Parametryczne Testy Istotności
Wzory
Parametryczne testy istotności  schemat postępowania punkt po
punkcie
1. Formułujemy hipotezę główną H0 odnośnie jakiegoś parametru w populacji
generalnej. Hipoteza H0 ma najczęściej postać parametr =� liczba .
Formułujemy hipotezę alternatywną H1 . Może ona mieć postać parametr ą� liczba ,
parametr >� liczba , parametr <� liczba .
2. Obliczamy odpowiednią statystykę.
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny (obu lub jednostronny w zależności od H1 )
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 1
I. Testy istotności dla jednej średniej w populacji generalnej z
rozkładem normalnym
I.a Znamy odchylenie standardowe w populacji generalnejs� .
1. Formułujemy hipotezy:
H0 : m =� m0
H1 : m ą� m0 lub H1 : m >� m0 lub H1 : m <� m0
gdzie m to średnia w populacji generalnej, a mo to wybrany przez nas parametr
X -� m0
2. Obliczamy statystykę: Z =��� n
s�
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w
zależności od H1)
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0 .
I.b Nie znamy odchylenia standardowego w populacji generalnejs�
, liczebność próbki
n
jest duża.
1. Formułujemy hipotezy:
H0 : m =� m0
H1 : m ą� m0 lub H1 : m >� m0 lub H1 : m <� m0
gdzie m to średnia w populacji generalnej, a mo to wybrany przez nas parametr
X -� m0
2. Obliczamy statystykę: Z =��� n
S
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w
zależności od H1)
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 2
I.c Nie znamy odchylenia standardowego w populacji generalnejs�
, liczebność próbki
n
jest mała.
1. Formułujemy hipotezy:
H0 : m =� m0
H1 : m ą� m0 lub H1 : m >� m0 lub H1 : m <� m0
gdzie m to średnia w populacji generalnej, a mo to wybrany przez nas parametr
X -� m0
2. Obliczamy statystykę: t =� n -�1
S
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu t Studenta (obu lub jednostronny w
zależności od H1) dla n -�1 stopni swobody. Pamiętamy o podwojeniu poziomu istotności w
obszarach jednostronnych.
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 3
II. Porównywanie średnich z dwóch populacji o rozkładzie normalnym.
II.a Znamy odchylenia standardowe w populacjach generalnych s�1 i s� .
2
1. Formułujemy hipotezy:
H0 : m1 =� m2
H1 : m1 =� m2 lub H1 : m1 <� m2 lub H1 : m1 >� m2
gdzie m1 , m2 to średnie w obu populacjach
X1 -� X2
2. Obliczamy statystykę: Z =�
2 2
s�1 s�2
+�
n1 n2
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w
zależności od H1)
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0 .
II.b Nie znamy odchyleń standardowych w populacjach generalnych s�1 i s� , a
2
liczebności prób n1 i n2 są duże.
1. Formułujemy hipotezy:
H0 : m1 =� m2
H1 : m1 =� m2 lub H1 : m1 <� m2 lub H1 : m1 >� m2
gdzie m1 , m2 to średnie w obu populacjach
X1 -� X2
2. Obliczamy statystykę: Z =�
2 2
S1 S2
+�
n1 n2
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w
zależności od H1)
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 4
II.c Nie znamy odchyleń standardowych w populacjach generalnych s�1 i s� , a
2
liczebności prób n1 i n2 są małe.
1. Formułujemy hipotezy:
H0 : m1 =� m2
H1 : m1 =� m2 lub H1 : m1 <� m2 lub H1 : m1 >� m2
gdzie m1 , m2 to średnie w obu populacjach
X1 -� X2
2. Obliczamy statystykę: t =�
2 2
��
n1S1 +� n2S2 1 1
+�
��
n1 +� n2 -� 2 n1 n2 ��
Ł�ł�
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu t Studenta (obu lub jednostronny w
zależności od H1) dla n1 +� n2 -� 2 stopni swobody. Pamiętamy o podwojeniu poziomu
istotności w obszarach jednostronnych.
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 5
III. Testy istotności dla jednej wariancji w populacji generalnej z
rozkładem normalnym
III.a Liczebność próbki n jest duża
1. Formułujemy hipotezy:
2 2
H0 :s� =� s�0 lub H0 :s� =� s�0
2 2
H1 :s� >� s�0 lub H1 :s� >� s�0
2 2
gdzie to wariancja w populacji generalnej, a s�0 to wybrany przez nas parametr.
s�
nS2
2
2.Obliczamy statystykę: Z =� 2c�2 -� 2n -� 3 , gdzie c� =� .
2
s�0
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (prawostronny).
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0 .
III.b Liczebność próbki n jest mała
1. Formułujemy hipotezy:
2 2
H0 :s� =� s�0 lub H0 :s� =� s�0
2 2
H1 :s� >� s�0 lub H1 :s� >� s�0
2 2
gdzie s� to wariancja w populacji generalnej, a s�0 to wybrany przez nas parametr.
nS2
2
2.Obliczamy statystykę: c� =� .
2
s�0
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu chi-kwadrat (prawostronny) przy n -�1
stopniach swobody.
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 6
IV. Porównywanie wariancji z dwóch populacji o rozkładzie normalnym.
1. Formułujemy hipotezy:
2 2
H0 :s�1 =� s�2 lub H0 :s�1 =� s�2
2 2
H1 :s�1 >� s�2 lub H1 :s�1 >� s�2
2 2
gdzie s�1 is�2 to wariancje w populacjach, tak ponumerowanych, że \
1 >� \
2 .
\
12
2.Obliczamy statystykę: F =� , dla \
1 >� \
2 .
2
\
2
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu F Snedecora (prawostronny) przy
n1 -�1i n2 -�1stopniach swobody.
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 7
V. Testy istotności dla jednego prawdopodobieństwa (odsetka, frakcji)
w populacji generalnej
1. Formułujemy hipotezy:
H0 : p =� p0
H1 : p ą� p0 lub H1 : p >� p0 lub H1 : p <� p0
gdzie p to odsetek w populacji generalnej, a po to wybrany przez nas parametr.
m
-� p0
n
2. Obliczamy statystykę: Z =�
p0 1-� p0
(� )�
n
m
gdzie m to liczba jednostek w próbie, mających badaną cechę, a to odsetek jednostek
n
w próbie, mających tą cechę.
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny
w zależności od H1)
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 8
VI. Porównywanie dwóch prawdopodobieństw (odsetków, frakcji) w
dwóch populacjach generalnych
1. Formułujemy hipotezy:
H0 : p1 =� p2
H1 : p1 ą� p2 lub H1 : p1 >� p2 lub H1 : p1 <� p2
gdzie p1 , p2 to odsetki w populacjach generalnej.
m1 m2
-�
n1 n2
2. Obliczamy statystykę: Z =�
��
m1 +� m2 m1 +� m2
n1 +� n2 ��1-� n1 +� n2 ��
Ł�ł�
n1 �� n2
n1 +� n2
m1 m2
gdzie m1 , m2 to liczba jednostek w próbie, mających badaną cechę, a , to
n1 n2
odpowiednio odsetki w próbach.
3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny
w zależności od H1)
4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak  odrzucamy
hipotezę H0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie  stwierdzamy, że nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy H0 .
www.etrapez.pl Krystian Karczyński Strona 9