Algebra liniowa z geometrią analityczną, studia zaoczne-semestr 2
Proste i płaszczyzny- Lista 6
ZAD.1.
Napisać równanie ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających warunki:
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P=(1, -2, 0) i jest prostopadła do wektora n=śą0,-3,2źą
Śą
P1=śą1,1,1źą P2=śą-1,0,1źą P3=śą5,6,7źą
b) płaszczyzna przechodzi przez punkty
P1=śą1,-3,4źą P2=śą2,0 ,-1źą
c) płaszczyzna przechodzi przez punkty oraz jest prostopadła do
płaszczyzny X0Z
P1=śą-1,4,1źą
d) płaszczyzna przechodzi przez punkt i jest równoległa do płaszczyzny
x-y+6z-12=0
e) płaszczyzna przechodzi przez punkt P=śą2,3,6źą i jest prostopadła do płaszczyzny x+y+z-5=0 i drugiej
płaszczyzny x-y+2=0
ZAD.2.
Napisać równanie kierunkowe i parametryczne prostych spełniających warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt P=(-3, 5, 2) i jest równoległa do wektora v=śą2,-1,3źą
Śą
P1=śą-1,1,0źą P2=śą0,3 ,-2źą
b)prosta przechodzi przez punkty
c) prosta jest częścią wspólną płaszczyzny x+2z+-4=0 oraz drugiej płaszczyzny x-y+6=0
P0=śą x0 , y0 , z0źą r0
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt o wektorze wodzącym Śą i
prostopadłej do wektora n=śą A , B , C źą`"Śą ma postać:
0
Śą
śąr-r0źą� n=0
Śą Śą
r=śą x , y , zźą n
gdzie Śą jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor jest nazywamy
Śą
wektorem normalnym tej płaszczyzny zatem równanie płaszczyzny opisuje się wzorem:
A�"śą x- x0źą�ą B�"śą y- y0źą�ąC�"śą z-z0źą=0
Równanie ogólne płaszczyzny:
Ax+By+Cz+D=0
gdzie |A|+|B|+|C|>0. Płaszczyzna tama wektor normalny n=śą A , B , C źą i przecina oś OZ w punkcie
Śą
z=-D , C`"0.
C
Równanie parametryczne płaszczyzny:
P0=śą x0 , y0 , z0źą r0
przechodzącej przez punkt o wektorze wodzącym Śą i rozpiętej na
u=śąa1 ,b1 ,c1źą v=śąa2 ,b2 ,c2źą
niewspółliniowych wektorach Śą oraz Śą ma postać:
r=r0�ąs�"u�ąt�"v , s ,t "R
Śą Śą Śą Śą
lub inaczej
śą x , y , zźą=śą x0, y0, z0źą�ąs�"śą a1,b1,c1źą�ąt�"śąa2,b2,c2źą , s , t"R .
Równanie parametryczne prostej:
P0=śąx0 , y0 , z0źą r0
przechodzącej przez punkt o wektorze wodzącym Śą i wyznaczonej przez niezerowy
wektor kierunkowy v=śąa ,b ,cźą ma postać:
Śą
r=r0�ąt�"v , t "R
Śą Śą Śą
lub inaczej
śąx , y , zźą=śą x0 , y0 , z0źą�ąt�"śąa , b, cźą , t"R .
Równanie kierunkowe prostej:
P0=śąx0 , y0 , z0źą r0
przechodzącej przez punkt o wektorze wodzącym Śą i wyznaczonej przez niezerowy
wektor kierunkowy v=śąa , b ,cźą ma postać:
Śą
x-x0 y- y0 z- z0
= = .
a b c