XII. Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)
Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli przyjmuje ona tylko skończoną (lub przeliczalną)
liczbę wartości {x , x , x ,..., x } (tzw. punkty skokowe), tak, że dla każdego i=1,2,...,n.) (i=1,2,....)
1 2 3 n
P(X= x )= p >0,
i i
n
"
pi = 1).
gdzie (
"= 1 pi = 1 "
i= 1
i
xi pi
Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość z prawdopodobieństwem .
Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa, rozkładem prawdopodobieństwa)
zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem
p(x )=P(X= x ) .
i i i
Funkcję prawdopodobieństwa P określoną na wartości x oznaczamy przez p , czyli p =p(x ).
i i i i
Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tabelkowa:
xi x1 x2 Kð xn
pi p1 p2 Kð pn
Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest funkcja F określona wzorem
F( x) = P( X < x) = pi ,
"
- " < xi < x
xi - " < xi < x
gdzie sumowanie odbywa się po tych , które spełniają nierówności .
UWAGA!!!
Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej dystrybuantę i odwrotnie, mając daną
dystrybuantę zmiennej losowej X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.
Przykład
(1) W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10,
na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy
 2). Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Doświadczenie
polega na wyciągnięciu jednego losu.
X : &! A ‚" R
Przestrzeń zdarzeń elementarnych &!={1,2,...,10} i jest skończona. Określmy funkcję
X będzie zmienną losową skokową oznaczającą wygraną. gdzie A={-2,1,10}. Zauważmy, że
X(1)=10, X(2)=X(3)=1, X(4)=X(5)=...=X(10)=-2.
Określmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
1
P(X=10)=p =
1
10
2
P(X=1)= p + p =
2 3
10
7
P(X=-2)= p + p + p + p + p + p + p =
4 5 6 7 8 9 10
10
Zapis tabelkowy
wartość zmiennej losowejł -2 1 10
prawdopodobieństwo 0,7 0,2 0,1
Wyznaczmy dystrybuantÄ™ zmiennej losowej
pi
"
Dla xd"-2 F(x)=P(Xxi < x
pi
"
Dla  21
xi < x
1
pi
"
Dla 11 2
xi < x
pi 1 2 3
"
Dla x>10 F(x)= =p + p + p =0,7+0,2+0,1=1
xi < x
0 dla x d" - 2
Å„Å‚
ôÅ‚
0,7 dla - 2 < x d" 1
ôÅ‚
F(x) =
Tak więc
òÅ‚
0,9 dla 1 < x d" 10
ôÅ‚
ôÅ‚
1 dla x > 10
ół
(2) Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
xi
0 1 3 6
pi 1 1 1 1
3 6 3 6
Wówczas dystrybuantę wyliczamy w następujący sposób
F( x) = P( X < x) = pi = 0
"<
dla x d" 0
xi x
1
F( x) = pi = p1 =
dla 0 < x d" 1 "<
3
xi x
1 1 1
F( x) = pi = p1 + p2 = + =
dla 1 < x d" 3 "<
3 6 2
xi x
1 1 1 5
F( x) = pi = p1 + p2 + p3 = + + =
dla 3 < x d" 6 "<
3 6 3 6
xi x
1 1 1 1
F( x) = pi = p1 + p2 + p3 + p4 = + + + = 1
dla x > 6 "<
3 6 3 6
xi x
Zatem możemy teraz zapisać dystrybuantę w uproszczony sposób
0, x d" 0
Å„Å‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
, 0 < x d" 1
ôÅ‚ 3
ôÅ‚
1
ôÅ‚
F( x) = , 1 < x d" 3
òÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚ 5
, 3 < x d" 6
ôÅ‚
6
ôÅ‚
1, x > 6
ôÅ‚
ół
lub za pomocÄ… tabelki
x
(- " ,0] (0,1] (1,3] (3,6] (6,+ " )
1 1 5
F 0
1
3 2 6
Problem ten możemy teraz odwrócić, tzn. mamy zadaną dystrybuantę zmiennej losowej X określoną przy
pomocy powyższej tabelki. Szukamy rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Zauważamy, że
punktami skokowymi są punkty 0, 1, 3, i 6 (jako punkty nieciągłości dystrybuanty), których
prawdopodobieństwa wyznaczamy za pomocą następujących zależności
2
1 1
p1 = P( X = 0) = lim+ F( x) - F(0) = - 0 =
x 0 3 3
1 1 1
p2 = P( X = 1) = lim+ F( x) - F(1) = - =
x 1 2 3 6
5 1 1
p3 = P( X = 3) = lim+ F( x) - F(3) = - =
x 3 6 2 3
5 1
p4 = P( X = 6) = lim+ F( x) - F(6) = 1- =
x 6 6 6
Stąd rozkład prawdopodobieństwa przedstawia się jak w tabelce na początku tego przykładu.
Możemy teraz, mając daną jedną zmienną losową, tworzyć na jej podstawie inne zmienne losowe.
XIII. Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej
Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x , x , x ,..., x }, zaś jego funkcją rozkładu
1 2 3 n
prawdopodobieństwa jest p.
Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej
skokowej X nazywamy liczbÄ™
n
EX = xi pi = x1 p1 + Kð+ xn pn
.
"= 1
i
Wartość oczekiwana jest to więc pewna średnia ważona wartości zmiennej losowej.
UWAGA
Własności wartości oczekiwanej:
E(c) = c
1.
E(aX ) = aEX
2.
E(X + b) = EX + b
3.
E( X + Y ) = EX + EY
4.
E( X
5. - EX ) = 0
E(aX + bY) = aEX + bEY
6. .
Przykład
(1) Zmienna losowa X ma rozkład zadany za pomocą tabelki
xi -5 -1 0 3
pi
0,2 0,1 0,45 0,25
Policzmy wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej:
n
EX = xi pi = - 5Å" 0,2 + (- 1) Å" 0,1+ 0 Å" 0,45 + 3Å" 0,25 = - 1- 0,1+ 0,75 = - 0,35
"= 1
i
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi  0,35.
(2) Czasem dwie różne zmienne losowe mogą mieć takie same wartości oczekiwane, np. dla zmiennych
losowych X i Y o rozkładach prawdopodobieństwa
2 6
xi
pi 1 1
yi -21 3 30
2 2
pi 1 1 1
3 3 3
W obu przypadkach wartości oczekiwane wynoszą 4 (EX=4, EY=4,), jednak zmienna losowa X ma
znacznie mniejszy rozrzut wartości (6-2=4) od zmiennej losowej Y (30-(-21)=51). W celu
3
dokładniejszego opisania zmiennej losowej wprowadza się nowy charakteryzujący ją parametr  jest to
wariancja.
Zmienną losową X - d nazywamy odchyleniem zmiennej losowej X od jej wartości oczekiwanej
EX = d .
Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu odchylenia zmiennej losowej
X od jej wartości oczekiwanej -EX, tzn.
2 2
.
D X=E(X-EX)
n
2 2 2
2
D X = ( xi - EX ) pi = ( x1 - EX ) p1 + Kð+ ( xn - EX ) pn
Inaczej .
"= 1
i
VarX
Czasem wariancję zmiennej losowej X oznacza się przez . Wariancja jest to więc miara rozrzutu
zmiennej losowej X.
Uwaga
Własności wariancji:
2
1.
D (c) = 0
2 2
2.
D (aX ) = a D2 X
2 2
3.
D ( X + b) = D X
2 2 2
4.
D ( X + Y ) = D X + D Y
2
2 2
5.
D X = E(X )- (EX )
Odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim) zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę
( ).
DX = D2 X Ã = D2 X
Przykład
(1) Policzmy wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie prawdopodobieństwa
xi -5 -1 0 3
pi
0,2 0,1 0,45 0,25
2
W tym celu musimy najpierw obliczyć . Zapiszmy rozkład prawdopodobieństwa nowej
E(X )
2
zmiennej losowej
X
xi 2 0 1 9 25
pi
0,45 0,1 0,25 0,2
Wówczas
2
E(X ) = 0Å" 0,45 + 1Å" 0,1+ 9Å" 0,25 + 25Å" 0,2 = 0,1+ 2,25 + 5 = 7,35
EX = - 0,35
możemy obliczyć wariancję
2
2
D2 X = E(X )- (EX ) = 7,35 - (- 0,35)2 = 7,35 - 0,12 = 7,23
Wariancja zmiennej losowej X jest zatem równa 7,23. Stąd odchylenie standardowe wynosi
2
DX = D X = 7,23 = 2,68.
XIV. Rozkłady zmiennych losowych skokowych.
Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x , x , x ,..., x }, zaś jego funkcją rozkładu
1 2 3 n
prawdopodobieństwa jest p
1. Rozkład równomierny
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy równomierny, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
4
xi x1 x2 Kð xn
pi 1 1 Kð 1
n n n
tzn. każda wartość zmiennej losowej jest przyjmowana z jednakowym prawdopodobieństwem.
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami
n n
1 1
2
EX = xi D2 X = ( xi - EX )
, ,
"= 1 "= 1
n n
i i
zatem wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej o rozkładzie równomiernym jest średnią arytmetyczną
wartości tej zmiennej losowej.
Przykład.
Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza ilość wyrzuconych oczek. Wówczas X jest
zmienna losową skokową ponieważ zbiór wartości jest skończony oraz jest to rozkład równomierny postaci
xi 1 2 3 4 5 6
pi 1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
EX=11/6
D2X=91/6-11/6=40/3
2. Rozkład jednopunktowy
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy jednopunktowy, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
xi x1
pi 1
Jest to szczególny przypadek zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami
EX = x1 D2 X = 0
, .
3. Rozkład zero-jedynkowy
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy zero-jedynkowy, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
0 1
xi
pi q
p
q = 1- p
gdzie .
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami
2
EX = p
, .
D X = pq
4. Rozkład Bernoulliego (rozkład dwumianowy)
Schemat Bernoulliego (dwumianowy)
Schematem n prób Bernoulliego nazywamy n niezależnych doświadczeń losowych, w którym
prawdopodobieństwo sukcesu (zajścia określonego zdarzenia) w każdym doświadczeniu jest stałe, niezależne
od wyników poprzednich i równe p.
Prawdopodobieństwo, że na n przeprowadzonych doświadczeń według schematu Bernoulliego uzyska się k
(0 d" k d" n)
sukcesów w dowolnej kolejności, wyraża się wzorem
n
ëÅ‚ öÅ‚
Pn,k = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" pk Å" qn- k , gdzie 0 < p < 1, q = 1- p
.
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład
A1 A2 A3 A1
Mamy trzy pojemniki typu , dwa pojemniki typu i pięć pojemników typu . Pojemniki typu
A2
zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu zawierają 3 białe kule, 12
A3
zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1
5
niebieską. Losujemy ze zwrotem (zwracamy wylosowaną kulę do pojemnika z którego została wyjęta) 5
kul. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul zielonych.
Losowanie odbywa się ze zwrotem, więc mamy do czynienia z doświadczeniami niezależnymi. A
atwo
n = 5 k = 2
ustalamy, że , i prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu (wylosowania kuli zielonej)
3 3 2 12 5 3
p = Å" + Å" + Å" = 0,24
obliczymy stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite , więc
10 20 10 20 10 20
5
ëÅ‚ öÅ‚
q = 1- p = 0,76 P5,2 = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" (0,24)2 Å" (0,76)3 = 10 Å" 0,0576 Å" 0,439 = 0,253
. Stosujemy wzór Bernoulliego
ìÅ‚
2÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
.
(n, p)
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Bernoulliego (rozkład dwumianowy) z parametrami , gdzie
0 < p < 1
n " N , , jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
n
ëÅ‚ öÅ‚
k n- k
P( X = k) = P(k, n, p) = ìÅ‚ ÷Å‚ p q
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
q = 1- p
gdzie , 0 d" k d" n .
EX = np
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami , .
D2 X = npq
Przykład (rozkład Bernoulliego).
Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Znajdz
my
rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości celnych rzutów do kosza.
Koszykarz może trafić 4 razy, 3 razy, itd., lub może nie trafić wcale. Wykorzystując schemat
Bernoulliego obliczmy prawdopodobieństwa poszczególnej liczby sukcesów (trafionych rzutów) w
pięciu próbach
4 0 4
4
ëÅ‚ öÅ‚ 4 1 4 256
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
P4 (k = 4) = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = = ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
4÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
5 5Å‚Å‚ íÅ‚ 5 625
Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3 1 3
4
ëÅ‚ öÅ‚ 4 1 4 1 256
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
P4 (k = 3) = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = 4Å" Å" = ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
3÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
5 5 5 5 625
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2
4
ëÅ‚ öÅ‚ 4 1 4 1 96
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
P4 (k = 2) = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = 6 Å" Å" = ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
2÷Å‚ íÅ‚ 5 5Å‚Å‚ 5 5Å‚Å‚ 625
Å‚Å‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 3 3
4
ëÅ‚ öÅ‚ 4 1 4 1 16
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
P4 (k = 1) = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = 4 Å" Å" = ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1 5 5 5 5 625
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 4 4
4
ëÅ‚ öÅ‚ 4 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
P4 (k = 0) = ìÅ‚ ÷Å‚ Å" Å" = = .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
0÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
5 5 5 625
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennej losowej wygląda następująco
xi 0 1 2 3 4
pi 1 16 96 256 256
625 625 625 625 625
Możemy teraz także obliczyć wartość oczekiwaną
1 16 96 256 256 16 192 768 1024 2000
EX = 0 Å" + 1Å" + 2Å" + 3Å" + 4 Å" = + + + = = 3,2 zatem
625 625 625 625 625 625 625 625 625 625
koszykarz średnio odda 3,2 (3 w zaokrągleniu do liczby całkowitej) rzuty celne do kosza. Obliczenie
wariancji, pozostawiamy czytelnikowi .
4.Rozkład Poissona.
 > 0
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Poissona z parametrem , jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa
jest postaci
6
k

,
P(k,  ) = e- 
k!
k " N *" {0}
gdzie . Parametr  ma interpretację wartości oczekiwanej i jest on równy prawdopodobieństwu p
uzyskania sukcesu w pojedynczej próbie pomnożony przez ilość tych prób n, natomiast k oznacza liczbę
sukcesów w n próbach.
Rozkład Poissona wiąże się z rozkładem Bernoulliego zależnością:
Dla dużych n następuje zbieżność rozkładu Bernoulliego do rozkładu Poissona z parametrem 
k
n
ëÅ‚ öÅ‚ 
ìÅ‚ ÷Å‚ pk qn- k H" e- 
,
ìÅ‚ ÷Å‚
k k!
íÅ‚ Å‚Å‚
 = np
gdzie . Przybliżenie to jest w miarę dokładne, gdy n e" 50 (czasem przyjmuje się, że n e" 100 ) i
p d" 0,1  = np d" 10  " [0.1,10]
, , czyli gdy liczba prób jest większa lub równa
(czasem przyjmuje się, że
1
np d" 10
50, zaś prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie nie przekracza oraz .
10
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami
EX =  , .
D2 X = 
Przykład
A1 A2 A3 A1
(1) Mamy trzy pojemniki typu , dwa pojemniki typu i pięć pojemników typu . Pojemniki typu
A2
zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu zawierają 3 białe kule, 12
A3
zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1
niebieską. Losujemy 120 kul ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 1
kuli niebieskiej.
3 1 2 1 5 1
p = Å" + Å" + Å" = 0,05
Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej .
10 20 10 20 10 20
n = 120, k = 0 lub 1, p = 0,05  = 120 Å" 0,05 = 6
Zastosujemy wzór Poissona dla , więc . Mamy
e- 6 60 1 e- 6 61 6
P(0,6) = = H" 0,0025 , P(1,6) = = H" 0,015 . Ostatecznie szukane
0! e6 1! e6
P(0,6) + P(1,6) = 0,0025 + 0,015 H" 0,0175
prawdopodobieństwo wynosi .
(2) Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych w 200 losowaniach,
jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby leworęcznej w pewnej populacji ludzi wynosi
0,05.
p = 0,05 d" 0,1
Ponieważ spełnione są warunki: oraz n = 200 e" 50 , zatem mamy do czynienia z
 = 0,05Å" 200 = 10
rozkładem Poissona. Wówczas oraz
P(0 d" k d" 3) = P(k = 0) + P(k = 1) + P(k = 2) + P(k = 3)
k
 10k , czyli (uwaga: 0!= 1)
Ale , zatem
P(k,  ) = e-  P(k,10) = e- 10
k! k!
100 101 102 103
P(0 d" k d" 3) = e- 10 + e- 10 + e- 10 + e- 10 =
0! 1! 2! 3!
100 1000 500
= e- 10 + 10e- 10 + e- 10 + e- 10 = e- 10 + 10e- 10 + 50e- 10 + e- 10 =
2 6 3
683 683 683 683
= e- 10 = H" = H" 0,011
3
3Å" e10 3Å" 20589 61767
Ostatecznie szukane prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych wynosi
0,011.
7
Zadania
Zad. 1 Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza ilość wyrzuconych oczek. Wyznacz
funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Zad. 2 W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10,
na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy  2).
Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Niech zmienna losowa X oznacza
wartość wygranej. Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.
Zad. 3 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe
sumie oczek na dwóch kostkach. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej. Obliczyć P(5d"X<8), wartość
oczekiwanÄ…, wariancjÄ™ i odchylenie standardowe tej zmiennej.
Zad. 4 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe
bezwzględnej różnicy liczby oczek na dwóch kostkach. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej i narysować jej
wykres
Zad. 5 W urnie mamy 6 kul białych i 4 czarne. Ciągniemy z urny kule ze zwrotem aż do otrzymania kuli białej
ale co najwyżej 3 razy. Oblicz w tych warunkach wartość przeciętną, wariancję i odchylenie standardowe.
Zad. 6 Z bieżącej produkcji pobrano losowo 5 sztuk towaru. Niech X oznacza liczbę sztuk wadliwych wśród
pobranych. Znalez
ć rozkład zmiennej losowej X, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia sztuki
wadliwej wynosi 0,1.
Zad. 7. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
x -5 -2 0 1 3 8
i
0,1 0,2 0,1 0,2 C 0,1
pi
Wyznaczyć stałą C oraz dystrybuantę F zmiennej losowej X. Oblicz P(X=1), P(X=2), P(X<3), P(-2d"X<3),
F(1), F(2), EX, D2X.Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U=2X+3 i W=X2 -1 .
Zad. 8 Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
xi -5 -3 -1 4 7
pi 0,2 c 0,2 0,2 0,2
Wyznaczyć stałą c oraz dystrybuantę zmiennej losowej X.
P(- 4 < X d" 4)
Obliczyć , EX i .
D2 X
Zad. 9.Zmienna losowa Y ma rozkład prawdopodobieństwa
x 0 1 2 3 4
k
p 0,2 0,3 c 0,3 0,1
k
Wyznacz stała c. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y .Oblicz EY, D2Y, DY
Zad. 10 Zmienna losowa X ma rozkład podany w tabelce
x -2 -1 0 1 2
i
p 8/20 2/20 6/20 1/20 3/20
i
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancje zmiennej losowej X oraz Y=X2
Zad. 11 Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
xi
0 1
pi
1/3 2/3
Wyznacz dystrybuantÄ™ F. Oblicz P(X=0), P(X=1), F(0), F(1)b
Zad. 12 Zmienna losowa X przyjmuje wartości x =1, x =3,x =4 z prawdopodobieństwami równymi
1 2 3
odpowiednio 1/3,1/4,5/12. Wyznaczyć wartość dystrybuanty F(1), F(2,5), F(6).
0 dla x d" 1
Å„Å‚
1
ôÅ‚
dla 1 < x d" 2
ôÅ‚
7
ôÅ‚
3
ôÅ‚
dla 2 < x d" 5
F(x) =
Zad. 13 Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem .
òÅ‚
7
ôÅ‚
6
ôÅ‚
dla 5 < x d" 10
ôÅ‚ 7
ôÅ‚
1 dla 10 < x < "
ół
Oblicz P(5d"X<8).Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej. Oblicz EX, DX.
8
Zad. 14. Zmienna losowa Z przyjmuje wartości 0,1,2. Wiemy, że EX=1 oraz E2X=1,5. Wyznacz rozkład
zmiennej losowej X
Zad. 15 Siła kiełkowania na partii pewnych ziaren została oceniona na 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo ,
że spośród 5 ziaren wykiełkuje:
(a) dokładnie 4 ziarna
(b) mniej niż 4 ziarna
Zad. 16 Oblicz prawdopodobieństwo, że na 7 rzutów kostką do gry co najwyżej 2 razy wypadnie liczba oczek
mniejsza niż 3.
Zad. 17 Podać rozkład Bernoulliego zmiennej losowej X dla n=5 i p=0,1.
Zad. 18 Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyrzucimy co
najmniej raz reszkę. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję wyrzuconych reszek.
Zad. 19 Koszykarz oddaje 4 rzuty do kosza. Piłka wpada do kosza z prawdopodobieństwem 0,8. Znajdz
my
rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości celnych rzutów do kosza. Oblicz przeciętną liczbę celnych
rzutów
A1 A2 A3
Zad. 20. Mamy trzy pojemniki typu , dwa pojemniki typu i pięć pojemników typu . Pojemniki typu
A1 A2
zawierają 12 białych kul, 3 zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu zawierają 3 białe kule, 12
A3
zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu zawierają 4 białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1
niebieską. Losujemy 120 kul ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 1 kuli
niebieskiej.
Zad. 21 Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych w 200
losowaniach, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby leworęcznej w pewnej populacji ludzi
wynosi 0,05.
Zad. 22 Prawdopodobieństwo wyprodukowaniu sztuki wadliwej wynosi 2%. Oblicz prawdopodobieństwo, że
w partii towaru liczÄ…cej 100 sztuk znajduje siÄ™:
(a) zero sztuk wadliwych
(b) jedna sztuka wadliwa
(c) dwie sztuka wadliwa
(d) co najmniej trzy sztuki wadliwe
Zad. 23 Prawdopodobieństwo zdania egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa na ocenę bardzo dobrą
wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 50 studentów informatyki zdających egzamin co
najmniej jeden uzyska ocenę bardzo dobrą. Oblicz wartość oczekiwaną studentów z oceną bardzo dobrą.
9