Jeżeli całkowanie przez części to zło w najczystszej postaci to całkowanie przez podstawienie
jest istnym narzędziem szatana.
Teoria mówi, że jeżeli funkcję f(x) można zapisać jako iloczyn jakiejś funkcji złożonej i
pochodnej funkcji wewnętrznej, to możemy ową funkcję wewnętrzną zastąpić nową zmienną
(zwykle zmiennÄ… t).
(nie wiem, czy ktoś to zrozumiał, ale prościej nie mogę, może czytelniejsze to będzie na
wzorze)
2
f (x)dx = g(h(x))× h (x)dx = g(t)dt
+" +" +"
ln x
Przykład 1: obliczyć całkę: dx w tym przypadku stosujemy podstawienie t = ln x .
+"
x
Większość osób nie ma problemu z wyborem co podstawić pod t, ale problem zaczyna się,
gdy trzeba podstawić dx przez dt. Wyjaśniam po kolei jak to zrobić:
t = ln x
Obustronnie liczymy pochodnÄ… po x:
d
t = ln x /
dx
d d
t = ln x
dx dx
1
Wiemy, że pochodna ln x jest równa , więc mamy:
x
dt 1
=
dx x
Teraz obustronnie mnożymy przez dx:
dx
dt =
x
A więc stosujemy podstawienie:
t = ln x
ln x 1
2
dx
dx = = = t
+" +"tdt 2
dt =
x
x
Jak widzimy po podstawieniu nowopowstała całka jest prosta do wyliczenia. Teraz tylko
wracamy z powrotem do zmiennej x.
1 1
2
2
t = (ln x)
2 2
2
Przykład 2: obliczyć całkę xex dx
+"
t = x2
2
1 1 1
t t
xex dx = dt = 2xdx = dt = dt = et
+" +"e 2 2 +"e 2
1
dt = xdx
2
Wracamy do zmiennej x:
2
1 1
et = ex
2 2