Janusz Walo
Janusz Walo
Janusz Walo
ver. 1.0 (03.2008)
ver. 1.0 (03.2008)
ver. 1.0 (03.2008)
Elementy teorii potencjału (1)
(1)
Elementy teorii potencjału
(Pole wektorowe i pole skalarne)
(Pole wektorowe i pole skalarne)
Pole grawitacyjne jest polem wektorowym w co oznacza,
że każdemu punktowi przestrzeni (pewnego obszaru (S))
Def. 1.
Def. 1.
przyporządkowany jest pewien wektor w (trzy wartości liczbowe).
r
w=w(P)=w(x, y,)=(P(x, y,),Q(x, y,), R(x, y,)) (P"S)
z z z z
W praktyce znacznie łatwiej posługiwać się polem skalarnym V,
w którym każdemu punktowi przestrzeni (obszaru (S))
Def. 2.
Def. 2.
przyporządkowana jest jednoznacznie pewna wartość (jedna liczba).
ądkowana jest jednoznacznie pewna wartość (jedna liczba).
V = V(P)= V(x, y,) (P " S)
z
"V "V "V
przy czym dV = Pdx + Qdy + Rdz = dx + dy + dz
"x "y "z
Czy pole wektorowe można opisać jednoznacznie posługując się polem skalarnym?
Czy pole wektorowe można opisać jednoznacznie posługując się polem skalarnym?
Tak, przynajmniej w kilku przypadkach wliczajÄ…c w to pole grawitacyjne&
Tak, przynajmniej w kilku przypadkach wliczajÄ…c w to pole grawitacyjne&
i o tym w tej części wykładu :&
i o tym w tej części wykładu :&
Janusz Walo
Janusz Walo
2
2
Elementy teorii potencjału (2)
(2)
Elementy teorii potencjału
(Pole środkowe i gradient pola)
(Pole środkowe i gradient pola)
Pole wektorowe nazywamy polem środkowym, jeżeli wszystkie
proste zawierajÄ…ce wektory pola (proste o kierunku wektora pola)
Def. 3.
Def. 3.
przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem pola.
Pole wektorowe, którego współrzędne (składowe wektorów) są
Def. 4.
Def. 4.
pochodnymi czÄ…stkowymi pola skalarnego V, nazywamy gradientem
pola skalarnego.
T
def
ëÅ‚ öÅ‚
"V "V "V
T
w = grad V = ìÅ‚ , , ÷Å‚ =(P,Q, R)
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
Pochodna kierunkowa funkcji skalarnej V w kierunku określonym
wektorem u= (cosÄ…, cos², cosÅ‚) to:
"V "V "V "V
= cosÄ…+ cos²+ cosÅ‚= u Å" grad V
"u "x "y "z
Janusz Walo
Janusz Walo
3
3
Elementy teorii potencjału (3)
(3)
Elementy teorii potencjału
(Poten(jał pola wektorowego)
(Poten(jał pola wektorowego)
Jeżeli w obszarze (S) pole wektorowe w(P) jest gradientem pewnej
funkcji skalarnej V(P), to pole takie nazywamy potencjalnym polem
Def. 5.
Def. 5.
wektorowym, a funkcję V(P) nazywamy potencjałem pola w(P).
T
def
ëÅ‚ "V "V "V öÅ‚
T T
w = grad V = ìÅ‚ , , ÷Å‚ =(P,Q, R) =(Wx,Wy,Wz)
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
Operator Hamiltona (nabla) pozwala na zwięzły zapis:
T
ëÅ‚ öÅ‚
" " "
ìÅ‚
" = , , ÷Å‚ Ò! w = grad V = " Å"V
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
Pole potencjalne posiada energię i może wykonać pracę!
Janusz Walo
Janusz Walo
4
4
Elementy teorii potencjału (4)
(4)
Elementy teorii potencjału
(Rota(ja pola wektorowego)
(Rota(ja pola wektorowego)
Rotacją (wirowością) pola wektorowego nazywamy wektor postaci:
Def. 6.
Def. 6.
rot w = "× w = "×(" Å"V)=("×")×V
Pole wektorowe jest polem potencjalnym (bezwirowym) jeśli jego
Pole wektorowe jest polem potencjalnym (bezwirowym) jeśli jego
rotacja jest równa zero (rot w = 0). Każde pole o zerowej rotacji można
rotacja jest równa zero (rot w = 0). Każde pole o zerowej rotacji można
przedstawić jako gradient pola skalarnego Zatem warunek potencjalności pola
przedstawić jako gradient pola skalarnego Zatem warunek potencjalności pola
można zapisać w postaci:
można zapisać w postaci:
( )
rot w=Wzx-Wyz,Wxz-Wzx,Wyx-Wxy =0
lub w postaci:
Wzx=Wyz, Wxz=Wzx, Wyx=Wxy
Wniosek!
Wniosek!
Każde pole o zerowej rotacji można
Każde pole o zerowej rotacji można
gdzie:
przedstawić jako gradient pola
przedstawić jako gradient pola
skalarnego (istnieje takie pole
skalarnego (istnieje takie pole
ëÅ‚ öÅ‚
" "V " "V
ëÅ‚ öÅ‚, Wyz = ìÅ‚ ÷Å‚ etc.
skalarne V, że w = grad V).
skalarne V, że w = grad V).
Wzy =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚,
"y "z "z "y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Janusz Walo
Janusz Walo
5
5
Elementy teorii potencjału (5)
(5)
Elementy teorii potencjału
(Dywergen(ja pola wektorowego)
(Dywergen(ja pola wektorowego)
Dywergencją (rozbieżnością) pola wektorowego nazywamy pewne
pole skalarne postaci:
Def. 7.
Def. 7.
div w = " Å" grad V = " w =(" Å"")V = "2 V = "V
gdzie "nazywamy operatorem Laplace a postaci:
"
"
"
def
ëÅ‚ öÅ‚
"2 "2 "2 ÷Å‚
ìÅ‚
" = + + " = "2
ìÅ‚
"x2 "y2 "y2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie div w ="V = 0 nazywa się równaniem różniczkowym
"
"
"
V = 0 nazywa się równaniem różniczkowym
Laplace a, a funkcje spełniające to równanie funkcjami
Laplace a, a funkcje spełniające to równanie funkcjami
harmonicznymi.
harmonicznymi.
Pole wektorowe, dla którego spełnione jest równanie Laplace a
Pole wektorowe, dla którego spełnione jest równanie Laplace a
nazywa siÄ™ polem bezz
ródłowym lub solenoidalnym.
nazywa siÄ™ polem bezz
ródłowym lub solenoidalnym.
Janusz Walo
Janusz Walo
6
6
Elementy teorii potencjału (6)
(6)
Elementy teorii potencjału
(Poten(jał grawita(yjny masy punktowej)
(Poten(jał grawita(yjny masy punktowej)
Według prawa powszechnej grawitacji (I.Newtona) siła (dla masy
jednostkowej równa przyspieszeniu g i nazywana natężeniem pola
wektorowego g (P)) z jakÄ… masa punktowa m przyciÄ…ga masÄ™
jednostkową m =1 w odległości l od masy m wynosi:
m l
2
F = g = -G Å" G =(6.67259 Ä… 0.00085)×10-11m3kg-1s-2
l2 l
Zakładając, że jest spełniony warunek F = grad V potencjał masy
punktowej m w punkcie P(x,y,z) jest równy:
m
V(x, y,)=G
z
l
Można łatwo wykazać, że pochodne cząstkowe potencjału V są równe współrzędnym
pola wektorowego F = (Fx,Fy,Fz), czyli że F = grad V.
Janusz Walo
Janusz Walo
7
7
Elementy teorii potencjału (7)
(7)
Elementy teorii potencjału
(Poten(jał grawita(yjny gbioru punktów materialny(h)
(Poten(jał grawita(yjny gbioru punktów materialny(h)
Wzór dla masy punktowej można uogólnić na zbiór punktów
materialnych, mamy bowiem tu zasadÄ™ superpozycji:
n
F=
"F
i
i=1
n
mi
Vi=G Ò! V=
"G mi
li li
i=1
Janusz Walo
Janusz Walo
8
8
Elementy teorii potencjału (8)
(8)
Elementy teorii potencjału
(Poten(jał grawita(yjny (iała materialnego)
(Poten(jał grawita(yjny (iała materialnego)
Przyjmując, że gęstość elementu masy jest funkcją położenia
à = Ã(¾,·,Å›) oraz że objÄ™tość równa jest iloczynowi dÄ = d¾·d··dÅ›,
,
a wiÄ™c dm = ÷dÄ potencjaÅ‚ ciaÅ‚a materialnego zamkniÄ™tego w
a wiÄ™c dm = ÷dÄ
przestrzenie D(M) wyraża zależność:
dm
V=G
+"+"+"
l
D(M )
Janusz Walo
Janusz Walo
9
9
Elementy teorii potencjału (9)
(9)
Elementy teorii potencjału
(Poten(jał grawita(yjny (iała materialnego)
(Poten(jał grawita(yjny (iała materialnego)
Zapisując odległość l przez współrzędne punktu P(x,y,z) i elementu
masy dm(¾,·,Å›) oraz tworzÄ…c pierwsze i drugie pochodne można
wykazać, że potencjał V w przestrzeni zewnętrznej spełnia równanie
Laplace a:
"Vzew.=0
a więc w przestrzeni zewnętrznej jest funkcją harmoniczną.
W przestrzeni wewnętrznej potencjał V spełnia równanie Poissona:
"Vwew. = -4Ä„GÃ
Å"
Janusz Walo
Janusz Walo
10
10
Elementy teorii potencjału (10)
(10)
Elementy teorii potencjału
(Poten(jał grawita(yjny ZIemi)
(Poten(jał grawita(yjny ZIemi)
Ogólną postać wyrażenia na potencjał grawitacyjny Ziemi można
przedstawić w postaci:
dm Ã
VZiemi=G =G dÄ
+"+"+" +"+"+"
l l
Ziemia Ziemia
Można również zauważyć, że gdy r " oraz r/l 1 to zachodzą
zwiÄ…zki:
G r GM
V = dm Ò! limV = lim = 0
+"+"+"
r" r"
r l r
(M )
ëÅ‚ öÅ‚
r
Vr = G dm Ò! lim(Vr)= limìÅ‚G
+"+"+" +"+"+"dm÷Å‚ = GM
r" r"ìÅ‚ ÷Å‚
l
(M ) (M )
íÅ‚ Å‚Å‚
Janusz Walo
Janusz Walo
11
11
Elementy teorii potencjału (11)
(11)
Elementy teorii potencjału
(Poten(jał powierg(hni materialnej)
(Poten(jał powierg(hni materialnej)
Przy założeniu, że przyciągające masy tworzą warstwę o kształcie
zamkniÄ™tej powierzchni (S), zerowej gruboÅ›ci i gÄ™stoÅ›ci Ã=dm/dS
potencjał powierzchni materialnej wynosi:
dm Ã
V=G =G dS
+"+" +"+"
l l
(S ) (S )
Janusz Walo
Janusz Walo
12
12
Elementy teorii potencjału (12)
(12)
Elementy teorii potencjału
(Poten(jał powierg(hni materialnej)
(Poten(jał powierg(hni materialnej)
PrzyjmujÄ…c kierunek normalnej do powierzchni (S) na zewnÄ…trz powierzchni
i tworząc różnicę pochodnych kierunkowych w kierunku na zewnątrz i do
wewnÄ…trz dostaniemy:
"V "V
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
- = -4Ä„GÃ
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"n "n
íÅ‚ Å‚Å‚zew. íÅ‚ Å‚Å‚wew.
przy czym pochodna zewnętrzna wynosi:
"V " 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚dS
= -2Ä„GÃ+ G
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"à ìÅ‚ l ÷Å‚
"n "níÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚zew.
(S )
a pochodna wewnętrzna:
"V " 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚dS
= +2Ä„GÃ+ G
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"à ìÅ‚ l ÷Å‚
"n "níÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚wew.
(S )
Janusz Walo
Janusz Walo
13
13
Elementy teorii potencjału (13)
(13)
Elementy teorii potencjału
(Wgór (ałkowy Gaussa)
(Wgór (ałkowy Gaussa)
Postać ogólna wzoru Gaussa ma postać:
Åš= dS= dÄ
n
+"+"F +"+"+"divF
(S ) (&!)
przy czym (&!) to objętość zamknięta powierzchnią (S), a Fn jest
rzutem wektora F na zewnętrzną normalną do powierzchni (S).
Wzór Gaussa mówi, że strumień pola wektorowego F przez
zamkniętą powierzchnię (S) równa się całce rozbieżności F
rozciągniętej na obszar (&!) i zawartej wewnątrz powierzchni (S).
Inaczej ilość cieczy jaka wypływa w jednostce czasu przez powierzchnię (S) równa
jest sumarycznemu strumieniowi (ilości cieczy) pola wektorowego F generowanemu
i pochłanianemu przez wszystkie z
ródła wewnątrz (S) w jednostce czasu.
Janusz Walo
Janusz Walo
14
14
Elementy teorii potencjału (14)
(14)
Elementy teorii potencjału
(Wgór (ałkowy Gaussa dla poten(jału grawita(yjnego)
(Wgór (ałkowy Gaussa dla poten(jału grawita(yjnego)
Podstawiając do wzoru Gaussa wielkości odnoszące się do
potencjału grawitacyjnego postaci:
div F = "V
"V
Fn =
"n
dostaniemy równanie całkowe Gaussa odnoszące się do potencjału
grawitacyjnego:
"V
Åš = dS =
+"+" +"+"+""VdÄ
"n
(S ) (&!)
Janusz Walo
Janusz Walo
15
15
Elementy teorii potencjału (15)
(15)
Elementy teorii potencjału
(Wgory Greena - wprowadgenie)
(Wgory Greena - wprowadgenie)
Na podstawie wzoru Gaussa wyprowadza się tzw. tożsamości
Greena. Zakładając, że istnieją dwie funkcje skalarne U i V
skończone i ciągłe w przestrzeni (&!) wewnątrz i na powierzchni (S),
niech:
F = U "V
co oznacza, że rzut Fn na normalną do powierzchni (S) można
zapisać:
"V "V "V "V
Fn = U Ò! Fx = U , Fy = U , Fz = U ,
"n "x "y "z
Natomiast dywergencja wyrazi się następująco:
"U "V "U "V "U "V
divF = + + +U "V
"x "x "y "y "z "z
Janusz Walo
Janusz Walo
16
16
Elementy teorii potencjału (16)
(16)
Elementy teorii potencjału
(Pierwsga tożsamość Greena)
(Pierwsga tożsamość Greena)
WstawiajÄ…c otrzymany zwiÄ…zek do wzoru Gaussa:
"U "V "U "V "U "V
Åš= dS= dÄ
divF = + + +U "V n
+"+"F +"+"+"divF
"x "x "y "y "z "z
(S ) (&!)
Otrzymamy tzw. pierwszą tożsamość Greena:
ëÅ‚ öÅ‚
"U "V "U "V "U "V "V
Åš = + + ÷Å‚
+"+"+"ìÅ‚ ÷Å‚dÄ++"+"+"U "VdÄ=+"+"U "n dS
ìÅ‚
"x "x "y "y "z "z
íÅ‚ Å‚Å‚
(&!) (&!) (S )
Janusz Walo
Janusz Walo
17
17
Elementy teorii potencjału (17)
(17)
Elementy teorii potencjału
(Druga tożsamość Greena)
(Druga tożsamość Greena)
Zamieniając miejscami U i V w pierwszej tożsamości dostaniemy
dwa równania postaci:
ëÅ‚ öÅ‚
"U "V "U "V "U "V "V
Åš = + + ÷Å‚
+"+"+"ìÅ‚ ÷Å‚dÄ++"+"+"U "VdÄ=+"+"U "n dS
ìÅ‚
"x "x "y "y "z "z
íÅ‚ Å‚Å‚
(&!) (&!) (S )
ëÅ‚ öÅ‚
"U "V "U "V "U "V "U
Åš = + + ÷Å‚
+"+"+"ìÅ‚ ÷Å‚dÄ++"+"+"V "UdÄ=+"+"V "n dS
ìÅ‚
"x "x "y "y "z "z
íÅ‚ Å‚Å‚
(&!) (&!) (S )
Odejmując równania stronami dostaniemy drugą tożsamość
Greena postaci:
"V "U
ëÅ‚ öÅ‚
+"+"+"(U"V -V "U)dÄ=+"+"ìÅ‚U "n -V "n ÷Å‚ dS
íÅ‚ Å‚Å‚
(&!) (S )
Janusz Walo
Janusz Walo
18
18
Elementy teorii potencjału (18)
(18)
Elementy teorii potencjału
(Trge(ia tożsamość Greena)
(Trge(ia tożsamość Greena)
W przypadku kiedy w drugiej tożsamości Greena przyjmiemy, że
U=1/l dostaniemy związek zwany trzecią tożsamością Greena:
1 ëÅ‚1 "V " 1 öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚÷Å‚ dS
-V
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
+"+"+"l "V dÄ= - pV ++"+"ìÅ‚
l "n "n l
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(&!) (S )
Jest to szczególny przypadek drugiej tożsamości, najważniejszy w
geodezji fizycznej! Przy czym parametr p w zależności od
położenia punktu P przyjmuje wartości:
0
Å„Å‚
punkt P na zewnÄ…trz powierzchni (S)
punkt P na zewnÄ…trz powierzchni (S)
ôÅ‚2Ä„
p =
òÅ‚
punkt P na powierzchni (S)
punkt P na powierzchni (S)
ôÅ‚4Ä„
punkt P wewnÄ…trz powierzchni (S)
ół punkt P wewnątrz powierzchni (S)
Dodać należy, że Äto wnÄ™trze powierzchni (S) z wÅ‚Ä…czeniem samej powierzchni.
Dodać należy, że Äto wnÄ™trze powierzchni (S) z wÅ‚Ä…czeniem samej powierzchni.
Janusz Walo
Janusz Walo
19
19
Elementy teorii potencjału (19)
(19)
Elementy teorii potencjału
(Trge(ia tożsamość Greena)
(Trge(ia tożsamość Greena)
Wiedząc, że w przestrzeni wewnętrznej spełnione jest równanie
Poissona "V= - 4Ä„ GÃ mamy:
1 Ã
+"+"+"l"V dÄ=-4Ä„ G+"+"+"l dÄ=-4Ä„ V
(&!) (&!)
Wstawiając otrzymaną zależność do trzeciej tożsamości Greena
dostaniemy ostatecznie:
- 4Ä„V
punkt P na zewnÄ…trz powierzchni (S)
Å„Å‚ punkt P na zewnÄ…trz powierzchni (S)
ëÅ‚1 "V " 1 öÅ‚
ôÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚÷Å‚ dS = 2Ä„V
-V
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
òÅ‚- punkt P na powierzchni (S)
punkt P na powierzchni (S)
ìÅ‚
+"+"ìÅ‚
l "n "n l
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(S )
ôÅ‚
0
ół
punkt P wewnÄ…trz powierzchni (S)
punkt P wewnÄ…trz powierzchni (S)
Jest to rozwiązanie zagadnienia brzegowego Poissona w postaci całkowej dla
Jest to rozwiązanie zagadnienia brzegowego Poissona w postaci całkowej dla
potencjału V. W szczególnym przypadku kiedy punkt P położony jest na zewnątrz
potencjału V. W szczególnym przypadku kiedy punkt P położony jest na zewnątrz
powierzchni (S) równanie to jest równoważne z zagadnieniem brzegowym Laplace a.
powierzchni (S) równanie to jest równoważne z zagadnieniem brzegowym Laplace a.
Janusz Walo
Janusz Walo
20
20
Elementy teorii potencjału (20)
(20)
Elementy teorii potencjału
(Trge(ia tożsamość Greena)
(Trge(ia tożsamość Greena)
Podstawiając Ua"1 do drugiej tożsamości Greena otrzymamy na
powrót wzór Gaussa, który zastosujemy do potencjału siły
ciężkości:
W = V +V ', "W = -4Ä„ GÃ + 2É2
to otrzymamy:
"W
+"+"+""W dÄ=+"+""n dS
(&!) (S )
Jest we wzorze (&!) będzie objętością Ziemi, zaś (S) jedną z
Jest we wzorze ( ) będzie objętością Ziemi, zaś (S) jedną z
powierzchni ekwipotencjalnych Ziemi, to:
powierzchni ekwipotencjalnych Ziemi, to:
"W
( gdzie gn = -
n
+"+"+"- 4Ä„GÃ+ 2É2)dÄ= -+"+"g dS,
"n
(&!) (S )
Janusz Walo
Janusz Walo
21
21
Elementy teorii potencjału (21)
(21)
Elementy teorii potencjału
(Trge(ia tożsamość Greena)
(Trge(ia tożsamość Greena)
SkÄ…d masa Ziemi : :
2
- 4Ä„ G
n
+"+"+"Ã dÄ + 2+"+"+"É dÄ = -+"+"g dS
(&!) (&!) (S )
1 É2
M = &!
n
+"+"g dS +
4Ä„ G 2Ä„ G
(S )
Podstawą do wyznaczenia masy Ziemi mogą być zatem pomiary
przyspieszenia siły ciężkości na powierzchni Ziemi bez znajomości
rozkładu gęstości w jej wnętrzu.
Janusz Walo
Janusz Walo
22
22
Elementy teorii potencjału (22)
(22)
Elementy teorii potencjału
(Trge(ia tożsamość Greena)
(Trge(ia tożsamość Greena)
Trzecią tożsamość Greena dla potencjału siły ciężkości w punkcie
położonym na powierzchni Ziemi (p=2p) oraz dla potencjału
opisanego wzorem:
r 1
W = G
+"+"+"l dÄ + É2(x2 + y2)
2
(&!&!
można zapisać równaniem:
ëÅ‚ " 1 gn öÅ‚ dÄ
ëÅ‚ öÅ‚
- 2Ä„W +
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"ìÅ‚W "n ìÅ‚ l ÷Å‚ + ÷Å‚ dS + 2Ä„É2(x2 + y2)+ 2É2+"+"+"l = 0
l
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(S ) (&!)
Równanie wyrażą związek przyspieszenia siły ciężkości gn na powierzchni (S)
Równanie wyrażą związek przyspieszenia siły ciężkości gn na powierzchni (S)
zamykającej ciało materialne (&!) z potencjałem siły ciężkości W.
zamykającej ciało materialne (&!) z potencjałem siły ciężkości W.
Pewien sposób linearyzacji tego równania stanowił punkt wyjścia teorii
Pewien sposób linearyzacji tego równania stanowił punkt wyjścia teorii
Mołodeńskiego.
Mołodeńskiego.
Janusz Walo
Janusz Walo
23
23
Elementy teorii potencjału (23)
(23)
Elementy teorii potencjału
(Tożsamoś(i Greena)
(Tożsamoś(i Greena)
Gdy V jest funkcjÄ… harmonicznÄ…, a (S) powierzchniÄ… ekwipotencjalnÄ… to dla
punktu na zewnątrz (S) na podstawie trzeciej tożsamości Greean
otrzymamy:
1 1 "V
V = - dS
+"+"l
4Ä„(S ) "n
Biorąc pochodną zew. pojedynczej warstwy i powyższy wzór
dojdziemy do wniosku, że każda funkcja harmoniczna może
być przedstawiona za pomocą pojedynczej warstwy
rozciągniętej na jednej z powierzchni ekwipotencjalnych.
Inaczej mówiąc: jeżeli V jest potencjałem grawitacyjnym ciała materialnego (S), to
można zastąpić to ciało przez odpowiednią warstwę (powierzchnię) materialną
położoną na jednej z powierzchni ekwipotencjalnych (S) i nie spowoduje to zmiany
potencjału na zewnątrz (S), przy czym:
1 "V
à = -
4Ä„ G "n
Ta konkluzja z tożsamości Greena nosi nazwę szczególnego przypadku twierdzenia Stokesa.
Janusz Walo
Janusz Walo
24
24
Elementy teorii potencjału (24)
(24)
Elementy teorii potencjału
(Zagadnienia brgegowe - wprowadgenie)
(Zagadnienia brgegowe - wprowadgenie)
Zagadnienia brzegowe teorii potencjału:
" nie są znane bezpośrednie zależności;
" można podać związki funkcjonalne pomiędzy pochodnymi
(różniczkami) pewnych parametrów równania różniczkowe
n-tego rzędu trzeba mieć n-1 wartości początkowych (wartości
granicznych);
" poszukiwanie wartości stałych całkowania lub wartości
granicznych w teorii równań różniczkowych nosi nazwę zagadnień
brzegowych.
Janusz Walo
Janusz Walo
25
25
Elementy teorii potencjału (25)
(25)
Elementy teorii potencjału
(Zagadnienia brgegowe (.d.)
(Zagadnienia brgegowe (.d.)
W geodezji fizycznej do rozwiązywania zagadnień brzegowych
(w trakcie rozwiązywania równań Laplace a) stosowana jest metoda
rozdzielenia zmiennych.
" Metoda ta pozwala na przekształcenie równań różniczkowych
drugiego rzędu w układ równań zwyczajnych;
" Przy pewnych warunkach iloczyn funkcji własnych poszczególnych
równań układu stanowi układ funkcji własnych równania
różniczkowego cząstkowego (drugiego rzędu).
Janusz Walo
Janusz Walo
26
26
Elementy teorii potencjału (26)
(26)
Elementy teorii potencjału
(Zagadnienia brgegowe (.d.)
(Zagadnienia brgegowe (.d.)
Układy funkcji własnych są ortogonalne co oznacza, że:
0
Å„Å‚
n `" s
Å„Å‚
ôÅ‚
2
n s
+"+"Åš(x)Åš(x)dx = òÅ‚ Åšn(x) dla òÅ‚ s
ôÅ‚
ółn =
(S )
ół
przy czym x"Sa"<-Ą,Ą>, a wrażenie ||Ćn|| to norma Ćn i równe jest
pierwiastkowi z całki po lewej stronie równania. Każdą funkcję
f(x)‚"{S R} można rozwinąć w szereg funkcji wÅ‚asnych postaci:
"
-1
f (x)= Åšn(x) gdzie Cn=Åšn
"C n
n
+"+"Åš (x) f (x) dx
n=0
(S )
Janusz Walo
Janusz Walo
27
27
Elementy teorii potencjału (27)
(27)
Elementy teorii potencjału
(Zagadnienie Diri(hleta i Neumanna)
(Zagadnienie Diri(hleta i Neumanna)
Zagadnienie Dirichleta (pierwsze zagadnienie brzegowe teorii
potencjału) dotyczy problemu wyznaczenia funkcji harmonicznych
(potencjału) na zewnątrz pewnej powierzchni (S) na podstawie
wartości granicznych (brzegowych) tych funkcji na powierzchni (S)
Zagadnienie Neumanna (drugie zagadnienie brzegowe teorii
potencjału) dotyczy problemu wyznaczenia potencjału w przestrzeni
zewnętrznej względem (S), gdy na powierzchni (S) dane są
pochodne normalne potencjału "V/"n (względem normalnej
zewnętrznej do powierzchni (S))
Janusz Walo
Janusz Walo
28
28
Elementy teorii potencjału (28)
(28)
Elementy teorii potencjału
(Zagadnienie brgegowe geodegji figy(gnej)
(Zagadnienie brgegowe geodegji figy(gnej)
Z trzecim zagadnieniem teorii potencjału mamy do czynienia wtedy,
gdy na gładkiej powierzchni (S) znana jest kombinacja liniowa
potencjału V i jego pochodnej w kierunku normalnej zewnętrznej do
powierzchni (S) w postaci:
"V
hV + k
"n
We wzorze h i k oznaczają pewne stałe. Trzecie zagadnienie teorii potencjału ma
szczególne zastosowanie w geodezji fizycznej, bowiem stanowi model wyznaczenia
geoidy (undulacji geoidy) z anomalii grawimetrycznych. Z tego też powodu trzecie
zagadnienie zwane jest zagadnieniem brzegowym geodezji fizycznej.
Janusz Walo
Janusz Walo
29
29
Harmoniczne sferyczne (1)
(1)
Harmoniczne sferyczne
(Równanie Lapla(e a)
(Równanie Lapla(e a)
Równanie Laplace a we współrzędnych prostokątnych ma postać:
"2V "2V "2V
"V = + + = 0
"x2 "y2 "z2
Jest to jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu, a funkcje
spełniające to równanie to funkcje harmoniczne. Zapisując
równanie Laplace a we współrzędnych sferycznych dostaniemy:
"2V "V "2V "V 1 "2V
r2 + 2r + + ctg¸ + = 0
2
"r2 "r "¸ "¸ sin2 ¸ "2
Przy czym kÄ…t ¸ liczony jest od osi z (dopeÅ‚nienie szerokoÅ›ci do 90  )
Przy czym kÄ…t ¸ liczony jest od osi z (dopeÅ‚nienie szerokoÅ›ci do 90  )
Janusz Walo
Janusz Walo
30
30
Harmoniczne sferyczne (2)
(2)
Harmoniczne sferyczne
(Równanie Lapla(e a)
(Równanie Lapla(e a)
W celu rozwiÄ…zania równania rozdzielamy zmienne r i (¸,) i wtedy
potencjał V można przedstawić w postaci:
V(r,¸,)=f(r)Å"Y(¸,)
Co w rezultacie prowadzi do równania różniczkowego postaci:
"2 f (r) "f (r) "2Y "Y 1 "2Y
r2 Y + 2r Y = - f(r)- ctg¸ f(r)- f(r)
2
"r2 "r "¸ "¸ sin2 ¸ "2
Obie strony równania będą równe wtedy, kiedy równe będą tej
samej wartości stałej.
Janusz Walo
Janusz Walo
31
31
Harmoniczne sferyczne (3)
(3)
Harmoniczne sferyczne
(Równanie Lapla(e a)
(Równanie Lapla(e a)
DzielÄ…c obie strony równania przez iloczyn f(r)·Y(¸,) oraz
przyrównując je do stałej n(n+1) dostaniemy dwa równania
różniczkowe postaci:
2 2 2
r2 f(r)+ 2r f(r)- n(n +1)Å" f(r)= 0
"2Y "Y 1 "2Y
+ ctg¸ + + n(n +1)Å"Y(¸,)= 0
2
"¸ "¸ sin2 ¸ "2
Pierwsze równanie to różniczkowe równanie Eulera, którego
rozwiązania szczególne to:
f (r)=rn i f (r)=r-(n+1)
Janusz Walo
Janusz Walo
32
32
Harmoniczne sferyczne (4)
(4)
Harmoniczne sferyczne
(Równanie Lapla(e a)
(Równanie Lapla(e a)
OznaczajÄ…c nieznane rozwiÄ…zanie drugiego równania przez Yn(¸,)
można zapisać rozwiązanie równania Laplace a w postaci:
V=rn Yn(¸ ,) i V=r-(n+1) Yn(¸ ,)
Funkcje takiej postaci nazywa się objętościowymi harmonicznymi
sferycznymi, a funkcje postaci Yn(¸,) nazywa siÄ™ powierzchniowymi
nazywa siÄ™ powierzchniowymi
funkcjami sferycznymi. Często skraca się nazwę do nazwy harmoniczne
funkcjami sferycznymi. Często skraca się nazwę do nazwy harmoniczne
sferyczne lub funkcje kuliste.
sferyczne lub funkcje kuliste.
Z rozwiązania pierwszego równania wynika ponadto, że parametr n musi
Z rozwiązania pierwszego równania wynika ponadto, że parametr n musi
być liczbą całkowitą (n=1,2,3,& ).
być liczbą całkowitą (n=1,2,3,& ).
Janusz Walo
Janusz Walo
33
33
Harmoniczne sferyczne (5)
(5)
Harmoniczne sferyczne
(Równanie Lapla(e a)
(Równanie Lapla(e a)
Z teorii liniowych równań różniczkowych wynika też, że kombinacje
liniowe rozwiązań też mogą być rozwiązaniem równania, a więc:
" "
n -(n+1)
V= Yn(¸ ,) i V= Yn(¸ ,)
"r "r
n=0 n=0
Inaczej każda funkcja harmoniczna może być przedstawiona za pomocą
sumy rozwiązań szczególnych.
Szczególne znaczenie w geodezji fizycznej mają powierzchniowe
harmoniczne sferyczne!
Janusz Walo
Janusz Walo
34
34
Harmoniczne sferyczne (6)
(6)
Harmoniczne sferyczne
(Równanie Lapla(e a)
(Równanie Lapla(e a)
PrzedstawiajÄ…c powierzchniowe harmoniczne sferyczne jako iloczyn
dwóch funkcji g=g(¸ ) i h=h() zmiennych niezależnych ¸ i  tzn.:
Y(¸ ,)=g(¸ )Å"h()=gÅ"h
równanie:
"2Y "Y 1 "2Y
+ ctg¸ + + n(n +1)Å"Y(¸,)= 0
2
"¸ "¸ sin2 ¸ "2
można zapisać w postaci:
1
2 2 2 2 2
g Å" h + ctg¸Å" g Å" h + g Å" h + n(n +1)Å" g Å" h = 0
sin2¸
Janusz Walo
Janusz Walo
35
35
Harmoniczne sferyczne (7)
(7)
Harmoniczne sferyczne
(Równanie Lapla(e a)
(Równanie Lapla(e a)
sin2¸
Mnożąc obie strony równania przez:
gÅ"h
dostaniemy tzw. podstawowe równanie funkcji kulistych postaci:
2 2
sin¸ h
2 2 2
(g Å"sin¸+ g Å"cos¸+ n(n +1)Å"sin¸)= -
(*)
(*)
g h
w którym  udało się rozdzielić zmienne. Równanie to będzie spełnione,
jeśli obie strony będą równe tej samej stałej m2. Dla prawej strony
dostaniemy liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych
współczynnikach:
2 2 2
h()+m2h()=0
którego rozwiązania szczególne mają postać:
h()=cos m i h()=sin m
Janusz Walo
Janusz Walo
36
36
Harmoniczne sferyczne (8)
(8)
Harmoniczne sferyczne
(Równanie różni(gkowe Legendre a)
(Równanie różni(gkowe Legendre a)
Jeśli teraz lewą strona równania (*) przyrównamy do m2 i zrobimy
pewne podstawienia tzn.:
g(¸)= y(x), cos¸= x, sin2¸= 1- x2
2
dy d y dy
2 2 2
g = - sin¸, g = sin2¸- cos¸
dx dx2 dx
to dostaniemy równanie różniczkowe drugiego rzędu Legendre a postaci:
2
îÅ‚ Å‚Å‚
dy m2
(1- x2)d y - 2x + (n +1)- Å" y = 0
ïÅ‚n
dx2 dx 1- x2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Janusz Walo
Janusz Walo
37
37
Harmoniczne sferyczne (9)
(9)
Harmoniczne sferyczne
(Funk(je Legendre a)
(Funk(je Legendre a)
Rozwiązaniem równania Legendre a są tzw. funkcje Legendre a
postaci:
n
n+m
m
1 d (x2 -1)
2
Pnm(x)= Å"(1- x2) Å"
2n n! dxn+m
Funkcje te to (n+m)-te pochodne wielomianu (x2-1). Dla wartości m=1,2,& ,n
nazywa się je dołączonymi albo stowarzyszonymi funkcjami Legendre a.
Różniczkowane tłumaczy dlaczego m i n muszą być liczbami naturalnymi tylko
wtedy operacja różniczkowania jest możliwa&
Janusz Walo
Janusz Walo
38
38
Harmoniczne sferyczne (10)
(10)
Harmoniczne sferyczne
(Funk(je Legendre a)
(Funk(je Legendre a)
Przyjmując m=0 dostaniemy wyrażenie nazywane wielomianami
Legendre a lub rzadziej funkcjami głównymi Legendre a:
n
n
1 d (x2 -1)
Pno(x)= Pn(x)= Å"
2n n! dxn
Wielomiany kolejnych stopni można wyznaczać za pomocą wzoru
rekurencyjnego postaci:
n -1 2n -1
Pn(x)= - Pn-2(x)+ x Å" Pn-1(x)
n n
Janusz Walo
Janusz Walo
39
39
Harmoniczne sferyczne (11)
(11)
Harmoniczne sferyczne
(Funk(je Legendre a)
(Funk(je Legendre a)
Dołączone funkcje Legendre a można wyrazić poprzez wielomiany
Legendre a, tzn.:
m
m
d Pn(x)
2
Pnm(x)=(1-x2)
dxm
Do algorytmów obliczeniowych wygodna jest postać wzoru (ważna
zarówno dla wielomianów jak i dołączonych funkcji Legendre a) postaci:
m w
k
2
Pnm(x)=2-n(1-x2) Å"xn-m-2k
"(-1)k!(n-(2n-2k)!
k)!(n-m-2k)!
k=0
przy czym:
n-m
w=
2
Janusz Walo
Janusz Walo
40
40
Harmoniczne sferyczne (12)
(12)
Harmoniczne sferyczne
(Prgykładowe wielomiany Legendre a)
(Prgykładowe wielomiany Legendre a)
Po(x)= 1
P1(x)= x
1
P2(x)= (3x2 -1)
2
1
P3(x)= (5x3 - 3x)
2
1
P4(x)= (35x4 - 30x2 + 3)
8
1
P5(x)= (63x5 - 70x3 +15x)
8
Przy czym pamiÄ™tamy, że oryginalna zmienna jest równa x = cos¸&
¸
¸
¸
Przy czym pamiÄ™tamy, że oryginalna zmienna jest równa x = cos¸&
¸
¸
¸
Janusz Walo
Janusz Walo
41
41
Harmoniczne sferyczne (13)
(13)
Harmoniczne sferyczne
(Prgykładowe stowargysgone funk(je Legendre a& )
(Prgykładowe stowargysgone funk(je Legendre a& )
P11(cos¸)= sin¸
P21(cos¸)= 3sin¸cos¸
P22(cos¸)= 3sin2¸
15 3
öÅ‚
P31(cos¸)= sin¸Å"ëÅ‚ cos2¸-
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
P32(cos¸)= 15sin2¸cos¸
P33(cos¸)= 15sin3¸
Uwaga: W przypadku, gdy n = m stowarzyszone funkcje Legendre a
Uwaga: W przypadku, gdy n = m stowarzyszone funkcje Legendre a
zawsze majÄ… dodatni znak!
zawsze majÄ… dodatni znak!
Janusz Walo
Janusz Walo
42
42
Harmoniczne sferyczne (14)
(14)
Harmoniczne sferyczne
(Powierg(hniowe harmoni(gne sfery(gne)
(Powierg(hniowe harmoni(gne sfery(gne)
Iloczyny rozwiązań szczególnych podstawowego równania funkcji
kulistych (*) postaci:
Pnm(cos¸)Å"cos m=cnm(¸ ,)
Pnm(cos¸)Å"sin m=snm(¸ ,)
nazywa siÄ™ powierzchniowymi harmonicznymi sferycznymi lub rzadziej
elementarnymi harmonicznymi. Powierzchniowa funkcja sferyczna
Y(¸,) = g(¸) h() jest sumÄ… kombinacji liniowych postaci:
m=n
Yn(¸,)= n e" m,
"(C cos m + Snm sin m)Å" Pnm(cos¸),
nm
m=0
przy czym Snm i Cnm to dowolne stałe. Razem mamy zatem 2n+1
elementarnych harmonicznych (dla m=0 mamy sinm
=0)&


Janusz Walo
Janusz Walo
43
43
Harmoniczne sferyczne (15)
(15)
Harmoniczne sferyczne
(Hrmoni(gne strefowe& )
(Hrmoni(gne strefowe& )
W przypadku szczególnym, gdy m = 0 miejsca zerowe funkcji będą
znajdować się na n równoleżnikach. Funkcje takie będziemy
nazywać harmonicznymi strefowymi (zależne tylko od ¸ lub
szerokoÅ›ci Õ)&
n=3
n=3
m=0
m=0
n-m=3
n-m=3
Janusz Walo
Janusz Walo
44
44
Harmoniczne sferyczne (16)
(16)
Harmoniczne sferyczne
(Hrmoni(gne sektorowe& )
(Hrmoni(gne sektorowe& )
W przypadku, gdy m = n miejsca zerowe funkcji będą znajdować się
na 2m południkach. Funkcje takie będziemy nazywać
harmonicznymi sektorowymi (zależne tylko długości )&
n=3
n=3
m=3
m=3
n-m=0
n-m=0
Janusz Walo
Janusz Walo
45
45
Harmoniczne sferyczne (17)
(17)
Harmoniczne sferyczne
(Hrmoni(gne tesseralne& )
(Hrmoni(gne tesseralne& )
W przypadku ogólnym, gdy m `"n miejsca zerowe funkcji będą
`"
`"
`"
znajdować się na m-n równoleżnikach i 2m południkach. Funkcje
takie będziemy nazywać harmonicznymi tesseralnymi (zależne od
szerokoÅ›ci Õ i dÅ‚ugoÅ›ci ; Å‚ac. tessera znaczy kostka z mozaik).
Harmoniczne tesseralne wiążą się z dołączonymi funkcjami
Legendre a&
n=3 n=5
n=3 n=5
m=2 m=2
m=2 m=2
n-m=1 n-m=3
n-m=1 n-m=3
Janusz Walo
Janusz Walo
46
46
Harmoniczne sferyczne (18)
(18)
Harmoniczne sferyczne
(Hrmoni(gne w obragka(h& )
(Hrmoni(gne w obragka(h& )
Janusz Walo
Janusz Walo
47
47
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (1)
(1)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Funk(ja harmoni(gna opisana prgeg powierg(hniowe
(Funk(ja harmoni(gna opisana prgeg powierg(hniowe
harmoni(gne sfery(gne& )
harmoni(gne sfery(gne& )
Stosując przyjętą wcześniej formę zapisu:
Pnm(cos¸)Å"cos m=cnm(¸,)
(e&)
(e&)
Pnm(cos¸)Å"sin m=snm(¸ ,)
możemy każdÄ… funkcjÄ™ harmonicznÄ… f(¸,) przedstawić w postaci szeregu
powierzchniowych harmonicznych sferycznych w postaci:
" " m=n
f(¸,)=
"Y(¸ ,)= ""(C cnm(¸,)+ Snmsnm(¸,))
(f&) n nm
(f&)
n=0 n=0 m=0
Współczynniki stałe Snm i Cnm można wyznaczyć na podstawie
ortogonalności funkcji Legendre a&
Janusz Walo
Janusz Walo
48
48
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (2)
(2)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Warunek ortogonalnoÅ›(i& )
(Warunek ortogonalnoÅ›(i& )
Warunek ortogonalności oznacza, że całka iloczynu dwóch różnych
funkcji w granicach (-1,+1) równa jest zeru:
+1
Pnm(x)Å"Pkm(x)dx = 0 dla n `" k
+"
-1
a całka dwóch takich samych funkcji (wielomianów) wynosi:
+1 +1
2 (n + m)!
2
Pnm(x)Å"Pnm(x)dx = (x)]dx = dla n = k
nm
+" +"[P
2n +1(n - m)!
-1 -1
Janusz Walo
Janusz Walo
49
49
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (3)
(3)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Warunek ortogonalnoÅ›(i& )
(Warunek ortogonalnoÅ›(i& )
Warunki ortogonalności rozciągnięte na harmoniczne sferyczne
poprzez scaÅ‚kowanie po powierzchni kuli jednostkowej (Ã) prowadzÄ…
do zależności:
0 dla cnm `" skm
Å„Å‚
Ä„ 2Ä„
ôÅ‚
(c&)
(c&)
nm nm
+"+"(c Å" skm)dà = +" +"(c Å" skm)d d¸ = òÅ‚ 2Ä„´m(n + m)! dla cnm a" skm
(Ã) ¸=0 =0
ôÅ‚2n +1(n - m)!
ół
przy czym:
2 m = 0
Å„Å‚
´m = dla
òÅ‚
m `" 0
ół1
Janusz Walo
Janusz Walo
50
50
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (4)
(4)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Wygna(genie współ(gynników& )
(Wygna(genie współ(gynników& )
Mnożąc obie strony równania (f&) przez jedną z harmonicznych, a
(f&) przez
nastÄ™pnie caÅ‚kujÄ…c po powierzchni (Ã) to na podstawie (c&)
(c&)
zidentyfikujemy wyrazy zerowe. Otrzymamy zależność:
zidentyfikujemy wyrazy zerowe. Otrzymamy zależność:
2
Å„Å‚ üÅ‚
cnm(¸,)dÃ= Cnm
Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚ (cnm)
f(¸,)Å"
òÅ‚s òÅ‚S żł
2
+"+" +"+"òÅ‚(s )żłdÃ
(¸,)żł
nm
ół nm þÅ‚ ół þÅ‚
(Ã) (Ã) nm þÅ‚
ół
z którego wyznaczymy stałe Cnm i Snm korzystając raz jeszcze z
zależności (c&) :
(c&)
Cnm cnm(¸,)dÃ
Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
2Ä„´m(n + m)!
= f(¸,)Å"
òÅ‚S żł òÅ‚s
+"+"
(¸,)żł
2n +1(n - m)!(Ã) ół nm
ół nm þÅ‚ þÅ‚
Janusz Walo
Janusz Walo
51
51
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (5)
(5)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Znormaligowane harmoni(gne sfery(gne& )
(Znormaligowane harmoni(gne sfery(gne& )
Pamiętając, że kwadrat normy wynosi:
2Ä„´m(n+m)!
2
cnm =
2n+1(n-m)!
harmoniczne sferyczne podzielimy przez pierwiastek kwadratu
normy to dostaniemy znormalizowane harmoniczne sferyczne, które
wiążą z harmonicznymi sferycznymi związki postaci:
cnm(¸,) cnm(¸,)
Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
1
òÅ‚s òÅ‚s
(¸ ,)żł = (¸ ,)żł
cnm ół nm
ół nm þÅ‚ þÅ‚
Janusz Walo
Janusz Walo
52
52
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (6)
(6)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Znormaligowane harmoni(gne sfery(gne& )
(Znormaligowane harmoni(gne sfery(gne& )
Warunki ortogonalności analogiczne do (c&) wyrażą się teraz dla
(c&)
harmonicznych znormalizowanych w postaci:
1 1
2 2
+"+"c (¸,)dÃ= +"+"s (¸,)dÃ=1
4Ä„(Ã) nm 4Ä„(Ã) nm
RozwiniÄ™cie funkcji harmonicznej f(¸,) przez znormalizowane
harmoniczne sferyczne wyrazi siÄ™ wzorem analogicznym do wzoru
(f&) z tym, że elementarne harmoniczne zastąpią harmoniczne
(f&)
znormalizowane, a współczynniki stałe będą prostsze:
Å„Å‚ üÅ‚ cnm(¸,)dÃ
Cnm Å„Å‚ üÅ‚
= f(¸,)Å"
òÅ‚ żł òÅ‚s
+"+"
(¸,)żł
ół nm þÅ‚
nm
ółS þÅ‚ (Ã)
Janusz Walo
Janusz Walo
53
53
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (7)
(7)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Rogwinię(ie odwrotnoś(i odległoś(i& )
(Rogwinię(ie odwrotnoś(i odległoś(i& )
Odwrotność odległości l
pomiędzy punktami P i P
można przedstawić za pomocą
szeregu funkcji harmonicznych.
Ma to poważne znaczenie dla
wyprowadzenia wzorów na
potencjał Ziemi w postaci
szeregu harmonicznych!
Odległość można zapisać:
l2 = r2 + r'2 -2rr'cosÈ
Janusz Walo
Janusz Walo
54
54
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (8)
(8)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Rogwinię(ie odwrotnoś(i odległoś(i& )
(Rogwinię(ie odwrotnoś(i odległoś(i& )
KÄ…t sferyczny Èmożna wyrazić w funkcji dÅ‚ugoÅ›ci i
szerokości punktów P i P stosując wzór cosinusowy
dla trójkąta sferycznego PP B:
cosÈ=cos¸ cos¸+sin¸ sin¸ 'cos(-')
'
Po wstawieniu do za x do wielomianów
Legendre a dostaniemy:
n
(n -
2 2 2
Pn(cosÈ)= Pn(cos¸)Pn(cos¸)+ 2
"(n + m)!Pnm(cos¸)Pnm(cos¸)cos( - )
m)!
m=1
a po zastosowaniu znormalizowanych harmonicznych sferycznych mamy:
n
1
Pn(cosÈ)= (¸,)Å"cnm(¸ ',')+ snm(¸,)Å" snm(¸ ',')]
(`&) "[c
(`&) nm
2n +1
m=0
Janusz Walo
Janusz Walo
55
55
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (9)
(9)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Rogwinię(ie odwrotnoś(i odległoś(i& )
(Rogwinię(ie odwrotnoś(i odległoś(i& )
Przekształcając wyrażenie:
l2=r2+r'2-2rr'cosÈ
do postaci:
oraz przyjmujÄ…c oznaczenia:
1 1 1
=
r'
l r
=Ä…, Ä…<1, x=cosÈ
r'2 r'
1+ -2 cosÈ
r
r2 r
i po rozwinięciu uzyskanego wyrażenia według wzoru na dwumian Newtona
mamy:
"
1
n
= Pn(x)
"Ä…
1+Ä…2-2Ä…x n=0
Janusz Walo
Janusz Walo
56
56
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (10)
(10)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Rogwinię(ie odwrotnoś(i odległoś(i& )
(Rogwinię(ie odwrotnoś(i odległoś(i& )
Ostatnie równanie (kombinacja wielomianów Legendre a) jest funkcją
harmonicznÄ… i nazywane jest w matematyce funkcjÄ… generujÄ…cÄ…
wielomiany Legendre a. Odwrotność odległości można zatem zapisać:
" "
1 1 r'n r'n
= Pn(cosÈ)= Pn(cosÈ)
" "
l rn rn rn+1
n=0 n=0
Uwzględniając wzór (`&) dostaniemy ważny wzór służący do rozwinięcia
(`&)
potencjału grawitacyjnego Ziemi w szereg harmonicznych sferycznych:
" n
1
n n
=
""2n1 îÅ‚cnm(¸,)r' Å"cnm(¸ ',')+ snm(¸,)r' Å"snm(¸ ',')Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
l +1 rn+1 rn+1
ðÅ‚ ûÅ‚
n=0 m=0
Janusz Walo
Janusz Walo
57
57
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (11)
(11)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Rogwinię(ie poten(jału grawita(yjnego& )
(Rogwinię(ie poten(jału grawita(yjnego& )
Wstawiając otrzymany wynik do wzoru na potencjał grawitacyjny Ziemi:
dm
V=G
+"+"+"
l
(Ziemia)
otrzymamy:
" n
V =
""îÅ‚C cnm(¸ ,)+ Snm snm(¸ ,)Å‚Å‚
nm
ïÅ‚
rn+1 rn+1 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
n=0 m=0
przy czym:
Å„Å‚ Å„Å‚
Cnm cnm(¸ ',')
üÅ‚ üÅ‚
1
n
= G
òÅ‚S żł
+"+"+"r' Å" òÅ‚s (¸ ',')żłdm
2n +1
nm þÅ‚ nm þÅ‚
ół (M ) ół
Współczynnik Cnm i Snm zwane są współczynnikami rozkładu masy, bowiem
opisują przestrzenny rozkład masy (M), której położenie elementu dm jest
opisane współrzÄ™dnymi (r ,¸ , ).
Janusz Walo
Janusz Walo
58
58
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (12)
(12)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Rogwinię(ie poten(jału grawita(yjnego& )
(Rogwinię(ie poten(jału grawita(yjnego& )
Wykorzystując do rozwinięcia nieznormalizowane harmoniczne sferyczne
postaci (e&) oraz zastępując:
(e&) oraz zastępując
1 m `" 0
1 2(n - m)! Å„Å‚
przez , przy czym
òÅ‚2 gdy m = 0
2n +1 ´m(n + m)!
ół
oraz przyjmując nieco zmienione współczynniki rozkładu masy postaci:
Å„Å‚ Jnm Å„Å‚
cnm(¸ ',')
üÅ‚ üÅ‚
1 2(n - m)!
n
= -
òÅ‚K żł
+"+"+"r' Å" òÅ‚s (¸ ',')żłdm
Man ´n(n + m)!
nm þÅ‚ nm þÅ‚
ół (M ) ół
wzór opisujący potencjał grawitacyjny będzie miał postać:
n
" n
ëÅ‚ öÅ‚
M
ìÅ‚1-
V = G
ìÅ‚ ÷Å‚
(")
(")
""ëÅ‚ a öÅ‚[Jnm Å"cnm(¸,)+ Knm Å" snm(¸ ,)]÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
r r
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1 m=0
íÅ‚ Å‚Å‚
We wzorach wprowadzone zostały masa Ziemi M i półoś równikowa elipsoidy a, przy
czym wielkości te (GM i a) wyznacza się dziś z obserwacji SSZ&
Janusz Walo
Janusz Walo
59
59
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (13)
(13)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Rogwinię(ie poten(jału grawita(yjnego& )
(Rogwinię(ie poten(jału grawita(yjnego& )
Współczynniki rozkładu masy Jnm i Knm niskich stopni n i rzędów m wyrazić
można (zinterpretować) poprzez momenty bezwładności Ziemi. W tym celu
wprowadz
my oznaczenia:
xo x'
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1
dla współrzędnych środka masy (Ziemi),
yo =
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"+"ìÅ‚ y'÷Å‚ dm
M
(M )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
zo z'÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
A y'2 +z'2 ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
dla momentów bezwładności względem głównych osi,
B = x'2 +z'2 dm
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+"+"+"ìÅ‚
ìÅ‚
(M )
ìÅ‚C ÷Å‚
x'2 + y'2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
D y' z'
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
E = x' z'÷Å‚ dm
ìÅ‚ ÷Å‚
dla momentów dewiacyjnych.
+"+"+"ìÅ‚
(M )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
F x' y'÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Janusz Walo
Janusz Walo
60
60
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (14)
(14)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Rogwinię(ie poten(jału grawita(yjnego& )
(Rogwinię(ie poten(jału grawita(yjnego& )
Dla obliczenia współczynników Jnm i Knm korzystamy z wzorów (e&) oraz
(e&) oraz
zakładamy, że początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem
zakładamy, że początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem
masy (xo=yo=zo=0), a oś 0z pokrywa się z osią maksymalnego głównego
masy (xo=yo=zo=0), a oś 0z pokrywa się z osią maksymalnego głównego
momentu bezwÅ‚adnoÅ›ci (D=E=0; w praktyce z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… 0.5·10-5).
momentu bezwÅ‚adnoÅ›ci (D=E=0; w praktyce z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… 0.5·10-5).
Dostaniemy wówczas:
Dostaniemy wówczas:
J00=0, J10=J11=K11=0,
1
C- (A+B)
2
J20= , J21=K21=0,
Ma2
A-B F
J22= , K22=- .
4Ma2 2Ma2
Z powyższej interpretacji współczynników rozkładu masy wynika, że
sumowanie we wzorze (") można zacząć od n=2&
(") można zacząć od n=2&
Janusz Walo
Janusz Walo
61
61
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (15)
(15)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Poten(jał dla sg(gególny(h rogkładów masy& )
(Poten(jał dla sg(gególny(h rogkładów masy& )
Analizując elementarne harmoniczne (e&) można zauważyć, że da się
(e&) można zauważyć, że da się
opisać za ich pomocą różne charakterystyczne rozkłady masy (względem
opisać za ich pomocą różne charakterystyczne rozkłady masy (względem
osi 0z i płaszczyzny równika x0y). I tak zakładając symetryczny rozkład
osi 0z i płaszczyzny równika x0y). I tak zakładając symetryczny rozkład
masy względem osi obrotu ze wzoru (*) należy wyeliminować wyrazy
masy względem osi obrotu ze wzoru (*) należy wyeliminować wyrazy
związane z długością(sektorowe i tesseralne), a mianowicie:
związane z długością(sektorowe i tesseralne), a mianowicie:
n
"
ëÅ‚ öÅ‚
M
ìÅ‚1- ìÅ‚ a öÅ‚ Jn Å" Pn(cos¸)÷Å‚
V = G
÷Å‚
"ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
r r
íÅ‚ Å‚Å‚
n=2
íÅ‚ Å‚Å‚
Taka postać wzoru nie zakłada symetrii rozkładu masy względem równika.
Aby zachować symetrię względem równika należy zostawić tylko parzyste
harmoniczne strefowe (2n), co prowadzi do wzoru postaci:
2n
"
ëÅ‚ öÅ‚
M
ìÅ‚1- ìÅ‚ a öÅ‚ J2n Å" P2n(cos¸)÷Å‚
V = G
÷Å‚
"ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
r r
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1
íÅ‚ Å‚Å‚
Janusz Walo
Janusz Walo
62
62
Rozwinięcie potencjału Ziemi& (16)
(16)
Rozwinięcie potencjału Ziemi&
(Poten(jał dla sg(gególny(h rogkładów masy& )
(Poten(jał dla sg(gególny(h rogkładów masy& )
Potencjał masy o taki rozkładzie, aby wybrana powierzchnia ekwipotencjalna
Potencjał masy o taki rozkładzie, aby wybrana powierzchnia ekwipotencjalna
przyjęła kształt elipsoidy trójosiowej można opisać w przybliżeniu wzorem:
przyjęła kształt elipsoidy trójosiowej można opisać w przybliżeniu wzorem:
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
M
ìÅ‚1+ C20ëÅ‚ a öÅ‚ P2(cos¸)+ ëÅ‚ a öÅ‚
V = G (C22 cos 2 + S22 sin 2)Å" P22(cos¸)÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
r r r
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wartość spłaszczenia równikowego elipsoidy (wyznaczana satelitarnie) jest
niewielka (rzędu 10-5) i na dodatek słabo wyznaczalna jest jej orientacja (ok.
ą30  ). Czasem wystarczy (np. w astronomii, kiedy odległości są znaczne)
uproszczona formuła zapisana z dokładnością spłaszczenia biegunowego:
M C-A
V=G -G P2(cos¸)
r r3
Janusz Walo
Janusz Walo
63
63