Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 21
21. PrÄ…d elektryczny i pole magnetyczne
21.1 PrÄ…d elektryczny
NatÄ™\
enie prÄ…du elektrycznego
Q
I = (21.1)
t
Jednostka: 1 amper, 1A.
Gęstość prądu elektrycznego
I
j = (21.2)
S
W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego elektrony poruszają się chaotycz-
nie we wszystkich kierunkach. W zewnętrznym polu E uzyskują wypadkową (stałą z
zało\
enia) prędkość unoszenia vu.
Je\
eli n jest koncentracją elektronów to ilość ładunku Q jaka przepływa przez przewod-
nik o długości l w czasie t = l/vu wynosi
Q = nSle
l
S
Tak więc natę\
enie prÄ…du wynosi
Q nSle
I = = = nSev (21.3)
u
l
t
v
u
a gęstość prądu
I
j = = nev = Áv (21.4)
u u
S
gdzie Á jest gÄ™stoÅ›ciÄ… Å‚adunku.
21-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
UMOWA: kierunek prądu = kierunek ruchu ładunków dodatnich.
Przykład 1
PrÄ…d o natÄ™\
eniu 1A płynie w drucie miedzianym o przekroju 1 mm2. Jaka jest średnia
prÄ™dkość unoszenia elektronów przewodnictwa ? Masa atomowa miedzi µ = 63.8 g/mol,
a gÄ™stość Á = 8.9 g/cm3.
Z równania na natę\
enie prÄ…du otrzymujemy
I
v =
u
nSe
Zakładamy, \
e na jeden atom przypada 1 elektron przewodnictwa (Cu+1). Mo\
emy więc
obliczyć koncentrację nośników
ÁN
Av
n =
µ
n = 8.4·1028 atom/m3
Wstawiając do równania na prędkość otrzymujemy
vu = 7.4·10-5 m/s = 0.074 mm/s
PrÄ…dy mogÄ… te\
płynąć w gazach i cieczach. Lampy jarzeniowe są przykładem wykorzy-
stania przepływu prądu w gazach. W gazach prąd jest wynikiem ruchu nie tylko elektro-
nów ale i jonów dodatnich. Jednak l\
ejsze elektrony są znacznie szybsze i ich wkład do
prÄ…du jest dominujÄ…cy. W zderzeniu elektronu z jonem lub atomem gazu energia mo\
e
zostać zaabsorbowana przez atom, a następnie wypromieniowana w postaci promienio-
wania elektromagnetycznego w tym równie\
widzialnego.
21.2 Prawo Ohma
Je\
eli do przewodnika przyło\
ymy ró\
nicę potencjałów V, to przez przewodnik płynie
prąd I. Na początku XIX wieku Ohm zdefiniował opór przewodnika jako napięcie po-
dzielone przez natÄ™\
enie prÄ…du
"V U
R = =
(21.5)
I I
Jest to definicja oporu. Ten stosunek jest stały pod warunkiem, \
e utrzymuje się stałą
temperaturÄ™.
JednostkÄ… oporu (SI) jest 1 (Ohm) 1&!.
21-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21.2.1 Wyprowadzenie prawa Ohma
Bez pola elektrycznego prędkość ruchu chaotycznego u (nie powoduje przepływu
prądu). Prędkość u jest związana ze średnią drogą swobodną  i średnim czasem po-
między zderzeniami "t zale\
nością: u = /"t.
Je\
eli przyło\
ymy napięcie to na ka\
dy elektron będzie działała siła F = eE i po czasie
"t ka\
dy elektron osiągnie prędkość unoszenia vu = "u daną II zasadą Newtona
"u
m = eE
"t
StÄ…d
eE"t
"u = v =
u
m
PodstawiajÄ…c "t = /u otrzymujemy
eE
v = (21.6)
u
mu
Prędkość unoszenia ma ten sam kierunek (przeciwny do E) dla wszystkich elektronów.
Przy ka\
dym zderzeniu elektron traci prędkość unoszenia.
Średnia droga swobodna  jest tak mała, \
e vu jest zawsze mniejsza od u.
Obliczamy teraz natÄ™\
enie prÄ…du wstawiajÄ…c wyra\
enie na vu do wyra\
enia (21.3) na
natÄ™\
enie I.
ne2SE
I = nSev =
u
mu
Dla elementu przewodnika o długości l (rysunek) obliczymy opór korzystając z faktu, \
e
napięcie U = El.
Z prawa Ohma
U El mul
R = = = (21.7)
I I ne2S
R jest proporcjonalny do długości przewodnika i odwrotnie proporcjonalny do przekro-
ju. Zauwa\
my, \
e R pozostaje stały tak długo jak długo u jest stałe, a u zale\
y tylko od
temperatury (patrz wykład 15).
Równanie (21.7) przepiszmy w postaci
l
R = Á
(21.8)
S
StaÅ‚Ä… Á nazywamy oporem wÅ‚aÅ›ciwym.
Typowa zale\
ność oporu od temperatury dla przewodników metalicznych jest poka-
zana na rysunku na następnej stronie.
21-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Á
Á0
0
T
Z dobrym przybli\
eniem jest to zale\
ność liniowa Á ~ T za wyjÄ…tkiem temperatur bli-
skich zera bezwzglÄ™dnego. Wtedy zaczyna odgrywać rolÄ™ tzw. opór resztkowy Á0 zale\
-
ny w du\
ym stopniu od czystości metalu. Istnieją jednak metal i stopy, dla których ob-
serwujemy w dostatecznie niskich temperaturach całkowity zanik oporu. Zjawisko to
nosi nazwÄ™ nadprzewodnictwa. PrÄ…dy wzbudzone w stanie nadprzewodzÄ…cym utrzymujÄ…
się w obwodzie bez zasilania zewnętrznego. Ta mo\
liwość utrzymania stale płynącego
prÄ…du rokuje du\
e nadzieje na zastosowania techniczne, które znacznie wzrosły po od-
kryciu w 1987 r materiałów przechodzących w stan nadprzewodzący w stosunkowo wy-
sokich temperaturach, około 100 K. Materiały te noszą nazwę wysokotemperaturowych
nadprzewodników a ich odkrywcy Bednorz i Müller zostali wyró\
nieni NagrodÄ… Nobla.
21.3 Straty cieplne
Gdy elektron zderza siÄ™ z atomem traci nadwy\
kę energii, którą uzyskał w polu elek-
trycznym. Poniewa\
energia kinetyczna nie wzrasta, cała energia stracona przez elektro-
ny daje
dEcieplna = Udq
gdzie dq jest ładunkiem przepływającym(elektronów przewodnictwa).
DzielÄ…c obie strony przez dt otrzymujemy
d Eciep ln a d q
= U = UI
dt d t
P = UI (21.8)
przedstawia straty mocy elektrycznej.
21-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
21.3.1 Siła elektromotoryczna
Aby utrzymać prąd potrzeba z
ródła energii elektrycznej. Np. baterie, generatory. Na-
zywamy je z
ródłami siły elektromotorycznej SEM. W takich z
ródłach jeden rodzaj ener-
gii jest zamieniany na drugi. SEM oznaczamy µ i definiujemy
W
µ = (21.9)
q
gdzie W jest energiÄ… elektrycznÄ… przekazywanÄ… Å‚adunkowi q, gdy przechodzi on przez
z
ródło SEM.
21.4 Obwody prądu stałego
A
ączenie oporów:
" szeregowe (ten sam prÄ…d przez oporniki) Rz = R1 + R2 + .....
" równoległe (to samo napięcie na opornikach) 1/Rz = 1/R1 + 1/R2 + .....
21.4.1 Prawa Kirchoffa
" Twierdzenie o obwodzie zamkniętym:
I2
algebraiczna suma przyrostów napięć
w dowolnym obwodzie zamkniętym
jest równa zeru. (Spadek napięcia jest
przyrostem ujemnym napięcia).
" Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia:
R2
algebraiczna suma natÄ™\
eń prądów
I1
przepływających przez punkt rozgałę-
I3
zienia jest równa zeru.
Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest
µ2
R1 wynikiem prawa zachowania energii, a
µ1
twierdzenie o punkcie rozgałęzienia wy-
nika z prawa zachowania Å‚adunku.
Przykład 2
Regulator napięcia (rysunek na na-
stępnej stronie). Opornik R1 ma napięcie
okreÅ›lone przez µ1 a prÄ…d pobiera z µ2.
W ka\
dej gałęzi obwodu trzeba z osobna przyjąć kierunek prądu i jego natę\
enie. Praw-
dziwy kierunek rozpoznamy po znaku obliczonego natÄ™\
enia. Spadek napięcia pojawia
się przy przejściu przez ka\
dy opornik w kierunku zgodnym z prądem. Przyrost napięcia
pojawia się przy przejściu przez z
ródło od "-" do "+".
Zastosowanie I prawa Kirhoffa do "du\
ej" pętli daje
µ2  I2R2  I3R1 = 0
a dla "małej" pętli
µ1  I3R1 = 0
21-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Po odjęciu stronami otrzymamy
µ2  µ1  I2R2 = 0
µ2 - µ1
I2 =
R2
Dla węzła
I1 + I2  I3 = 0
skÄ…d
ëÅ‚ öÅ‚
µ1 µ2 - µ1 ìÅ‚ 1 1 µ2
÷Å‚
I1 = I3 - I2 = - = µ1ìÅ‚ + -
R1 R2 íÅ‚ R1 R2 ÷Å‚ R2
Å‚Å‚
Zauwa\
my, \
e gdy dobrać warunki tak aby
µ1 µ2
=
ëÅ‚ öÅ‚ R2
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
+
ìÅ‚
R1 R2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
to I1 = 0 i µ1 nie daje \
adnego prądu. Taki układ ma wa\
ne zastosowanie praktyczne.
NapiÄ™cie µ1 mo\
e być niskoprądowym ogniwem wzorcowym, mimo \
e R1 mo\
e pobie-
rać du\
y prÄ…d (głównie z µ2).
21.5 Pole magnetyczne
Doświadczalnie stwierdzamy, \
e występuje oddziaływanie:
" magnesów naturalnych (Fe3O4)
" oddziaływanie przewodników z prądem na ładunki w ruchu (kineskop)
" oddziaływanie przewodników z prądem na siebie
" Magnesem jest sama Ziemia. Jej działanie na igłę kompasu jest znane od Staro\
ytno-
ści.
Te oddziaływania opisujemy wprowadzając pojęcie pola magnetycznego.
21.5.1 Siła magnetyczna
Fgraw
Pole grawitacyjne (natÄ™\
enie) g =
m
Felekt
Pole elektryczne (natÄ™\
enie) E =
q
Fmagn
Pole magnetyczne (indukcja) B =
qv
(Siła działa na ładunki w ruchu i jest proporcjonalna do qv).
JednostkÄ… B jest tesla; 1T = N/(Am)
21-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Powy\
szy wzór jest prawdziwy dla ruchu ładunku prostopadle do B ale siła Fmagn
(siła Lorentza) zale\
y od kierunku v. Ta zale\
ność od kierunku jest zapisana poprzez
równanie wektorowe
Fmagn = qv× B (21.10)
gdzie kierunek definiuje się z reguły śruby prawoskrętnej (iloczyn wektorowy).
Zauwa\
my, \
e Fmagn jest zawsze prostopadłe do v. Zatem, zgodnie z twierdzeniem
o pracy i energii Fmagn nie mo\
e zmienić energii kinetycznej poruszającego się ładunku
i Å‚adunek krÄ…\
y po okręgu. Stąd
v2
m = qvB
R
mv
R =
qB
jest promieniem okręgu.
Siła działa na ładunki w ruchu więc działa na cały przewodnik z prądem.
F = evuB
I
F = e B
nSe
W przewodniku o długości l znajduje się nSl elektronów, więc całkowita siła
I
F = nSl B = IlB
nS
Równanie w ogólnym przypadku ma postać
F = Il × B
21.5.2 Działanie pola magnetycznego na obwód z prądem
Rozwa\
ymy teraz działanie pola magnetycznego na za-
mknięty obwód z prądem.
ProstokÄ…tnÄ… ramkÄ™ o bokach a i b umieszczamy w jednorod-
nym polu magnetycznym o indukcji B. Przez ramkę płynie
prÄ…d o natÄ™\
eniu I, a normalna do płaszczyzny ramki tworzy
kÄ…t ¸ z polem B (rysunek).
21-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Rozpatrujemy siłę działającą na ka\
dy z boków. Siły Fb działające na odcinki b zno-
szą się wzajemnie. Siły Fa działające na odcinki a te\
się znoszą ale tworzą parę sił da-
jącą wypadkowy moment siły
b b
Ä = Fa sin¸ + Fa sin¸ = Fabsin¸
2 2
lub wektorowo (na podstawie definicji iloczynu wektorowego)
Ä = Fa × b
Siła Fa wynosi
Fa = IaB
więc
Ä = IabB sin¸ = ISB sin¸ (21.12)
gdzie S = ab jest powierzchnią ramki. Równanie (21.12) mo\
emy zapisać w postaci
wektorowej
Ä = I S × B (21.13)
gdzie S jest wektorem powierzchni.
Wielkość
µ = IS (21.14)
nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. Pole magnetyczne działa więc na
ramkę z prądem (dipol magnetyczny) momentem skręcającym obracając ją. Poło\
enie
równowagi ramki (dipola magnetycznego) wystÄ™puje dla ¸ = 0 tj. gdy ramka jest usta-
wiona prostopadle do pola B. Przykładem dipola magnetycznego jest igła kompasu, któ-
ra umieszczona w polu magnetycznym obraca siÄ™ ustawiajÄ…c zgodnie z polem.
Taką "kołową ramką z prądem" jest równie\
elektron krÄ…\
Ä…cy po orbicie w atomie.
Moment dipolowy elektronu krÄ…\
Ä…cego po orbicie o promieniu r wynosi
2
µe = I (Ä„ r )
NatÄ™\
enie prÄ…du wytwarzanego przez elektron o Å‚adunku e przebiegajÄ…cy orbitÄ™ w czasie
T (okres obiegu) wynosi
q e ev
I = = =
t T 2Ä„ r
gdzie v jest prędkością elektronu. Stąd
21-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
ev evr e e
2
µe = (Ä„r ) = = (mvr) = L
2Ä„r 2 2m 2m
gdzie L = mvr jest momentem pędu elektronu.
Elektron, krÄ…\
ący po orbicie jest więc elementar-
B
nym dipolem magnetycznym. Własności magne-
tyczne ciał są właśnie określone przez zachowanie
siÄ™ tych elementarnych dipoli w polu magnetycz-
vu
nym. Własności te omówimy na dalszych wykła-
I
x
y
dach.
F
Z momentem siły działającym na dipol związa-
na jest tzw. energia magnetyczna dipola Mo\
na
vu F
równie\
pokazać, \
e ta energia wyra\
a siÄ™ wzorem
Em = - µ
µB = - µBcos¸
µ
µ
d
(21.15)
Zauwa\
my, \
e minimum energii odpowiada ustawieniu dipola w kierunku równoległym
do pola magnetycznego B (¸ = 0).
21.5.3 Efekt Halla
Je\
eli płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieścimy w polu magnetycznym,
prostopadłym do kierunku przepływu prądu, to na ładunki będzie działała siła odchyla-
jąca powodująca zakrzywienie torów ładunków w kierunku jednej ze ścianek bocznych
płytki. Niezale\
nie czy prąd jest związany z ruchem ładunków dodatnich czy ujemnych
mamy do czynienia z odchylaniem ładunków w kierunku jednej krawędzi. Przesunięcie
ładunków powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego Halla EH. To pole
przeciwdziała dalszemu przesuwaniu ładunków. Pole Halla jest dane wzorem
U
xy
EH =
d
W stanie równowagi odchylające pole magnetyczne jest równowa\
one przez pole elek-
tryczne
qEH + q(vu × B) = 0
StÄ…d
EH =  vu × B
Wynika stÄ…d, \
e je\
eli zmierzymy EH i B to mo\
emy znalez
ć vu.
Gdy vu i B są prostopadłe to
EH = vuB
Poniewa\
:
vu = j/ne
21-9
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
więc
EH = (jB)/(ne) lub n = (jB)/(eEH)
Mo\
emy wyznaczyć n.
Mo\
na te\
wykorzystać ten efekt do pomiaru pola magnetycznego.
21-10