Rozkłady
zmiennej losowej
1
2
3
1
4
5
6
2
7
8
9
3
10
11
12
4
Rozkł
ład Weibulla
ł
ł
Dystrybuanta Funkcja gęstości
b
b-1 b
�ł łł
x
�ł - x0
�ł
b x - x0 �ł �ł �ł x - x0 �ł łł
�ł
F (x) = 1- exp�ł- �ł �ł śł
f (x) = �"exp�ł- śł
�ł �ł �ł �ł
a
�ł łł
�ł śł a a a
�ł �ł �ł łł �ł łł
�ł śł
�ł �ł
gdzie:
x0 parametr położenia (progowy), x0 < xmin
b > 0 parametr kształtu
a > 0 parametr skali
Inna postać dystrybuanty i funkcji gęstości:
�ł - x0 )b
b (x łł
�ł - x0)b łł
(x
f (x) = (x - x0 )b-1 �"exp�ł-
F(x) = 1- exp�ł-
śł
śł
c c
c
�ł �ł �ł �ł
gdzie c = ab
oraz gdy x0=0
�ł łł �ł łł
xb
b xb
F(x) = 1- exp�ł- f (x) = (x)b-1 �"exp�ł-
śł
śł
13
c
�ł �ł c c
�ł �ł
Szczególne wartości parametru b:
b = 1 rozkład Weibulla staje się rozkładem wykładniczym
b = 3.60232 to ł1 = 0 rozkład Weibulla
b = 3.43938 to � = Me zbliżony do
b = 3.31125 to � = Mo rozkładu
normalnego
1
b = = 3.25889
to Mo = Me
1 - ln2
Gdy x-x0 = a to F(x) = 1 - 1/e = 0.6321
14
15
5
16
Wartość średnia (oczekiwana)
1
E(x) = � = a�( + 1)+ x0
b
Odchylenie standardowe (średnie)
2 1
D2(x) = � = a �( +1)- �2( +1)
b b
Kwantyl rzędu p
gdzie p = F(xp)
1 1
1 b b
xp = a[ln( )] + x0 = a[- ln(1- p)] + x0 = ab - ln(1- p) + x0
1- p
17
Mediana
1
b
Me(x) = a(ln 2) + x0 = ab ln2 + x0
Moda
1
1
1 b 1 1
b
Mo(x) = [ab(1- )] + x0 = a(1- ) + x0 = ab 1- + x0
b b b
18
6
Współczynnik asymetrii
3 2 1 1
�( +1)- 3�( +1)�( +1)+ 2�3( +1)
b b b b
ł1 =
3
2
2 1
[�( +1)- �2( +1)]
b b
Współczynnik spłaszczenia
4 3 1 1 2 1
�( +1)- 4�( +1)�( +1)+ 6�2( +1)�( +1)- 3�4( +1)
b b b b b b
ł = - 3
2 2
2 1
[�( +1)- �2( +1)]
b b
19
Szacowanie parametrów rozkładu Weibulla (metoda graficzna)
20
1
lnln
1 - F(x* )
b =
x* - x0
ln
a
21
7
(x3 - x2 ) �" (x2 - x1)
x0 = x2 - 22
(x3 - x2 ) - (x2 - x1)
Metoda analityczna estymacji parametrów rozkładu Weibulla:
b
�ł - x0 łł
x
�ł �ł
F(x) = 1- exp�ł- �ł �ł śł
a
�ł łł
�ł śł
�ł �ł
b
�ł - x0 łł
x
�ł �ł
exp�ł- �ł �ł śł
= 1- F(x)
/ln
a
�ł łł
�ł śł
�ł �ł
b
x
�ł - x0 �ł
- �ł �ł - F(x))
= ln(1
/�(-1)
a
�ł łł
b
x
�ł - x0 �ł
=
�ł �ł -ln(1 - F(x))
a
�ł łł
b
x
�ł - x0 �ł 1 �ł
�ł
= ln�ł �ł
�ł �ł /ln
�ł1 �ł
a
�ł łł - F(x)
�ł łł
x - x0 �ł 1 �ł
b �" ln�ł �ł = ln ln�ł �ł
�ł �ł
�ł1- F(x) �ł
a
�ł łł 23
�ł łł
�ł 1 �ł
b[ln(x - x0)- ln a] = ln ln�ł �ł
�ł �ł
1 - F (x)
�ł łł
�ł 1 �ł
bln(x - x0)- bln a = ln ln�ł �ł
�ł1 - F(x) �ł
�ł łł
�ł 1 �ł
ln ln�ł �ł = bln(x - x0)- bln a
�ł1 - F(x) �ł
�ł łł
Y = A�"X + B równanie funkcji liniowej
24
8
Y = A�"X + B równanie funkcji liniowej
Y = lnln{1/(1-F(x)};
X = ln(x-x0);
A = b;
B = -blna
A, B  współczynniki funkcji liniowej
parametry rozkł
ładu Weibulla:
ł
ł
b = A
lna = -B/A, potęgując e do lna otrzymujemy
elna = e-B / A
wykorzystując własność logarytmu naturalnego
eln a = a
otrzymujemy
a = exp(-B/A)
25
26
Rozkł
ład Beta (I rodzaju)
ł
ł
Funkcja gęstości Dystrybuanta
x
1
p -1
f (x) = �" x (1- x)q -1 F(x) = f (x)dx
+"
B( p,q)
0
gdzie: p > 0; q > 0
oraz Funkcja Beta
gdzie: p > 0; q > 0
�(p)�(q)
B( p, q) =
�( p + q)
lub
t
p-1
B( p,q) = (1- t)g-1dt
+"t
0 27
9
28
29
30
10