6. LINIOWA GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Równania płaszczyzny
Płaszczyznę p� w przestrzeni R3 określaja m.in.:
-� trzy niewspółliniowe (niekolinearne) punkty P1, P2, P3 ;
-� prosta l oraz punkt P0 nie należący do tej prostej;
-� dwie niepokrywające się proste równoległe,
-� dwie proste nierównoległe przechodzące przez punkt wspólny;
-� punkt P0 tej płaszczyzny oraz niezerowy wektor n prostopadły do tej płaszczyzny.
1. Równanie normalne płaszczyzny
Równanie płaszczyzny p� przechodzącej przez punkt P0 x0, y0, z0 i prostopadłej do niezerowego wektora
(� )�
n =� A, B,C (wektor normalny), A2 +� B2 +� C2 >� 0 przyjmuje postać:
[� ]�
p� : A(x -� x0) +� B(y -� y0) +� C(z -� z0) =� 0
2. Równanie ogólne płaszczyzny
Równanie ogólne płaszczyzny przyjmuje następującą postać:
p� : Ax +� B y +� C z +� D =� 0
D
gdzie n =� A, B,C - wektor normalny, z =�-� - punkt przecięcia osi OZ, o ile C ą� 0 .
[� ]�
C
3. Równanie odcinkowe płaszczyzny
Jeśli płaszczyzna p� nie przechodzi przez początek układu współrzędnych, ani nie jest równoległa do żadnej osi
układu, to możemy wyprowadzić tzw. równanie odcinkowe płaszczyzny, a mianowicie:
A B C x y z
p� : x +� y +� z =�1 lub +� +� =�1.
-�D -�D -�D a b c
Płaszczyzna ta odcina na osiach OX, OY, OZ układu współrzędnych odpowiednio odcinki a,b,c ą� 0 , gdzie
D D D
a =� -� , b =� -� , c =� -� .
A B C
4. Równanie parametryczne płaszczyzny
Równanie płaszczyzny p� przechodzącej przez punkt P0 x0, y0, z0 i rozpiętej na niekolinearnych
(� )�
��ł� ��ł�
(niewspółliniowych) wektorach u =� ux,uy ,uz �� i v =� vx,vy ,vz �� ma postać:
�� ��
�� x =� x0 +� sux +� t vx
��
p� : y =� y0 +� suy +� t vy , s,t ��R .
��
��
z =� z0 +� suz +� t vz
��
5. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty
Równanie płaszczyzny p� przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty P1 x1, y1, z1 , P2 x2, y2, z2 ,
(� )� (� )�
P3 x3, y3, z3 ma postać:
(� )�
1
x y z 1
x -� x1 y -� y1 z -� z1
x1 y1 z1 1
p� : =� 0 lub p� : x2 -� x1 y2 -� y1 z2 -� z1 =� 0 .
x2 y2 z2 1
x3 -� x1 y3 -� y1 z3 -� z1
x3 y3 z3 1
Równania prostej
Prostą l w przestrzeni R3 wyznaczają jednoznacznie m.in.:
-� dwa różne punkty P1, P2 tej przestrzeni;
-� dwie nierównoległe płaszczyzny p�1 , p�2 (prosta jest ich wspólną krawędzią);
-� punkt tej prostej P0 ��l oraz niezerowy wektor równoległy do prostej v l (nazywany wektorem
kierunkowym prostej).
1. Równanie parametryczne prostej
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 x0, y0, z0 i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunkowy
(� )�
��ł�
v =� vx,vy ,vz �� ma postać:
��
�� x =� x0 +� vx t
��
l : y =� y0 +� vy t , t ��R .
��
��
z =� z0 +� vz t
��
2. Równanie kierunkowe prostej
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 x0, y0, z0 i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunkowy
(� )�
��ł�
v =� vx,vy ,vz �� ma postać:
��
x -� x0 y -� y0 z -� z0
l : =� =� .
vx vy vz
3. Równanie krawędziowe prostej
Niech p�1 : A1 x +� B1 y +� C1 z +� D1 =� 0 , p�2 : A2 x +� B2 y +� C2 z +� D2 =� 0 będą danymi nierównoległymi płaszczyznami.
Równanie prostej l będącej częścią wspólną tych dwóch płaszczyzn p�1 , p�2 ma postać:
A1 x +� B1 y +� C1 z +� D1 =� 0
��
l :
��A x +� B2 y +� C2 z +� D2 =� 0 .
�� 2
Rzut punktu na prostą
Rzutem prostopadłym punktu P na prostą l nazywamy punkt P/ tej prostej
spełniający warunek:
PP/ ^� l .
Rzut punktu na płaszczyznę
Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę p� nazywamy punkt P/
tej płaszczyzny spełniający warunek:
PP/ ^� p� .
2
Odległość punktu od prostej
��ł�
Niech będzie dana prosta l o wektorze kierunkowym v =� vx,vy ,vz �� , Q x1, y1, z1  punkt tej prostej oraz punkt
(� )�
��
P0 x0, y0, z0 nie należący do prostej l.
(� )�
Odległość punktu P0 od prostej l wyraża się wzorem:
��ł�
i j k
��
det -� x0 y1 -� y0 z1 -� z0 ś�
1
�� ę�x
QP0�� v
ę�
vx vy vz ś�
����
d =� . lub d =�
2 2 2
v
vx +� vy +� vz
Odległość dwóch prostych skośnych
Niech proste l1,l2 będą prostymi skośnymi o odpowiednich wektorach kierunkowych
�� ł� �� ł�
v1 =� v1x,v1y,v1z ��, v2 =� v2x,v2 y ,v2z �� , punkty P1 x1, y1, z1 , P2 x2, y2, z2 są odpowiednio punktami tych prostych
(� )� (� )�
�� ��
( P ��l1 , P2 ��l2 ).
1
Odległość prostych skośnych l1,l2 wyraża się wzorem:
��
ć�
P1P2,v1,v2 ��
����
Ł�ł�
d =� .
v1 ��v2
Odległość dwóch prostych równoległych
Niech proste l1,l2 będą prostymi równoległymi o odpowiednich wektorach kierunkowych
�� ł� �� ł�
v1 =� v1x,v1y,v1z ��, v2 =� v2x,v2 y ,v2z �� , punkty P1 x1, y1, z1 , P2 x2, y2, z2 są odpowiednio punktami tych prostych
(� )� (� )�
�� ��
( P ��l1 , P2 ��l2 ).
1
Odległość prostych równoległych l1,l2 wyraża się wzorem:
���
ć�v �� P1P2 �� ć�v �� P1P2 ��
�� 1 �� �� 2 ��
Ł� ł� Ł� ł�
d =�=� .
v1 v2
Odległość punktu od płaszczyzny
Niech p� : Ax +� B y +� C z +� D =� 0 będzie daną płaszczyzną, punkt P0 x0, y0, z0 punktem nie należącym do tej
(� )�
płaszczyzny.
Odległość d punktu P0 x0, y0, z0 od płaszczyzny p� wyraża się wzorem:
(� )�
A x0 +� B y0 +� C z0 +� D
d =� .
A2 +� B2 +� C2
Odległość płaszczyzn równoległych
Niech p�1 : A1 x +� B1 y +� C1 z +� D1 =� 0 , p�2 : A2 x +� B2 y +� C2 z +� D2 =� 0 będą danymi płaszczyznami równoległymi,
czyli A1 =� A2 , B1 =� B2 , C1 =� C2 .Wówczas wektor normalny obu tych płaszczyzn można przedstawić następująco:
n =� A, B,C .
[� ]�
Odległość d między płaszczyznami równoległymi p�1 , p�2 wyraża się wzorem:
D1 -� D2
d =� .
A2 +� B2 +� C2
3