Przykłady rozkładów zmiennych losowych typu skokowego
Rozkład dwupunktowy
x1 x2
Zmienna losowa X przyjmuje 2 wartości: , z prawdopodobieństwami:
P(X = x1) = p P(X = x2) = 1- p = q p + q = 1 0 d" p d" 1
; gdzie: , .
Taka zmienna losowa jest często zwana zmienną losową binarną. Zmienne losowe binarne są
podstawowym narzędziem u\
ywanym do opisu właściwości stochastycznych urządzeń dwustanowych,
które występują bardzo często w elektronice, np. układy przekaz
nikowe, układy cyfrowe itp.
Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta dla rozkładu dwupunktowego:
P(X=x) P(X=x)
1-p 1
1-p
p p
x1 x2 x1 x2
x x
EX = x1p + x2q
Wartość oczekiwana:
2
à = (x2 - x1)2 pq
Wariancja:
Przykładem takiej zmiennej losowej mo\
e być np. doświadczenie losowe: rzut monetą, wówczas:
p = q = 1/ 2
.
Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero  jedynkowy.
W tym przypadku:
x1 = 1 x2 = 0 P(X = 0) = 1- p P(X = 1) = p
, , ,
2
EX = pk = 1Å" p + 0 Å" (1- p) = p
Wartość oczekiwana: "x
k
k =1
V (X ) = - m)2 Å" pk = p Å" q
Wariancja: "(xk
Skokowy rozkład równomierny
Jest to rozkład postaci:
xi x1 x2 ... ... xn
pi 1/n 1/n 1/n
n n
1
EX = m = pi =
"x n "x
i i
i =1 i =1
n n
1
V (X ) = - m)2 pi =
"x "(x - m)2
i i
n
i =1 i =1
P(X=x)
1/n
x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn x
Rozkład dwumianowy Bernoulli ego B(n, p)
{X1, X2,..., Xn}
Niech będzie danych n niezale\
nych zmiennych losowych: .Wszystkie zmienne
Xk
losowe mają jednakowy rozkład dwupunktowy:
P(Xk = 0) = 1- p = q P(Xk = 1) = p
, gdzie: k = 1, 2, ... , n.
Yn Xk
Niech: - oznacza zmienną losową będącą sumą zmiennych losowych :
Yn = X1 + X2 + ... + Xn
.
Xk Yn
Poniewa\
zmienne losowe mogą przyjmować wartości 0 i 1, więc zmienna losowa będzie
przyjmować wartości całkowite od 0 do n.
Yn Xk
Zmienna losowa przyjmuje wartość 0, gdy jednocześnie wszystkie składowe przyjmują wartość 0.
Yn Xk
Zmienna losowa przyjmuje wartość 1, gdy jednocześnie wszystkie składowe przyjmują wartość 1.
Yn
W pozostałych przypadkach zmienna losowa przyjmuje wartość całkowitą pośrednią między 0 i n.
Yn
Prawdopodobieństwo tego, \
e zmienna losowa przyjmuje konkretną wartość c wynosi:
n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ n!
P(Yn = c) = ìÅ‚ ÷Å‚ pc Å" qn-c gdzie: ìÅ‚ ÷Å‚ =
ìÅ‚c ÷Å‚ ìÅ‚c ÷Å‚
c!(n - c)!
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Dla n = 1 , mamy oczywiście rozkład dwupunktowy.
Przykłady: wielokrotny rzut monetą, wielokrotny rzut kostką do gry.
EX = nq
Wartość oczekiwana:
V (X ) = n(1- p) p = npq
Wariancja:
Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa zmiennej o rozkładzie Bernoulli ego dla n=10 i p=0,2.
Przykład:
W systemie radarowym są wysyłane paczki sygnałów po 100 impulsów. Wskutek ró\
nego rodzaju
zakłóceń impulsy nadane mogą ulec tak du\
ym zniekształceniom, \
e niektóre z nich mogą nie być wykryte
przez odbiornik. Prawdopodobieństwo przeoczenia w odbiorniku pojedynczego impulsu wynosi 0,1.
Obliczyć średnią liczbę impulsów rejestrowanych przez odbiornik oraz wariancję tej liczby.
RozwiÄ…zanie:
X - zmienna losowa: liczba impulsów rejestrowanych przez odbiornik.
Ma ona rozkład dwumianowy o parametrach: n = 100, p = 0,1, q = 0,9.
{X (É) = c}
Zdarzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy na dokładnie c pozycjach w sumie pojawi się
jedynka. Czyli:
100
ëÅ‚ öÅ‚
P(X = c) = ìÅ‚ ÷Å‚(0,1)c Å" (0,9)100-c gdzie: c = 0, 1, ... , 100
ìÅ‚c ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
EX = n(1- p) = 100Å" (1- 0,1) = 90
impulsów,
V (X ) = n(1- p) p = 100Å" (1- 0,1) Å" 0,1 = 9
Rozkład Poissona
Jest to szczególny przypadek rozkładu dwumianowego, zachodzący wówczas, gdy
n Å" p = 
prawdopodobieństwo p sukcesu jest bardzo małe, a liczba realizacji n na tyle du\
a, \
e iloczyn
jest wielkością stałą, dodatnią i niezbyt du\
Ä….
n-k
n
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ k  k

P(X = k) = ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1- öÅ‚ = e-
ìÅ‚k ÷Å‚íÅ‚ n ÷Å‚ ìÅ‚ n ÷Å‚ k!
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
EX = 
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie Poissona:
V (X ) = lim (1-  / n)
Wariancja:
n"
Zastosowanie rozkładu Poissona:
Do zjawisk losowych , gdzie liczba obserwowanych przypadków n jest bardzo du\
a, a
prawdopodobieństwo sukcesu p  bardzo małe.
Przykłady:
- rozpad promieniotwórczy: liczba jąder n  du\
a, prawdopodobieństwo rozpadu konkretnego jądra 
bardzo małe,
- zderzenia czÄ…stek elementarnych, du\
a ilość cząstek, mała szansa na zderzenie,
- statystyczna kontrola jakości produktów, du\
a ilość sprawdzanych produktów, mała ilość produktów
wybrakowanych.
Przykłady rozkładów zmiennych losowych typu ciągłego
Rozkład wykładniczy
 > 0
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze , jeśli:
Å„Å‚0 dla x < 0
ôÅ‚
f (x) =
òÅ‚
ôÅ‚e-x dla x e" 0
ół
Å„Å‚0 dla x < 0
ôÅ‚
F(x) =
òÅ‚
ôÅ‚1- e-x dla x e" 0
ół
f(x) F(x)
1/ 1
x x
EX = 1/ 
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym:
V (X ) = 1/ 2
Wariancja:
Rozkłady wykładnicze występują w zagadnieniach ruchu na liniach telefonicznych, w problemach czasu
obsługi i czasu oczekiwania na obsługę na obsługę przy maszynach czy w sklepach, w problemach czasu
eksploatacji elementów, w teorii niezawodności.
Rozkład jednostajny
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale [ a, b ], je\
eli jej funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest postaci:
Å„Å‚
ôÅ‚0 dla x "(a,b)
f (x) =
òÅ‚
1
ôÅ‚ dla x "[a,b]
ółb - a
a + b
EX =
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym:
2
(b - a)2
V (X ) =
Wariancja:
12
Rozkład normalny, gaussowski
Znaczenie rozkładu normalnego w problematyce technicznej wynika stąd, \
e opisuje on wiernie
szeroką klasę wielkości przypadkowych spotykanych w praktyce. Wią\
e się to z pewnymi następstwami
wynikającymi z twierdzeń granicznych. Przykładowo: zakłócenia w kanałach telekomunikacyjnych
nakładają się na przesyłane sygnały mają najczęściej rozkład normalny.
Mówimy, \
e zmienna losowa X ma rozkład normalny (rozkład Gaussa) jeśli jej funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest opisana wzorem:
(x-m)2
-
1
2
2Ã
f (x)= e
dla - " < x < "
à 2Ą
m à > 0 - parametry rozkładu normalnego
gdzie: oraz
Wykres tej funkcji pokazuje rysunek:
W skrócie będziemy zapisywali, \
e zmienna losowa X ma rozkład normalny jako:
X ~ N(m;Ã )
Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu normalnego wyra\
ają są następującymi wzorami:
( x-m)2
"
-
1
2
2Ã
E(x) = x
+"Ã 2Ä„ e dx = m
-"
( x-m)2
"
-
1
2
2
2Ã
D2 (x) = ( - m)2 e dx = Ã
+"x
à 2Ą
-"
Gdzie: m - wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym,
à - odchylenie standardowe.
Krzywa gęstości rozkładu normalnego ma następujące własności:
" jest symetryczna względem prostej x = m (rozkład normalny jest więc rozkładem
symetrycznym)
1
à 2Ą
" osiąga maksimum równe dla x = m,
" jej ramiona majÄ… punkty przegiÄ™cia dla x = m  à oraz x = m + Ã.
Wartość parametru m decyduje o poło\
eniu krzywej normalnej względem osi x. Im wartość oczekiwana
przyjmuje wiÄ™ksze wartoÅ›ci, tym krzywa jest bardziej przesuniÄ™ta w prawo. Wartość parametru Ã
determinuje natomiast  smukłość krzywej. Im odchylenie standardowe jest większe, tym krzywa jest
bardziej spłaszczona.
f
1
2Ä„ Ã
1
0,3
Ã
1
0,2
Ã
1
0,1
Ã
µ-3Ã µ-2Ã µ-Ã µ+Ã µ+2Ã µ+3Ã x
µ
f
µ1 µ2 µ3 x
f
Ã4
Ã3
Ã2
Ã1
x
Gdzie: Ã1 > Ã2 > Ã3 > Ã4
Definicja:
N(m;Ã )
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny , to zmienna losowa
Y = aX + b a `" 0,b
, gdzie: - dowolne stałe, ma te\
rozkład normalny:
N(am + b;| a |Å"Ã )
EY = am + b
Wartość oczekiwana zmiennej losowej Y:
2
V (Y ) = a2 Å"Ã
Wariancja zmiennej losowej Y:
Unormowany (standaryzowany) rozkład normalny
X - m
Y =
N(m;Ã )
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny , to zmienna losowa ma:
Ã
EY = 0
wartość oczekiwaną: ,
à = 1
odchylenie standardowe: .
Mo\
na wykazać, \
e zmienna losowa Y ma rozkład normalny o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
1
f (y)= e- y2 / 2 dla: - " < y < "
2Ä„
Zmienna losowa Y jest zmienną losową unormowaną, a jej rozkład nazywamy unormowanym rozkładem
X - m
Y =
N(0;1) ~ N(0;1)
normalnym i oznaczamy jako: , czyli:
Ã
Wykres funkcji gęstości standardowego rozkładu normalnego przyjmuje następującą postać:
funkcja gęstości standardowego
rozkładu normalnego
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-4 -2 0 2 4
x
Wykres dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przyjmuje postać:
dystrybuanta standardowego rozkładu
normalnego
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-4 -2 -0,2
0 2 4
x
f(x)
f(x)
Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego wyra\
a siÄ™ wzorem:
x
1
-t2 / 2
F(x)=
+"e dt
2Ä„
-"
F(-x) = 1- F(x)
Z symetrii wykresu funkcji gęstości względem osi y wynika, \
e: .
X ~ N(0;1) Åš(x)
DystrybuantÄ™ zmiennej losowej standaryzowanej oznacza siÄ™ tradycyjnie symbolem .
Åš(x)
Wartości dystrybuanty standaryzowanej są umieszczone w tablicach dla x > 0 co znacznie ułatwia
obliczenia. Mo\
na równie\
skorzystać z wbudowanych funkcji Microsoft Excel (patrz przykład
Åš(0) = 0,5
normalny.xls), programów Mathlab lub Octave. Bez \
adnych obliczeń mamy: .
N(m;Ã )
Obliczmy prawdopodobieństwo, \
e zmienna losowa o rozkładzie przyjmie wartość zawartą w
przedziale: ( a, b ):
b a
2 2
1 1
e-( x-m)2 / 2Ã dx - e-( x-m)2 / 2Ã dx
P(a < X < b) = F(b) - F(a) =
+" +"
2Ä„Ã 2Ä„Ã
-" -"
Zajmijmy się pierwszą całką przedstawiającą wartość dystrybuanty w punkcie b. Wprowadz
my nowÄ…
x - m
zmienną: y = , wówczas omawiana całka przyjmie postać:
Ã
(b-m) /Ã
2
1 b - m
öÅ‚
F(b) = e- y / 2dy = 0,5 + ÅšëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
2Ä„ Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
-"
u
2
1
Åš(u) = e-t / 2dt
gdzie:
+"
2Ä„
0
a - m
öÅ‚
F(a) = 0,5 + ÅšëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Podobnie:
Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
Zatem, podstawiajÄ…c, otrzymamy:
b - m a - m
öÅ‚ öÅ‚
P(a < X < b) = ÅšëÅ‚ - ÅšëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
à Ã
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Powy\
szy wzór jest prawdziwy wyłącznie dla zmiennych losowych X o rozkładzie normalnym.
Własności dystrybuanty przydatne przy rozwiązywaniu zadań.
F(-x) = 1- F(x)
P(X < a) = F(a)
P(X > a) = 1- F(a)
P(a < X < b) = F(b) - F(a)
Przybli\
one prawdopodobieństwa tego, \
e wartość zmiennej losowej o rozkładzie normalnym nale\
y do
kilku najczęściej spotykanych przedziałów:
P(m -Ã < X < m + Ã ) = 0,682
P(m - 2Ã < X < m + 2Ã ) = 0,954
P(m - 3Ã < X < m + 3Ã ) = 0,997
Przykład:
N(1 ; 2)
Zmienna losowa X ma rozkład normalny . Obliczyć prawdopodobieństwo, \
e zmienna
losowa X przyjmie wartość nale\
ącą do przedziału ( 0, 3 ).
x2 - m x1 - m 3 -1 0 -1
öÅ‚ öÅ‚
P(0 < X < 3) = ÅšëÅ‚ - ÅšëÅ‚ ÅšëÅ‚ öÅ‚ - ÅšëÅ‚ öÅ‚ = Åš(1) - Åš(-1/ 2) =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
=
à à 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Åš(u) Åš(1) Åš(0,5)
Z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego otrzymujemy: =0,841345, =
0,691462, więc otrzymujemy ostatecznie:
Åš(1)
= -1+ Åš(1/ 2)
= 0,841345  1 + 0,691462 = 0,533
Twierdzenia o rozkładzie sumy niezale\
nych zmiennych losowych
Twierdzenie 1
Je\
eli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn sÄ… niezale\
ne i zmienna losowa Xi dla i = 1, 2, ..., n ma rozkład N(mi ;
Ãi) to zmienna losowa Y=X1+X2+...+Xn ma rozkÅ‚ad:
2 2 2
N(m1 + m2 + ... + mn ; Ã1 + Ã + ... + Ã )
2 n
Je\
eli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn sÄ… niezale\
ne o takim samym rozkÅ‚adzie Xi : N(m ; Ã) dla i = 1, 2, ..., n,
to zmienna losowa Y ma rozkład:
N(nm;Ã n)
Twierdzenie 2
Je\
eli zmienne losowe X1, X2 sÄ… niezale\
ne i zmienna losowa Xi dla i = 1, 2 ma rozkÅ‚ad N(mi ; Ãi) to zmienna
losowa Z = X1 - X2 ma rozkład:
2 2
N(m1 - m2; Ã1 + Ã )
2
Je\
eli zmienne losowe X1, X2 sÄ… niezale\
ne o takim samym rozkÅ‚adzie Xi - N(m ; Ã) dla i = 1, 2 to zmienna
losowa Z = X1 - X2 ma rozkład:
N(0;Ã 2)
Twierdzenie 3
Je\
eli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn sÄ… niezale\
ne i zmienna losowa Xi dla i = 1, 2, ..., n ma rozkład N(mi ;
n
1
Ãi) to zmienna losowa X = X ma rozkÅ‚ad:
" i
n
i=1
1 1
2 2 2
N( (m1 + m2 + ... + mn ); Ã1 + Ã + ... + Ã )
2 n
n n
Je\
eli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn sÄ… niezale\
ne o takim samym rozkÅ‚adzie Xi : N(m ; Ã)
n
1 Ã
dla i = 1, 2, ..., n, to zmienna losowa X = X ma rozkład: N(m ; )
" i
n
n
i=1
Rozkład Rayleigha
Y1 Y2
Niech i - zmienne losowe niezale\
ne o rozkładach normalnych i jednakowych wariancjach
2
X = Y12 + Y22
Ã
. Wówczas zmienna losowa ma rozkład Rayleigha o funkcji gęstości
prawdopodobieństwa:
2
Å„Å‚ x
x2 / 2Ã
2
ôÅ‚Ã e- dla x e" 0
f (x) =
òÅ‚
ôÅ‚0 dla x < 0
ół
2
Ã
Przykład funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Rayleigha dla =2
Dystrybuanta:
2
Å„Å‚1- e- x2 / 2Ã dla x e" 0
ôÅ‚
F(x) =
òÅ‚
ôÅ‚0 dla x < 0
ół
Ä„
EX = Ã
Wartość oczekiwana rozkładu Rayleigha:
2
2
V (X ) = (2 - Ä„ / 2)Ã
Wariancja:
Rozkład ten opisuje np. prędkość początkową elektronu emitowanego z katody.
“(Ä…, ² )
Rozkład gamma
Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad gamma z parametrami Ä… > 0,² > 0
je\
eli jej funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest opisana wzorem:
0 dla x d" 0,
Å„Å‚
ôÅ‚ Ä…
²
f (x) =
òÅ‚
xÄ…-1e-²x dla x > 0
ôÅ‚“(Ä…)
ół
"
“(Ä…) = tÄ… -1e-tdt
gdzie: .
+"
0
EX = Ä… / ²
Wartość oczekiwana:
2
V (X ) = Ä… / ²
Wariancja:
“(1) = 1 “(Ä…) = (Ä… -1)“(Ä… -1)
Własności funkcji gamma: ,
“(n) = (n -1)!
Parametr ą - parametr kształtu.
²
Parametr - parametr skali.
4
3,5
Ä… = 0.5
3
2,5
2
1,5
1
Ä… = 1
Ä… = 1.5
0,5
Ä… = 3
0
0 1 2 3 4 5
Gęstości rozkładu gamma dla ró\
nych wartoÅ›ci parametru ksztaÅ‚tu Ä… (²=1).
Zadania
1. Pewien przyrząd psuje się średnio po 20 godzinach eksploatacji. Obliczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, \
e przyrzÄ…d ten ulegnie uszkodzeniu w czasie 20 godzin pracy.
2. Dana jest zmienna losowa o rozkładzie normalnym N( 0 ; 1). Obliczyć prawdopodobieństwo, \
e
wartość bezwzględna tej zmiennej losowej będzie większa od 1.
3. Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu N( 1; 2 ). Wyznaczyć stałą a tak, aby
P(| X -1|< a) = 0,95
.
N(2;Ã ) Ã
4. Zmienna losowa X ma rozkład normalny . Wyznaczyć odchylenie standardowe tej
P(1,7 < X < 2.3) = 0,6826
zmiennej jeśli wiadomo, \
e .
5. Wiadomo, \
e przeciętny wiek kobiety w chwili urodzenia dziecka wynosi 26,9 lat, przy odchyleniu
standardowym 5,5 roku. Zakładamy, \
e rozkład wieku kobiet w chwili urodzenia dziecka jest
normalny. Wyznaczyć wiek kobiet rodzących dziecko, którego nie przekracza 80% badanej
populacji kobiet.