Podstawowe dyskretne rozkłady probabilistyczne:
1. Rozkład dwumianowy (inaczej Bernoulliego) z parametrami n"N i 0w skrócie B(n, p)

n
xk = k, pk = pk(1 - p)n-k dla k = 0, 1, . . . , n.
k
Jeżeli X ma rozkład B(n, p), to EX = np oraz D2X = np(1 - p).
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = (peit + (1 - p))n.
" Jest to rozkład ilości sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego
z prawdopodobieństwem sukcesu p.
" B(1, p) nazywamy rozkładem zerojedynkowym z parametrem p.
2. Rozkład ujemny dwumianowy (in. Pascala) z parametrami m"N i 0w skrócie N B(m, p)

k-1
xk = k, pk = pm(1 - p)k-m dla k = m, m + 1, . . .
m-1
m m(1 - p)
Jeżeli X ma rozkład N B(m, p), to EX = oraz D2X = .
p p2
m
peit
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = .
1 - (1 - p)eit
" Jest to rozkład czasu oczekiwania na m-ty sukces w ciągu doświadczeń Bernoul-
liego z prawdopodobieństwem sukcesu p.
" N B(1, p) nazywamy rozkładem geometrycznym z parametrem p;
w skrócie Geo(p).
" Wzór na pk można uogólnić na dowolne m > 0. X nie ma wtedy interpretacji
czasu oczekiwania na m-ty sukces. Nazwa  rozkład Pascala odnosi się tylko do
m " N.
3. Rozkład Poissona z parametrem  > 0; w skrócie P().
k
xk = k, pk = e- dla k = 0, 1, . . .
k!
Jeżeli X ma rozkład P(), to EX =  oraz D2X = .
it
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = e(e -1).
4. Rozkład jednostajny dyskretny na odcinku [a, b] z parametrem n " N;
w skrócie DU(a, b, n).
k(b - a) 1
xk = a + , pk = dla k = 0, 1, . . . , n.
n n + 1
(Zauważmy, że pk jest takie samo dla każdego k.)

a + b 2 (b - a)2
Jeżeli X ma rozkład DU(a, b, n), to EX = oraz D2X = 1 + .
2 n 12
eita - eitbeit(b-a)/n
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = .
(n + 1)(1 - eit(b-a)/n)
Podstawowe ciągłe rozkłady probabilistyczne:
1. Rozkład jednostajny na odcinku [a, b]; w skrócie U(a, b).
Å„Å‚
0 dla x " [a, b],
/
òÅ‚
1
Jest to rozkład o gęstości f(x) =
ół
dla x " [a, b].
b - a
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x a,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x - a
Dystrybuanta tego rozkładu ma postać F (x) = dla a < x b,
ôÅ‚
b
ôÅ‚ - a
ôÅ‚
ół
1 dla x > b.
a + b (b - a)2
Jeżeli X ma rozkład U(a, b), to EX = oraz D2X = .
2 12
eitb - eita
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = .
it(b - a)
X - a
" Jeżeli X ma rozkład U(a, b), to ma rozkład U(0, 1).
b - a
2. RozkÅ‚ad normalny z parametrami m " R i à > 0; w skrócie N (m, Ã).
(x-m)2
1
2Ã2
"
Jest to rozkład o gęstości f(x) = e- .
2Ä„Ã
Jeżeli X ma rozkÅ‚ad N (m, Ã), to EX = m oraz D2X = Ã2.
1
2
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = eitm- Ã2t2.
X - m
" JeÅ›li X ma rozkÅ‚ad N (m, Ã), to ma rozkÅ‚ad N (0, 1),
Ã
zwany standardowym rozkładem normalnym.
" Dystrybuantę rozkładu N (0, 1) oznaczamy zwykle Ś(x).
Wartości Ś(x) dla 0 x 4, 417 znajdują się w tablicach,
dla większych x wartość Ś(x) to prawie 1.
Natomiast dla x < 0 stosujemy wzór Ś(-x) = 1 - Ś(x).
3. Rozkład Laplace a (in. podwójnie wykładniczy)
z parametrami m " R i  > 0; w skrócie L(m, ).
Jest to rozkład o gęstości f(x) = (/2)e-|x-m|.
2
Jeżeli X ma rozkład L(m, ), to EX = m oraz D2X = .
2
eitm
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = .
1 + (t/)2
" Jeżeli X ma rozkład L(m, ), to (X - m) ma rozkład L(0, 1),
4. Rozkład Cauchy ego z parametrami m " R i  > 0;
w skrócie C(m, ).
 1
Jest to rozkÅ‚ad o gÄ™stoÅ›ci f(x) = · .
Ä„ 1 + ((x - m))2
Jeżeli X ma rozkład C(m, ), to EX i D2X nie istnieją.
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = eitm-|t|/.
" Jeżeli X ma rozkład C(m, ), to (X - m) ma rozkład C(0, 1),
5. Rozkład wykładniczy z parametrem  > 0; w skrócie Exp().

0 dla x 0,
Jest to rozkład o gęstości f(x) =
e-x dla x > 0.

0 dla x 0,
Dystrybuanta tego rozkładu ma postać F (x) =
1 - e-x dla x > 0.
1 1
Jeżeli X ma rozkład Exp(), to EX = oraz D2X = .
 2
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = (1 - it/)-1.
" Jeżeli X ma rozkład Exp(), to X ma rozkład Exp(1).
6. Rozkład gamma z parametrem skali  > 0 i parametrem kształtu p > 0;
w skrócie G(, p).
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x 0,
òÅ‚
p
Jest to rozkład o gęstości f(x) =
ôÅ‚
xp-1e-x dla x > 0,
ół
“(p)
"

gdzie “(p) = xp-1e-xdx nazywana jest funkcjÄ… gamma. Funkcja ta ma nastÄ™pujÄ…ce
0
wÅ‚asnoÅ›ci: “(p + 1) = p“(p) i stÄ…d dla p " N mamy “(p) = (p -
"1)!;
oraz “(p)“(1 - p) = Ä„ dla 0 < p < 1 i stÄ…d “(1/2) = Ä„.
p p
Jeżeli X ma rozkład G(, p), to EX = oraz D2X = .
 2
Funkcja charakterystyczna tego rozkÅ‚adu ma postać ÕX(t) = (1 - it/)-p.
" G(, 1) to rozkład wykładniczy Exp().
" G(, n), gdzie n " N, nazywamy rozkładem Erlanga.
" G(1/2, n/2), gdzie n " N, nazywamy rozkładem chi kwadrat z n stopniami
swobody; w skrócie Ç2(n).
" Jeżeli X ma rozkład G(, p), to X ma rozkład G(1, p).
7. Rozkład Weibulla z parametrem skali  > 0 i parametrem kształtu p > 0;
w skrócie W(, p).

0 dla x 0,
Jest to rozkład o gęstości f(x) = p
p(x)p-1e-(x) dla x > 0.

0 dla x 0,
Dystrybuanta tego rozkładu ma postać F (x) = p
1 - e-(x) dla x > 0.
“(1 + 1/p)
Jeżeli X ma rozkład W(, p), to EX = oraz

“(1 + 2/p) - “2(1 + 1/p)
D2X = .
2
Funkcja charakterystyczna tego rozkładu nie ma na ogół jawnej postaci.
" W(, 1) to rozkład wykładniczy Exp().
" Jeżeli X ma rozkład W(, p), to X ma rozkład W(1, p).