Edward Musiał
Oddział Gdański SEP
Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych
Inżynier wykonuje niemal wyłącznie obliczenia przybliżone i powinien mieć nieustannie na
względzie dokładność, jaką chce uzyskać i jaką może uzyskać. Dane wyjściowe do obliczeń,
pochodzące z pomiarów, z innych, wcześniejszych obliczeń, z danych katalogowych urządzeń lub
z oszacowań, charakteryzują się określoną dokładnością. Nie można uzyskać dokładności wyników
obliczeń większej niż dokładność wprowadzonych danych. Niecelowe jest też wykonywanie
obliczeń z dokładnością większą niż jest to potrzebne.
Kto bez zastanowienia podaje  jako wynik obliczeń  przesadnie liczne cyfry wskazane
przez kalkulator lub komputer, naraża się na zarzut, że nie zdaje sobie sprawy z koniecznej i/lub
możliwej do uzyskania dokładności albo na zarzut nieuczciwego sugerowania nieosiągalnej
dokładności.
Błąd przybliżenia. Jeśli zamiast wartości dokładnej (liczby dokładnej) x operuje się jej
przybliżeniem (liczbą przybliżoną) a, to:
x  a jest błędem bezwzględnym przybliżenia,
x - a
jest błędem względnym przybliżenia.
a
Jeżeli przy tym wiadomo, że zawsze i bez zbędnego nadmiaru jest spełniona nierówność
|x  a| < "a, to:
jest górnym kresem błędu bezwzględnego rozpatrywanego przybliżenia,
"a
"a
jest górnym kresem błędu względnego rozpatrywanego przybliżenia.
= �a
a
Miarą błędu przybliżenia, a zatem i miarą dokładności, jest wartość błędu względnego.
Zwykle wyraża się ją w procentach.
Przykład
Liczba 1,41 jest przybliżeniem wartości 2 z błędem 0,004213& Za górny kres błędu bezwzględnego można
przyjąć 0,0043, a za górny kres błędu względnego 0,0043:1,41 = 0,0030 = 0,30 %.
Cyfry znaczące (cyfry wartościowe) przybliżenia dziesiętnego, tzn. podanego w postaci
liczby dziesiętnej, są to wszystkie jego cyfry z wyjątkiem zer stojących po lewej stronie
przybliżenia.
Przykłady
Trzy cyfry znaczące mają następujące liczby:
200 20,0 2,00 0,00200 185 18,5 1,85 0,185 0,000185
Sześć cyfr znaczących mają następujące liczby:
300 000 245 000 19,5396 14,3700 0,00200150 0,00400000
Cyfry pewne. Jeżeli błąd bezwzględny przybliżenia a nie przekracza jednostki (a bardziej
rygorystycznie: połowy jednostki) ostatniego rzędu dziesiętnego (cyfry znaczącej ostatniej z prawej
strony) liczby a, to w liczbie a występują tylko cyfry pewne. Przybliżenia dziesiętne należy pisać z
zachowaniem jedynie cyfr pewnych; inaczej mówiąc należy odrzucić te cyfry znaczące, które nie są
1
pewne. To właśnie liczba cyfr pewnych w danym przybliżeniu dziesiętnym określa stopień
dokładności tego przybliżenia.
Przykłady
Następujące przybliżenia mają trzeci stopień dokładności (trzy cyfry pewne): 1 stopa sześcienna = 0,0283 m3,
l cal = 2,54 cm.
'
Ik' = 27,4 kA
Trzecim stopniem dokładności charakteryzuje się obliczony prąd zwarciowy początkowy: albo
'
Ik' = 27,4 �"103 A
. Zapis 27400 A nie jest właściwy, bo zawiera 5 cyfr znaczących i mylnie sugeruje piąty
stopień dokładności, a tylko trzy pierwsze cyfry są pewne.
Informacja, iż w określonym miejscu systemu moc zwarciowa wynosi 2 GVA nie jest tożsama z informacją, iż
wynosi ona 2000 MVA.
10n 10- n
W zapisie mnożnika lub wskazane jest posługiwanie się wykładnikiem
potęgowym będącym wielokrotnością cyfry trzy, co czyta się: atto-, femto-, piko-, nano-, mikro-,
mi1i-, kilo-, mega-, giga-, tera-, peta-, eksa-.
'
Ik' = 27,4 �"103 A
Inżynier woli zapis , który odczytuje jako: dwadzieścia siedem i cztery
'
Ik' = 274 �"102 A
dziesiąte kiloampera, chociaż matematyk za równoważne uzna zapisy: ,
' ' '
Ik' = 2,74 �"104 A Ik' = 0,274 �"105 A Ik' = 0,0274 �"106 A
, , itd., z których każdy zawiera te same trzy
cyfry znaczące pewne.
Jeżeli przybliżenie a ma n cyfr znaczących pewnych, to jego błąd względny �a spełnia
nierówność:
1
�a d"
,
z �"10n-1
w której z jest pierwszą cyfrą znaczącą danego przybliżenia a. Przybliżenie a z błędem względnym
�a ma n cyfr znaczących pewnych, przy czym n jest największą liczbą całkowitą spełniającą
nierówność
(1+ z) �" �a d" 101-n
.
Przykład
Kalkulator wyświetlił jako wynik końcowy obliczeń wykonywanych z błędem względnym �a = 1 % wartość
a = 2,553762184. Ile cyfr n tego wyniku jest pewnych?
(1+ 2) �" 0,01 d" 101-n 0,03 d" 101-n n = 2.
Pewne są dwie cyfry. Zatem wynik końcowy obliczeń należy zapisać jako a = 2,6; gdyby to był wynik pośredni
obliczeń, wtedy należałoby zapisać się jedną (zapasową) cyfrę znaczącą więcej: a = 2,56.
Przykład ten zarazem wyjaśnia, że odrzucanie cyfr niepewnych nie powinno się odbywać odruchowo i
bezmyślnie, lecz wymaga respektowania podanych niżej zasad zaokrąglania liczb.
Zapisywanie liczb dokładnych. Jeżeli trzeba zaznaczyć, że dana liczba jest dokładna, to po
tej liczbie należy zamieścić w nawiasie słowo dokładnie lub ostatnią cyfrę znaczącą liczby należy
drukować czcionką grubą (bold). Dopuszcza się, zwłaszcza w rękopisach, podkreślanie ostatniej
cyfry liczby dokładnej.
Przykłady
l litr = l dm3 (dokładnie) l kWh = 3600000 J (dokładnie)
l kWh = 3600000 J l kWh = 3600000 J
Zaokrąglanie liczb [5]. Jeżeli liczba przybliżona zawiera zbędne lub niepewne cyfry, należy
ją zaokrąglić zachowując tylko cyfry pewne i tylko tyle cyfr, ile potrzeba.
l. Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to ostatnia
2
pozostająca cyfra nie ulega zmianie, np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego:
14,24 14,2.
2. Jeżeli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest większa niż 5, to ostatnią
pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę. np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca
dziesiętnego: 26,48 26,5.
3. Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równa 5 i następuje po niej
co najmniej jeszcze jedna cyfra inna niż zero, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o
jednostkę, np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 1,050020 1,1.
4. Jeżeli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równa 5, i nie następuje po
niej żadna cyfra inna niż zero, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę, jeśli jest to
cyfra nieparzysta, a nie zmienia się jej, jeśli jest to cyfra parzysta (zero uważa się za cyfrę parzystą).
Inaczej mówiąc, w takim przypadku ostatnia pozostawiona cyfra powinna być parzysta, np. przy
zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 0,05 0,0; 0,15 0,2; 0,25 0,2; 0,45000
0,4. Jest to rezultat konwencji przyjętej w skali międzynarodowej [5] po to, aby wykonywane w
różnych ośrodkach, pracowniach i laboratoriach obliczenia, wykorzystujące te same dane
wyjściowe (np. identyczne wyniki pomiarów), dawały ten sam wynik końcowy.
5. W przypadku odrzucania więcej niż jednej cyfry, nie należy liczby zaokrąglać w kilku
etapach, lecz od razu odrzucić wszystkie zbędne cyfry zgodnie z podanymi powyżej zasadami.
Przykład
z
le
15,4546 15,455 15,46 15,5 16
dobrze
15,4546 15
6. Liczby całkowite należy zaokrąglać zgodnie z zasadami od l do 5 z tym, że zamiast cyfry
odrzucać, należy je zastępować przez zero.
Przykłady
zaokrąglanie do setek
1234 1200
zaokrąglanie do dziesiątek
126 130
7. Jeśli liczbę zaokrągla się do 50, 5, 0,5 lub 0,05 itd., to najpierw należy ją podwoić,
otrzymany iloczyn zaokrąglić odpowiednio do 100, 10, l, 0,1 itd. zgodnie z zasadami od 1 do 6,
a następnie podzielić przez dwa.
Przykłady
Aby zaokrąglić liczbę 60,25 do 0,5, należy podwoić ją (120,50), zaokrąglić do jedności (120) i podzielić przez
dwa (60). W rezultacie: 60,25 60.
Podobnie postępując z liczbą 60,75, otrzyma się następujące wyniki: 60,75 (121,5 122) 61.
8. Jeżeli liczbę zaokrągla się do 2, 0,2 lub 0,02 itd., to najpierw należy ją pomnożyć przez
pięć, otrzymany iloczyn zaokrąglić odpowiednio do 10; l; 0,1 itd. zgodnie z zasadami od 1 do 6,
a następnie podzielić przez pięć.
Przykład
Aby zaokrąglić liczbę 8,30 do 0,2, należy pomnożyć ją przez pięć (41,50), zaokrąglić do jedności (42)
i podzielić przez pięć (8,4). W rezultacie: 8,30 8,4.
Błąd działania na liczbach przybliżonych [1]. Wynik działań na liczbach przybliżonych
jest także liczbą przybliżoną. Błąd wyniku może być wyrażony przez błędy poszczególnych
danych. Zwykle oblicza się górny kres błędu w konwencji the worst case, tzn. przy założeniu, że
poszczególne błędy składowe kumulują się w sposób najbardziej niekorzystny, mają największą
możliwą wartość bezwzględną i ten sam znak, co prowadzi do następujących wniosków.
a) Górny kres błędu bezwzględnego sumy lub różnicy przybliżeń równa się sumie górnych
kresów błędów bezwzględnych poszczególnych składników, na przykład:
3
"(a  b + c  d) = "a + "b + "c + "d
b) Błąd względny sumy przybliżeń jest zawarty między najmniejszym i największym z
błędów względnych poszczególnych składników. Na przykład, jeżeli �a < �b < �c < �d, to błąd
względny sumy spełnia nierówność:
"a "(a + b + c + d) < "d
<
a a + b + c + d d
c) Błąd względny iloczynu lub ilorazu przybliżeń jest równy sumie błędów względnych tych
przybliżeń:
a
�(a �" b) = �a + �b ��# ś# = �a + �b
ś# ź#
b
�# #
d) Błąd względny m-tej potęgi liczby przybliżonej jest m razy większy niż błąd względny
podstawy potęgi, co wynika z poprzedniej zasady:
�(am) = m �" �a
e) Błąd względny pierwiastka stopnia m z liczby przybliżonej równa się 1/m błędu
względnego liczby podpierwiastkowej:
1
m
� ( a) = �"�a
m
Przykłady
Określić błąd wyniku obliczenia wykonanego według wzoru V = r2 �" h
Błąd względny:
�V = 2�"�r + �h
"r "h
ś#
Błąd bezwzględny:
"V = V �" �V = V �" �#2 +
ś# ź#
r h
�# #
x
Określić błąd wyniku obliczenia wykonanego według wzoru z =
1+ y
1
Błąd względny: �z = [�x + �(1+ y)]
2
z �# "x "y ś#
Błąd bezwzględny:
"z = z �" �z = �" ś# + ź#
ś# ź#
2 x 1+ y
�# #
Zagadnienie odwrotne rachunku przybliżeń [1]. Chodzi o odpowiedz
na pytanie: jaka
powinna być dokładność wprowadzanych danych, aby otrzymany wynik obliczeń miał założoną
dokładność? Aby na nie odpowiedzieć, należy wyprowadzić wzór określający błąd wyniku, po
czym  posługując się podanymi wyżej prawidłami  obliczyć, jakie są dopuszczalne błędy danych
wejściowych, by błąd nie przekraczał założonej wartości. Problem może mieć różne rozwiązania,
zależnie od przyjętych założeń.
Przykład
Z jaką dokładnością powinny być zmierzone przyprostokątne trójkąta prostokątnego, z których jedna jest około
trzy razy mniejsza od drugiej, aby błąd kąta wyznaczonego za pośrednictwem tangensa nie przekraczał l' (jednej
minuty kątowej)?
b �" "a + a �" "b
Kąt ma być obliczony ze wzoru: � = arctg( a/b) z błędem względnym: "� =
a2 + b2
Podstawiając b = 3�"a oraz zakładając, że "a = "b, otrzymuje się
"a
"� = 0,4 �" = 0,4 �"�a ,
a
4
"a
a ponieważ założono "� = l' = 0,0002909 rd, wobec tego: �a = = 0,0007 = 0,07 % . Zatem przy założeniu
a
jednakowych błędów bezwzględnych pomiaru obu przyprostokątnych, dopuszczalny błąd względny pomiaru
mniejszej z nich wynosi 0,07 %.
Obliczenia przybliżone bez dokładnego uwzględniania błędów [1]. Przy wykonywaniu
zwykłych obliczeń inżynierskich nie określa się błędu każdego wyniku z osobna, lecz przestrzega
się prostych reguł zapewniających, że wyniki mają na ogół wszystkie cyfry pewne, a błąd nie
przekracza kilku jednostek ostatniego rzędu. Poniższe zasady mają znaczenie fundamentalne
przy wykonywaniu wszelkich praktycznych obliczeń.
l) Przy dodawaniu i odejmowaniu przybliżeń dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle
cyfr po przecinku, ile ich jest w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą liczbę cyfr po przecinku.
Przykłady
142,7 + 37,084  0,72727 = 179,1
142,7  0,00475 = 142,7
2) Przy mnożeniu i dzieleniu przybliżeń dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle cyfr
znaczących, ile jest ich w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą liczbę cyfr znaczących.
Przykłady
1,33333 �" 2 = 3
1,33333 �" 2 = 2,66666
13,74 �" 2,03333
= 6,8
4,1
3) Przy podnoszeniu przybliżenia dziesiętnego do kwadratu lub sześcianu należy wziąć w
wyniku tyle cyfr znaczących, ile ma ich dane przybliżenie, czyli należy zachować jego stopień
dokładności.
Przykłady
3,003 = 27,0 3,5412 = 12,54
Błąd względny kwadratu i sześcianu przybliżenia dziesiętnego jest odpowiednio około 2 i 3 razy większy niż
błąd względny samego przybliżenia, a więc błąd wyniku potęgowania może przekraczać jednostkę ostatniego
zachowanego w nim rzędu.
4) Przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego lub sześciennego z przybliżenia dziesiętnego
należy zachować w wyniku tyle cyfr znaczących, ile ma ich dane przybliżenie.
Przykłady
3
270 = 16,4 10000 = 21,544
Błąd względny takiego pierwiastka jest odpowiednio 2 lub 3 razy mniejszy niż błąd względny samego
przybliżenia.
5) We wszystkich obliczeniach pośrednich należy zachować o jedną cyfrę znaczącą więcej
niż to wynika z powyższych prawideł; dopiero przy zapisywaniu końcowego wyniku obliczeń tę
zapasową cyfrę należy odrzucić.
6) Jeśli pewne przybliżenia dziesiętne mają w dodawaniu i odejmowaniu więcej cyfr po
przecinku, a w mnożeniu i dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu więcej cyfr znaczących niż
inne przybliżenia, to przed wykonaniem obliczeń należy je zaokrąglić do poziomu dokładności
pozostałych przybliżeń z zachowaniem cyfry dodatkowej (zapasowej); w końcowym wyniku tę
zapasową cyfrę należy odrzucić.
7) Jeżeli można brać dane z dowolną dokładnością, to  dla otrzymania wyniku o k cyfrach
znaczących pewnych  należy wziąć te dane z taką liczbą cyfr znaczących, która zgodnie z
zasadami od l do 4 daje w wyniku (k + l) cyfr pewnych.
5
 Przykład obliczeń przybliżonych
Obliczyć początkowy prąd zwarciowy przy zwarciu trójfazowym na szynach 15 kV stacji, jak
na rysunku.
SkQ" = 1500 MVA
110 kV
110/16,5 kV/kV
16 MVA
ukr = 0,11
15 kV
Na błąd końcowego wyniku składają się: błąd z tytułu pominięcia rezystancji obwodu (tu
błąd mniejszy niż 0,5 %), błąd z tytułu przybliżenia wartości mocy zwarciowej na szynach 110 kV
(tu błąd znacznie mniejszy niż 0,5 %), błąd przybliżenia wartości napięcia zwarcia transformatora
(według PN-83/E-06040 górny kres błędu względnego przy pracy z przekładnią znamionową
wynosi 10 %, a przy innym położeniu przełącznika zaczepów błąd może być większy). Ten ostatni
błąd ma znaczenie decydujące i sprawia, że można oczekiwać w końcowym wyniku najwyżej
dwóch cyfr znaczących pewnych.
Reaktancja systemu poprzedzającego:
2
2
cmax �"Un 2 1,10 �"1102 16,5 1,10�"16,52
�# ś#
trzy cyfry znaczące
XQ = �"ŃT = �" = = 0,19965 0,200 �
ś# ź#
"
1500 110 1500
SkQ
�# #
Reaktancja transformatora:
2
UnT 16,52
trzy cyfry znaczące
XT = ukr �" = 0,11�" = 1,87 �
SnT 16
Początkowy prąd zwarciowy na szynach 15 kV:
cmax �"Un 1,10 �"15
"
Ik = = = 4,6 kA dwie cyfry znaczące
3 �"(XQ + XT) 3 �"(0,20 + 1,87)
Zasady poprawnej prezentacji obliczeń
l) Wpisując wartości liczbowe do wzoru należy je wpisywać dokładnie w tej kolejności, w tych
miejscach, gdzie występują odpowiadające im oznaczenia wielkości w poprzedzającym wzorze
ogólnym.
2) W miarę możności należy wpisywać do wzoru wartości przybliżone bez cyfr zbędnych
(w ostatnim wzorze znalazła się wartość 0,20, a nie 0,200, bo ma być ona dodana do liczby 1,87
o dwóch cyfrach znaczących po przecinku).
3) Podstawiając dane liczbowe do wzoru należy wpisywać w arkuszach obliczeń i wprowadzać do
kalkulatora lub komputera liczby dokładne: 3 , 2 , Ą, e& , a nie ich przybliżenia.
6
Pytania kontrolne
1. Podać zaokrąglenia następujących liczb, zawierające odpowiednio 6, 5, 4, 3 i 2 cyfry znaczące:
0,1735000
Ą
e 248789731
700001500
2
2/3 15,454601 (uważnie!)
2. Zaokrąglić do pierwszego miejsca dziesiętnego liczby:
0,05 0,450
0,75 1,17
0,85 3,25002
3. Obliczyć:
12,5 + 1,7432 =
12,5  1,7432 =
1,7432  12,5 =
2,5  0,0004 =
2,5 + 0,0004 =
8,74521�"Ą =
8,745�"Ą =
2 �" 8,7452 =
2,12 �" 8,7452 =
8,7452 : 2 =
8,7452 : 2,1 =
8,74522 =
8,74523 =
8,752 =
8,72 + 8,74522 + 2,1750  3,7 �" 4,512 =
4. W przepisach o ochronie przeciwporażeniowej można napisać, że  w określonych warunkach 
największy dopuszczalny czas trwania napięcia dotykowego 50 V wynosi 5,0 s albo można
napisać, że wynosi on 5 s. Jakie są konsekwencje tej różnicy w zapisie wymagania
przepisowego?
7
5. Która z podanych wersji zapisu warunków technicznych odbioru wyrobów jest niepoprawna?
1 2 3
a czy czy
17 ą 0,2 17,0 ą 0,2 17,00 ą 0,2
b czy czy
46,4 ą 0,15 46,40 ą 0,15 46,402 ą 0,15
c czy
80,555 kg ą 2 g 80,555 ą 0,002 kg
d czy
5 mm ą 2 % 5,0 ą 0,1 mm
6. W przypadku wielkości związanych zależnością potęgową y = k �" xm niewielka zmiana wielkości
x o p [%] wywołuje zmianę w tym samym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m�"p [%].
Uzasadnić tę prawidłowość i określić popełniany błąd.
Przykład: obniżenie napięcia zasilającego silnik indukcyjny o 3 % wywołuje ceteris paribus
zmniejszenie momentu napędowego o około 2�"3 = 6 %, jako że T = k�"U2.
7. Dwoma woltomierzami analogowymi klasy 1,5, o zakresie pomiarowym 300 V, pomierzono
jednocześnie napięcie na początku i na końcu linii, by określić występujący w niej spadek
napięcia: 230  220 = 10 V. Określić górny kres błędu tego obliczenia, jego wartość bezwzględną
i wartość względną).
8
Odpowiedzi na pytania kontrolne
1. Podać zaokrąglenia następujących liczb, zawierające odpowiednio 6, 5, 4, 3 i 2 cyfry znaczące:
6 cyfr 5 cyfr 4 cyfry 3 cyfry 2 cyfry
3,14159 3,1416 3,142 3,14 3,1
Ą = 3,14159265
e = 2,71828183 2,71828 2,7183 2,718 2,72 2,7
1,41421 1,4142 1,414 1,41 1,4
2 = 1,41421356
2/3 = 0,666666667 0,666667 0,66667 0,6667 0,667 0,67
0,1735000 0,173500 0,17350 0,1735 0,174 0,17
248789731
248790�"103 24879�"104 2488�"105 249�"106 25�"107
700001500
700002�"103 70000�"104 7000�"105 700�"106 70�"107
15,454601 15,4546 15,455 15,45 15,5 15
2. Zaokrąglić do pierwszego miejsca dziesiętnego liczby:
0,05 0,0 0,450 0,4
0,75 0,8 1,17 1,2
0,85 0,8 3,25002 3,3
3. Obliczyć:
12,5 + 1,7432 = 14,2
12,5  1,7432 = 10,8
1,7432  12,5 =  10,8
2,5  0,0004 = 2,5
2,5 + 0,0004 = 2,5
8,74521�"Ą = 27,4739
8,745�"Ą = 27,47
2 �" 8,7452 = 17,490
2,12 �" 8,7452 = 18,5
8,7452 : 2 = 4,3726
8,7452 : 2,1 = 4,2
8,74522 = 76,479
8,74523 = 668,82
8,752 = 76,6
8,72 + 8,74522 + 2,1750  3,7 �" 4,512 = 75,7 +76,4785 + 2,1750  16,7 = 137
9
4. W przepisach o ochronie przeciwporażeniowej można napisać, że  w określonych warunkach 
największy dopuszczalny czas trwania napięcia dotykowego 50 V wynosi 5,0 s albo można
napisać, że wynosi on 5 s. Jakie są konsekwencje tej różnicy w zapisie wymagania
przepisowego?
W pierwszym wypadku (5,0 s) niedopuszczalny jest czas trwania napięcia dotykowego, który 
po zaokrągleniu do pierwszego miejsca dziesiętnego  byłby większy niż 5,0 s, tzn. czas
t > 5,05 s. W drugim wypadku (5 s) niedopuszczalny jest czas trwania napięcia dotykowego,
który  po zaokrągleniu do jedności  byłby większy niż 5 s, tzn. czas t e" 5,5 s.
5. Która z podanych wersji zapisu warunków technicznych odbioru wyrobów jest niepoprawna?
Niepoprawne są wersje przekreślone (kolumny skrajne 1 oraz 3):
1 2 3
a
17 ą 0,2 17,0 ą 0,2 17,00 ą 0,2
b
46,4 ą 0,15 46,40 ą 0,15 46,402 ą 0,15
c
80,555 kg ą 2 g 80,555 ą 0,002 kg
d
5 mm ą 2 % 5,0 ą 0,1 mm
6. W przypadku wielkości związanych zależnością potęgową y = k �" xm niewielka zmiana wielkości
x o p [%] wywołuje zmianę w tym samym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m�"p [%].
Uzasadnić tę prawidłowość i określić popełniany błąd.
Jeżeli względna wartość wielkości x wynosi (1ą p), to względna wartość wielkości y wynosi
(1 ą p)m, co po rozpisaniu w szereg potęgowy Maclaurina daje wyrażenie:
m �"(m -1) m �"(m -1)�"(m - 2) m �"(m -1)�"(m - 2)�"(m - 3)
(1ą p)m = 1ą m �" p + �" p2 ą �" p3 + �" p4 ą ...
2! 3! 4!
Uproszczenie, o którym mowa, polega na wzięciu z powyższego rozwinięcia tylko dwóch
pierwszych wyrazów, polega na linearyzacji przebiegu badanej zależności w pobliżu wybranego
punktu działania, na ogół w pobliżu znamionowych warunków pracy.
Biegłe przyswojenie tych prawidłowości bardzo się przydaje, kiedy nie ma warunków do przeprowadzania ścisłych
obliczeń, a duża dokładność nie jest konieczna. Pamiętać przy tym trzeba, że bada się wpływ zmiany tylko jednego
parametru przy milczącym założeniu, że inne warunki działania pozostają niezmienne. Pamiętać też trzeba, że takie
szacowanie jest dopuszczalne tylko przy niewielkich względnych odchyleniach od stanu wyjściowego, na przykład
nieprzekraczających ą 5 % przy zwykle spotykanych wartościach wykładników potęgowych.
Przykład 1. Powszechnie wiadomo, że moment napędowy silnika indukcyjnego jest proporcjonalny do kwadratu
napięcia (T = k�"U2). Na pytanie, jak się wobec tego zmieni moment napędowy takiego silnika przy obniżeniu
napięcia o 5 % można niekiedy usłyszeć pochopną i błędną odpowiedz
, że zmniejszy się o 52 = 25 %. Poprawne
oszacowanie brzmi, że zmniejszy się o m�"p = 2�"5 = 10 %. Ściślejsze obliczenie wykaże, że zmniejszy się o (1 
0,952)�"100 = (1  0,9025)�"100 = 9,75 % 9,8 %.
Przykład 2: Inż. Józef Bonin z Instytutu Energetyki w Gdańsku wykazał, że w zakresie częstotliwości 50�47,5 Hz
moc czynna pobierana przez ogół napędów potrzeb własnych w pełni obciążonego bloku 360 MW Elektrowni
Bełchatów (bez pompy wody zasilającej napędzanej turbiną parową) jest funkcją potęgową częstotliwości napięcia
zasilającego o postaci P = k�"f 2,715, a w przybliżeniu: P = k�"f 2,7. Podobne zależności mają kapitalne znaczenie przy
analizowaniu stabilności systemu w warunkach awaryjnego obniżenia częstotliwości, niedoboru mocy czynnej i
zabiegów zmierzających do utrzymania pracy elektrowni. Na pytanie, jak zmieni się moc potrzeb własnych przy
obniżeniu częstotliwości o 3 % (do poziomu 48,5 Hz) można odpowiedzieć błyskawicznie: zmaleje o m�"p = 2,7�"3 =
8,1 %. Odpowiedz
jest wystarczająco trafna, skoro wynikiem dokładnego obliczenia jest wartość: (1  0,972,7)�"100 =
(1  0,921)�"100 = 7,895 % 7,9 %.
10
7. Dwoma woltomierzami analogowymi klasy 1,5, o zakresie pomiarowym 300 V, pomierzono
jednocześnie napięcie na początku i na końcu linii, by określić występujący w niej spadek
napięcia: 230  220 = 10 V. Określić górny kres błędu tego obliczenia, jego wartość bezwzględną
i wartość względną).
Spadek napięcia obliczono następująco:
"U = U1  U2 = 230  220 = 10 V
Błąd bezwzględny pomiaru każdego z napięć wynosi 1,5 % zakresu pomiarowego 300 V (w
mierniku analogowym decydujące znaczenie ma błąd tarciowy, praktycznie niezależny od
wychylenia wskazówki, a zatem niezależny od wartości wskazywanej):
"(U1) = "(U2) = 0,015�"300 = 4,5 V
Górny kres błędu obliczenia spadku napięcia wynosi:
błąd bezwzględny:
"("U) = "(U1) + "(U2) = 4,5 + 4,5 = 9,0 V
"("U) = 9,0
a błąd względny:
= 0,9 = 90 %
"U 10
Uzyskany wynik: "U = 10 ą 9 V, to znaczy "U = 1 � 19 V, nie przedstawia żadnej wartości. Tak
kończą się pomiary polegające na odejmowaniu dwóch wielkości o zbliżonej wartości.
Literatura
1. Bronsztejn I. N., Siemiendiajew K. A.: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. PWN,
Warszawa 1968.
2. Położy G. N. i inni: Metody przybliżonych obliczeń. WNT, Warszawa 1966.
3. Wilkinson J. H.: Błędy zaokrągleń w procesach algebraicznych. PWN, Warszawa 1967.
4. PN-68/N-01050: Podstawowe oznaczenia matematyczne (w roku 2007 norma nadal aktualna).
5. PN-70/N-02120: Zasady zaokrąglania i zapisywania liczb (w roku 2007 norma nadal aktualna).
Dane bibliograficzne:
Musiał E.: Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych. Biul. SEP INPE
 Informacje o normach i przepisach elektrycznych , 2007, nr 93-94, s. 104-115.
11