
" (1 pkt) Doprowadzenie do nierówności a + b d" c 2 .
" (1 pkt) Zapisanie stosunku obwodów w postaci
(WB + BX )+ (XC + CY )+ (YD + DZ)+ (ZA + AW )
WX + XY + YZ + ZW
" (1 pkt) Wykorzystanie nierówności a + b d" c 2 .
" (1 pkt) Wyłączenie 2 za nawias i skrócenie.
H
G
6.. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a.
6.
6
Rozpatrzmy dwie mo\
liwości:
E
1º Istnieje Å›ciana szeÅ›cianu, do której nale\
Ä… trzy
F
wierzchołki czworościanu.
Wówczas mo\
na przyjąć, \
e te trzy wierzchołki
wyznaczają podstawę ostrosłupa, której pole jest równe
D
1 C
a2, zaś wysokość jest równa a, czyli objętość ka\
dego z
2
1 1 1
A B
takich czworoÅ›cianów jest równa · a2 · a = a3.
3 2 6
2º Nie istnieje Å›ciana szeÅ›cianu, do której nale\
ą trzy wierzchołki czworościanu.
Przyjmujmy, \
e do ka\
dej ściany sześcianu nale\
y co najwy\
ej jeden wierzchołek
czworościanu. Niech A będzie jednym z wierzchołków czworościanu. Nale\
y on do
trzech ścian sześcianu: ABCD, ABFE, ADHE. Na trzy pozostałe wierzchołki
czworościanu pozostają tylko dwa punkty: G i C.
Wobec tego istnieje ściana sześcianu, do której nale\
ą dwa wierzchołki czworościanu.
Niech będzie nią ABCD.
a) Niech będą one końcami krawędzi sześcianu  np. A i B. Wówczas trzeci
wierzchołek czworościanu nie mo\
e być \
adnym z punktów C, D, E, F (byłby to trzeci
wierzchołek na jednej ścianie sześcianu). Tak więc mo\
e być nim jedynie G, a
czwartym  H, ale punkty A, B, G, H le\
ą na jednej płaszczyz
nie. Ten przypadek nie
mo\
e więc zajść.
b) Niech będą one końcami przekątnej ściany ABCD  np. A i C. Trzeci wierzchołek
musi le\
eć na ścianie EFGH. Jeśli jest nim E lub G, to czwartym musi być H lub F i
wówczas mamy to, co w 1º. Niech wiÄ™c trzecim bÄ™dzie H. Wówczas czwartym mo\
e
być jedynie F.
1 1 2
VACFH = a3  VABCF  VADCH  VHEFA  VHGFC = a3  4 · · · a · a · a = a3  a3 =
3 2 3
1
= a3.
3
Największa objętość ma ten z ostrosłupów, którego dwa wierzchołki są końcami
przekątnej jednej ściany, a dwa pozostałe  końcami przekątnej skośnej to tej i le\
Ä…cej na
równoległej ścianie.
Punktacja
" (1 pkt) Za kompletność rozwa\
anych przypadków.
" (1 pkt) Za spostrze\
enie, \
e wszystkie czworoÅ›ciany opisane w przypadku 1º majÄ… tÄ™
samą objętość i obliczenie tej objętości.
" (1 pkt) Za wyeliminowanie mo\
liwości, \
e do ka\
dej ściany sześcianu nale\
y co
najwy\
ej jeden wierzchołek czworościanu.
" (1 pkt) Za rozpatrzenie przypadku 2º a)
" (1 pkt) Za rozpatrzenie przypadku 2º b)
" (1 pkt) Za porównanie objętości i odpowiedz