Warunek plastyczności. Hipoteza Mohra
t� s�
=g( )
t�n
p=f(q)
Warunek stanu granicznego
f�
(plastyczności ) określa stan naprężenia
q
odpowiadający plastycznemu płynięciu
s�n
s�2 s�1
p
s�n
f (s� ,w) =� 0
ij
Duża liczba warunków stanu granicznego bazuje na hipotezie Mohra,
zakładającej że o zniszczeniu ośrodka decydują maksymalne i minimalne
naprężenia główne, a wpływ trzeciego pośredniego naprężenia głównego jest
pomijalny.
p=f(q) lub F(p,q) = 0 warunek w ogólnej postaci (w funkcji naprężeń p,q)
gdzie p=1/2(s�1+s�2), a q=1/2(s�1-s�2), a s�1,s�2,s�3 oznaczają kolejno
maksymalne, minimalne i pośrednie naprężenia główne
warunek w ogólnej postaci
|t�n|= g(s�n ) lub G(s�n ,t�n ) = 0 ,
(w funkcji naprężeń s�n, t�n)
Warunki stanu granicznego. Tresca
Stan graniczny zostaje osiągnięty gry maksymalne naprężenia styczne
osiągają wartość graniczną k (wytrzymałość na ścinanie).
1 1
s�1 -s�3 =� k lub f (s� ) =� s�1 -s�3 - k =� 0
2 2
1 ć� J3 ��
1
q� = arccos 3 6 ��
��
J2 =� [�(�s�1 -s� )�2 + (�s�1 -s�3)�2 + (�s� -s� )�2]�
2 2 3
3 r�3 ł�
6
Ł�
J3 =� det sij =� (�s�1 -s� )�(�s� -s� )�(�s�3 -s� )�
m 2 m m
r� = 2J2
�� ł�
ę� ś�
cos(q� )
1 1
s�1 1
�� ł� �� ł�
2
s�1 -s� =� 3J2 [cosq� - cos(q� + p� ) =� k
ę� ś�
3
2 2
3
ę�s� ś� ę�1ś�
2 3
=� s� + r�
ę�cos(q� + p� )ś�
2 m
ę� ś� ę� ś�
3 3
ę� ś�
lub
ę�s� ś� ę�1ś�
3
�� �� �� ��
ę�cos(q� - 2 p� )ś�
1
ę� ś�
2
�� 3 ��
f (J2,q� ) =� 3J2 [cosq� - cos(q� + p� )]- k =� 0
3
3
1
f (J2,q� ) =� J2 sin(q� + p� ) - k =� 0
3
1
f (r�,q� ) =� r� sin(q� + p� ) - 2k =� 0
3
Warunki stanu granicznego. Huber- Mises
Stan graniczny zostaje osiągnięty gry dewiator naprężenia J2 osiąga wartość
graniczną k2 (k- wytrzymałość na ścinanie).
2
f (s� ) =� J2 - k =� 0
1
J2 =� sijsij ,
2
1
2 2 2
J2 =� [�(�s�11 -s� )�2 +(�s�11 -s�33)�2 +(�s� -s�33)�2 + 6(�s�12 +s� +s�13)�]�
22 22 23
6
q =� s�ef =� 3J2
f (J2 ) =� 3J2 - 3k =� 0
r� = 2J2
f (J2 ) =� 3J2 -s� =� 0
p
3
f (J2 ) =� sijsij -s� =� 0
p
2
f (r�) =� r� - 2k =� 0
Warunek Coulomba
1 1
(s�1 -s�2) - (s�1 +s�2)sinj� - ccosj� =� 0
t� =� c +s� tanj�
2 2
n n
s�1(1- sinf�) -s� (1+ sinf�) - 2ccosf� =� 0
2
F(s� ,t� ) =� t� - c -s� tanj� =� 0
n n n n
ć� sinf� ��
1 p� p�
f (I1, J2,q�) =� - I1 sinf� + J2 ��sin(q� + ) - cos(q� + ) �� - ccosf� =� 0
�� ��
3 3 3
3
Ł� ł�
Warunek Coulomba cd
Warunki stanu granicznego. Drucker-Prager
(extended von Mises)
f (I1, J2 ) =� J2 -a� I1 - k =� 0
2sin f� 6c cosf�
a� =� , k =� ,q� =� 0
3(3 - sin f�) 3(3 - sin f�)
2sin f� 6c cosf�
a� =� , k =� ,q� =� 60
3(3 + sin f�) 3(3 + sin f�)